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第11章　数列
11.3　等比数列
考点一　等比数列的概念
1. 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零 常数，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q 来表示.
考点二　等比数列的通项公式
2. 等比数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1（a1是首项，n是项数，q是公比， a1与q均不为0）.
考点三　等比数列的性质
3. 一般地，如果a，G，b构成等比数列，称G为a，b的等比中项，有G2＝ ab.
考点四　等比数列前n项和公式
考向一　等比数列的判定与证明
典型例题
A. 2n B. 2n－1 C. 2n－2 D. 2n－3
变式训练1
B
（2）已知数列{an}满足lg an＝3n＋5，求证：{an}是等比数列.
考向二　等比数列的通项公式
典型例题
例2　（2025年安徽省文化素质分类考试）设{an}是公比为q的等比数列.若a5＝ 27a2，则q＝（　　）.
A. 2 B. 3
【典例解析】本题考查等比数列的通项公式.根据等比数列的通项公式，得a5＝ a1q4＝a2q3，即q3＝27，解得q＝3.故选B.
例3　在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，求a8的值.
【典例解析】本题考查等比数列的通项公式.
设等比数列{an}的公比为q，
所以a8＝a1q7＝2×27＝256.
【方法提炼】（1）根据题意列出方程组，解出首项a1和公比q，再由an＝
a1·qn－1得解.
变式训练2
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
【解析】在等比数列{an}中，a5＝a2q3＝2×23＝16.
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【解析】由题意知，a1＋a1·q＝3，a1·q2－a1＝3，解得a1＝1，q＝2，∴a4＝ a1q3＝1×23＝8.
B
B
A. 2 B. －2 C. 4 D. 2或－2
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A
C
考向三　等比数列前n项和公式
典型例题
例4　设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，推导数列{an}的前n项 和公式.
【典例解析】本题考查等比数列的前n项和公式.
设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
例5　（2024年安徽省文化素质分类考试）在等比数列{an}中，a2＝3，公比q＝ 3.若此数列的前n项和Sn＝40，则n＝（　　）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【方法提炼】根据题意，先求出首项a1和公比q，再结合等比数列的前n项和公 式求解.
变式训练3
A. 22 B. 21 C. 20 D. 19
B
A. 31 B. 32 C. 63 D. 71
A
C. －3 D. 3
C
考向四　等比数列的性质
典型例题
例6　在等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3a9.
【典例解析】本题考查等比数列的性质.
∴a3a9＝a1q2·a1q8＝（a1q5）2＝1.
【方法提炼】在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则 am·an＝ap·aq.
变式训练4
A. 20 B. 12 C. －22 D. ±12
A. 5 B. －5 C. －10 D. 10
D
B
A. 3 C. ±3
D
考向五　等比数列的综合应用
典型例题
例8　中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半， 疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数 是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天行走的里数为 （　　）.
变式训练5
B. －1
A
A. 2 C. －2
B
A. 24里 B. 192里 C. 198里 D. 236里
B
（4）要制造大小不同的7个齿轮，令它们的直径成等比数列，已知最小与最大的 齿轮的直径分别是2 cm与128 cm，求其他5个齿轮的直径.
解：由题意可令a1＝2，a7＝128，公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式， 得128＝2·q6，解得q＝2或q＝－2（舍去），所以a2＝a1q＝4，a3＝a1q2＝8， a4＝a1q3＝16，a5＝a1q4＝32，a6＝a1q5＝64，
则其他5个齿轮的直径分别是4 cm，8 cm，16 cm，32 cm，64 cm.
一、选择题
B
A. 4 B. 2 C. 1
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
C
B
B. －5.5
D. 5.5或－5.5
A. 120 B. 210 C. 360 D. 363
C
A
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
A. 4或－4 B. 2 C. 2或－2 D. 4
B
B
A. {an}是递增的等比数列 B. {an}是递增数列，但不是等比数列
C. {an}是递减的等比数列 D. {an}是递减数列，但不是等比数列
B
A. 1
A. －4 B. 16 C. 4或－4 D. 4
C
C
A. 2 B. 3 C. 6 D. 192
B
A
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
【解析】由题意，可得a2＝3a1，a3＝9a1，则9a1－3a1＝6，得a1＝1，所以a3＝ 9，a4＝a3＋6＝15.
A. 9或－9 B. 81或－81 C. 9 D. 81
B
C
二、填空题
15. 在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝1，则数列{an}的前20项和S20 ＝ .
【解析】因为公比q＝1，所以数列{an}的各项均为4，故S20＝4×20＝80.
16. 一种专门占据计算机内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟 自我复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 分钟后，该计算 机病毒占据的内存约64 MB（1 MB＝210 KB）.
17. 在等比数列{an}中，a2 025a2 026a2 027＝512，则a2 026＝ .
80
45
8
18. 在等比数列{an}中，a1＝－2，an＝64，其前n项和Sn＝42，则项数n ＝ .
19. 在等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，则a5＋a6＝ .
【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝（a1＋a2）q2＝ 3q2＝12，∴q2＝4，∴a5＋a6＝（a3＋a4）q2＝12×4＝48.
6
48
20. 在数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋m，如果这个数列是等比数列，则实数m ＝ .
－1
三、解答题
21. 在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8.求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前6项和S6.
23. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝12.求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前n项和Sn.
24. 在数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝3an－2.求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前n项和Sn以及S6的值.

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