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(共22张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第一章检测卷（B）
一、 单选题
1. 命题“，”的否定是（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
C
2. 设集合，，，则
等于（　　）
A.
B.
C.
D.
C
3. “”的一个充分不必要条件是（　　）
A.
B.
C.
D.
提示：寻找集合的一个真子集
B
4. 若集合或，，且，则实数的取值范围为（　　）
A.
B.
C. 或
D.
A
提示：当时，无解，此时，满足题意；当时，有解，即，若，则，要使，需得；若，则，要使，需得.综上，实数a的取值范围为
二、 多选题
5. 已知集合，，则（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
AD　　
6. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若
，则下列选项中符合题意的整数为（　 　）
A. 23 B. 38
C. 128 D. 233
ACD　
提示：因为，故，故选项A正确；因为，则，故选项B错误；因为，故，故选项C正确；，故，故选项D正确
三、 填空题
7. 已知集合，若，则实数的取值范围是　　 　　.
提示：若，则，则当时，有
8. 若集合，，则 　　　　　　.
提示：集合B表示上的点，集合A表示直线上的点，故集合中的元素表示直线除去点外与二次函数图象的交点，联立得，舍），故直线与二次函数有1个交点，故集合中有1个元素，
9. 设关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围是　　 　　.
提示：依题意得
10. 已知集合，且，则
　　　　.
提示：①当时，得，当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，，得与矛盾，舍去；
②当时，得，当时，
，得与矛盾，舍去；当时，，，得，满足.
故
四、 解答题
11. 已知集合，.
(1) 若，求；
当时，集合，得或，因为，所以
(2) 若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
由于，则或得或.故实数a的取值范围为
12. 已知集合，.
(1) 若，求的值；
由于.因为，所以，则得
(2) 若，求实数的取值集合.
因为，所以或或.
若，则，由（1）知，；
若，则，即，得或舍去）.
若，则，即，得或舍去）.
综上，的取值集合为
13. 若集合具有：①，；②若，，则，且当时，这两条性质，则称集合是“好集”.
(1) 分别判断集合，有理数集Q是不是“好集”，并说明理由；
集合B不是“好集”，理由如下：因为，，，所以集合B不是“好集”.有理数集Q是“好集”，理由如下：因为，，对任意，，都有，且时，，所以有理数集是“好集”
(2) 设集合A是“好集”，求证：若，则；
因为集合A是“好集”，所以.若，则，即，所以，即，命题得证
(3) 对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.
命题“若，则”为真命题，理由如下：
当x，y中有0或1时，显然有.
当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，，
所以，所以.
由（2）得，同理得，
当或时，显然有.
当或时，显然有，
所以，所以，
由（2）得，所以.
综上得当时，有(共16张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第一章检测卷（A）
一、 单选题
1. 设集合，则等于（　　）
A. B.
C. D. 0
C
2. 满足 的集合的个数为（　　）
A. 7 B. 8
C. 15 D. 16
A
3. 设非空集合，定义且，则集合等于（　　）
A. B.
C. D.
提示：画韦恩图
D
4. 已知集合，，
则（　　）
A. B.
C. D.
提示：由于，而表示整数，表示被3除余2的整数，故，则
B
二、 多选题
5. 设全集，集合，，则（　　）
A.
B.
C.
D. 集合A的真子集个数为8
AC
提示：集合，，共同元素为0和1，故，，故选项AC正确；全集，，得B中没有元素3和4，故，故选项B错误；集合A中有3个元素，所以真子集个数为，故选项D错误.故选AC
6. 下列结论正确的是 （　 　）
A. 命题“R，”的否定是“R，”
B. 命题“R，”为真命题
C. 语句“能被2和3整除”不是命题
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
ACD　
三、 填空题
7. 已知集合，，，则___________.
8. 用列举法表示=______________.
提示：由于为自然数，且为自然数，则可以为1，2，3，6，即可取到2，3，4，7，故集合为
9. 已知集合，.若集合
C=，则集合C的子集有________个.
提示：x可能的结果有，，，，所以集合，因此子集个数为
8
10. 若命题“R，使”的否定是真命题，则实数的取值范围为_______________.
提示：因为命题“，使”的否定是真命题，所以命题“，恒有”是真命题，即，故实数的取值范围是
　
四、 解答题
11. 设集合，.
(1) 当时，求；
(2) 若 R，求实数a的取值范围.
（1） 当时，，，故
（2） 由于，则，又，则得，故实数a的取值范围为
12. 已知集合，.
(1) 当时，求；
(2) 若中恰有3个元素为奇数，求实数的取值范围.
