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第7章　立体几何
7.3　平面
考点一　空间中点、线、面间的位置关系
项目 位置关系 图形表示 符号表示
点与直线的位置关系 点A不在直线l上 A l
点B在直线l上 B∈l
点与平面的位置关系 点A在平面α内 A∈α
点B不在平面α内 B α
直线与直线的位置关 系 平行 m∥n
相交 m∩n＝A
异面 —
项目 位置关系 图形表示 符号表示
直线与平面的位置关系 线在面内 m α
线面相交 m∩α＝A
线面平行 m∥α
平面与平面的位置关系 面面平行 α∥β
面面相交 α∩β＝m
考点二　平面的基本性质
名称 内容 图形表示 符号语言 作用
公理1 经过不在同一条直线 上的三点，有且只有 一个平面（即不共线 的三点确定一个平 面） A，B，C三点不 共线 存在唯一的 平面α，使得 A∈α，B∈α， C∈α 是确定平面，证 明点、线共面以 及判断两个平面 重合的依据
名称 内容 图形表示 符号语言 作用
公理2 如果一条直线上有两 个点在一个平面内， 那么这条直线上的所 有点都在这个平面内 （即直线在平面内或 平面经过直线） A∈α， B∈α AB α 既可判定直线和 点是否在平面 内，又能说明平 面是无限延展的
名称 内容 图形表示 符号语言 作用
公理3 如果两个平面有一个 公共点，那么它们有 且只有一条经过该点 的公共直线 A∈α，A∈β，存 在唯一的直线l， 使得A∈l，α∩β ＝l 是判断两个平面 相交以及证明点 共线、线共点问 题的依据
推论1 经过一条直线和该直 线外一点，有且只有 一个平面 A l，存在唯一的 平面α，使得 A∈α，l α 是确定一个平面 的依据
名称 内容 图形表示 符号语言 作用
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 m∩n＝A 存在 唯一的平面α，使 得m α，n α 是确定一个平面 的依据
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 m∥n，存在唯一 的平面α，使得 m α，n α 是确定一个平面 的依据
考点三　等角定理
1. 等角定理：两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角.一 般地，如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l'1与l'2，那么l1与l2 所成的角和l'1与l'2所成的角相等.这个结论称为等角定理.
2. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
考向一　空间中点、线、面间的位置关系及其表示
典型例题
例1　根据图形用符号语言表示下列点、直线、平面相互之间的关系.
（1）点M与直线AC；
（2）点M与直线AB；
（3）点M与平面ABCD；
（4）点M与平面A1B1C1D1；
（5）直线AB与平面ABCD；
（6）直线AB与平面A1B1C1D1.
【典例解析】本题考查文字语言、图形语言、符号语言的相互转化.
（1）M∈直线AC.
（2）M 直线AB.
（3）M∈平面ABCD.
（4）M 平面A1B1C1D1.
（5）直线AB 平面ABCD.
（6）直线AB 平面A1B1C1D1.
【方法提炼】用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个 平面、几条直线，且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，然后用符 号语言表示.
变式训练1
A. A l，l α，B∈α B. A∈l，l α，B∈α
C. A l，l∈α，B α D. A∈l，l∈α，B∈α
（2）根据已知条件填空（用符号语言）.
①若A∈α，α∩β＝l，A∈l，则A β；
②若B n，n β，则B β.
B
∈
∈或
（3）用符号语言表示下列语句，并画出相应的图形.
①平面α，β，γ相交于同一点P，且平面α与平面β相交于直线PA，平面α与平面γ 相交于直线PB，平面β与平面γ相交于直线PC；
解：①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝直线PA，α∩γ＝直线PB，β∩γ＝ 直线PC. 图形如下图所示.
②平面ABD与平面BCD相交于直线BD，平面ABC与平面ADC相交于直线AC.
解：②符号语言表示：平面ABD∩平面BCD＝直线BD，平面ABC∩平面ADC ＝直线AC. 图形如下图所示.
考向二　平面的基本性质
典型例题
例2　下列条件中，可以确定一个平面的是（　　）.
A. 两条直线 B. 两点
C. 不共线的三点 D. 一点和一条直线
【典例解析】本题考查平面基本性质中的公理1及三个推论.选项A中，两条相交 直线或两条平行直线都可以确定一个平面，但如果这两条直线异面，则不能确定 一个平面；选项B中，经过两点有无数个平面；选项C中，根据公理1可知不共线 的三点可以确定一个平面；选项D中，根据推论1可知，经过一条直线和该直线外 一点，有且只有一个平面，但如果点在直线上，则可以确定无数个平面.故选C.
【方法提炼】（1）三点不一定能确定一个平面，当三点共线时，过这三个点的 平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.
（2）公理1及推论中的“确定”有时说成“有且只有”，强调“存在且唯一”.
（3）使用平面基本性质的公理或推论确定平面时，必须注意它们具备的前 提条件.
变式训练2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由平面α与平面β有公共点可以推出平面α与平面β相交，故平面α与平面 β有公共直线；由平面α与平面β有公共直线可以推出平面α与平面β有公共点.故 “平面α与平面β有公共点”是“平面α与平面β有公共直线”的充要条件.
