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第8章　排列组合与概率初步及统计初步
思维导图
命题解读
考情分析
1.计数原理.
（1）掌握分类计数原理；
（2）掌握分步计数原理.
2.概率.
（1）理解随机事件和概率的定义；
（2）理解频率与概率的关系；
（3）理解古典概型的定义，会求解古典概型的概率.
3.总体、样本与抽样方法.
（1）理解总体与样本的概念；
（2）掌握3种抽样方法.
4.用样本估计总体.
（1）掌握频率分布直方图的画法；
（2）掌握总体均值、标准差的概念，会用样本均值、标准差估计总体均值、标 准差.
命题方向 题型与题量
1.古典概型的概率计算.
2.样本、总体的判定.
3.抽样方法的选择.
4.频率分布直方图的填写.
5.样本均值和方差（标准差）的计算.
6.均值和方差（标准差）的意义. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为2题.
8.1　排列组合与概率初步
考点一　计数原理
1. 分类计数原理.
一般地，如果完成一件事有n类方式.第1类方式有k1种方法，第2类方式有k2种方 法，……，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有N＝k1＋k2＋… ＋kn（种）.
2. 分步计数原理.
一般地，如果完成一件事，可以分成n个步骤，完成第1个步骤有k1种方法，完成 第2个步骤有k2种方法，……，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤 都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N＝k1k2…kn（种）.
考点四　随机事件
7. 随机事件的相关概念.
（1）随机现象：在一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象叫作随机现象.
（2）随机试验：在相同条件下，对随机现象进行的观察试验叫作随机试验.
（3）随机事件：如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称 为随机事件，简称事件，常用英文大写字母A，B，C等表示.
（4）必然事件：在一定条件下，必然发生的事件叫作必然事件，Ω也称为 必然事件.
（5）不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件叫作不可能事件，用 表示.
（6）基本事件：事件中的每一个元素都称为基本事件.
考点七　概率的简单性质
13. 互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件.如果事 件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.
考向一　计数原理
典型例题
例1　某中职学校高一年级有7个班，高二年级有8个班，高三年级有9个班.为了 解该学校学生的视力情况，
（1）若该学校从三个年级中随机抽取一个班的学生进行视力检测，则 有 　　　　种不同的选法.
（2）若该学校从三个年级中各随机抽取一个班的学生进行视力检测，则 有 　　　　种不同的选法.
【典例解析】本题考查分类计数原理和分步计数原理.
（1）要完成“从三个年级中随机抽取一个班”这件事有三类方式：
第一类方式是从高一年级抽取一个班，有7种不同的取法；
第二类方式是从高二年级抽取一个班，有8种不同的取法；
第三类方式是从高三年级抽取一个班，有9种不同的取法.
其中任何一种取法都能独立完成这件事，
根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋8＋9＝24（种）.
（2）完成“从三个年级中各随机抽取一个班”这件事，分三步：
第一步是从高一年级抽取一个班，有7种不同的取法；
第二步是从高二年级抽取一个班，有8种不同的取法；
第三步是从高三年级抽取一个班，有9种不同的取法.
根据分步计数原理，不同的取法有N＝7×8×9＝504（种）.
【方法提炼】能否一步完成任务是区别两种计数原理的关键：若能一步完成任 务，则采用分类计数原理；若不能一步完成任务，则采用分步计数原理.
变式训练1
A. 30种 B. 40种 C. 70种 D. 1 200种
A. 20种 B. 30种 C. 50种 D. 600种
C
D
考向二　排列
典型例题
A. 6 B. 13 C. 6或13 D. 12
变式训练2
7
13
考点三　组合
典型例题
【典例解析】本题考查组合数公式.
变式训练3
2或3
考向四　随机事件
典型例题
例4　指出下列事件各是什么事件.
（1）一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃；
（2）从含有4件次品的100件新产品中任抽5件进行产品质量检测，结果全是 正品；
（4）体育课上，李林投篮五次，命中两次.
变式训练4
（1）抛出一枚质地均匀的硬币，出现正面或反面向上；
（2）某人驾车通过三个路口都遇到绿灯；
（3）从装有红、白、黑三种颜色小球的袋中任取一个小球，取出的球是蓝球；
（4）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数字，取出的数字是偶数.
A. （2）（4） B. （1）（2）（4）
C. （2）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）
【解析】（1）是必然事件，（2）是随机事件，（3）是不可能事件，（4）是随 机事件.
A
考向五　频率与概率
典型例题
例5　某篮球运动员在练习定点投篮时，训练成绩如下表所示：
投篮次数 20 30 40 50
投中次数 18 26 36 46
投中频率
（1）请计算表中的投中频率；（保留到小数点后第2位）
（2）求该篮球运动员投球一次，投中的概率.
投篮次数 20 30 40 50
投中次数 18 26 36 46
投中频率 0.90 0.87 0.90 0.92
【方法提炼】频率和概率是两个不同的概念，频率是多次试验中某事件发生的实 际次数与总次数的比值，是实际观测的结果，随试验次数的改变而变化；概率是 某事件发生的固有可能性大小，是理论定值，不随试验次数的改变而变化.
变式训练5
（2024年安徽省文化素质分类考试）意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究兔 子繁殖问题时，得到数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…
B
考向六　古典概型
典型例题
例6　（2023年安徽省文化素质分类考试）古代数学家常用小石子在沙滩上摆成 各种形状来研究数，如下图中的小石子个数1，4，9，16，…被称为“正方形 数”.
现从2，3，4，8，9，12，14中任取一个数，则取到“正方形数”的概率是 （　　）.
变式训练6
B
考向七　概率的简单性质
典型例题
例7　2022年，北京成功举办了冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个既举 办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.某同学想从冰球、冰壶、高山滑 雪、短道速滑四项运动中任意选出一项运动进行学习，则冰壶或冰球项目被选中 的概率是（　　）.
变式训练7
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【解析】由题意知此选手在一次射击中至少命中8环的概率P＝0.1＋0.2＋0.3＝ 0.6.
D
A. 随机事件 B. 不可能事件
C. 必然事件 D. 无法确定
A. 9 B. 12 C. 16 D. 20
A
D
D. 概率无法确定
B
B
A. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 16种
B
C
A. 2 000 B. 1 600 C. 1 200 D. 800
B
D
C
B
D
B
D
C
二、填空题
15. 抛掷两枚质地均匀的硬币，出现相同面向上的概率为 .
16. 若从长度分别为1 cm，2 cm，3 cm，4 cm的四条线段中任选出3条线段，则这 3条线段能组成三角形的概率为 .
17. 某职业中学共有4个大门，一学生从其中一门进，从其他一门出，共有 种走法.
18. 从1，2，3，4，5五个数字中任取两个数，则取出的两个数之和是偶数的概率 为 .

