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(共55张PPT)
第7章　立体几何
思维导图
命题解读
考情分析
1.柱、锥、球及简单的组合体.
（1）了解柱、锥、球的相关概念及具有的简单性质；
（2）掌握柱、锥、球的面积公式，并能灵活运用公式解决实际问题；
（3）掌握柱、锥、球的体积公式，并能灵活运用公式解决实际问题；
（4）掌握简单几何体直观图的画法.
2.简单几何体的三视图.
（1）了解三视图的概念及作图规则；
（2）掌握简单几何体三视图的画法.
3.平面.
（1）了解空间中点、线、面的位置关系的符号表示；
（2）理解平面的基本性质的三个公理及三个推论.
考情分析
4.空间中的平行关系.
（1）了解线面平行、面面平行的定义；
（2）理解并掌握线面平行、面面平行的判定与性质定理，并能借助性质定理解 决实际问题；
（3）熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行三者之间的相互转化.
5.空间中线线、线面、面面所成的角.
（1）了解异面直线的概念，并掌握求异面直线所成的角的方法；
（2）了解直线与平面所成的角的概念，并掌握求直线与平面所成角的方法；
（3）了解二面角及二面角的平面角的概念，并掌握求二面角的平面角的方法.
6.空间中的垂直关系.
（1）了解线面垂直、面面垂直的定义；
（2）理解并掌握线面垂直、面面垂直的判定与性质定理，并能借助性质定理解 决实际问题；
（3）熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的相互转化.
命题方向 题型与题量
1.有关柱、锥、球的侧面积与表面积的计算问题.
2.有关柱、锥、球的体积的计算问题.
3.简单几何体直观图的画法.
4.简单几何体三视图的画法与识别.
5.空间中点、线、面的位置关系的符号表示.
6.平面的基本性质的三个公理及其三个推论成立的条件，即 确定一个平面所具备的条件.
7.利用平面的基本性质解决简单的线共面、点共线和线共点 的问题.
8.线线平行、线面平行、面面平行相关命题的判定.
9.线面平行、面面平行的判定和性质定理在实际问题中的简 单应用. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为3或4题.
命题方向 题型与题量
10.异面直线所成的角的求法.
11.直线与平面所成的角的求法.
12.二面角的平面角的求法.
13.线线垂直、线面垂直、面面垂直相关命题的判定.
14.线面垂直、面面垂直的判定和性质定理在实际问题中的 简单应用. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为3或4题.
7.1　柱、锥、球及简单的组合体
考点一　多面体和旋转体的结构特征
1. 多面体.
一般地，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体.
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 称为棱柱.两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面.两个侧 面的公共边称为棱柱的侧棱.侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点.不在同一平面上 的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.两个底面间的距离称为棱柱的高.
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱.
正棱柱有以下主要性质：
①两个底面是平行且全等的正多边形；
②侧面都是全等的矩形；
③侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等.
（2）棱锥：多面体有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一 个公共点，称这样的多面体称为棱锥.这个多边形称为棱锥的底面（简称底）， 其余各面称为棱锥的侧面；各侧面的公共点称为棱锥的顶点；相邻侧面的公共边 称为棱锥的侧棱；顶点到底面的距离称为棱锥的高.
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥. 正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高.
正棱锥有如下性质：
①各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形；
②顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高；
③正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、 侧棱、侧棱在底面上的投影构成一个直角三角形.
2. 旋转体.
一般地，由一平面图形绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周形成的几何 体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴.
（1）圆柱：以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封 闭几何体称为圆柱.旋转轴称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆 柱的底面.平行于轴的边称为圆柱的母线，母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面. 两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高.
圆柱具有下列性质：
①两个底面是半径相等且平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；
②母线平行且相等，都等于圆柱的高；
③过轴的截面（轴截面）是矩形，矩形的边长分别是圆柱的高和底面的直径.
（2）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成 的封闭几何体称为圆锥.这条轴称为圆锥的轴，另一条直角边旋转所形成的圆面 称为圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，这条斜边称为圆锥的母 线.母线与轴的交点称为顶点.顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高.
圆锥具有下列性质：
①平行于底面的截面都是圆；
②高垂直于底面圆，且过圆心；
③轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的 直径.
注：轴截面是指经过旋转轴的截面.
考点三　柱、锥和球的面积和体积
4. 柱体和锥体的侧面积：
几何体 侧面积公式
圆柱 S侧＝ch＝2πrh
圆锥
直棱柱 S侧＝ch
正棱锥
注：c表示底面的周长，r表示底面圆的半径，h表示几何体的高，l表示圆锥的 母线，h'表示正棱锥的斜高.
5. 几何体的表面积（全面积）：
（1）圆柱、棱柱的表面积就是侧面积与两个底面面积之和；
（2）圆锥、棱锥的表面积等于侧面积与底面面积之和；
（3）球的表面积S＝4πR2（R表示球的半径）.
6. 几何体的体积：
几何体 体积公式
圆柱 V＝Sh＝πr2h
圆锥
直棱柱 V＝Sh
棱锥
球
注：r表示底面圆的半径，h表示几何体的高，S表示底面的面积，R表示球的 半径.
考向一　棱柱的面积与体积
典型例题
例1　（2022年安徽省文化素质分类考试）如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的 棱长为1，E，F分别为A'B'，C'D'的中点，则三棱柱BB'E－CC'F的体积为 （　　）.
【方法提炼】（1）了解棱柱、直棱柱、正棱柱的区别与联系，搞清它们之间的 关系.
（2）掌握正棱柱的主要性质：①两个底面是平行且全等的正多边形；②侧面都 是全等的矩形；③侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等.