（1） 当时，，，，则
（2） 因为中恰有3个元素为奇数，，所以这3个奇数元素为3，5，7，则，得，即的取值范围为
13. 已知集合，.
(1) 若，求实数的值；
因为，若，则，所以方程有两根，即得
(2) 若是的真子集，求实数的取值范围.
若是的真子集，则
①若，则，得；
②若，即为单元素集合，则，得.
将代入方程，得，，符合要求.
综上所述，实数的取值范围是(共26张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.3　集合的基本运算
1.3.1　集合的基本运算（一）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知集合，，则等于（　　）
A. B.
C. D.
B
2. 已知集合，，则等于
（　　）
A. B.
C. D.
B
3. 若集合，则等于
（　　）
A.
B.
C. ≤
D.
C
4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
提示：由得，则且，得
B
5. 已知集合，集合，则　　 　　.
6. 已知集合，
，则
　 　　　.
7. 已知集合，，且，则实数的取值范围是 　　　 　.
提示：画数轴
8. 已知集合，集合.
(1) 若，求；
(2) 若，求实数m的取值范围.
（1） 由知且，得，所以，所以
（2） 由，得，①若，则，得；②若，因为，所以得.综上，实数的取值范围为
综 合 应 用
9. （多选）已知集合，且，
则实数的值可以为（　 　）
A. B. 0 C. D.
提示：由于，因为，所以.当时，无解，此时，满足题意；当时，得，或，得或，综上，实数的值可以为
ABD　
10.（多选）已知集合，
，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（ 　 　）
A. 0 　　　 B. 1
C. 2 　　 D. 4
提示：由于.由，得或.当时，，显然中必含有，因为，所以.综上所述，实数a的值的集合为
ABCD　
11. 设集合，，且则a的取值组成的集合是　　　　.
提示：由题意，，①若，得或.当时，集合中，，不符合集合的互异性，舍去;当时，，符合题意. ②若，得，符合题意.综上，的值是－2或0
12. 某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，
16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为　　　　.
提示：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图，得，得，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为13
13　
13. 已知集合，，
，且，，求实数a及m的取值范围.
由于A＝，B＝.由A∪B＝A，知B A，有两种情况：
①a－1＝2，即a＝3，此时A＝B，满足B A；②a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1}，满足B A.
由A∩C＝C知，有四种情况：
①为空集，显然满足，此时，由＝m2－8＜0得－2m＜2；
②，则方程x2－mx＋2＝0有两个相等的实根1，则无解；
③，则方程x2－mx＋2＝0有两个相等的实根2，则无解；
④，则方程x2－mx＋2＝0有两个不相等的实根1和2，则得.
综上可知，a＝3或a＝2；m＝3或－2m＜2
14. 已知集合，，或
(1) 若，求实数m的取值范围；
(2) 若，求实数m的取值范围.
（1） 由得，则得，故实数m的取值范围为
（2） 因为，可知，若，则，得，满足题意；若，则或得.综上所述，实数m的取值范围是
素 养 提 升
15. (多选)设是实数集的一个非空子集，若对于(与可相等，也可不相等)，有且，则称是“和谐集”．下列结论正确的是（ ）
A． 存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B． 集合是“和谐集”
C． 若都是“和谐集”，则S1 S2≠
D． 对任意两个不同的“和谐集”，总有
ABC　
提示：根据题意是“和谐集”，又是有限集，故选项A正确；设，，则，集合是“和谐集”，故选项B正确；根据已知条件可相等，故任意“和谐集”中一定含0，，故选项C正确；取都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，不是实数集，故选项D错误
16. 高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人，这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人，三门中只选物理与只选化学的均至少有人.那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 　　　　人.
8
提示：方法1：把学生60人看作一个集合，
选择物理的学生组成集合，选择化学的学
生组成集合，选择生物的学生组成集合，
记选择物理与化学但未选生物的学生组成集
合，要使集合中的学生人数最多，除
这三门课程均不选的15人，这三门课程均选
的10人，其他组合的选择人数均应最少.只选物理的最少6人，只选化学的最少6人，选择化学和生物但未选物理的最少6人，选择物理和生物但未选化学的最少6人，只选生物的最少3人，以上人数总和最少52人，可画出如图1所示的韦恩图，故区域至多8人，所以选择物理与化学但未选生物的学生至多有8人.
图1
方法2：由于该班总人数为60人，其中15人全不选，因此至少选择1门的学生有45人.画出如图2所示的Venn图，由于选生物的人数至少有25人，所以，.又，，则，，不等式与不等式相加，得
图2(共25张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列语句为命题的是 （　　）
A. 3是偶数吗
B. 三角形的内角和等于180°
C. 这里的景色真美啊!
D.
