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第9章　平面向量
思维导图
命题解读
考情分析
1.了解平面向量、有向线段、相等向量、相反向量、零向量、单位向量和共线 向量的概念.
2.理解向量的加法、减法和数乘运算及其几何意义.
3.掌握向量的数量积概念、应用、运算律.
4.理解并掌握向量共线（平行）的条件及共线向量坐标表示.
5.掌握向量线性运算的坐标表示.
6.掌握向量数量积的坐标表示.
7.理解并掌握平面向量垂直的条件.
命题方向 题型与题量
1.判断关于向量的说法的正确性；求任意一个非零向量 的单位向量；判断两向量是否是共线向量.
2.向量的线性运算.
3.证明两向量共线；证明三点共线问题；根据共线向量 求参数.
4.平面向量加法、减法、数乘运算的坐标表示；根据相 等向量求参数.
5.用向量的模求向量数量积；用向量的模求向量的夹 角；用向量的坐标求向量的模；用向量的坐标求向量的 数量积；用向量的坐标求向量的夹角.
6.判断两向量是否垂直；根据向量垂直求参数. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为2题.
9.1　向量的概念及线性运算
（3）向量加法的性质：a＋0＝0＋a＝a，a＋（－a）＝0，a＋b＝b＋a， （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
（2）根据向量减法的定义，可以将减法转化为加法进行运算，也可以利用运算 律进行整理，将有公共起点的向量放在一起，应用减法的法则进行运算.
10. 向量的数乘运算.
（1）定义：实数λ与向量a的乘积仍是一个向量，记作λa.λa的模为｜λa｜＝
｜λ｜｜a｜.
（2）方向：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的 方向相反；当λ＝0时，因为λa＝0，所以其方向是任意的.
考向一　向量的概念
典型例题
例1　下列说法正确的是（　　）.
A. 零向量没有方向
B. 方向相同的两个向量是相等向量
C. 模相等的两个向量是相等向量
D. ｜a｜＝1，则a是单位向量
【典例解析】本题考查向量的相关概念.零向量的方向是任意的，并不是没 有方向；模相等且方向相同是向量相等的充要条件；单位向量是指模为1的 向量.故选D.
【方法提炼】正确掌握向量的有关概念的四个关键点：
（1）向量是既有大小又有方向的量；
（2）零向量的模为0，方向是任意的；
（3）单位向量仅仅强调了模，没有说明方向；
（4）共线向量（或平行向量）包含了方向相同或相反.零向量与任何一个向 量平行.
变式训练1
给出下列五个说法：
①相等向量的起点和终点一定相同； ②相反向量的模一定相等；
③0与任何向量都平行； ④若a∥b，b∥c，则a∥c；
⑤“a＝b”是“a∥b”的充分不必要条件.
A. ①②③ B. ②③⑤
C. ②④⑤ D. ①②⑤
【解析】相等向量的起点和终点不一定相同，①错误；若b是零向量，则a与c 不一定平行，④错误.
B
考向二　向量的加减运算
典型例题
变式训练2
C
考向三　向量的数乘运算
典型例题
【方法提炼】（1）在向量的有关表示中，尽可能用已知向量或与已知向量有关 的向量表示，从而将所求向量全部转化成用已知向量来表示；
（2）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分 利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把所求向量用已知向量表示 出来；
（3）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用.
变式训练3
A
C
A. 2a＋b B. 2a－b
C. b－2a D. 3b＋2a
A
2
考向四　向量共线定理及其应用
典型例题
例4　已知向量i，j分别为x轴、y轴上的单位向量，则下列选项中向量a，b共 线的是（　　）.
C. a＝6i－2j，b＝3i＋j
【方法提炼】判断两个向量共线的充要条件：当a≠0时，a∥b 存在实数λ， 使得b＝λa.
变式训练4
已知非零向量a与b不共线，若ka＋b与a－2b平行，求实数k的值.
A. 力 B. 速度 C. 路程 D. 位移
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
C
B
D
A. a－b＋c B. b－（a＋c）
C. a＋b＋c D. b－a＋c
第4题图
A
A. a－2b
B. －2a＋b
C. －2a－b
D. －a－2b
第5题图
B
A. ｜a｜≥｜b｜ B. a∥b
C. 向量a，b的方向相反 D. 向量a，b的方向相同
【解析】因为1＋k2≥1，所以｜a｜＝｜1＋k2｜｜b｜≥｜b｜，向量a∥b， 且向量a，b的方向相同，故A，B，D正确.
C
A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量
C. 相等向量 D. 相反向量
第7题图
B
D
A. 单位向量都相等
B. 模相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C. 若a，b满足｜a｜＞｜b｜且同向，则a＞b
D. 对于任意向量a，b，必有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜
【解析】单位向量强调模为1，没有说明方向，A项错误；共线向量包含相反向 量，B项错误；向量除了相等就是不等，不能进行大小比较，C项错误；根据向 量加法的三角形法则可知，D项正确.
D
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
D
B
A. －2a＋5b B. －2a－5b
C. a＋5b D. a－5b
A
B
8
②④⑤
1
－1

－b

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