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2025-2026学年广东省深圳市宝安中学实验学校九年级（下）周测数学试卷（2）
一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算结果正确的是（　　）
A. x4 x2=x8 B. x6÷（-x）3=-x3 C. （a5）2=a7 D. （-3x）2=6x2
2.用配方法解一元二次方程x2+8x-3=0，配方后得到的方程是（　　）
A. （x+4）2=19 B. （x-4）2=19 C. （x-4）2=13 D. （x+4）2=13
3.下列命题中，假命题的是（　　）
A. 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
B. 各边对应成比例的两个多边形相似
C. 反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形
D. 已知二次函数y=x -1，当x＜0时，y随x的增大而减小
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
4.因式分解：4a3-16a2+16a= ______.
5.四条线段a、b、c、d成比例，其中a=1cm、b=3cm、c=3cm，则线段d=______cm．
6.已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为______．
7.如图，已知在平面直角坐标系中，OO的半径为2，点A是OO上一动点，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一动点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，连结OC，则OC的最小值为______．
三、计算题：本大题共3小题，共20分。
8.计算：（π-3020）0-2cos45°-+|1-|.
9.如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长.
10.如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC=8，tan∠BDC=．
（1）求⊙O的直径；
（2）当DG=时，过G作GE∥AD，交BA的延长线于点E，证明GE与⊙O相切．
四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题4分)
先化简，再求值：，其中.
12.(本小题8分)
某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系y=-2x+160．
（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
13.(本小题8分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到最大，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
14.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中画一个6×4的网格，一条圆弧经过格点A、B、C.
（1）在图中标出所在圆的圆心P的位置，圆心P的坐标为______；
（2）所在圆的半径为______，的长度为______；
（3）下列各点与点B的连线中，与所在圆相切的是______（填序号）.①点（0，4），②点（5，1），③点（5，2），④点（6，1）.
15.(本小题6分)
如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置并写出点M的坐标；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），求证直线CD是⊙M的切线．
16.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，∠OBC=∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E=∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC=，求BD的长．
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，以C（-4，0）为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点P（6，0），射线PA交⊙C于点B.
（1）求证：AB=AP；
（2）只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与⊙C相切的一条直线，并说明理由.（保留画图痕迹）
18.(本小题10分)
已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC=90°.

【初步探究】
（1）如图1，延长CE交AD于点P.求证：△BEC∽△CDP；
【深入探究】
（2）如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】4a（a-2）2
5.【答案】9
6.【答案】1
7.【答案】
8.【答案】解：原式=1-2×-4+-1
=1--4+-1
=-4．
9.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中，tan∠B==，AB=6，
∴AC=3，
在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（6-x）2+32 ，
解得x=，
∴CE=．
10.【答案】解：（1）∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，
∵BG与⊙O相切于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BDC+∠BAC=90°，∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BDC=∠ABC，
∵tan∠BDC=，
∴tan∠ABC=．
∵AC=8，
∴=，
∴=，
∴BC=6，
∴由勾股定理得：AB=10，
∴⊙O的直径为10；
（2）过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，
GE∥AD，
∴∠G=∠BDC，
∴tan∠G=tan∠BDC=，
∴设DF=4x，FG=3x，
∵DG=，
∴由勾股定理得：（4x）2+（3x）2=，
解得：x=，
∴DF=4x=2，
∵GE∥AD，DF⊥GE，OH⊥GE，
∴DF=MH=2，OM⊥AM，
又∵O为AB中点，