B
2. “四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的 （　　）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
3. 设R，则使成立的一个充分条件是（　　）
A. B.
C. D.
C
4. 的一个必要条件是（　　）
A. B.
C. D.
提示：由于，则，故选项A正确；由于，故选项B错误；由于不能小于2，故选项C错误；由于不能等于1，故选项D错误.故选A
A
5. 已知R，则“若，则”是________命题.（填“真”或“假”）
提示：不妨取，则，不满足，该命题是假命题
假
6. 写出一个使“”成立的充分条件为___________________.
答案不唯一）
7. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是____________.
提示：记集合，，若是的必要条件，则.
（1） 当时，即，此时，成立
（2） 当时，即，若，此时无解.
故实数的取值范围是
8. 判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1) p：，q：；
(2) p：，q：；
(3) p：是无理数，q：是无理数.
（1） 由，则成立，所以p是q的必要条件
（2） 由，则不成立，所以p不是q的必要条件
（3） 由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件
综 合 应 用
9. （多选）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；
结论：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（　　）
BC
提示：条件B（灯泡亮）能推出结论A（开关闭合）.对于选项，也可能是开关闭合，选项A错误；对于选项，开关必须闭合，故选项B正确；对于选项C，须和同时闭合，故选项C正确；对于选项，灯一直亮，跟开关没有关系
10. （多选）下列命题中，可作为“四边形是正方形”的充分条件的是 （　　 ）
A. 对角线相等的菱形 B. 邻边相等的矩形
C. 对角线相等的平行四边形 D. 有一个角是直角的菱形
ABD
提示：对于选项A，对角线相等的菱形是正方形，故选项A正确；对于选项B，邻边相等的矩形是正方形，故选项B正确；对于选项C，对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；对于选项D，有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确
11. 已知集合，“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是________.
提示：由于“”是“”的充分条件，则，得
12. 已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是___________________.
提示：由于，又“”是“”的必要条件，则，且恒成立，故或，得或
或　
13. 设：，：，且是的充分条件，求实数的取值范围.
　
提示：由于：，：，且是的充分条件，则得
14. 设全集R，集合
(1) 若，求；
若，则，又，，
(2) 若是的必要条件，求实数的取值范围.
若是的必要条件，则.
当时，即时，符合题意；
当时，即时，，要满足，则有，解得.综上，实数的取值范围为
素 养 提 升
15. 已知集合，非空集合，且“”是“”的充分条件，求的值.
因为“”是“”的充分条件，所以，，则
①当时，则故故；
②当时，则故故；
③当时，则故故.
综上，的值为或30或2
16. 已知集合.
(1) 因为，所以，判断9，10是否属于集合；
由于，则，假设，，，则
，且，由于或，则或显然不满足整数解条件，故
(2) 已知集合，证明：“”的充分条件是“”，但“”不是“”的必要条件.
集合，则，则，即一切奇数都属于.又，，故“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件(共18张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
单元检测卷(集合)
一、 单选题
1. 已知集合，，则等于（　　）
A.
B.
C.
D.
C
2. 已知集合，，则等于（　　）
A.
B.
C.
D.
A
3. 已知全集，集合，，则下列集合与相等的是（　　）
A. B.
C. D.
D
提示：因为，，所以，故选项A错误；，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确
4. 已知M，N均为的子集，若存在使得，且，则
（　　）
A. B.
C. D.
提示：因为，所以，又因为，所以，故，故选项A正确；由于根据题目条件不能确定集合间的包含关系，故选项BCD错误
A
二、 多选题
5. 已知集合，是全集的两个子集，且，则（　 　）
A.
B.
C.
D.
AC　
提示：由，画出Venn图，如图，对于选项A，，所以选项A正确；对于选项B，，所以选项B不正确；对于选项C，，所以选项C正确；对于选项D，，所以选项D不正确
6. 已知集合，，则下列命题中正确的是（ 　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若，则或
ABC　
提示：由于，若，则，且，故选项A正确；当时，，故选项D错误；当时，则且，得，故选项B正确；当时，，得或，故选项C正确
三、 填空题
7. 已知全集，集合，且
，则　　　.
提示：由得
8. 若集合，且，则的取值范围为
　　 　　.
提示：由于，则，得
9. 若集合的所有子集个数
是，则实数的值是　　　 　.
提示：由于为单元素集，故方程只有一个解.
情形一：当时，方程为，此时方程只有一个解满足题意；
情形二：当时，则，得.综上所述，的值是或
或
10 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”.对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则实数的取值集合
为　 　　　.
