资源简介

2025-2026学年重庆市育才中学教共体自主作业数学试题九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若m与互为相反数，则m的值为（　　）
A. -3 B. C. D. 3
2.下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（　　）
A. 了解某批月饼的质量是否符合食品安全国家标准
B. 了解某市学生对93阅兵仪式的观看情况
C. 调查国庆假期游客对重庆热门景点的满意度
D. 调查神舟二十号飞船发射前各零件的运转情况
3.如图，a∥b,∠1=105°，则∠2的度数是（　　）
A. 75°
B. 135°
C. 105°
D. 85°
4.下列计算结果正确的是（　　）
A. a2-a=a B. a2 a5=a10 C. （a3）2=a6 D. （3a）2=6a2
5.若，则a的取值范围是（　　）
A. 2＜a＜3 B. 3＜a＜4 C. 4＜a＜5 D. 5＜a＜6
6.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A. AB=8，CA=5，∠C=90° B. AC=5，BC=4.5，∠A=60°
C. AB=2，BC=3，CA=5 D. ∠A=25°，∠B=66°，∠C=89°
7.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件.若日利润保持不变.商家想尽快销售完该款商品.每件售价应定为多少元.（　　）
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
8.如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1=∠2，∠3=∠4）.小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，…第2024次碰到长方形边上的点为图中的（　　）
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
9.如图，M为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CM，将线段CM绕点M顺时针旋转90°，点C的对应点N恰好落到边AB上，线段MN交对角线AC于点G，且G为MN的中点.若正方形的边长为4，则AG的长为（　　）
A. B. C. D.
10.有两个整数x,y,把整数对（x,y）进行操作后可得到（x+y,y），（x-y,y），（y,x）中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作.若将整数对（2，32）按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（　　）
①一次操作后得到的整数对可能为（-30，32）；
②二次操作后得到的整数对不可能为（2，32）；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是（-3，32）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.《2023年中国学生资助发展报告》显示，2023年，政府、高校及社会的各项普通高等教育学生资助政策共资助学生4529.63万人次，资助资金1854.38亿元，1854.38亿用科学记数法可以表示为 .
12.现有四张正面分别标有数字-2，-1，1，3的卡片，它们除数字外，其它完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片后不放回，将剩余的卡片背面朝上洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之和为正数的概率是 .
13.二次函数y=3x2-2x的图象与x轴的交点坐标是 .
14.不等式3x+1＜2x的解集是 .
15.如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为S1，S2，S1，S2，S3，请解答以下问题：
（1）S1，S2，S3满足的数量关系是 ；
（2）现将△ABF向上翻折，如图2，若阴影部分的面积S甲=6，S乙=5，S丙=4，则S△ACB= .
16.如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“星期数”.例如数325，它各位数字互不相等且均不为0，满足32-25=7，∴325是“星期数”.最大的“星期数”是 ；若一个“星期数”能被7整除，则满足条件的所有“星期数”的和是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
求不等式组的整数解.
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O是BD的中点，AD∥BC.
（1）请你从以下条件①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD；④AO=BO中，选择一个使得四边形ABCD是菱形的条件______（填序号）；
（2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形ABCD是菱形.
19.(本小题24分)
为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90、93，93，95，96，98，99，100，100.
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，85，88.
八九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 a 90 10.3
九年级 88 94 b 9.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a= ______，b= ______，m= ______；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
20.(本小题8分)
化简求值：，其中（π-958）0.
21.(本小题8分)
“如果有时间，你一定要来趟重庆，吹吹嘉陵江的晚风，看看夜幕下的洪崖洞.”国庆期间，重庆这座山城吸引了国内外很多游客，重庆某面馆的生意也异常火爆.
（1）十月一日该面馆大份麻辣抄手的销售额是3600元，中份的麻辣抄手的销售额是3000元，且两种抄手的销量相同.已知中份的单价比大份的单价少3元.求大份和中份的麻辣抄手的单价各是多少元？
（2）由于该面馆的食材新鲜、味道“巴适”，许多游客慕名而来.十月二日当天大份的麻辣抄手比中份的多卖出200份，两种抄手的总销售额为23400元.则该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是多少份？
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点P从点A开始出发沿折线A-B-C运动（运动路线不包含点A、点C），点P到达点C停止运动，设点P运动的路程为x,△ACP的面积为y.