∴OM=BC=3，
∴OH=5，
又∵⊙O的直径为10，从而半径r=5，
∴OH=r，
∴EG与⊙O相切．
11.【答案】解：
=
=
=．
当时，原式=．
12.【答案】解：（1）由题意得：（x-20）（-2x+160）=1000，
整理得：x2-100x+2100=0，
解得：x1=30，x2=70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：每千克樱桃的售价应定为30元；
（2）设超市日销售利润为w元，
w=（x-20）（-2x+160），
=-2x2+200x-3200，
=-2（x-50）2+1800，
∵-2＜0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w取得最大值为：w=-2（40-50）2+1800=1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
13.【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为20% 为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个
14.【答案】（1，0） ③
15.【答案】解：
（1）如图1，连接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，
由图形可知：这点的坐标是（2，0），
∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0）；
（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而可得B（4，4）、C（6，2），
如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，D点的坐标为（7，0），作直线CD．
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC2=ME2+CE2=42+22=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD2=ED2+CE2=12+22=5，
∴MD2=MC2+CD2，
∴∠MCD=90°，
∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
16.【答案】（1）证明：∵∠E=∠DOF，∠E=∠BOC，
∴∠DOF=∠BOC，
∵∠C=90°，
∴∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠DOF=90°，
∵∠OBC=∠A，
∴∠A+∠DOF=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBC=∠A，
∴tan∠OBC=tan∠A==，
∵OD=3，
∴AD=2OD=6，
∴OA===3，
设OC=x，则BC=2x，
在Rt△ABC中，tan∠A=，
∴，
解得x=，
∴OC=，BC=2，
∴OB===5，
∴BD===4．
17.【答案】（1）证明：如图，连接AC，作CD⊥AB于D．
∵C（-4，0），P（6，0），
∴OC=4，OP=6．
∵∠AOC=90°，，OC=4，
∴AO=2，
又∵∠AOP=90°，OP=6，
∴，
∵CD⊥AB，
∴∠CDP=90°=∠AOP．
又∵∠CPD=∠APO．
∴△CPD∽△APO，
∴．
∴．
∴，
∴．
又∵CD⊥AB，C是圆心，
∴，
∴AB=AP；
（2）解：如图，连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线．理由如下：
∵，∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠ACD=45°．
又∵AC=BC．
∴∠CAD=∠CBA=45°．
∴∠ACB=90°，
∵AB=AP，EC=BC．
∴AC∥PE，
∴∠PEB=∠ACB=90°．
∴直径BE⊥PE．
∴PE为圆C的切线．
18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CPD=∠BCE，
∵∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠D，
∴△BEC∽△CDP；
（2）解：如图1，

作EG⊥BC于G，
∴∠BGE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC，
∴△FGE∽△FCD，
∴，
∵∠BEC=90°，点F是BC的中点，
∴EF=BF=CF=BC，
不妨设EF=BF=CF=1，则CD=BC=2，DF=，
∴，
∴EG=，FG=，
∴CG=CF-FG=1-=，
∵∠EGB=∠EGC=90°，
∴∠CEG+∠ECG=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠CEG+∠BEG=90°，
∴∠BEG=∠ECG，
∴△BGE∽△EGC，
=；
（3）解：（方法一）如图2，
当∠BEF：∠CEF=1：2时，即∠CEF=60°，
∴∠DEC=120°，
以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC=CD=6，E（x,y），
以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，
∵∠BEC=90°，
∴点E在⊙W上，则W（-3，0），B（-6，0），
∴（x+3）2+y2=32①，
作等边三角形CDG，作△CDG的外接圆V，则点E⊙V上，
则V（，3），CV=2，
∴（x-）2+（y-3）2=（2）2②，
由①②得，
x=-，x+y=-6x,
∴，
如图3，
当∠BEF：∠CEF=2：1时，即∠BEF=60°，∠CEF=30°，则∠DEC=150°，
同上作⊙W，作等边三角形CDV，设BC=CD=2，则W（-1.0），B（-2，0），V（，1），
以V为圆心，2为半径作⊙V，则点E在⊙V上，
同理上可得：，
∴x2+y2=-2x,x=-，
∴=，
综上所述：=或．
（方法二）如图4，
当∠BEF：∠CEF=1：2时，即∠BEF=30°，
设BC=CD=a,
分别延长CE，BE，分别交AD于G，交CD于H，
∵∠ADC+∠HEG=180°，
∴G、D、H、E共圆，
∴∠DGH=∠DEH=∠BEF=30°，
∴DG=DH，
∵CG⊥BH，
∴△BCH≌△CDG，
∴CH=DG，
∴CH=（a-CH），
∴CH=，
∴tan∠CBH==，
当∠BEF：∠CEF=2：1时，即∠BEF=60°，
同理可得：∠DGH=∠DEH=∠ABE=60°，
∴DH=DG，
∴a-CH=CH，
∴CH=，
∴，
综上所述：=或．
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