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第7章　立体几何
7.5　空间中线线、线面、面面所成的角
考点一　异面直线所成的角
1. 异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点 的直线是异面直线.
2. 异面直线的画法（衬托平面法）.
如图1、图2所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个 平面来衬托.
3. 判断两条直线为异面直线的方法：
（1）异面直线判定定理；
（2）两条直线既不平行也不相交.
4. 异面直线所成角的定义.
已知空间中两条异面直线a，b，经过空间中任意一点O，作直线a1∥a， b1∥b，我们把相交直线a1与b1所成的锐角（或直角），叫作异面直线a，b所成 的角（如图所示）.
考点二　直线与平面所成的角
7. 平面的垂线：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面互相垂直.这条直线叫作这个平面的垂线，这个平面叫作这条直 线的垂面，直线与平面的交点叫作垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫作 这点到这个平面的垂线段.
如图所示，直线l叫作平面α的垂线，O点为垂足.直线l与平面α垂直记作l⊥α.
8. 平面的斜线：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条 直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上任意一点与斜足 之间的线段叫作斜线段.
如图所示，直线m叫作平面α的斜线，B点为斜足.
9. 射影：经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线，连接垂足与斜足的直线叫作 斜线在这个平面上的射影.
如图所示，直线m是平面α的斜线，点B为斜足，A∈m且AO⊥α，垂足为O， 则OB是斜线m在平面α内的射影.
考点三　二面角
12. 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为 半平面.
13. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.其中这条直 线叫作该二面角的棱，这两个半平面叫作该二面角的面.如图所示，两图中的二 面角可分别记作α－l－β和B－AC－D.
14. 二面角的平面角.
如图所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α与 β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的最小正角叫作这个二面 角的平面角.
二面角的大小可用它的平面角的大小度量，二面角的平面角是多少度，就说这个 二面角是多少度.
规定：当二面角的两个半平面重合时，二面角为零角；当二面角的两个半平面构 成一个面时，二面角为平角；当二面角的平面角为直角时，
称为直二面角.
15. 二面角的取值范围是[0，π].
考向一　异面直线所成的角
典型例题
例1　（1）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置 关系.
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 　　　　；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 　　　　；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 　　　　；
④直线AB与直线B1C的位置关系是 　　　　.
（2）（2023年安徽省文化素质分类考试）如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，下列直线中与BD所成的角为60°的是（　　）.
A. A1B1 B. A1C1 C. AA1 D. B1C
（3）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD的公垂线 是（　　）.
A. A1D B. BC C. AD D. CD
第（2）题图　　　　　　　第（3）题图
【典例解析】（1）本题考查直线与直线的位置关系.
①平行.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC，所以四边形 A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
②异面.直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
③相交.直线D1D与直线D1C相交于点D1.
④异面（垂直）.直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内，且AB⊥B1C.
（2）本题考查空间几何体中直线与直线所成的角.因为A1B1∥AB，所以直线 A1B1与直线BD所成的角即为∠ABD＝45°；因为A1C1∥AC，所以直线A1C1与 直线BD所成的角即为直线AC与直线BD所成的角，因为AC⊥BD，所以直线 A1C1与直线BD所成的角为90°；因为AA1∥BB1，所以直线AA1与直线BD所成 的角即为∠B1BD＝90°；连接A1D，A1B，因为A1D∥B1C，所以直线B1C与 直线BD所成的角即为∠A1DB，又因为△A1DB为等边三角形，故∠A1DB＝ 60°.故选D.
（3）本题考查异面直线的公垂线的定义.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因 为BC⊥平面ABB1A1，A1B 平面ABB1A1，所以BC⊥A1B，又因为BC⊥CD， BC∩A1B＝B，BC∩CD＝C，所以BC为异面直线A1B与CD的公垂线.故选B.
【方法提炼】（1）判定空间中两条直线是异面直线的方法：利用判定定理和反 证法.
（2）求两条异面直线所成的角的常用方法是平移法，平移法一般有三种类型：
①利用图中已有的平行线平移；
②利用特殊点（线段的中点或端点）作平行线平移；
③补形平移（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.
