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第7章　立体几何
7.4　空间中的平行关系
考点一　空间中线线、线面、面面平行的定义
1. 两条直线平行的定义：在同一平面内不相交的两条直线互相平行.
注：事实上，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的 传递性.
2. 直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条 直线与这个平面平行.即a∩α＝ a∥α（如图所示）.
3. 两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么就称这两个平面互相平 行.即α∩β＝ α∥β（如图所示）.
4. 平行直线、平行平面都具有传递性.
考向一　线面平行的判定定理和性质定理
典型例题
例1　（2023年安徽省文化素质分类考试）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面 ABCD为平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，则下列结论正确的是 （　　）.
A. MN∥平面PAD
B. PA∥MN
C. MN⊥平面PCD
D. PC⊥MN
【典例解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系.取CD的中 点F，连接MF，NF. 因为MF∥AD，AD 平面PAD，MF 平面PAD，所以 MF∥平面PAD. 同理可证，NF∥平面PAD. 又MF 平面MNF，NF 平面 MNF，MF∩NF＝F，所以平面MNF∥平面PAD. 因为MN 平面MNF，故 MN∥平面PAD；取BP的中点Q，连接MQ，则PA∥MQ，因为MN∩MQ＝ M，所以MN与PA异面；仅根据所给条件，无法判断MN与平面PCD、PC与 MN的位置关系.故选A.
【方法提炼】（1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知 直线平行的直线，可根据几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质 定理或者构造平行四边形等证明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内.
（2）判断线面平行的方法：①利用线面平行的定义（反证法）；②利用线面平 行的判定定理；③利用面面平行的推论.
（3）线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到 线面平行，再通过线面平行得到线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体 步骤如下：
①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；
②确定（或寻找）过这条直线且与这个平行平面相交的平面；
③确定交线；
④由性质定理得出线线平行的结论.
变式训练1
C
A. MN一定与BB1异面
B. MN一定与DD1异面
C. MN可能同时与平面AA1D1D、平面BB1C1C平行
D. MN不可能与平面ABB1A1平行
【解析】取棱CD的中点P，连接BP，B1N，NP，显然，直线BB1与点N确定 的平面为平面BB1NP，若M取BP与AC的交点时，MN 平面BB1NP，此时 MN与BB1共面；当点M与点C重合时，MN与DD1共面，且MN与平面ABB1A1 平行；当点M为AC中点时，MN同时与平面AA1D1D、平面BB1C1C平行.
考向二　面面平行的判定定理和性质定理
典型例题
例2　如图所示，在空间四边形PABC中，连接PB，AC，D，E，F分别是棱 PA，PB，PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC.
【典例解析】本题考查面面平行的判定定理和性质定理.
∵D，E分别是棱PA，PB的中点，∴DE∥AB.
又∵DE 平面ABC，AB 平面ABC，∴DE∥平面ABC.
同理可证EF∥平面ABC.
又∵DE 平面DEF，EF 平面DEF，且DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
【方法提炼】（1）判定面面平行的常用方法：
①面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；
②面面平行的判定定理或推论；
③垂直于同一条直线的两个平面平行；
④利用平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平 面平行.
（2）应用面面平行的性质定理解题的基本步骤：
①定条件：审题，看是否有面面平行；
②找平面：找（或作）第三个平面与已知两个平面相交；
③定交线：确定交线位置；
④得平行：得两条交线互相平行.
变式训练2
A. m α，n β，m∥n
B. m⊥α，n⊥β，m⊥n
C. m∥α，n∥β，m∥n
D. m α，n α，m∩n＝P，m∥β，n∥β
【解析】由面面平行的判定定理可知选项D符合要求；在选项A和C中，α与β可 能相交，也可能平行；在选项B中，可以得出α⊥β.
