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(共35张PPT)
第11章　数列
11.2　等差数列
考点一　等差数列的概念
1. 一般地，当一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个 常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用 字母d表示.
考点二　等差数列的通项公式
2. 等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d（a1是首项，n是项数，d是 公差）.
考点三　等差数列的性质
4. 在等差数列{an}中，如果m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），那么am＋ an＝ap＋aq；如果m＋n＝2p，那么am＋an＝2ap.
考点四　等差数列前n项和公式
考向一　等差数列的判定与证明
典型例题
例1　已知在数列{an}中，an＋1＝an＋3，且a2＝2，判断数列{an}是否是等差数 列，若是，求出数列的首项和公差.
【典例解析】本题考查等差数列的概念.
因为an＋1＝an＋3可转化为an＋1－an＝3，所以数列{an}是公差d＝3的等差数列.
首项a1＝a2－d＝2－3＝－1.
所以数列{an}是等差数列，其首项a1＝－1，公差d＝3.
【方法提炼】判断一个数列是否为等差数列，要结合等差数列的定义an＋1－an＝ d（d为常数）.
变式训练1
A. 3 B. －3
【解析】由等差数列定义及题意可得公差d＝an＋1－an＝3[1－（n＋1）]－3（1 －n）＝3－3n－3－3＋3n＝－3.
B
考向二　等差数列的通项公式
典型例题
例2　（2023年安徽省文化素质分类考试）在等差数列{an}中，若a2＝3，a5＝ 6，则a8＝（　　）.
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
【方法提炼】已知等差数列中任意两项的值求通项公式，一般方法是根据题意列 出方程组，解出首项a1和公差d，再写出通项公式.
变式训练2
A. 16 B. 15 C. 13 D. 10
C
考向三　等差数列前n项和公式
典型例题
例3　（2022年安徽省文化素质分类考试）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S2＝9，S4＝30，则a3＝（　　）.
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
变式训练3
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】因为Sn＝n2＋n，所以S1＝a1＝12＋1＝2，S2＝a1＋a2＝22＋2＝6，所 以2＋a2＝6，解得a2＝4.
C
典型例题
例4　（2025年安徽省文化素质分类考试）设{an}是公差为－2的等差数列，若a4 ＝1，则该数列的前5项和为（　　）.
A. －12 B. －5 C. 15 D. 17
【方法提炼】首先根据已知条件及通项公式求出a1和a5，然后代入等差数列的前 n项和公式求出数列的前5项和.解决此类题型需熟记等差数列的通项公式及前n 项和公式.
变式训练4
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
A. 85 B. 135 C. 95 D. 23
C
A. 7尺 B. 14尺 C. 16尺 D. 21尺
C
考向四　等差数列的性质
典型例题
例5　（2023届安徽省中职“江淮十校”第二次学情监测）已知等差数列{an}满 足a7＋a9＝32，a4＝2，则a12＝（　　）.
A. 15 B. 30 C. 32 D. 64
【典例解析】本题考查等差数列的性质.因为在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋ a12＝32，又a4＝2，所以a12＝32－2＝30.故选B.
【方法提炼】在等差数列中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am ＋an＝ap＋aq.
变式训练5
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
A. 600 B. 300 C. 150 D. 75
D
B
考向五　等差数列的综合应用
典型例题
例6　在等差数列{an}中，若a10＝24，且a25＝－21，当n为何值时，其前n项和 Sn取得最大值？最大值为多少？
【典例解析】 本题考查等差数列的综合应用.
【方法提炼】解决此类问题通常有两条思路：一是利用等差数列首项为正（或 负）、公差为负（或正）时，必然存在一个正整数n，使得an≥0，an＋1＜0（或 an≤0，an＋1＞0），此时所确定的正整数n，必使数列的前n项和最大（或最 小）；二是从前n项和公式入手，利用配方法并结合二次函数的性质求最值.
变式训练6
A. 8 B. 6 C. －6 D. －8
【解析】由an＋1－an＝－2，得数列{an}是公差为－2的等差数列.由S5＝S4，得 a5＝0，故a1＋4×（－2）＝0，所以a1＝8.
A
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
C
（4）已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－15，当n为何值时，其前n项和 Sn取得最小值？最小值为多少？
一、选择题
A. 2 B. 3 C. －2 D. －3
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
A. an＝3n－1 B. an＝2n＋1
C. an＝3n＋1 D. an＝2n＋3
A. 6 B. 9 C. 12 D. 14
C
B
A
D
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【解析】设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a（a －d）（a＋d）＝48，解得a＝4，d＝2或a＝4，d＝－2.又∵d＞0，∴d＝ 2，∴a1＝4－2＝2.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
B
A. 6 B. 10 C. 12 D. 14
A. 11 B. 9 C. 9或18 D. 18
A. Sn＝An2＋Bn＋C（C≠0） B. Sn＝An2＋Bn
C. Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0） D. Sn＝An2＋Bn（A≠0）
C
B
B
A. －14 B. －6 C. 9 D. 12
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
D
D
C. －6 D. 6
【解析】由题意可知a1＝S1＝3，S2＝0，a2＝S2－S1＝0－3＝－3，所以公差d ＝a2－a1＝－3－3＝－6.
A. 14 B. 20 C. 22 D. 30
【解析】根据等差数列性质可知S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2（S8 －S4）＝S4＋（S12－S8），即2×（16－6）＝6＋S12－16，得S12＝30.
C
D
B
二、填空题
15. 计算：1＋3＋5＋7＋…＋99＝ .
17. 已知等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋3n，则公差d＝ .
19. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，S4＝10，则S6＝ .
【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝a1＋a2，S4－S2＝a3＋a4，S6 －S4＝a5＋a6，所以2（S4－S2）＝2a3＋2a4＝a1＋a5＋a2＋a6＝S2＋（S6－ S4），故2×（10－4）＝4＋（S6－10），解得S6＝18.
2 500

－2
an
18
20. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＋a7＝21，则S9＝ .
【解析】根据等差数列的性质可知，a3＋a5＋a7＝3a5＝21，则a5＝7.同理可 得，S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝9a5＝63.
63
三、解答题
21. 在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前5项和S5.
22. 在等差数列{an}中，公差d＞0，a2和a8是方程x2＋2x－35＝0的两个实数 根，求该数列的通项公式.
解：因为公差d＞0，所以a8＞a2，
方程x2＋2x－35＝0的两个实数根分别为－7，5，
故a2＝－7，a8＝5.
则a8－a2＝6d＝12，解得d＝2，
所以首项a1＝a2－d＝－9，
故等差数列{an}的通项公式为an＝－9＋（n－1）×2，即an＝2n－11.
24. 已知数列{an}是首项为18，公差为整数的等差数列，且第5项为正数，第6项 为负数.
（1）求数列的公差；
（2）求数列前n项和的最大值；
（3）当前n项和Sn＞0时，求n的最大值.
解得0＜n＜10，且n∈N*，
则n的最大值为9.

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