变式训练1
A. 2
D
A
考向二　直线与平面所成的角
典型例题
A. 2 C. 4
【方法提炼】求直线与平面所成的角，关键是找到直线在平面内的射影，直线与 射影的夹角即为直线与平面所成的角，然后利用直角三角形中三角函数的性质进 行求解.
变式训练2
B. 2
D
考向三　平面与平面所成的角
典型例题
例3　（1）下列说法错误的是（　　）.
A. 过一条直线的两个平面所成的角叫作二面角
B. 二面角的大小是根据它的平面角的大小来衡量的
C. 二面角的平面角的大小的范围是[0，π]
D. 二面角的平面角为90°时，两平面垂直
（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－BD－C的平面角的正切值为 　　　　.
【典例解析】（1）本题考查二面角的概念.从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫作二面角.其中这条直线叫作该二面角的棱，这两个半平面叫作该二面 角的面，所以选项A错误，其余选项均正确.故选A.
（2）本题考查二面角的平面角的正切值的求法.如图所示，连接AC，交BD于 点O，连接C1O.
【方法提炼】求二面角大小的方法.
（1）定义法：在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作与棱垂直的射 线，这两条射线所成的最小正角就是所求二面角的平面角；
（2）垂面法：作垂直于二面角的棱的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面的 交线所成的最小正角就是所求二面角的一个平面角；
（3）垂线法：这种方法是过已知或经过二面角的一个平面内的一点作出另 一个平面的垂线，过垂足作二面角棱的垂线，利用线面垂直可找到所求二面 角的平面角.
变式训练3
D
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】由二面角的平面角的定义可知，二面角的平面角的大小与平面角的顶点 在棱上的位置无关，一个二面角的平面角有无数个，但都相等.
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第2题图
A
B. 2
第3题图
B
第4题图
D
第5题图
C
第6题图
A
B. 2 C. 1
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
D
A
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第9题图
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第10题图
A
第11题图
B
B. 2
第12题图
A
A. AC⊥平面BB1D1D
B. BD∥CD1
C. 二面角A－DD1－B的大小是45°
D. 异面直线BD与CD1所成的角的大小是60°
第13题图
B
【解析】由正方体的性质，知AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD 平面BB1D1D， BB1 平面BB1D1D，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，A项正确；因 为BD∥B1D1，B1D1∩CD1＝D1，所以直线BD与直线CD1是异面直线.连接 B1C，则△B1CD1为等边三角形，所以异面直线BD与CD1所成的角的大小是 60°，B项错误，D项正确；由正方体的性质，易知二面角A－DD1－B的一个 平面角为∠ADB，而∠ADB＝45°，所以二面角A－DD1－B的大小是45°， C项正确.
A
二、填空题
第15题图
第16题图
17. 已知直线l平行于平面α，过直线l的一个平面与平面α所成的角为60°，直线 l到平面α的距离为3，则直线l到两平面交线的距离为 .
45°
三、解答题
22. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱A1B1的中点，求异面 直线AM与CB1所成的角的余弦值.
解：如图所示，取AB的中点N，连接NC，NB1.
因为M为A1B1的中点，所以MB1＝AN且MB1∥AN，则四边形MANB1为平行四边形，所以AM∥NB1，
故∠NB1C即为异面直线AM与CB1所成的角.
23. 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1底面边长为2，高为3，求二面角A－BC －A1的大小.
∵A1A⊥平面ABC，AD 平面ABC，∴A1A⊥AD，
即二面角A－BC－A1的大小为60°.
24. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是线段AD1上的 一个动点，当直线BE与平面ABCD所成的角为30°时，求点E到平面ABCD的 距离.
解：如图所示，过点E作AD的垂线，垂足为F，连接BF，
因为EF⊥AD，所以EF∥AA1，故EF⊥平面ABCD，
所以BF为直线BE在平面ABCD内的射影，所以直线BE
与平面ABCD所成的角为∠EBF，
点E到平面ABCD的距离为线段EF的长，
设EF＝h，在Rt△AEF中，
AF＝EF＝h，

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