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第8章　排列组合与概率初步及统计初步
8.2　统计初步
考点一　总体、样本
1. 总体与个体：在统计问题中，把所研究对象的全体叫作总体，总体中的每个对 象叫作个体.
2. 样本与样本容量：从总体中抽取的一部分个体所组成的集合叫作总体的样本， 样本中个体的数目叫作样本量，也叫作样本容量.
考点二　抽样方法
3. 简单随机抽样：一般地，设总体中的个体数为N. 从中逐个不放回地抽取n个 个体作为样本（n≤N），且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的概率相等， 这种抽样方法称为简单随机抽样.
简单随机抽样最常用的方法：抽签法（俗称抓阄法）.其基本步骤如下：
（1）编号：把总体中的N个个体从1至N逐一编号；
（2）做签：做编号为1至N的签；
（3）抽签：将做好的签放到容器中，晃动均匀后，从中不放回地逐个抽出n 个签；
（4）取样：按照抽取到的签上的号码取出对应的个体，得到一个容量为n的 样本.
5. 分层抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，可将总体按差异情况分成互不 重叠的几个部分（在统计上称为“层”），再从每一层内随机抽取一定数量的个 体组成样本，这种抽样方法叫作分层抽样.
其基本步骤如下：
（1）分层：将总体按照一定标准分层；
（2）计算：样本容量与总体个数的比值；
（3）确定各层应抽取的个体数：按（2）中的比值确定各层应该抽取的个体数；
（4）取样：在每一层抽样，所抽取的个体合在一起就是所需要的样本.
考点三　统计图表
6. 频率分布表：一般分成三列，即分组、频数和频率.
7. 频率分布直方图：频率分布直方图的横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频 率与组距的比值，各个矩形的面积等于相应各组的频率.
考点四　样本的均值和标准差
11. 样本方差（标准差）反映了样本的离散程度，因而可以用样本方差（标准 差）来估计总体的波动性.当样本的容量接近总体容量时，样本方差接近总体方 差（标准差）.
考向一　总体、样本
典型例题
例1　某职业中学计算机专业开设有动画设计和VR技术课程，现对该专业132名 学生进行问卷调查，了解学生对教师授课的满意程度，从中抽取10名学生的问卷 进行统计，下列说法正确的是（　　）.
A. 该专业132名学生是总体 B. 该专业10名学生是样本
C. 该专业每名学生的问卷是个体 D. 样本容量是132
【典例解析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念.样本是抽取的10名 学生的问卷，样本容量是10，总体是该专业132名学生的问卷，个体是该专业每 名学生的问卷.故选C.
【方法提炼】对于概念的准确理解和区分是解答此类问题的关键.特别注意回答 时一定要指明统计的对象.
变式训练1
A. 总体是580名学生 B. 个体是每名学生
C. 样本是60名学生 D. 样本容量是60
D
考向二　抽样方法
典型例题
例2　（2024届安徽省中职“江淮十校”第八次学情监测）某职业中学将350名高 三升学班的学生分别编号为1，2，…，350.现采用系统抽样的方法从中等距抽取 50名学生第一次联考的文化课成绩进行质量分析，若第2组抽取的学生编号为 12，则第6组抽取的学生编号为（　　）.
A. 31 B. 33 C. 36 D. 40
变式训练2
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
B
典型例题
例3　（2024年安徽省文化素质分类考试）某学校高一年级有210名学生，高二年 级有180名学生，高三年级有150名学生.为了解学生的身体状况，该学校采用分 层抽样的方法抽取n名学生进行体能测试.若从高二年级抽取了30名学生，则n＝ （　　）.
A. 55 B. 65 C. 90 D. 120
变式训练3
A. 10 B. 20 C. 24 D. 30
B
考向三　统计图表
典型例题
例4　（2022年安徽省文化素质分类考试）从一块小麦地里随机抽取100株小麦， 测量各株小麦的高度（单位：cm）.根据测量的数据得到频率分布直方图（如 图），则样本高度落在区间[15，20]上的频数为（　　）.
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
【典例解析】本题考查频率分布直方图.样本高度落在区间[15，20]上的频率为1 －（0.10＋0.06）×5＝0.2，所以其频数为0.2×100＝20.故选B.
【方法提炼】（1）在频率分布直方图中，某一组数据的频率在数值上等于对应 的矩形面积（底×高），而不是矩形在纵轴上对应的数据.这点许多学生易混 淆，要正确理解.
（2）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和等于1.
变式训练4
B
A. 40
B. 48
C. 52
D. 62
【解析】由题意可知月均用电量在区间[100，200）内的户数为（0.003 6＋
0.006 0）×50×100＝48.
考向四　样本的均值和标准差
典型例题
A. 身高数据比体重数据的离散程度大
B. 身高数据比体重数据的离散程度小
C. 身高数据和体重数据的离散程度一样大
D. 身高数据和体重数据的离散程度无法判断
例6　科研人员在试验地里引进两个新品种油菜，为研究油菜的长势，随机各抽 取10株，测得株高（单位：mm）如下表所示：
甲品种 69 61 63 66 64 64 64 67 68 64
乙品种 68 65 64 64 63 64 63 69 63 67
试判断哪个品种油菜更好些.
【典例解析】本题考查用样本均值、标准差估计总体.
即甲、乙两品种的均值相等.
即s甲＞s乙，所以乙品种更稳定，相对更好些.
【方法提炼】（1）样本均值反映了样本的平均水平，进而估计总体的平均水 平；样本方差和标准差反映了样本的波动性，进而估计总体的波动性大小.