（3）如果几何体是不规则的几何体，但能分割成几个规则的几何体，分别求规 则几何体的面积和体积，但在求表面积时注意要将分割面的面积减掉.
变式训练1
B
A. 24 B. 18 C. 9 D. 6
【解析】设正四棱柱底面边长为a，则a2＝9，得a＝3，所以该正四棱柱的侧面 积S＝4×3×2＝24.
A
考向二　棱锥的面积与体积
典型例题
【典例解析】本题考查利用割补法结合棱柱、棱锥的体积公式运算求解多面体的 体积.
【方法提炼】（1）了解棱锥、正棱锥与正多面体的概念，搞清正三棱锥和正四 面体的区别和联系.
（2）掌握正棱锥的性质：①各条侧棱都相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三 角形；②顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高；③正棱锥的高、斜 高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面 上的投影也构成一个直角三角形.
（3）求正棱锥的侧面积时，关键要知道斜高和底面边长；求棱锥的体积时，关 键要知道底面面积和高.
变式训练2
C
A. 192 B. 96 C. 48 D. 32
D
考向三　圆柱的面积与体积
典型例题
B. 2π D. 6π
【典例解析】本题考查圆柱表面积的计算.设球的半径为R，则R＝1，由题意可 知，圆柱的高h＝2R＝2，底面半径r＝R＝1，所以圆柱的全面积S＝2S底＋S侧 ＝2πr2＋2πrh＝2×π×12＋2×π×1×2＝6π.故选D.
【方法提炼】（1）圆柱的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平 面图形计算.根据圆柱侧面展开图为矩形，矩形的边长分别是圆柱底面的周长和 母线的长，求解侧面面积.
（2）掌握圆柱的性质，了解圆柱的结构特征，根据题目给出的已知条件，利用 图形中的关系求出未知量，从而解决圆柱的侧面积、表面积和体积等问题.
变式训练3
A. 2π B. 4π C. 2 D. 4
【解析】由题意可知，圆柱的高h与底面半径r满足2πrh＝4π，即rh＝2，故该 圆柱的轴截面的面积是2rh＝2×2＝4.
D
考向四　圆锥的面积与体积
典型例题
例4　（2024年安徽省文化素质分类考试）某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成， 它的直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为8 m，高为4 m，圆锥的母线PB与底 面圆的直径AB成45°角，则此粮囤的容积（单位：m3）为（　　）.
【方法提炼】（1）圆锥的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平 面图形计算.圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧 长是圆锥底面圆的周长，根据扇形面积公式计算出圆锥侧面积.
（2）掌握圆锥的性质，了解圆锥的结构特征，根据题目给出的已知条件，利用 图形中的关系求出未知量，从而解决圆锥的侧面积、表面积和体积等问题.
（3）要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解， 分析题中数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的各个公式进行 运算、解答.
变式训练4
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
B
考向五　球的表面积与体积
典型例题
例5　（2023年安徽省文化素质分类考试）将一个扇形和矩形组成的平面图形 （图①）绕直线AB旋转一周，形成的几何体（图②）的体积为（　　）.
【方法提炼】（1）求球的体积和表面积时，必须知道球的半径R或通过条件求 出半径R，然后代入体积公式或表面积公式求解.
（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积和体积 的相关题目就易如反掌了.
（3）球的截面问题：①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转 化为平面中圆的问题；②解题时要注意借助于球的半径R，截面圆的半径r，球 心到截面圆的距离d构成直角三角形，即R2＝r2＋d2.
（4）长方体的外接球问题：长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外 接球.根据球的定义可知，长方体的体对角线是外接球的直径.
（5）正方体的外接球半径是体对角线的一半，正方体的内切球半径是棱长 的一半.
变式训练5
A. 2 D. 3
B
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③
【解析】③是圆柱，④是球，它们是旋转体.
C
A. 9π
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
D
D
A. 8π B. 12π C. 24π D. 36π
C
A. 2π
C
A. 3∶4
B
第7题图
D
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
第8题图
A
第9题图
C
D. 4
第10题图
C
A. 20π B. 10π C. 20 D. 无法计算
第11题图
【解析】设该圆柱的底面半径为r，高为h，则其轴截面长方形ABCD的面积S ＝2rh＝20，所以圆柱的侧面积S侧＝2πrh＝20π.
A
A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
第12题图
D
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
第13题图
C
B
二、填空题
15. 已知一正四棱柱的高为3，底面边长为2，则该正四棱柱的侧面积为 .
【解析】该正四棱柱的侧面积S＝4×2×3＝24.
24
36π
18. 已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积 为 .
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2r＝4，l＝4，得r＝2.所以圆 锥的表面积S＝S底＋S侧＝πr2＋πrl＝π×22＋π×2×4＝12π.
12π
19. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面 ABCD，AB＝PD＝3，则该四棱锥的体积是 .
第19题图
9
第20题图
三、解答题
21. 已知一个直三棱柱，底面是一个直角边为2的等腰直角三角形，且高为3，求 该三棱柱的表面积和体积.
解：如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，△ABC为直角边为2的等腰 直角三角形，且棱柱的高为3.
故AB＝BC＝2，∠BAC＝90°，棱柱的高h＝AA1＝3，
V＝S底h＝2×3＝6.
22. 已知球的一个球截面面积为8π cm2，且球心到该球截面圆心的距离为1 cm， 求该球的表面积和体积.
23. 如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，△PAC是边长为2的等边三角形，底面 中心为点O，求该正四棱锥的表面积和体积.

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