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华二紫竹2025-2026学年第二学期高三年级数学月考
2026.3
一、填空题
1.已知集合，，则______．
2.已知双曲线方程为：，则离心率为______．
3.已知，，其中为虚数单位，则______．
4.设是等差数列的前项和，已知，，则______．
5.的二项展开式中，的系数是______．（用数字作答）
6.设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则______．
7.假定某类生物的种群个体数量增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则______．
8.如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是______．
9.如图，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远2km，现要在曲线上选一处建一座码头，向、、三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/km，从到修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是______万元（精确到0.01）
10.过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足．若是的中点，且，则______．
11.已知向量，，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为______．
12.若正四面体的棱长为，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为______．
二、选择题．
13.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知2018－2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0．对于这7个数据，则（ ）
A.该组数据的极差是628.7 B.该组数据的中位数是594.9
C.该组数据的分位数是445.2 D.该组数据的平均数小于630
15.设函数，若在上有且只有2个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.已知集合且，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题
17.已知等比数列的公比，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围．
18.在三棱柱中，底面是正三角形，，．
（1）求证：；
（2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值．
19.人工智能广泛的运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；
方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．
请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
20.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左、右顶点．设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为．
（1）求双曲线的方程；
（2）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（3）求的取值范围．
21.已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”．
（1）设函数．求在上的最大“点”；
（2）命题：，在上不存在“点”。此命题是否为真命题，说明理由；
（3）设，且，。证明：在上的“点”个数不小于．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知向量，，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为函数在上有且只有一个零点，
所以，即在上有且只有一个实数根，
所以函数在上的图象与直线只有一个交点.
当时，，
如图，画出在上的图象，
由图知，若函数在区间上的图象与直线只有一个交点，
则，，故实数的取值范围是．
12.若正四面体的棱长为，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为______．
【答案】
【解析】因为正四面体的外接球为球，其楼长为，
所以该正四面体的高为，球的半径为，
由对称性，不妨令球上一点在面下方时取到最大，
所以，
所以，
则，
所以，则距离和的最大值为，
所以，所以外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为4．故答案为；4．
二、选择题
13.B 14.B 15.D 16.A
15.设函数，若在上有且只有2个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，当时，．
因为函数在上有且只有2个零点，
则，解得．
又对任意实数在上存在极值点，且的长度为，
而函数的最小正周期为，则，解得．
综上，的取值范围是．故选D.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）① ②方案二
20.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左、右顶点．设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为．
（1）求双曲线的方程；
（2）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（3）求的取值范围．
【答案】（1） （2）是定值，为 （3）
【解析】（1）由题意可设双曲线，则，解得所以双曲线的方程为．
（2）设，直线的方程为
由，消元得．
则，且
或由韦达定理可得，即
即与的比值为定值．
（3）设直线，
代入双曲线方程并整理得：
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，
由韦达定理得：，解得．
因为点在双曲线的右支上，所以，
解得，即，同理可得，
由（2）中结论可知，
得，所以，
故,
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，
故的取值范围为
21.已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”．
（1）设函数．求在上的最大“点”；
（2）命题：，在上不存在“点”。此命题是否为真命题，说明理由；
（3）设，且，。证明：在上的“点”个数不小于．
【答案】（1）最大＂点＂为 （2）假命题，理由见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）已知，对其求导，可得
令，即，解得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
根据＂点＂的定义，在上，
当时，，所以在上的最大＂点＂为.
（2）已知，对其求导，可得.
令，即，解得
设在上的解为，
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以存在，当时，，即在上存在＂点＂，所以该命题为假命题.
（3）已知，
则有：.
将以上个不等式相加，可得.因为，所以.
设在上的＂点＂为，，且.
对于任意，存在，当时，都有.
因为，而＂点＂的个数至少为1，且，
所以，即在上的＂点＂个数不小于.

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