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第9章　平面向量
9.3　向量的坐标表示
考点一　向量的坐标表示及相关概念
1. 向量的坐标表示：对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实 数（x，y）使得a＝xi＋yj（i，j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量）.有 序实数对（x，y）称为向量a的坐标，记作a＝（x，y）.
2. 用向量的起点、终点坐标表示向量的坐标.
3. 相等向量：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量相等.
考点二　向量线性运算的坐标表示
4. 在平面直角坐标系中，设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1 ＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）.
考点三　共线向量的充要条件
5. 向量a与向量b共线的充要条件：在平面直角坐标系中，设a＝（x1， y1），b＝（x2，y2），其中a≠0，则a∥b 存在实数λ，使得b＝λa x1y2－ x2y1＝0.
考点四　向量数量积的坐标表示及其性质
6. 如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），那么a与b的数量积a·b＝x1x2＋ y1y2.
9. a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
考向一　向量线性运算的坐标表示
典型例题
例1　（1）（2019年安徽省文化素质分类考试）若向量a＝（2，－4），b＝ （2，1），则a＋2b＝（　　）.
A. （4，－3） B. （4，0）
C. （6，－3） D. （6，－2）
（2）（2023届安徽省中职“江淮十校”第一次学情监测）若向量a＝（1， 1），b＝（－1，1），c＝（4，2），则c＝（　　）.
A. 3a＋b B. 3a－b
C. －a＋3b D. a＋3b
A. （－1，1） B. （1，－1）
C. （－1，－1） D. （1，1）
变式训练1
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
【解析】由b＝－a，得（－1，m）＝（－1，－2），因此m＝－2.
D
典型例题
变式训练2
A. （2，2） B. （1，1）
C. （2，4） D. （1，2）
B
（2）若平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为（2，0），（0， 2），（－1，3），则顶点D的坐标是 .
（1，1）
考向二　共线向量的坐标表示
典型例题
例3　（1）（2023年安徽省文化素质分类考试）已知向量a＝（1，2），b＝ （－2，m），若a∥b，则a＋b＝（　　）.
A. （－1，－2） B. （－1，2）
C. （－3，6） D. （3，－6）
（2）已知A（3，3），B（－1，1）和C（7，5）三点，求证：A，B，C三点 共线.
【方法提炼】（1）向量共线的充要条件：当a≠0时，a∥b x1y2－x2y1＝0；
（2）若共点向量共线，则这些点共线.
【典例解析】本题考查共线向量的坐标表示.
（1）∵a∥b，∴1×m－2×（－2）＝0，∴m＝－4，则a＋b＝（1，2）＋ （－2，－4）＝（－1，－2）.故选A.
变式训练3
C. 1 D. 2
B
考向三　向量数量积的坐标表示
典型例题
例4　已知在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，7），
（－5，3），则△ABC是（　　）.
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
变式训练4
A. －4 B. 4 C. 5 D. －5
【解析】∵a∥b，∴1×2＋m＝0，∴m＝－2，则a·b＝1×（－1）＋
（－2）×2＝－5.
D
典型例题
例5　已知向量a＝（m，－2），b＝（3，1），若（a－3b）·（2a＋b）＝
－4，则m＝（　　）.
B. －8
变式训练5
A
A. －1 B. 1 D. 2
C
考向四　向量的垂直问题
典型例题
例6　（2024年安徽省文化素质分类考试）已知向量a＝（1，m），b＝（2， 4）.若a⊥b，则m＝（　　）.
A. 2 B. －2
例7　已知向量a＝（2，m），b＝（1，－3），若（a＋b）⊥（2a－b）， 则实数m＝（　　）.
B. 0
变式训练6
D
A. （5，4） B. （2，6）
C. （3，－2） D. （－3，2）
A. －2 B. 3 C. －3 D. 2
A. 4 D. 5
D
C
D
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】a∥b 1×4－2m＝0 m＝2.
A. 7 B. 17 C. －7 D. －17
C
A
A. （－3，2） B. （1，8）
C. （－1，－8） D. （3，－2）
【解析】由a·b＞－4，得－x2＋3x＞－4，即x2－3x－4＜0，所以（x－4） （x＋1）＜0，解得－1＜x＜4，所以实数x的取值范围是（－1，4）.
A. （－1，4） B. （－∞，－1）∪（4，＋∞）
C. （－4，1） D. （－∞，－4）∪（1，＋∞）
B
A
A. －12 B. 12 C. －3 D. 3
【解析】因为a＝（－2，4），b＝（6，m），a⊥b，所以a·b＝0，即－12 ＋4m＝0，解得m＝3.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】由题知a＋b＝（4，5）＋（－2，－1）＝（2，4），2c＝（2m－2， 4）.因为a＋b＝2c，所以（2，4）＝（2m－2，4），故2m－2＝2，m＝2.
D
C
A. －2 B. 9 C. 2 D. －9
A. －1 B. 1 C. 4 D. －4
【解析】由a·b＝－｜a｜｜b｜，得a与b的方向相反，所以a∥b，故2×2＝ －4×（－x），则x＝1.
B
B
A. 4 C. 3 D. 2
A. 47 B. 41 C. 36 D. 32
【解析】因为a＝（3，－2），b＝（1，－1），所以3a－b＝（8，－5），a ＋b＝（4，－3），因此（3a－b）·（a＋b）＝8×4＋（－5）×（－3）＝32 ＋15＝47.
B
A
B. 0 C. π
【解析】由m＝（－2，1），n＝（4，－2），得n＝－2m，即向量m与n共 线且方向相反，故＜m，n＞＝π.
C
（－4，－1）
（1，－2）

（6，8）

【解析】∵a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），a∥b，∴ cos α sin β ＝ sin α cos β，∴ sin α cos β－ cos α sin β＝0，即 sin （α－β）＝0.又∵α，β均 是锐角，∴α－β＝0，即α＝β.
19. 已知α，β均是锐角，a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），若 a∥b，则α，β应满足的条件是 .
α＝β
20. 已知向量a＝（x，－2），b＝（－1，2），若a⊥b，则（a－b）·（a＋ b）＝ .
15
22. 已知｜a｜＝2，b＝（3，4），＜a，b＞＝60°.求：
（1）a·b；
（2）（2a－b）·b.
解：（2）（2a－b）·b＝2a·b－b2＝2a·b－｜b｜2＝2×5－52＝－15.
24. 已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），若（a－2b）∥（2a＋b），求 实数m的值.

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