提示：当时，，满足；当时，，此时集合只能构成“蚕食”，则当集合有公共元素时，得；当集合有公共元素时，得，故实数的取值集合为
四、 解答题
11. 已知集合，集合；
(1) 若，求实数的值；
(2) 若，求.
（1） 因为，所以，得.当时，，元素重复，舍去，故
（2） 因为，所以，，，，故
12. 已知集合，．
(1) 若，求；
当时，，，则
(2) 在①，②，③中任选一个作为已知，求实数的取值范围．
选①，，则，则故．
选②，，则，则故．
选③，，则，则故
13. 设集合.
(1) 证明：若，则；
(2) 已知集合，且的子集共有8个，求实数的取值范围.
（1） 设，，则，因为，所以，，所以
（2） 因为的子集共有8个，所以恰有3个元素.因为，所以这三个元素分别为，，，又集合中比3大的元素的最小值为，所以的取值范围为(共24张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.5 　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 命题“，使”的否定是（　　）
A. ，使
B. 不存在，使
C. ，使
D. ，使
A
2. 命题“，”的否定是（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
B
3. 下列命题的否定是真命题的为 （　　）
A. 任意两个等边三角形都相似
B. ，
C. ，　
D. 存在一个四边形，两条对角线相互垂直
C
4. 命题“，”的否定是（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
提示：的否定为或或
D
5. “所有自然数都是整数”的否定为　 　　　 　.
有些自然数不是整数
6. 命题“”的否定是　　 　　　　.
7. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是　　　　.
提示：命题“，”为假命题，则，，得，解得，所以实数的取值范围是
8. 写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定：
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；
(2) 四边形的四个顶点共圆；
(3) 有的三角形是等边三角形.
（1） 至少存在一个能被3整除的整数不是奇数
（2） 至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
（3） 所有的三角形都不是等边三角形
综 合 应 用
9.（多选）已知命题p：“，”，则下列结论正确的是（　　）
A. ：，
B. ：，
C. p是真命题，是假命题
D. p是假命题，是真命题
BC　
提示：对于选项A，B：：，，故选项A错误，选项B正确；对于选项C，D：由，得，p是真命题，所以是假命题，故选项C正确，选项D错误
10.（多选）下列存在量词命题中，为真命题的是 （　　）
A. 有些自然数是偶数
B. 至少有一个，使能同时被和整除
C.
D.
AB　
提示：对于选项A：都是自然数，也都是偶数，选项A正确；对于选项B：是整数，能同时被和整除，选项B正确；对于选项C：因为是真命题，所以是假命题，选项C错误；对于选项D：因为，成立，所以，为假，选项D错误
11. 已知命题：，若命题是假命题，则实数的取值范围是　　　　　　.
提示：命题的否定命题为：，因为命题是假命题，为真命题，所以，得
12. 命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是
　 　　 　.
所有的三角形都不是直角三角形
13. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.
(1) 末尾数是偶数的数能被整除；
(2) 对任意实数，都有；
(3) 方程有一个根是奇数.
（1） 该命题是全称量词命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被整除；该命题的否定是真命题
（2） 该命题是全称量词命题，该命题的否定是：存在实数，使得；该命题的否定是真命题
（3） 该命题是存在量词命题，该命题的否定是：方程的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题
14. 已知命题：方程有两个不相等的负实根；命题：方程无实根.
(1) 若命题为真，求实数的取值范围；
若方程有两个不相等的负根，则得；因为命题为真，所以实数的取值范围为
(2) 若命题，中有一个为真，另一个为假，求实数的取值范围.
若方程无实根，则，得.
当真假时，得；
当假真时，得.
综上，得或
素 养 提 升
15. 命题“，”的否定是（　　）
A. ，
B. ，或
C. ，
D. ，或
提示：命题“，”的否定是“，或”
B
16. 已知命题：，命题q：.
(1) 写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围；
由题设，则，若命题为假命题，则为真命题，故，
(2) 是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由.
若为真，则为真，即，得.若为真，则.存在实数，使命题和有且只有一个为真命题，当为真为假时，有；当为真为假时，有.故实数的取值范围为或(共24张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列命题是全称量词命题的是 （　　）
A. 存在一个实数的平方是负数
B. 至少有一个整数x，使得是质数
C. 每个四边形的内角和都是360°
D. R，
C
2. 下列命题是存在量词命题的是 （　　）
A. x∈R，x2＞0
B. x∈R，x2－2≤0
C. 平行四边形的对边平行
D. 矩形的任一组对边相等
B
3. 下列命题为假命题的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C
4. 下列命题是真命题的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C　
5. 命题“对任意一个实数x，都不小于零”，用“”或“”符号表示为____________________________.
