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2025-2026学年浙江省杭州市之江实验中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的顶点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上
2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=3，BC=4，EF=8，则DF的长为（　　）
A. 9 B. 3 C. 5 D. 14
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D=50°，则∠B的度数是（　　）
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
4.为了估计椭圆的面积，小实在面积为200cm2的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，则据此估计图中椭圆的面积为（　　）
A. 0.4cm2 B. 0.6cm2 C. 180cm2 D. 120cm2
5.如图，斜坡AB的坡度为1：3，坡面AB的长为，则坡顶B到水平地面AC的距离为（　　）
A. 1m B. 2m C. D.
6.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若OA=5m,OB=3m,则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
7.如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AED，且点D恰好是BC边的中点，DE交AB于F，则EF：FD的值为（　　）
A. 3 B. 2.5 C. 4 D.
8.如图1是直径为30cm圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板AB长为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，二次函数的图象经过点A（-2，0），B（4，0），C（0，-8）.那么二次函数的图象中，当图象位于x轴下方（不包含x轴）时，自变量x的取值范围是（　　）
A. -2＜x＜0 B. -2＜x＜2 C. 0＜x＜2 D. 2＜x＜4
10.如图，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=6，矩形DEFG的一边DE在AB上，其余两个顶点分别在边BC，AC上.设AD=a,BE=b,当AD长度变化时，下列代数式的值为定值的是（　　）
A.
B. a-b
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算cos60°=______．
12.如果两个相似三角形面积的比为1：3，那么它们周长的比为 .
13.现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
14.如图，在△ABC中，AD是中线，BA=BC，BE⊥AC，若AD=9，则DO的长为 .
15.若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的值为 .
16.如图，AB是⊙O的一条弦，过B作半径OA的平行线交⊙O于点C，过C作弦CD⊥AB，垂足为E，连结AC，BC，BD，AD.若DE=8，CE=2，则AE：BE= ，⊙O的半径长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=8.求BC的长.
18.(本小题6分)
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）求出表中a=______，b=______.
（2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1），此口袋里白球有______只；
（3）若从口袋里再拿出去a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求a的值.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD.
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD=3，CD=5，AD=4，求DE的长.
20.(本小题8分)
如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC.
（1）求证：GE=BE；
（2）若OG=1，CD=8，求sinB.
21.(本小题10分)
如下表格是抛物线y=ax2+bx+c上部分点（x,y）的横、纵坐标信息.
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … m -8 n p 7 q …
（1）若m=n,则该函数有______（最大值或最小值）；最值为______；
（2）若a=-4，请通过计算判断p与q的大小关系.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E.AF∥BC，交BE的延长线于点F.
（1）求证：；
（2）求证：2AB AD=BF BC.
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+5（m是常数）.
（1）若函数图象经过点（0，4），求该函数图象的顶点坐标.
（2）若点A（-1，y1），B（-m+3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围.
（3）若函数图象经过点（-1，p），（1，q），求证：pq≤48.
24.(本小题12分)
如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG.
（1）若∠AFO=60°，求∠CGO的度数.
（2）求证：AC2=AG CF.
（3）设∠AFO=α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：=tanα-1.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】1：
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】或1
16.【答案】2：1

17.【答案】解：过A作AD⊥BC于D，

在Rt△ADC中，∠C=30°，AC=8，
∴AD=AC=4，
根据勾股定理得，DC===4，
在Rt△ADB中，∠B=45°，
∴∠BAD=45°=∠B，
∴AD=BD=4，
∴BC=BD+DC=4+4．
18.【答案】0.58，116；
0.6，12；
8
19.【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE．
∴∠AEB=∠ADC．
∴△ABE∽△ACD （2）
20.【答案】证明：∵⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，
∴，
∴∠FCD=∠BCD，
在△GCE和△BCE中，
，
∴△GCE≌△BCE（ASA），
∴GE=BE
21.【答案】最小值;-8 p＞q
22.【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FEA=∠ADC=90°，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠C，
∴△FAE∽△ACD，
∴=，
∴=．
（2）设AD交BF于点H，
∵AB=AC，AD⊥BC，∠FAH=∠ADB=90°，
∴CD=BD=BC，∠BAH=∠CAD=90°-∠FAE=∠F，
∵∠HBA=∠ABF，
∴△HBA∽△ABF，
∴=，
∵∠FAH=∠ADC=90°，∠F=∠CAD，
∴△FAH∽△ADC，
∴=，
∴===，
∴=，
∴2AB AD=BF BC．
23.【答案】（1）（-1，3） （2）-2＜m＜4 （3）由题意可得：
∴p=1-2m-m+5=-3m+6，q=1+2m-m+5=m+6．
∴pq=（-3m+6）（m+6）=-3（m+2）2+48≤48．
即pq≤48
24.【答案】（1）解：∵AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，
∴=90°，
∴∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45°，
又∵∠AFO=∠D+∠DAE=60°，
∴∠DAE=15°，
∴∠DCE=∠DAE=15°，
∴∠AGC=90°-∠DCE=75°；
（2）证明：∵∠ACG=∠ACD+∠CDE=45°+∠CDE，∠AFC=∠D+∠DAE=45°+∠DAE，
∴∠ACG=∠AFC，
又∵∠ACF=∠CAG=45°，
∴△ACF∽△GAC，
∴，
∴AC2=AG CF．
（3）证明：∵S△ACD=，S四边形ACGF=AG CF，
由（2）知AC2=AG CF，
∴S△ACD=S四边形ACGF，
∴S△ACD-S△ACO=S四边形ACGF-S△ACO，
∴S△AFD=S△CGF，
∴==-1=-1=tanα-1．
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