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第11章　数列
思维导图
命题解读
考情分析
1.数列的概念：了解数列及有关概念；理解数列的通项公式.
2.等差数列：了解等差数列的概念、等差中项；了解等差数列前n项和公式的 推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式.
3.等比数列：了解等比数列的概念、等比中项；了解等比数列前n项和公式的 推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式.
4.数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简 单实际问题的方法.
命题方向 题型与题量
1.数列的概念及表示.
2.利用数列前几项写出数列的通项公式.
3.利用数列的通项公式求数列的项.
4.等差数列、等比数列的通项公式.
5.等差中项、等比中项.
6.等差数列、等比数列的前n项和公式.
7.等差数列、等比数列的实际应用. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为2题.
11.1　数列的概念
考点一　数列的概念和分类
1. 数列的概念：按照一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数称为这 个数列的项.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.其中，a1 称为数列的首项，an称为数列的第n项，n称为项数.
2. 数列的分类：项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列， 所有项均为同一个数的数列称为常数列.
考点二　数列的通项公式
3. 数列的通项公式：一般地，当一个数列的第n项an与项数n之间的关系可以用 一个式子来表示时，这个式子就称为这个数列的通项公式.
注：一个数列的通项公式可能有多个.
考向一　由数列的通项公式求数列的第n项
典型例题
【典例解析】本题考查根据数列的通项公式写出数列的第n项.
【方法提炼】已知数列的通项公式，求数列的前几项，只要依次代入n的值，即 可求解.
变式训练1
典型例题
例2　已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n.判断63是不是该数列的项，若 是，它是数列的第几项？
【典例解析】本题考查根据数列的通项公式，判断某数值是否为数列中的项.
设63是数列{an}的第n项，由n2＋2n＝63，得n＝7或n＝－9（舍去），所以63 是该数列的第7项.
【方法提炼】判断一个数是否为已知数列中的项时，把这个数代入，解关于n的 方程即可，注意解出的n必须是正整数.
变式训练2
已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋3.判断75是不是该数列的项，若是，它是 数列的第几项？
解：设75是数列{an}的第n项，
由75＝2n2＋3，得n＝6或n＝－6（舍去），
所以75是该数列的第6项.
考向二　由数列的前几项求数列的通项公式
典型例题
例3　观察下列数列规律，并写出数列的一个通项公式.
（1）1，3，5，7，9，…
（2）－1，1，－1，1，－1，…
（4）9，99，999，9 999，…
【典例解析】本题考查根据数列的前几项，求数列通项公式.
（1）观察数列规律可发现，各项均比对应项数的2倍小1，故所求数列的一个通 项公式为an＝2n－1.
（2）（方法1）观察数列规律可发现，奇数项均为－1，偶数项均为1，可以联想 到－1的整数指数幂的规律，故所求数列的一个通项公式为an＝（－1）n.
（方法2）观察数列规律可发现，奇数项均为－1，偶数项均为1，可以联想到三 角函数中函数值的变化规律，故所求数列的一个通项公式可利用余弦函数表示为 an＝ cos （nπ）.
【方法提炼】根据所给数列求通项公式时，需仔细观察所给数列部分的项，寻找 项与项数之间的关联.可通过以下几个方面提炼项的变化特征：观察相邻项之间 的变化规律；正负数的变化规律；将分式或多项式进行拆分，分别归纳.多角度 观察、分析、联想、总结.
变式训练3
写出下列数列的一个通项公式.
（1）2，－4，6，－8，…
解：（1）观察数列规律可发现，奇数项均为正数，偶数项均为负数，各项绝对 值是对应项数的2倍，故所求数列的一个通项公式为an＝（－1）n＋1·2n.
（2）0，1，0，－1，0，1，0，－1，…
（4）1，11，111，1 111，…
考向三　利用递推公式求数列的某项
典型例题
例4　在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝－2an＋1，则a4＝（　　）.
