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第7章　立体几何
7.6　空间中的垂直关系
考向一　线面、面面垂直的基本问题
典型例题
例1　（1）下列四个命题中，正确的是（　　）.
A. 若直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α
B. 过一点作已知直线的垂面，有且只有一个平面
C. 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面
D. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
（2）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β，则 下列正确的是（　　）.
A. 若l⊥β，则α⊥β B. 若α⊥β，则l⊥m
C. 若l∥β，则α∥β D. 若α∥β，则l∥m
【典例解析】（1）本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质定理.由线面垂 直、面面垂直的判定和性质定理可知只有B选项正确，A，C，D三项均不正确. 选项A中，直线与平面内无数条直线都垂直，此时直线可能与平面平行、在平面 内或与平面相交但不垂直；选项C中，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；选项D中，若平面内的一条直线垂 直于另一个平面内的无数条直线，则该直线不一定垂直于平面，所以这两个平面 不一定互相垂直.故选B.
（2）本题考查空间中的线面位置关系.由面面垂直的判定定理，可知A选项正 确；B选项中，l与m可能平行、可能相交，也可能异面；C选项中，α与β可能相 交，可能平行；D选项中，l与m没有公共点，故可能平行，也可能异面.故选A.
【方法提炼】解答有关线面垂直、面面垂直的基本问题的注意事项：
（1）易忽视定理中的条件，如易忽视线面垂直的判定定理中，平面内的两条相 交直线这一条件；
（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形做出判断；
（3）可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确；
（4）寻找恰当的特殊模型（如构造正方体、长方体）进行筛选.
变式训练1
A. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行
C. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行
D. 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面
A
考向二　线面垂直的判定和性质定理
典型例题
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，则 下列说法错误的是（　　）.
A. BD1⊥EF B. BD1⊥EG
C. BD1⊥平面EFG D. EF⊥FG
【方法提炼】（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定 理；②利用平行直线垂直于平面的传递性定理；③利用面面平行的性质定理；④ 利用面面垂直的性质定理.
（2）证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需要借助于线面 垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
变式训练2
A
A. BD⊥平面PAC
B. CD⊥平面PAC
C. CD⊥AC
D. AB⊥平面PAD
【解析】由题知BD⊥AC，BD⊥PA，可得BD⊥平面PAC，A正确；因为 BD⊥平面PAC，所以CD⊥平面PAC，CD⊥AC都是错误的，B，C错；因为 AB不垂直于AD，所以AB⊥平面PAD是错误的，D错.
考向三　面面垂直的判定和性质定理
典型例题
例3　（2022年安徽省文化素质分类考试）如图所示，在三棱锥O－ABC中， OA，OB，OC两两垂直，则下列判断正确的是（　　）.
A. △ABC是等边三角形
B. △OAB是等腰直角三角形
C. 平面OAB⊥平面ABC
D. 平面OAB⊥平面OBC
【典例解析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系.∵OA，OB，OC 不一定相等，∴选项A，B错误；∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O， OB 平面OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC，∵OA 平面OAB，∴ 平面OAB⊥平面OBC，选项D正确.故选D.
【方法提炼】（1）证明面面垂直的方法.
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理.
（2）已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的 垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
（3）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条 垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
变式训练3
D
A. PO∥平面VAC
B. MN⊥BC
C. 平面VAC⊥平面VBC
D. OC⊥平面VAC
【解析】由题意，得O，P分别是棱AB，VB的中点，所以OP∥VA，又因为 VA 平面VAC，OP 平面VAC，所以OP∥平面VAC，A项正确；因为M，N 分别是棱VA，VC的中点，所以MN∥AC，因为△ABC的外接圆的圆心在边 AB上，所以∠ACB＝90°，则AC⊥BC，又MN∥AC，所以MN⊥BC，B项 正确；因为VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC， VA 平面VAC，AC 平面VAC，且VA∩AC＝A，所以BC⊥平面VAC，因 为BC 平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，C项正确；若OC⊥平面 VAC，因为AC 平面VAC，则OC⊥AC，与AC⊥BC矛盾，D项错误.
