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第10章　复数
10.3　实系数一元二次方程的解法
考向一　实系数一元二次方程的解法
典型例题
例1　在复数集中解方程2x2－4x＋5＝0.
【典例解析】本题考查利用公式法求实系数一元二次方程的根.
由已知可得a＝2，b＝－4，c＝5，所以Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×2×5＝－ 24＜0，
【方法提炼】对于实系数一元二次方程，可以直接运用公式法来求解，当Δ＜0 时，方程有两个互为共轭复数的虚根.
变式训练1
在复数集中解方程.
（1）x2＋9＝0；
解：（1）由x2＋9＝0，得x2＝－9，解得x1＝3i，x2＝－3i.
（2）x2＋x＋2＝0.
考向二　实系数一元二次方程中根与系数的关系
典型例题
例2　已知实系数一元二次方程x2－px＋k＝0有一个根为2＋3i，求实数p与k 的值.
【典例解析】本题考查实系数一元二次方程中根与系数的关系.
由题意可知，该实系数一元二次方程的另外一个根为2－3i，
变式训练2
已知3－4i是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根，求另一个根和实数 b，c的值.
解：由题意，可得方程的另一个根是3＋4i.
由根与系数的关系，可得x1＋x2＝－b，x1x2＝c，
即b＝－（x1＋x2）＝－[（3－4i）＋（3＋4i）]＝－6，c＝x1x2＝（3－4i）（3 ＋4i）＝25.
D.
C. ±7i D. ±7
C
A
A
A. 2－i B. －4 C. 2 D. 4
A. 25 B. 5 D. 41
C. 2 D. 4
A. －2 B. －1 C. 2 D. 1
B
C
B
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. ac＜0 B. b＝0 C. bc＝0 D. ac＞0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
A
A
二、填空题
11. 在复数集中，x2＋4＝0的根是 .
12. 在复数集中，方程x4－81＝0的解为 .
13. 若实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个虚根为1－2i，则另一个虚根 为 ，m＝ .
14. 在复数集中，若x1，x2为实系数一元二次方程x2－x＋7＝0的两个根，则｜x1 －x2｜2＝ .
±2i
±3，±3i
1＋2i
5
27
三、解答题
15. 在复数集中，解方程x2＋4x＋12＝0.
16. 若关于x的实系数一元二次方程x2－2kx－3k＝0有虚根，求实数k的取值 范围.
解：由题意，可得Δ＝b2－4ac＜0，
又a＝1，b＝－2k，c＝－3k，
所以b2－4ac＝（－2k）2－4×1×（－3k）＜0，
整理得4k2＋12k＜0，k2＋3k＜0，即k（k＋3）＜0，解得－3＜k＜0，
故实数k的取值范围是（－3，0）.
17. 已知3i－2是关于x的实系数一元二次方程2x2＋px＋q＝0的一个虚根，求实 数p，q的值.

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