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第9章　平面向量
9.2　向量的数量积
考点　向量的数量积
1. 向量a与b的夹角，记作＜a，b＞，其取值范围是[0，π].
2. 对于两个非零向量a，b，它们的模与它们的夹角的余弦值之积称为向量a与 b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞.
3. 向量a与b的数量积a·b也称为a与b的点积.a·a也写作a2.
4. 规定：零向量与任一向量的数量积是0，即0·a＝0.
注意：数量积是一个实数，不再是一个向量.
考向一　向量数量积的运算
典型例题
例1　已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，＜a，b＞＝120°，则a·b＝（　　）.
A. 5 B. －5 C. 10 D. －10
【方法提炼】a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞.
变式训练1
A. 27 B. 24 C. 18
A. 4 B. －4
A
B
考向二　向量的夹角与向量的模
典型例题
例2　（1）（2022年安徽省文化素质分类考试）若向量a，b均为单位向量，且 它们的夹角为60°，则｜a＋2b｜＝（　　）.
（2）（2019年安徽省文化素质分类考试）已知两个非零向量a和b满足a·b＝ 0，则a与b的夹角为（　　）.
A. 180° B. 90° C. 45° D. 0°
（3）（2023年安徽省文化素质分类考试）已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·（a ＋b）＝0，则向量a与b的夹角为（　　）.
变式训练2
A. 45° B. 90° C. 135° D. 180°
D
考向三　向量数量积的应用
典型例题
例3　已知｜b｜＝4，a·b＝－2，若存在实数m使得（ma－b）⊥b，则实数 m＝（　　）.
A. 2 B. －2 C. 8 D. －8
【典例解析】本题考查向量数量积的运算律及应用.因为（ma－b）⊥b，所以 （ma－b）·b＝0，即ma·b－｜b｜2＝0.又因为｜b｜＝4，a·b＝－2，所以 －2m－16＝0，解得m＝－8.故选D.
【方法提炼】对于非零向量a，b，有以下结论：（1）a·b＝0 a⊥b；
（2）a·a＝｜a｜2；（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c，（λa）·b＝λ（a·b）.
变式训练3
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
B
A. 10 C. 3
B
A. 0 B. －6 C. 6 D. 5
A. 1 B. 2 C. 3
C
D
D. 3
D
B
B. 2 D. 5
C
A. 8 B. 4 C. ±8 D. ±4
【解析】因为｜a｜＝2，｜b｜＝4，a∥b，所以＜a，b＞＝0或π，因此a·b ＝2×4× cos 0＝8或a·b＝2×4× cos π＝－8.
A. 40 B. 32 C. 24 D. 16
C
C
A. 2 D. 4
A. －1 B. 1
B
A
A
A. 10 B. 5 D. 2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
D
B
A. 4 B. 8
D
A
9
180
17. 已知｜a｜＝2，a⊥b，则（3a－2b）·a＝ .
【解析】因为｜a｜＝2，a⊥b，所以a·b＝0，故（3a－2b）·a＝3｜a｜2－ 2a·b＝3×22＝12.
12


锐
22. 已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，设a＝e1＋te2.求：
（1）e1·e2；
（2）｜a｜的最小值.
23. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝4，＜a，b＞＝120°.求：
（1）a·b；
解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝1×4× cos 120°＝－2.
（2）｜a＋b｜.
24. 已知a⊥b，｜a｜＝3，｜b｜＝2，求（2a－b）·（a＋b）.
解：由a⊥b，得＜a，b＞＝90°.
（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝2×32＋ 3×2× cos 90°－22＝14.

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