A. －9 B. 9 C. －19 D. 19
【典例解析】本题考查数列的递推公式.根据题意可得a2＝－2a1＋1＝－2×（－ 2）＋1＝5，a3＝－2a2＋1＝－2×5＋1＝－9，a4＝－2a3＋1＝－2×（－9）＋1 ＝19.故选D.
【方法提炼】根据数列的递推公式求数列的某项，必须从求前面的项开始，即要 求第n项，应先求第n－1项，要求第n－1项，需先求第n－2项，依次类推.
变式训练4
A
考向四　数列中的最值
典型例题
例5　设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是（　　）.
C. 4 D. 0
【方法提炼】利用二次函数的最值，求数列最大项、最小项的项数和值.
变式训练5
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】令n2－4n－12＞0，得n＜－2或n＞6，又因为在数列{an}中， n∈N*，所以数列从第7项起为正数.
C
一、选择题
A. an＝n B. an＝n＋1
C. an＝n＋2 D. an＝2n
A. 1，0，1，0 B. 0，1，0，1
D. 2，0，2，0
B
A
A. 14 B. 36 C. 49 D. 64
【解析】通过观察可知，该数列的一个通项公式为an＝n2，所以第7项a7＝72＝ 49.
A. 64 B. －64 C. 128 D. 0
【解析】由题意可知a6＝26 cos 3π＝－64.
C
B
A. 1 D. 3
A. 3 B. －3
D
A
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】由题意可知a5＝－3×5＋m＝－12，解得m＝3.
A. 3 B. 7 C. 15 D. 31
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】设15是数列{an}的第n项，可得n2＋2n＝15，即n2＋2n－15＝0，解 得n＝3或n＝－5（舍去）.
A
D
A
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
【解析】由题意可知，a2＝22＝4，a3＝3＋1＝4，所以a2·a3＝4×4＝16.
C
D
A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项
【解析】由an＝－n2－2n＋24≥0得n2＋2n－24≤0，解得－6≤n≤4.因为 n∈N*，所以n＝1，2，3，4，即共有4项为非负数.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
B
A
二、填空题
15. 数列{n（n＋1）}的第 项为30.
【解析】由题意可知，a6＝（6－1）2＝25.
5
25
18. 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＋an＝16，则a5＝ .
【解析】由题意可知an＋1＝16－an，a2＝16－a1＝16－（－1）＝17，a3＝16－ a2＝16－17＝－1，a4＝16－a3＝16－（－1）＝17，a5＝16－a4＝16－17＝－1.
19. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中，x的值最可能是 .
【解析】通过观察可知，该数列从第3项起，每一项等于它前2项的和，所以x＝ 8＋13＝21.
【解析】由题意可得an＝n2－11n＋18＝－12，则n2－11n＋30＝0，解得n＝5 或n＝6，即－12是该数列的第5项和第6项.
－1
21
5和
6
三、解答题
21. 根据通项公式，写出下列数列{an}的前4项.
（2）an＝（－1）n·n2.
解：（2）在通项公式中依次取n＝1，2，3，4，得到数列的前4项，分别为a1＝ －1，a2＝4，a3＝－9，a4＝16.
22. 已知数列{an} 中，a1＝5，a3＝9，an＝pn＋q（p，q为常数），求a8.
23. 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋8n＋7，判断－17是否为数列{an}的 项.若是，它是数列的第几项？
解：设－17是数列{an}的第n项，即－2n2＋8n＋7＝－17，整理得n2－4n－ 12＝0，解得n＝6或n＝－2（舍去）.所以－17是数列{an}的项，且为数列 的第6项.
24. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋3n，写出数列{an}的前4项.
解：因为a1＝2，an＋1＝an＋3n，所以a2＝a1＋3×1＝2＋3＝5，a3＝a2＋3×2 ＝5＋6＝11，a4＝a3＋3×3＝11＋9＝20.

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