12

【解析】在羽毛球比赛中，“甲获胜”与“乙获胜”是两个互斥事件，因为无平 局情况，所以甲获胜或乙获胜是必然事件，概率为1，又甲获胜的概率为0.64， 则乙获胜的概率是1－0.64＝0.36.
19. 甲、乙两名羽毛球爱好者进行比赛（无平局情况），若甲获胜的概率为 0.64，则乙获胜的概率是 .
0.36
20. 某职业中学开展社会服务活动，旅游1班共有6名同学报名，其中4名男生、2 名女生，按活动规则，从报名的同学中随机抽取2名同学参加该活动，则至少有1 名女生被抽中的概率是 .

三、解答题
21. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六 艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、 数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲 座，现从中任选两门，求其中“礼”和“书”至少有一门被选中的概率.
22. 某中等职业学校组织党史知识竞赛，机电班有3名同学报名，旅游班有5名同 学报名.试回答下列问题.
（1）从这两个班报名的同学中任选1名同学参加竞赛，求恰好选中机电班同学的 概率；
（2）从这两个班报名的同学中任选两名同学参加竞赛，求恰好都选中机电班同 学的概率.
23. 现将一枚硬币连续抛掷三次，试求：
（1）三次正面向上的概率；
解：一枚硬币连续抛掷三次，样本空间Ω包含的样本点有（正、正、正）， （正、正、反），（正、反、正），（反、正、正），（正、反、反），（反、 正、反），（反、反、正），（反、反、反），其样本点总数n＝8.
（2）恰有两次正面向上的概率.
24. 抛掷两颗质地均匀的骰子，求事件M＝{向上一面的点数之差的绝对值是2} 的概率.

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