C
A. 两个平面相交只有一个公共点
B. 两个平面相交可以有两条不同的交线
C. 两个平面相交，公共点为有限个
D. 两个平面相交，它们的公共点共线
【解析】由平面的基本性质可知，两个平面相交有无数多个交点，且这无数多个 交点都在一条直线上，这条直线称为两个平面的交线.
D
考向三　平面的基本性质的应用
典型例题
例3　（1）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题并说明 理由.
①判断直线AC是否在平面ABCD内；
②判断A，A1，C，C1四点是否在同一平面内.
第（1）题图
（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱 CD，AB，DD1，AA1上的点，若直线MN与直线EF交于点Q. 求证：D，A， Q三点共线.
（3）如图所示，在几何体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是一个梯形，且 A1B1∥AB. 求证：三条侧棱AA1，BB1，CC1延长后相交于一点.
第（2）题图 第（3）题图
【典例解析】本题考查平面的基本性质的三个公理与三个推论的灵活运用.
（1）①∵A∈平面ABCD，C∈平面ABCD，∴AC 平面ABCD（公理2）.
②∵四边形AA1B1B为矩形，∴AA1∥BB1.
∵四边形BB1C1C为矩形，∴BB1∥CC1，∴AA1∥CC1，
∴AA1与CC1可以确定一个平面（推论3），即A，A1，C，C1四点在同一平 面内.
（2）∵MN∩EF＝Q，∴Q∈MN.
∵M∈CD，N∈AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴MN 平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.
同理可得EF 平面A1ADD1，Q∈平面A1ADD1，
∴Q为平面ABCD与平面A1ADD1的一个公共点，
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴Q∈AD，即D，A，Q三点共线（公 理3）.
（3）由条件可知，AA1与BB1为梯形的两腰，则它们的延长线交于一点，
延长AA1，BB1，设AA1∩BB1＝P.
∵AA1 平面AA1C1C，BB1 平面BB1C1C，
∴P∈平面AA1C1C，P∈平面BB1C1C，
∴P为平面BB1C1C和平面AA1C1C的公共点.
又∵平面BB1C1C∩平面AA1C1C＝CC1，∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点.
【方法提炼】（1）证明点、线共面，一般先由部分点、线确定一个平面，再证 其他点和线在所确定的平面内.
（2）证明点共线，通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分 别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上；还可以先选择其中两点确定一条 直线，再证明其他点也在该直线上.
（3）证明三线共点，首先把其中一条直线作为分别过其余两条直线的两个平面 的交线，然后证明另两条直线的交点在此直线上；还可先将其中一条直线看作某 两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证两点重合，从而 得三线共点.
变式训练3
（1）如图所示，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证： a，b，c和l共面.
证明：∵a∥b，
∴a与b确定一个平面，不妨记作平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈a，B∈b，
∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面，不妨记作平面β，
同理l β.
∵平面α与β都包含直线l和直线b，且l∩b＝B，
∴由经过两条相交直线有且只有一个平面可知，平面α与平面β重合，
∴a，b，c和l共面.
（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和棱CC1的 中点，直线D1E与直线DA交于点G，直线D1F与直线DC交于点H，求证： G，B，H三点共线.
证明：取棱D1D的中点P，连接AP，BF，PF，EB，GB，BH，如图所示.
∵P，F分别是棱D1D，C1C的中点，
∴在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PF綊DC綊AB，
∴四边形APFB为平行四边形，∴AP綊BF.
又∵在正方形AA1D1D中，E，P分别为棱A1A，D1D的中点，
∴AE綊PD1，∴四边形AED1P为平行四边形，
∴AP綊ED1，∴ED1綊BF，
∴D1，E，B，F共面，都在平面D1EBF内，
∴D1E 平面D1EBF，D1F 平面D1EBF，B∈平面D1EBF.
∵B∈平面ABCD，
∴B是平面D1EBF与平面ABCD的一个公共点.
∵D1E∩DA＝G，
∴G∈D1E，G∈DA，而AD 平面ABCD，
D1E 平面D1EBF，
∴G∈平面D1EBF，G∈平面ABCD，
∴G为平面D1EBF与平面ABCD的一个公共点.
同理由D1F∩DC＝H，可证得H也是平面D1EBF与平面ABCD的一个公共点.
∴G，B，H三点都在平面D1EBF与平面ABCD的交线上，即G，B，H三点 共线.
考向四　等角定理的应用
典型例题
例4　已知∠A的两边和∠B的两边分别平行，且∠A＝50°，则∠B＝ （　　）.
A. 50° B. 130°
C. 50°或130° D. 40°
【典例解析】本题考查等角定理的应用.当∠A的两边和∠B的两边分别平行， 且两组边方向都相同或都相反时，则∠A与∠B相等，此时∠B＝50°；当∠A 的两边和∠B的两边分别平行，且一组边方向相同、另一组边方向相反时，则 ∠A与∠B互补，此时∠B＝180°－∠A＝130°.故选C.
【方法提炼】（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且两组边方 向都相同或都相反，那么这两个角相等.