D
考向三　线线、线面、面面平行的综合应用
典型例题
例3　已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若α∩β＝m，n α，则m∥n或m，n相交；
②若α∥β，m α，n β，则m∥n；
③若m∥n，m∥α，则n∥α；
④若α∩β＝m，m∥n，n α，n β，则n∥α且n∥β.
其中正确命题的序号是（　　）.
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【典例解析】本题考查空间中线面平行、面面平行的判定与性质定理.①因为 α∩β＝m，n α，所以m α，n α，则m∥n或m，n相交，①正确；②若 α∥β，m α，n β，则m，n没有交点，即m，n可能平行，也可能异面，② 错误；③若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，③错误；④若α∩β＝m，则 m α，m β，又因为m∥n，n α，n β，则n∥α且n∥β，④正确.故选B.
【方法提炼】解答有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项：
（1）易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线 在平面外这一条件；
（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形判断；
（3）可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.
变式训练3
A. 若α内有一条直线与β平行，则α∥β
B. 若α内有一条直线与β垂直，则α∥β
C. 若α，β平行于同一个平面，则α∥β
D. 若α，β垂直于同一个平面，则α∥β
【解析】选项A，若α内有一条直线与β平行，则α与β平行或相交；选项B，若α内 有一条直线与β垂直，则α⊥β；选项C，平行于同一平面的两个平面互相平行， 该选项正确；选项D，垂直于同一平面的两个平面平行或相交.
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
A. 垂直于同一直线的两条直线一定平行
B. 垂直于同一平面的两条直线一定平行
C. 平行于同一平面的两条直线一定平行
D. 没有公共点的两条直线一定平行
【解析】对于选项A，垂直于同一直线的两条直线，可能相交，可能平行也可能 异面；对于选项B，垂直于同一平面的两条直线一定平行；对于选项C，平行于 同一平面的两条直线，可能相交，可能平行也可能异面；对于选项D，没有公共 点的两条直线可能平行，也可能异面.
B
A. 一定平行 B. 不可能相交
C. 一定异面 D. 平行、相交、异面都有可能
【解析】借助长方体分析可知，两条直线均与同一平面平行，那么这两条直线平 行、相交、异面都有可能.
D
【解析】若l∥α，则l与m平行或异面，故A项错误.根据线面平行的判定定理， 若l α，m α，l∥m，则l∥α，故B项正确.若l，m共面，则l与m相交或者 平行，当l与m相交时，l与α有公共点；当l与m平行时，l与α无公共点，故C 项错误.若l，m异面，则l与α相交或者平行，当l与α相交时，l与α有公共点； 当l与α平行时，l与α无公共点，故D项错误.
C. 若l，m共面，则l与α有公共点 D. 若l，m异面，则l与α没有公共点
B
A. 相交 B. 平行
C. 在平面内 D. 平行或在平面内
D
A. A1C
B. AC1
C. B1D
D. AC
【解析】A1C，AC1，B1D和BD1都是正方体的体对角线，它们相交于一点； AC是正方形ABCD的对角线，与BD1是异面直线.
D
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 无法确定
A. 若l∥m，l∥α，则m∥α B. 若l∥m，l⊥α，则m⊥α
C. 若l与m异面，l∥α，则m∥α D. 若l∥m，m∥α，则l⊥α
【解析】两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条可能平行于该平面， 也可能在该平面内，A，D项错误；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，B项正确；若l 与m异面，l∥α，则m∥α或m α或m与α相交，C项错误.
A
B
A. 若α∩β＝l，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则l∥m∥n
B. 若α∩β＝l，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则l，m，n相交于一点
C. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，l∥m，l∥n，则m∥n
D. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，l∥m，l∥n，则α∥β
【解析】α∩β＝l，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则l，m，n互相平行或者相交于一 点，A，B项错误；平行于同一条直线的两条直线互相平行，C项正确；D项中， α与β可能平行也可能相交.
