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北京市第一七一中学2025-2026学年九年级下学期数学强基3试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
3.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（）
A. B. C. D.
4.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
5.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7.用三个不等式a＞b，ab＞0，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.已知边长为a的正方形，过点B的直线分别交的延长线于点D，E，设，，，，正方形的面积分别为，，．给出下面三个结论：
①；②；③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共9小题，共22分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
10.分解因式：ax2-4a＝ ．
11.能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ．
12.在平面直角坐标系xOy中，若点A（5，2）和B（m,-2）在反比例函数的图象上，则m的值为 .
13.如图，是的直径，点在上，若，则的度数为 °．
14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．
15.某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图.若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有 人.
16.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
17.校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
(1) 表中m的值为 ；
(2) 表中n 0.056（填“>”“=”或“<”）；
(3) 根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
计算：.
20.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
21.(本小题4分)
某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动.现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度.
22.(本小题7分)
如图，在正方形中，点，分别在，上，，连接，射线和线段的延长线交于点．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，，求线段的长．
23.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
(1) 求该函数的表达式及点的坐标；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围．
24.(本小题7分)
如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，，求半径的长．
25.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
(1) 求点的坐标；
(2) 求抛物线的对称轴；
(3) 若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
26.(本小题9分)
在中，，，点是线段上一个动点（不与点，重合），，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求的大小（用含的代数式表示）；
(3) 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”．
(1) 当时，
①在，，，中，的“伴随点”是______．
②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值；
(2) 已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】x≥3
10.【答案】a(x+2)(x-2)
11.【答案】（答案不唯一）
1（答案不唯一）

12.【答案】-5
13.【答案】
14.【答案】12
15.【答案】240
16.【答案】①②③
17.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
乙、丁、甲、丙

18.【答案】解：，
解①得；
解②得，
所以不等式组的解集为．

19.【答案】．
20.【答案】解：∵，
∴，
∴
，
∵，
∴原式．

21.【答案】解：设每本A书籍厚度为xcm,则每本B书籍的厚度为x cm,桌子高度为y cm,
由题意可得
解得
答：每本A书籍厚度为1cm.
22.【答案】【小题1】
证明：四边形是正方形，
，．
，
．即．
又，
四边形是平行四边形．
【小题2】
解：四边形是正方形，
，，．
，，
．
在中，
，，
．
．
．
在中，
，
．

23.【答案】【小题1】
解：∵函数的图象经过点和，
∴将点和代入中，
，解得：，
∴该函数的表达式为：，
∵与过点且平行于轴的直线交于点，
∴将代入中，得，
∴；
【小题2】
解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，
，
通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，，
当的函数值大于函数的值将代入中，，
∴的取值范围为：．

24.【答案】【小题1】
证明：为的切线，
．
．
为的直径，
．
．
，
．
．
又，
．
．
【小题2】
连接．
为的切线，
．
，．
，
．
．
．
设，则．
在中，
，，
．
为直径，
．
，，
．
．
在中，
，
．
，
．
解得．
．
半径的长为．

25.【答案】【小题1】
解：∵直线与轴、轴交于、．
∴（，0），（0，4）
∴（5，4）
【小题2】
解：抛物线过（，）
∴．
∴
∴对称轴为．
【小题3】
解：①当抛物线过点时．
，解得．
②当抛物线过点时．
，解得．
③当抛物线顶点在上时．
此时顶点为（1，4）
∴，解得．
∴综上所述或或．

26.【答案】【小题1】
补全图形如下：
【小题2】
解：，，
．
．
，
．
【小题3】
解：用等式表示线段，，之间的数量关系是．
证明：过点作，交于点，交的延长线于点．
，
．
，
．
．
又，
．
．
，，
．
．
．
在中，
，
∴,
∴
．
，
．
，，
．

27.【答案】【小题1】
解：①如图1，设射线与相切于点M，连接，
∴，
当时，为等腰直角三角形，
∴，
，
∴当点P在外，时，，
当时，点，
∵，，，，
∴在，，，中，的“伴随点”是，；
故答案为：，
②∵当点P在外，时，，
∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，
如图2：
∵直线上有且只有一个的“伴随点”，
∴直线与以为圆心，为半径的圆相切，
∴，
设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，
∴，
令，，令，，
∴，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵正方形的对角线的交点，点，
∴点，，，
当时，如图所示：
此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为，
∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，
∴，，
∵，
，
∴，
解得：；
当时，如图所示：
此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为，
∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，
∴，，
∵，
，
∴，
解得：；
综上分析可知：的取值范围是或．

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