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第10章　复数
思维导图
命题解读
考情分析 命题方向 题型与题量
1.复数的概念和意义.
（1）理解复数的概念；
（2）了解复数的几何意义.
2.复数的运算.
（1）理解复数的加法与减法的几何意义；
（2）掌握复数的加法、减法和乘法运算.
3.实系数一元二次方程的解法.
（1）了解复数的应用；
（2）掌握实系数一元二次方程的解法. 1.复数的概念.
2.复数的几何意 义.
3.复数的运算： 加法、减法、乘 法运算.
4.复数的模.
5.复数的应用： 解实系数一元二 次方程. 【考查题型】
—
【考查题量】
—
10.1　复数的概念和意义
考点一　复数的概念
1. 虚数单位i：它的平方等于－1，即i2＝－1.
2. 复数的定义与表示：
（1）定义：形如z＝a＋bi（a，b∈R）的数称为复数，a称为复数的实部，b 称为复数的虚部.
（2）表示：复数通常用小写英文字母z，w等表示，如z＝a＋bi（a，b∈R），
全体复数构成的集合称为复数集，用C表示，即C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}.
3. 复数的分类.
对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），
（1）当b＝0时，复数z＝a＋bi（a，b∈R）表示实数a；
（2）当b≠0时，复数z＝a＋bi（a，b∈R）称为虚数，全体虚数构成的集合 称为虚数集；
（3）当a＝0且b≠0时，复数z＝bi称为纯虚数，全体纯虚数构成的集合称为纯 虚数集.
考点二　复数相等
4. 如果两个复数的实部和虚部分别相等，就称这两个复数相等.即如果a，b， c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b ＝0.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是 实数时才能比较大小.
考向一　复数的概念
典型例题
例1　判断下列说法是否正确.
（1）如果a，b∈R，则a＋bi是虚数；
（2）如果b∈R，则bi是纯虚数；
（3）z＝a（a∈R）不是虚数；
（4）z＝a＋bi（a，b∈N*）是虚数.
【典例解析】本题考查复数的概念和分类.
（1）对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），当b≠0时，复数z＝a＋bi（a， b∈R）称为虚数，
所以（1）错误.
（2）当b≠0时，z＝bi称为纯虚数，所以（2）错误.
（3）对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），当b＝0时，复数z＝a＋bi（a， b∈R）表示实数a，
所以（3）正确.
（4）根据虚数的定义，z＝a＋bi（a，b∈N*）是虚数，所以（4）正确.
【方法提炼】要想正确判断所给复数是实数还是虚数，要抓住定义.
变式训练1
已知复数z＝m＋1＋（m－1）i，试回答下列问题.
（1）实数m为何值时，z为实数？
解：（1）当m－1＝0即m＝1时，z＝m＋1＋（m－1）i是实数.
（2）实数m为何值时，z为虚数？
解：（2）当m－1≠0即m≠1时，z＝m＋1＋（m－1）i是虚数.
（3）实数m为何值时，z为纯虚数？
解：（3）当m＋1＝0，m－1≠0即m＝－1时，z＝m＋1＋（m－1）i是纯虚 数.
考向二　复数相等
典型例题
例2　已知a，b∈R，a＋1＋（2b－1）i＝－3＋4i，求实数a，b的值.
【典例解析】本题考查复数相等.
【方法提炼】两个复数相等就是指实部和虚部分别相等，可列出方程组求解.
变式训练2
如果x，y∈R，且（2x＋5y）＋（9y＋1）i＝2＋i，求实数x，y的值.
考向三　复数的几何意义
典型例题
例3　若x，y∈R，复数（2x－3）＋（3y＋6）i在复平面内对应的点在第二象 限，求x，y的取值范围.
【典例解析】本题考查复数的几何意义.
【方法提炼】复数z＝a＋bi与有序实数对（a，b）之间是一一对应的，可以根 据已知条件确定出实部和虚部的取值范围，从而列出不等式（组）求解.
变式训练3
A. －4 B. 0 C. 2 D. 4
B
考向四　复数的模
典型例题
变式训练4
若复数z＝3＋2i，则｜z｜＝ .

考向五　共轭复数
典型例题
变式训练5
若a∈R，复数z＝2a＋1＋（a2－2a－8）i的共轭复数是它本身，求复数z.
解：由题意得a2－2a－8＝0，即（a＋2）（a－4）＝0，解得a＝－2或a＝4，
所以由z＝2a＋1，可得z＝－3或z＝9.
A. 2 D. 0
A. 4 B. 1或－4 C. 0或4 D. －1或4
C
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. i B. －i C. 1 D. －1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
D
A
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A. 3i＋4 B. －3i＋4 C. －3i－4 D. －4＋3i
A. 1 C. 0 D. 2
A. 两个实数可以比较大小 B. 两个复数的模不可以比较大小
C. 两个虚数不可以比较大小 D. 一虚数和一实数不可以比较大小
D
C
B
B
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B. 若a＋bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C. 若b＝0，则a＋bi为实数
D. 纯虚数z的共轭复数是－z
A
A
B
－2－5i
－2＋5i
－1
三、解答题
15. 若m∈R，复数m2－5m＋6＋（m2－3m）i＝0，求实数m的值.
由①得（m－2）（m－3）＝0 m＝2或m＝3，
由②得m（m－3）＝0 m＝0或m＝3，
综上可得，m＝3.
16. 已知x，y∈R，i为虚数单位，若2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y） i，求满足条件的实数x，y的值.
17. 已知复数z＝m＋1＋（2m－1）i（m∈R），试回答下列问题.
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
解：（1）若z为纯虚数，则m＋1＝0且2m－1≠0，
所以m＝－1.
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围及｜z｜的最 小值.

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