（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若，结合函数图象，直接写出y＞y′时自变量x的取值范围.（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
23.(本小题8分)
如图，A处位于B处正北方向7千米处，C处位于B处的正东方向，D处位于A处南偏东60°方向6千米处，D处在C处的东北方向.（参考数据：，，）
（1）求B与C之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）甲，乙两人相约跑步，甲从D处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从A处出发，沿正南方向匀速直线运动.甲的速度是乙的速度的倍.两人同时出发，在AB上某处相遇.当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位）
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，经过点A（1，-2），B（-3，-2）的抛物线y=ax2+bx+1（a,b为常数）与y轴交于点C，顶点为点D.点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为m（m＞-3）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）在抛物线的对称轴上找一点E，使得AE+CE取得最小值，求E点坐标；
（3）若点M坐标为（2m-3，-2），连接AM，取线段AM的中点Q，将点Q绕点A顺时针方向旋转90°得到点N，连接AN，以AM，AN为邻边构造矩形AMFN.
①设AQ的长为l,求l关于m的函数解析式；
②请直接写出当点P在矩形AMFN外部时，m的取值范围.
25.(本小题8分)
【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AC边上，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EA并延长交BC的延长线于点F.求证：.
①如图2，小辉同学要证明∠CAF=45°，从而给出如下解题思路：过点E作EM⊥CA交CA的延长线于点M.
②如图3，小光同学要证∠CAE=135°，从而给出如下解题思路：在BC上截取CN=CD，连接DN.
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答.
如图4，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E在AB边上，AD=BE，连接CD，CE，点F在BC边上，连接DF，且DC=DF.求证：.
【学以致用】
（3）如图5，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，点D在AC边上，AD=2，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接EC并延长交BA的延长线于点F，连接DF，求△ADF的面积.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】1.85438×1011
12.【答案】
13.【答案】（0，0）和
14.【答案】x＜-1
15.【答案】S1+S2=S3
7．

16.【答案】769
658

17.【答案】解：解不等式3（x+1）＜2x+3，得：x＜0，
解不等式，得：x≥-2，
则不等式组的解集为-2≤x＜0，
∴不等式组的整数解为-2、-1．
18.【答案】（1）①或②或③（答案不唯一）
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DAO与△BCO中，
，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
19.【答案】85，90，93，100;88.5;30 （2）九年级学生的知识竞赛成绩更好，因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定 （3）845人
20.【答案】，-4．
21.【答案】解：（1）设大份麻辣抄手的单价是x元，则中份麻辣抄手的单价是（x-3）元，
根据题意得：=，
解得：x=18，
经检验，x=18是所列方程的解，且符合题意，
∴x-3=18-3=15．
答：大份麻辣抄手的单价是18元，中份麻辣抄手的单价是15元；
（2）设该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是y份，则当天中份麻辣抄手的销量是（y-200）份，
根据题意得：18y+15（y-200）=23400，
解得：y=800．
答：该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是800份．
22.【答案】解：（1）当点P在AB上时，即0＜x≤5，
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB===5，
∴sinA==，
∴y=×AC APsinA=×4×x=x,
当点P在BC上时，即5＜x＜8，y=×4（5+3-x）=16-2x；
综上所述：y=；
（2）如图所示：
函数的性质：函数的最大值为6；
（3）当0＜x≤5时，∵y＞y′，
∴x＞x+1，
∴x＞，
当5＜x＜8时，∵16-2x＞x+1，
∴x＜6，
∴＜x＜6，
即1.4＜x＜6．
23.【答案】1.2千米 3.7千米
24.【答案】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1（a,b为常数）经过点A（1，-2），B（-3，-2），把点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为y=-x2-2x+1；
（2）将抛物线解析式化为顶点式得：y=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵A（1，-2），点B（-3，-2）满足，
∴A、B两点是关于直线x=-1的对称点，
连接BC，交直线x=-1于点E，如图1，则点E就是满足AE+CE取得最小值的点，
抛物线y=-x2-2x+1（a,b为常数）与y轴交于点C，
当x=0时，得：y=1，
∴C（0，1），
设直线BC的解析式为y=kx+1，将点B的坐标代入得：
-3k+1=-2，
解得k=1，
∴直线BC的解析式为y=x+1，
当x=-1时，y=-1+1=0，
∴E（-1，0）；
（3）①∵点M坐标为（2m-3，-2），Q为线段AM的中点，将点Q绕点A顺时针方向旋转90°得到点N，
∴点Q的横坐标为，
∴Q（m-1，-2），
如图2，点M在点A右边，
∴m-1＞1，即m＞2时，点Q（m-1，-2）在点A的右侧，
此时l=xQ-xA=m-1-1=m-2；
如图3，点M在点A左边，
∴m-1＜1，即m＜2时，点Q（m-1，-2）在点A的左侧，
此时l=xA-xQ=1-（m-1）=2-m.
