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安徽安庆市经开区部分学校2026年3月月考九年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列为负数的是（）
A. B. C. D.
2.据报道，安徽省2025年地区生产总值为52989亿元，同比增长，其中52989亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.我国古人对几何体有着许多优雅的称谓，这些称谓大多与实际生活息息相关，如底面为直角三角形的三棱柱，因其形状酷似古代城墙两侧的防御工事，故而被古人称为“堑堵”．如图竖直放置的“堑堵”的主视图为（）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.如图，同时改变方程中三个符号中的两个（“+”变为“-”或“-”变为“+”），使该方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. 任意两个都成立
6.一次函数（，为常数）的图象经过点，且函数值随的增大而减小，则点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8.如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是( )
A. B.
C. 四边形是平行四边形 D.
9.如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，按此方式绕点连续旋转2026次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系内，正方形的边在轴的负半轴上，边与反比例函数的图象交于点．将正方形向右平移至第一象限，点的对应点在反比例函数的图象上，且反比例函数的图象交于点．已知点的坐标分别为，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.计算： ．
12.已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ．
13.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c,则关于的二次函数y=ax2-4x+c的图象与x轴无交点的概率为 .
14.矩形中，是的中点（如图），将沿翻折，点落在点处，连接，如果，那么：
(1) ；
(2) 的比值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中．
16.(本小题10分)
詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，．
(1) 以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出；
(2) 画出关于轴对称的．
17.(本小题10分)
如图，是同一水平线上的两点，过点作的垂线段，垂足为点，点是线段上的点．连接，经测量得知此时点在点南偏东方向上，在点南偏东方向上，点与点之间的距离为，求点与点之间的距离．（结果精确到．参考数据：，，）
18.(本小题10分)
如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数且）与双曲线交于两点，直线（为常数且）与双曲线在第一象限交于点，与轴交于点．已知点的坐标为，点的坐标为．
(1) 求直线和反比例函数的解析式；
(2) 若，求直线的函数解析式．
19.(本小题15分)
“构建高质量教育体系”是2025年两会中提出的关键词，而提高教师教书育人的能力是构建高质量教育体系的重要一环．在某地区组织的教师业务能力比赛中，甲、乙两位老师成绩优异，他们在校级、区级、市级和省级四场比赛中关于知识、教态、板书三个方面的得分统计结果如下：
甲、乙两位老师三项平均成绩统计表
教师 知识平均得分 教态平均得分 板书平均得分
甲 37.5 50 45
乙 38.75 48 48
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 在这四个级别的比赛中，知识得分更为稳定的是教师 （填“甲”或“乙”），教师甲知识得分的中位数是 ；
(2) 请从知识得分方面分析甲、乙两位教师在这四个级别的比赛中的表现（至少写出两条）；
(3) 若“知识平均得分”“教态平均得分”“板书平均得分”这三项按照确定综合成绩，则甲、乙两位教师谁的综合成绩高？请通过计算说明．
20.(本小题11分)
如图，是的直径，弦于点，点在上，连接交于点，连接，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的半径长．
21.(本小题15分)
阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比．
根据以上材料，解答下列问题：
(1) 等比数列3，9，27，…的公比为 ，第5项是 ；
(2) 【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，．
由此，请你填空完成等比数列的通项公式： ；
(3) 【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法：
设，①
则，②
得，．
【解决问题】请仿照小明的方法计算的值．
22.(本小题12分)
已知抛物线（为常数）．
(1) 若该抛物线与轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2) 若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长．
23.(本小题12分)
如图1，在四边形中，，对角线、交于点，已知，且．
(1) 求的度数；
(2) 如图2，若点为的中点，连接．
①证明：；
②若，，求的值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】【小题1】

【小题2】

15.【答案】解：原式．
当时，原式．

16.【答案】【小题1】
解：如图所示．
【小题2】
解：如图所示．


17.【答案】解：由题意可知，在中，，，
，
，
．
在中，，
，
，
．
∴点与点之间的距离约为．

18.【答案】【小题1】
解：∵直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
将点代入，得，
∴直线的函数解析式为．
将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
【小题2】
解：，
，
解得，
∴点的坐标为，
将点，代入，得，
解得，
∴直线的函数解析式为．

19.【答案】【小题1】
乙

【小题2】
解：教师甲在市级比赛中的知识得分最低；从知识平均得分来看，教师乙的成绩要好于教师甲的成绩
【小题3】
解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分），
，
教师乙的综合成绩高．

20.【答案】【小题1】
证明：，，
．
，
，
．
【小题2】
解：如图，连接，则．
是的直径，弦，，，
，，．
在中，，
即，解得，
的半径长为4．

21.【答案】【小题1】
3
243
【小题2】
【小题3】
解：设，①
则，②
得，
．

22.【答案】【小题1】
解：①把代入得：
，解得，
∴；
②抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大，
∴关于对称轴的对称点为，
∵对于，都有，
∴或，
解得或；
【小题2】
解：∵对于任意实数，都有，
∴对于任意实数都成立，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
联立抛物线与直线，
得，
解得，，
∴交点、横坐标分别是和，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小题2】
①证明：如下图，连接，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，即有，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，，
∴在中，，
可设，则，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．

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