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第6章　平面解析几何
6.4　双曲线
考点一　双曲线的定义
1. 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a（a＞0，2a＜
｜F1F2｜）的点M的轨迹称为双曲线.定点F1，F2称为双曲线的焦点，｜F1F2｜称为双曲线的焦距.即双曲线上的点M构成集合{M｜｜MF1｜－｜MF2｜＝ ±2a，2a＜｜F1F2｜}.
考点二　双曲线的标准方程
2. 双曲线的标准方程及相关要素：
位置 标准方程 图形 焦点 焦距
焦点在x轴上
F1（－c，0）
F2（c，0） 2c
焦点在y轴上
F1（0，－c）
F2（0，c） 2c
注：c2＝a2＋b2.
考点三　双曲线的几何性质
3. 双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
顶点 A1（－a，0），
A2（a，0） A1（0，－a），
A2（0，a）
渐近线方程
轴、心 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点；
实轴长：｜A1A2｜＝2a；虚轴长：｜B1B2｜＝2b
离心率
考向一　双曲线的定义
典型例题
【典例解析】本题考查双曲线的定义.
如图所示，由双曲线的标准方程可知，a2＝25，即a＝5.由双曲线的定义可知，
｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝10，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝10，
两式相加，得｜AF2｜＋｜BF2｜－｜AB｜＝20.
又因为｜AB｜＝8，所以△ABF2的周长为｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝20＋ 2｜AB｜＝36.
【方法提炼】根据双曲线的定义可知，过其中一个焦点的弦与另外一个焦点构成的三角形的周长为4a加上弦长的二倍.
变式训练1
33
考向二　双曲线的标准方程
典型例题
变式训练2
焦点在x轴上，实半轴长为3，虚半轴长为4的双曲线的标准方程是 .
考向三　双曲线的几何性质
典型例题
B. y＝±2x
D. y＝±4x
A. y＝±2x
变式训练3
A. y＝±x
D. y＝±2x
B
A. 4 B. 3 C. 2
C
A
A. （4，0），（－4，0） B. （0，－4），（0，4）
C. （0，－3），（0，3） D. （3，0），（－3，0）
A. x轴上 B. y轴上
C. 坐标原点 D. 无法确定
A
A
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
A. （－1，0），（1，0） B. （0，－1），（0，1）
C. （－3，0），（3，0） D. （0，－3），（0，3）
B
C
D
C
A. m＞0且n＞0 B. m＜0且n＜0
C. m＞0或n＞0 D. mn＞0
D
A
A. 6
B. 10
C. 12
D. 14
D
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
B. 2x±y＝0
D. x±2y＝0
A
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
【解析】由题意知a＝3，根据题图，由双曲线的定义可知，｜AF1｜－｜AF2｜ ＝6，｜BF1｜－｜BF2｜＝6，故｜AF1｜－｜AF2｜＋｜BF1｜－｜BF2｜＝ 12，即｜AF1｜＋｜BF1｜－｜AB｜＝12.
D
【解析】因为a2＝4，b2＝9，所以a＝2，b＝3，所以实轴长2a＝4，虚轴长2b ＝6.
4
6
10
y＝
6或14

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