C
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 无法确定
【解析】设过直线m的平面为γ且n γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b.又m∥α，m∥β， 由线面平行的性质定理，得m∥a，m∥b，则a∥b，又因为a β，b β，由 线面平行的判定定理，得a∥β，又因为a α且α∩β＝n，由线面平行的性质定 理，得a∥n，则m∥n.
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 至少有一个交点 B. 至多有一个交点
C. 只能有一个交点 D. 不可能有交点
【解析】由直线n∥平面α，得直线n与平面α无交点，则直线m与n无交点.
A
D
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为l∥m，l α，m α，所以l∥α；因为l∥α，l α，m α，所以 l和m平行或异面.故“l∥m”是“l∥α”的充分不必要条件.
D
A
A. m∥l B. m与平面β无公共点
C. m与平面α无公共点 D. m⊥l
【解析】因为α⊥β，α∩β＝l，m∥α，所以m与l平行或异面，A，D项错误； 因为α⊥β，α∩β＝l，m∥α，所以m与平面β可能无公共点，可能有一个公共 点，也可能有无数个公共点，B项错误；由m∥α，得直线m与平面α无公共点， C项正确.
C
A. m∥β B. m β
C. m与β相交 D. m β或m∥β
D
二、填空题
15. 已知两条不同的直线l，m，三个不同的平面α，β，γ，若α∥β，α∩γ＝l， β∩γ＝m，则l与m的位置关系是 .
16. 平行于同一平面的两条直线的位置关系是 .
17. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1和B1C1的 中点，则直线EF与平面A1BD的位置关系是 .
第17题图
平行
平行或相交或异面
平行
18. 现有以下命题（其中a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面）：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b α，则a∥α；③若α∥β，a β， 则a∥α；④若a∥b，b∥α，则a∥α.
其中正确的命题是 .（填序号）
【解析】①错，a，b的位置关系可能是相交、平行、异面；②错，没有强调 a α；③正确，α∥β，则它们没有公共点，所以β内的直线与α也没有公共点， 故a∥α；④错，a可能在α内.
③
19. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是侧面 AA1D1D、侧面CDD1C1、底面ABCD的中心，则平面EFG与平面A1BC1的位置 关系是 .
第19题图
平行
【解析】如图，连接DB，DC1，在△DBC1中，∵F，G分别为DC1，DB的中 点，∴FG∥C1B，∵BC1 平面A1BC1，FG 平面A1BC1，∴FG∥平面 A1BC1，同理EF∥平面A1BC1，∵FG 平面EFG，EF 平面EFG，且 EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面A1BC1.
【解析】由m α，m∥β不能推出α∥β，充分性不成立；由m α，α∥β能推 出m∥β，必要性成立.故在m α的前提下，“m∥β”是“α∥β”的必要不充 分条件.
必要
不充分
三、解答题
21. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别是线段BD，B1D1的 中点，连接OO1.求证：OO1∥平面ABB1A1.
证明：∵O，O1分别为BD，B1D1的中点，
∴OO1∥BB1.
又∵BB1 平面ABB1A1，OO1 平面ABB1A1，
∴OO1∥平面ABB1A1.
22. 如图所示，将平行四边形ABCD沿AD边所在的直线逆时针旋转120°，得到 平行四边形ADC1B1，连接BB1，CC1，求证：平面ABB1∥平面DCC1.
证明：由题意可得CD∥AB，
∵AB 平面ABB1，CD 平面ABB1，∴CD∥平面ABB1，
同理C1D∥平面ABB1，
∵CD 平面DCC1，C1D 平面DCC1，且CD∩C1D＝D，
∴平面ABB1∥平面DCC1.
23. 如图所示，在空间四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别为AB，BC， CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，EH. 证明：四边形EFGH为平行四边 形.
24. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，O为AC 和BD的交点.
求证：BD1∥平面ACE.
证明：连接EO.
因为E，O分别为线段DD1和BD的中点，
所以在△BDD1中，OE∥BD1.
又因为OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.

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