变式训练5
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.5 8.7 8.7 8
方差 3.5 3.2 2.1 8.7
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【解析】参加射击比赛的最佳人选是选拔赛中平均成绩最高，且发挥最稳定的学 生，故学生丙符合要求.
C
A. 总体是8 500名学生的身高情况 B. 个体是每名学生的身高情况
C. 样本是100名学生的身高情况 D. 样本容量是100名
A. 240 B. 360 C. 540 D. 660
D
D
A. 38，32，30 B. 39，31，30
C. 37，32，30 D. 36，33，31
A. 3，13，23，33，43，53 B. 2，14，26，28，42，56
C. 5，8，31，36，48，54 D. 5，10，15，20，25，30
A
A
A. 81 B. 90 C. 99 D. 108
A. 1.6 B. 8 C. 40 D. 2.5
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
C
D
C
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
A. 第一次抽到的可能性最大
B. 第一次抽到的可能性最小
C. 前一次抽到的可能性比后一次抽到的可能性要小
D. 每一次抽到的可能性相等
B
D
C. s甲＞s乙 D. s甲＜s乙
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
C
C
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
A
A. 甲品种小麦苗长得高些，且长得整齐些
B. 甲品种小麦苗长得高些，但乙品种小麦苗长得整齐些
C. 乙品种小麦苗长得高些，且长得整齐些
D. 乙品种小麦苗长得高些，但甲品种小麦苗长得整齐些
D
A. 250 B. 200 C. 150 D. 75
C
二、填空题
15. 样本6，7，8，9，10的方差为 .
16. 为了了解600名学生对学校某项教学实验的意见，打算从中抽取一个容量为30 的样本，考虑采用系统抽样的方法，则分段间隔为 .
17. 某中职学校要调查高一年级学生的体重情况，已知该校高一年级有350名男 生，若用分层抽样的方法抽到50名男生和40名女生，则该校高一年级的 有 名学生.
18. 将1 000个个体编号为1，2，3，…，1 000，用系统抽样的方法，从中抽取容 量为50的样本，则编号落在[141，500]内的人数为 .
2.5
20
630
18
19. 已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的均值为4，标准差为0.1，则数据2x1 －1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的均值是 ，标准差是 .
7
0.2
20. 有一个频数分布表不小心被污损了一部分，如下表所示，但能看清样本中在 区间[25，55）内数据的频数，且在原稿纸上发现第一组数据的频率为0.16，则 被污损的区间[55，65）内数据的频数为 .
分组 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65）
频数 8 12 18
12
三、解答题
21. 某学校调查了200名学生“国庆节”期间在家的学习时间（单位：小时），制 成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[17.5，30]，样本数据 分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，根 据频率分布直方图，回答下列问题.
（1）学习时间不到20小时的有多少人？
解：（1）由频率分布直方图可知，学习时间不到20小时的频率为0.02×2.5＝ 0.05.
又因为样本有n＝200人，
所以学习时间不到20小时的有200×0.05＝10（人）.
（2）学习时间不少于22.5小时的有多少人？
解：（2）由频率分布直方图可知，学习时间不少于22.5小时的频率为（0.16＋0.08＋0.04）×2.5＝0.7.
又因为样本有n＝200人，
所以学习时间不少于22.5小时的有200×0.7＝140（人）.
22. 某足球队12名队员的年龄结构如下表所示，已知该足球队队员平均年龄 为21岁.
年龄 19 20 21 22 24
人数 2 m 2 n 1
求该足球队队员年龄数据的方差.
23. 某地统计局为了解当地居民的月收入情况，抽查了10000人，并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表 示收入在[1000，1500），试回答下列问题.
（1）求居民月收入在[3000，3500）的频率；
解：（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在[3000，3500）的频率为 0.0003×500＝0.15.
（2）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，要求按月收入再从这 10000人中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则月收入在[2500， 3000）的这段应抽多少人？
解：（2）由频率分布直方图可知，居民月
收入在[2500，3000）的频率为 0.0005×500＝0.25.
为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的
关系，要求按月收入再从这10000人中用分层
抽样的方法抽出100人做进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽的人数为0.000 5×500×100＝25（人）.
24. 某中职学校有2 800名学生，随机抽取50名学生调查他们最近一周的课外阅读 时间（单位：小时），频数见下表：
（1）求表中x的值，并将表格填写完整；
解：（1）因为各组的频数之和是50，
所以x＝50－4－12－10－6－2＝16.
各组的频率从上到下依次填0.08，0.24，
0.32，0.20，0.12，0.04，1.00.
分组 频数 频率
[0，2） 4
[2，4） 12
[4，6） x
[6，8） 10
[8，10） 6
[10，12） 2
合计 50
（2）画出频率分布直方图；
解：（2）频率分布直方图如图所示.
分组 频数 频率
[0，2） 4
[2，4） 12
[4，6） x
[6，8） 10
[8，10） 6
[10，12） 2
合计 50
（3）估计该中职学校最近一周课外阅读时间在[4，6）小时的学生有多少名；
分组 频数 频率
[0，2） 4
[2，4） 12
[4，6） x
[6，8） 10
[8，10） 6
[10，12） 2
合计 50
（4）从全校学生中随机抽取一名同学，该同学最近一周课外阅读时间不少于8小时的概率是多少？
解：（4）由（1）知，样本中学生最近一周课外阅读时间不少于8小时的频率为
0.12＋0.04＝0.16，
则从全校学生中随机抽取一名同学，该同学最近一周课外阅读时间不少于8小时的概率为0.16.

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