A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 无法确定
【解析】三角形两边所在的直线是相交直线，由直线与平面垂直的判定定理可 知，垂直于三角形两边所在的直线与三角形所在的平面垂直.
A. 有一个 B. 有两个
C. 有无数个 D. 不存在
A
C
A. b∥α B. b⊥α C. b α D. b与α相交
A. n∥l B. m∥n C. m⊥l D. m⊥n
【解析】由题可知，α∩β＝l，l α，l β.又m⊥β，n∥α，则n∥l或n与l 异面，A项不一定成立；m∥n或m与n相交或m与n异面，B，D项不一定成 立；由直线与平面垂直的定义可知，m⊥β，l β，则m⊥l，C项一定成立.
B
C
A. n∥α B. n⊥α
C. n α D. n与α相交但不垂直
【解析】两平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
B
A. 若a⊥c，b⊥c，则a∥b B. 若a∥β，b∥β，则a∥b
C. 若a∥β，a∥γ，则β∥γ D. 若a⊥β，a⊥γ，则β∥γ
【解析】选项A，直线a与直线b还可能相交或异面，A项错误；选项B，直线a 与直线b还可能相交或异面，B项错误；选项C，平面β与平面γ还可能相交，C项 错误；选项D正确.
D
A. BD⊥平面ACC1 B. AB⊥B1C
C. BD∥平面AB1C1 D. AC1与平面ABCD所成的角是45°
第7题图
C
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第8题图
【解析】连接A1C1，则A1C1⊥B1D1，而CC1⊥平面A1B1C1D1，则 CC1⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可知B1D1⊥平面A1CC1，故B1D1⊥A1C， 即直线A1C与B1D1所成的角是90°.
D
A. 若m∥α，则m⊥β
B. 若α∩β＝m，n∥m，则n∥α，n∥β
C. 若m⊥α，n∥β，则m⊥n
D. 若m⊥α，n⊥β，则m⊥n
【解析】选项A中，直线m可能与平面β相交，可能平行于平面β，可能在平面β 内，A项错误；选项B中，直线n还可以在平面α或平面β内，B项错误；选项C 中，m与n可能相交，可能异面，可能平行，C项错误.
D
A. VO⊥平面ABC
B. AB⊥VC
C. BC∥ VA
D. ∠VDC是二面角V－AB－C的平面角
第10题图
C
【解析】由正棱锥的定义可知，VO⊥平面ABC，由VD⊥AB，CD⊥AB，得 ∠VDC是二面角V－AB－C的一个平面角，且AB⊥平面VDC，则 AB⊥VC，而BC与VA是异面直线，故VA与BC不平行.
第11题图
①PA⊥BD　②BC∥平面PAD　③BD⊥平面PAC　④平面PBD⊥平面PAC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
【解析】因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，①正确； 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，因为BC 平面PAD，AD 平面 PAD，所以BC∥平面PAD，故②正确.因为四边形ABCD为正方形，所以 BD⊥AC，又因为BD⊥PA，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面 PAC，所以BD⊥平面PAC，③正确；因为BD 平面PBD，BD⊥平面PAC， 所以平面PBD⊥平面PAC，故④正确.综上所述，正确的结论有4个.
A. 若l∥α，l∥β，则α∥β B. 若l∥α，m α，则l∥m
C. 若l⊥α，m∥α，则l⊥m D. 若α⊥β，l⊥α，则l∥β
【解析】若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交；若l∥α，m α，则l与m平行或 异面；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l β.
C
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DB
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB1
第13题图
D
【解析】如图所示，连接A1D，B1D，由正方体的性质可知，A1B1⊥BC1，A1D⊥BC1，又因为A1B1∩A1D＝A1，A1B1 平面A1DB1，A1D 平面A1DB1，所以BC1⊥平面A1DB1；其余均不成立.