（2）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同，另 一组边方向相反，那么这两个角互补.
（3）如果两条相交直线分别平行于另外两条相交直线，那么这两组直线所成的 角相等.
变式训练4
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
B
【解析】由题知BB1＝D1D，∠BB1E＝∠D1DF，B1E＝DF， ∴△BEB1≌△D1FD，则∠DFD1＝∠BEB1＝60°.
A. 可以无限延展的面就是平面
B. 4个平面重叠起来要比2个平面重叠起来厚
C. 不同平面的大小是不同的
D. 平面是平坦光滑的，且可以无限延展
D
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 平行或异面
【解析】由平面的基本性质中推论2和推论3，这两条直线的位置关系是平 行或相交.
A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面
C
D
A. 若m α，n β，则m，n是异面直线
B. 若l与m异面，m与n异面，则l与n异面
C. 若l∥α，m β，则m与l是异面直线
D. 若m，n不同在任何一个平面内，则m与n是异面直线
【解析】根据异面直线定义可知D正确.
D
A. A∈α，B∈α，C∈α B. B∈m，m α
C. C∈n，n α D. A l，l α
D
A. P l B. m α C. P∈α D. l∈α
第5题图 第6题图
【解析】直线l在平面α内正确的表示为l α.
D
A. 两条平行直线 B. 不共线三点
C. 两条相交直线 D. 一点和一条直线
【解析】若一点在一条直线上，则这点与这条直线不能确定一个平面.
A. 空间中的任意三点，只能确定一个平面
B. 三条直线相交，最多可以确定两个平面
C. 一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面
D. 四条线段首尾相连，所得图形一定是平面图形
D
C
A. α∩β＝l，m α，A α，A∈l
B. α∩β＝l，n α，A∈α，A∈l
C. α∩β＝l，n β，B∈β，B∈l
D. α∩β＝l，m β，B∈β，B∈l
C
A. l α B. l与α相交 C. l∥α D. 无法确定
A. 均与平面α平行 B. 均与平面α相交
C. 一条相交，另一条平行 D. 以上均有可能
A
D
A. 若直线l与平面α平行，则过点P的所有直线都与平面α平行
B. 若直线l与平面α平行，则过点P可以作无数条直线与平面α平行
C. 若直线l与平面α相交，则过点P的直线都与平面α相交
D. 若直线l与平面α相交，则过点P的直线都在平面α外
【解析】若直线l与平面α平行，点P在直线l上，则点P在平面α外，过平面外 一点可以作无数条直线与已知平面平行，也可以作无数条直线与已知直线相交， 故选项A错误，选项B正确.若直线l与平面α相交，点P在直线l上，则点P在平 面α外或者点P在平面α内，当点P在平面α内时，过点P的直线可能在平面α内， 故选项C，选项D均错误.
B
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 以上都有可能
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能
【解析】因为直线a，b都与直线c异面，所以直线a与b的位置关系可能是平 行、相交或异面.
D
D
二、填空题
15. 若平面α与平面β相交于直线l，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点 A，B必在 .
16. 已知α∩β＝l，a α，b β，a∩b＝M，则点M与直线l的位置关系用符 号语言表示为 .
17. 两个相交平面把空间分成 个部分，两两相交的三个平面最多把空间分 成 个部分.
18. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 .
直线l上
M∈l
4
8
相交或异面
19. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BD1共面的棱有 条，与直线BD1异面的棱有 条.
20. 已知直线l1与l2所成的角为60°，直线l'1∥直线l1，直线l'2∥直线l2，则直线 l'1与l'2所成角的大小为 .
6
6
60°
三、解答题
21. 用符号语言表示下列语句.
（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；
解：（1）A∈α，B α.
（2）点P在直线l上，直线l在平面α内；
解：（2）P∈l，l α.
（3）平面α与平面β相交于直线m.
解：（3）α∩β＝m.
22. （1）空间中三条互相平行的直线可以确定多少个平面？
解：（1）其中的两条平行直线可确定一个平面，若第三条直线在该平面内，则 三条互相平行的直线可确定一个平面；若第三条直线在该平面外，则三条互相平 行的直线可确定三个平面.故三条互相平行的直线可以确定一个或三个平面.
（2）空间中两两相交的三条直线可以确定多少个平面？
解：（2）空间中两两相交的三条直线，如果三条直线交于一点，则可以确定的 平面个数是一个或三个；如果三条直线交于不共线的三点，则可以确定一个平 面.所以空间中两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面.
23. 若直线l与平面α、平面β都有公共点，且平面α与平面β相交，试说明直线l与 平面α、平面β的位置关系.
解：若直线l为平面α与平面β的交线，
则l α，l β；
若直线l与平面α、平面β都仅有一个公共点，
则直线l分别与平面α、平面β相交.
24. 已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交.求证：直线a，b，c共面.
证明：因为b∥c，
所以不妨设直线b，c共面于平面α.
设a∩b＝A，a∩c＝B，
所以A∈a，B∈a，A∈b，B∈c.
又因为b α，所以A∈α，
同理B∈α，即a α，
所以直线a，b，c共面.

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