综上所述，l关于m的函数解析式为；
②点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为m（m＞-3），
点M坐标为（2m-3，-2），点Q是线段AM的中点，且Q（m-1，-2），
当点Q在点A右边，此时矩形AMFN在直线AB下方，点P在直线AB上方，此时点P在矩形AMFN外部，
∴在点Q中，m-1＞1，则m＞2，在点P中，m＜1，
∴此种情况不存在；
如图3，当点Q在点A右边，此时矩形AMFN在直线AB下方，点P在直线AB下方，过点P作PK⊥AQ于点K，当PK＞AN时点P在矩形AMFN外部，P（m,-m2-2m+1），
∴m-1＞1，即m＞2，
∴AN=AQ=m-1-1=m-2，PK=-2-（-m2-2m+1）=m2+2m-3，
∴m2+2m-3＞m-2，
解得或，
∴m＞2；
如图5，点Q在点A左边，则m-1＜1，即m＜2，点P在点A右边，则m＞1，此时点P在矩形AMFN外部，
∴1＜m＜2；
如图6，点Q在点A左边，则m-1＜1，即m＜2，点P在点A左边，点B右边，则-3＜m＜1，当PK＞AN时点P在矩形AMFN外部，P（m,-m2-2m+1），
∴AN=1-（m-1）=2-m,PK=-m2-2m+1-（-2）=-m2-2m+3，
∴-m2-2m+3＞2-m,
解得，，
∴；
综上所述，点P在矩形AMFN外部时，m＞2或1＜m＜2或．
25.【答案】解：（1）选择小辉同学的解题思路．证明：如图，过E作EM⊥CA交CA的延长线于M，
∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠EDM+∠BDC=90°，
∴∠DBC=∠EDM．
∵EM⊥CA交CA延长线于M，
∴∠M=90°，
∴∠M=∠BCD，
又∵BD绕点D旋转至DE，
∴BD=DE，
∴△BDC≌△DEM（AAS），
∴CD=ME，BC=DM．
∵AC=BC，
∴AC=DM．
∴AD+CD=AD+AM．
∴CD=AM，
∴ME=AM．
∴∠EAM=45°，
∴∠CAF=45°．
∵∠ACF=90°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴AC2+CF2=AF2．
∴2AC2=AF2，
∴．
选择小光同学的解题思路．证明：如图，在BC上截取CN=CD，连接DN．
∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠DBC+∠BDC=∠ADE+∠BDC=90°．
∴∠DBC=∠ADE．
∵BC=AC，CN=CD，
∴BC-CN=AC-CD．即BN=DA．
又∵BD=ED，
∴△BDN≌△DEA（SAS）
.∴∠BND=∠DAE
∵CN=CD，∠NCD=90°，
∴∠CND=45°，
∴∠BND=135°．
∴∠DAE=135°，
∴∠CAF=45°，
∵∠ACF=90°，
∴AC=CF．
AC2+CF2=AF2，2AC2=AF2，
∴．
（2）证明：如图．过E作EG⊥BC于G，过D作DH⊥FC于H．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
又∵AD=BE．
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴CD=CE，∠ACD=∠BCE．
∵EG⊥BC，
∴∠EGC=∠EGB=90°，
∵DH⊥FC，
∴∠DHC=∠DHF=90°．
∴∠DHF=∠ACB，
∴DH∥AC，
∴∠HDC=∠ACD，
∴∠HDC=∠ECB．
在△DHC和△CGE中，，
∴△DHC≌△CGE（AAS）．
∴CH=EG．
∵DC=DF，DH⊥FC，
∴．
∵∠B=45°，∠EGB=90°，
∴．
∴．
∴．
（3）如图，在AB边上截取AQ=AD，连接DQ．
由题意得，∠BAC=∠BDE=120°，BD=DE．
∴∠ABD+∠ADB=∠EDC+∠ADB=60°，
∴∠ABD=∠EDC．
∵AQ=AD，AB=AC，
∴BQ=DC，
∴△QBD≌△CDE（SAS）．
∴∠BQD=∠ECD．
∵AQ=AD，∠QAD=120°，
∴∠AQD=30°，
∴∠BQD=150°．
∴∠ECD=150°，
∴∠ACF=30°．
又∵∠CAF=60°，
∴∠AFC=180°-30°-60°=90°．
∵AC=6，∠ACF=30°，AF=3，
过D作DP⊥AF于P，则∠ADP=30°，
∵AD=2，
∴AP=1．
根据勾股定理得，．
∴．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