A. 若m⊥β，α⊥β ，则m∥α
B. 若α⊥β且α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
C. 若m∥α，n∥α，则m∥n
D. 若m α，m⊥β，则α⊥β
【解析】若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m α，A错误；若α⊥β且α∩β＝m， n⊥m，则n∥β或n β或n与β相交，B错误；若m∥α，n∥α，则直线m与n 平行、相交或异面，C错误；平面α过平面β的一条垂线m，则α⊥β，D正确.
D
二、填空题
15. 下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直 于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两个平面平行.
其中正确的有 .（填序号）
【解析】①正确，由线面垂直的性质定理可知；②正确，由线面垂直的定义可 知；③错误，垂直于同一直线的两条直线还可能异面或相交；④错误，垂直于同 一平面的两个平面可能平行，还可能相交.
①②
16. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，若α∩β＝l，α⊥β， m α，则“m⊥l”是“m⊥β”的 条件.（填“充要”“充分不必 要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
17. 已知两条不同的直线m，n和平面α，若n⊥α，m⊥α，则n与m的位置关系 是 .
充要
平行
18. 在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，M，N分别为棱PC，AB的中 点，则使得MN⊥AC成立的一个条件是 .
【解析】如图所示，取棱AC的中点G，连接MG，NG. 因为M，G分别为棱 PC，AC的中点，所以MG∥PA，因为PA⊥平面ABC，所以MG⊥平面 ABC，又因为AC 平面ABC，所以AC⊥MG. 因为N，G分别为棱AB，AC 的中点，所以NG∥BC，因为AC⊥BC，所以AC⊥NG，又因为MG∩NG＝ G，MG 平面MNG，NG 平面MNG，所以AC⊥
平面MNG，又因为MN 平面MNG，所以MN⊥AC.
AC⊥BC（答案不唯一）
19. 将正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则直线CD 与AB所成角的大小为 .
20. 已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，若l⊥α，m β，有下列 四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l⊥m，则α⊥β；④若l∥m， 则α⊥β.
其中正确命题的序号是 .
60°
①④
三、解答题
21. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝ 60°，AB∥CD，CB＝CD＝1，平面PBC⊥平面ABCD. 求证：AC⊥PB.
证明：因为四边形ABCD为等腰梯形，
所以AD＝BC＝CD＝1，
因为∠ABC＝60°，所以∠BAD＝60°，
所以∠BCD＝∠ADC＝120°，故∠ACD＝30°，
所以∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝90°，即AC⊥BC.
又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AC 平面ABCD，
所以AC⊥平面PBC，
又因为PB 平面PBC，所以AC⊥PB.
22. 如图所示，PA⊥平面ABC，且∠ABC＝90°，求证：BC⊥平面PAB.
解：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，
又∵PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OA1，OC1，A1C1，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AB＝AD，∴AC⊥BD，
∵AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴AA1⊥BD.
∵AA1 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，
且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，
∵OA1 平面AA1C1C，∴BD⊥OA1，
∴△A1OC1为直角三角形，即OA1⊥OC1，
∵OC1 平面C1BD，BD 平面C1BD，且OC1∩BD＝O，∴OA1⊥平面 C1BD，
∵OA1 平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面C1BD.
24. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、点F、点G分别是棱 A1D1、棱C1D1、棱DD1的中点，求证：
（1）BD1⊥平面EFG；
证明：（1）如图所示，连接AD1，BC1，A1D，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥AD1，
∵AB⊥平面AA1D1D，A1D 平面AA1D1D，
∴AB⊥A1D，
∵AD1 平面ABC1D1，AB 平面ABC1D1，
且AD1∩AB＝A，
∴A1D⊥平面ABC1D1，
∵E，G分别为棱A1D1，DD1的中点，∴EG∥A1D，∴EG⊥平面ABC1D1，
∵BD1 平面ABC1D1，∴EG⊥BD1，
同理可证FG⊥BD1，
∵EG 平面EFG，FG 平面EFG，且EG∩FG＝G，
∴BD1⊥平面EFG.
（2）平面EFG⊥平面BB1D1D.
证明：（2）∵BD1⊥平面EFG，BD1 平面BB1D1D，
∴平面EFG⊥平面BB1D1D.

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