，　
6. 选择适当的符号“”“”表示下列命题：有一个实数x，使：____________________________.
，有
7. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是_______________.
提示：命题“”是真命题，则，得
8. (1) 若对，恒有成立，求实数的取值范围；
(2) 若，使成立，求实数的取值范围.
（1） 由于对都有成立，则只需大于或等于x的最大值，即
（2） 由于，使成立，则只需大于或等于x的最小值，即
综 合 应 用
9. （多选）下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为
（　 　）
A. 设A，B为两个集合，若，则对，都有
B. 设A，B为两个集合，若A不包含于B，则，使得
C. ，是有理数
D. R，
ABD　
提示：对于选项A，根据的定义知，，都有，故A正确；对于选项B，若A不包含于B，则，使得，故B正确；对于选项C，是无理数，而还是无理数，故C错误；对于选项D，当时符合要求，也成立，故D正确
10. （多选）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（　　）
A. B.
C. D.
提示：当时，为真命题，则，只需求的真子集
BC
11. 命题“R，”为假命题，则实数的取值范
围为__________.
提示：由题意知，命题“，”为真命题.
当时，由得，不合题意；
当时，由题意得得.故实数的取值范围是
12. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是_____________________.
提示：由“，”为真命题，等价于在上恒成立，所以，即可，二次函数，，对称轴为，开口向上，当时，取得最小值为，即.所以只需求的真子集，故满足条件
答案不唯一）
13. 已知集合，非空集合.
(1) 若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
由命题p：“，”是真命题，知，
又，所以得
(2) 若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围.
因为，所以，得.
因为命题q：“，”是真命题，所以，所以或，得或.综上，
14. 已知命题R，；命题R，.
(1) 若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
由题意得，得或
(2) 若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围.
命题p为真命题时，若时，显然满足，当时，则得，
综上可得p为真命题时，；当命题p真q假时，得；当命题p假q真时，得或.所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或
素 养 提 升
15. 设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
提示：因为非空集合P，Q满足，所以，对于选项AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故选项A正确，选项C错误；对于选项BD，由，若P是Q的真子集，则，；若，则，；故选项BD错误
A
16. 已知命题：.
(1) 命题：“”，若命题中至少一个为真，求实数的取值范围；
当命题：为假命题时，则或，命题：“”为真命题时，，得或，所以命题为假命题时，则，又因为命题都为假命题时，即，所以命题中至少一个为真时，实数的取值范围是或
(2) 命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
记，，因为是的充分不必要条件，所以，
当时，有，即时，满足条件；当时，有得.综上，实数的取值范围是(共26张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
目录
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A. 浙江省现有各地级市的名称
B. 2025年高考数学难题
C. 所有有理数
D. 小于的正整数
B
2. 方程的解集用描述法表示为（　　）
A.
B.
C.
D.
D
3. 集合用列举法可表示为（　　）
A.
B.
C.
D.
B
4. 已知集合中的三个元素是的三条边长，则一定不是（　　）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
A
5. 已知集合，则实数 　　　　.
提示：根据集合元素的互异性、无序性，有得
　
6. 已知集合，，，则集合中的元素个数为　　　　.
提示：因为集合中的元素，，，当时，，2，3，此时，6，7.当时，，2，3，此时，7，8.根据集合元素的互异性，，6，7，8，则集合，故共有4个元素
4
7. 若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合是　　　　 　　　　.
提示：当时，，满足题意；当时，若集合只有一个元素，则，得.综上所述，实数的取值集合是
8. 用适当的方法表示下列集合.
(1) 方程的解集；
(2) 平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3) 被5除余3的正整数组成的集合；
(4) 二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
（1） 　
（2） 　
（3） 　
（4）
综 合 应 用
9. (多选)下列关系中，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
AB　
10. (多选)若，则实数m的可能取值为
（ 　　）
A. 4 B. 2
C. 1 D.
提示：分类讨论：当时，，此时，，故满足；当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，，经检验满足.综上可知，或
ABD　
11. 若集合，且1 ，则实数的取值范围
为　　　　.
提示：由于，则，得
12. 用列举法表示下列集合：
(1) 　 　 　；
(2) 　 　　.
提示：（1） 由于，则6能被整除.又，则，3，4，5，故　（2） 由（1）知，当为0，3，4，5时，相应的值分别为1，2，3，6，故
13. 集合中的元素都是实数，若，则，且.
(1) 若，则集合中至少还有几个元素 求出这几个元素；
(2) 集合中能否只含有一个元素 请说明理由.
（1） 由于，则，，，故集合A中至少还有两个元素：和
（2） 不能.用反证法证明：假设集合中只含有一个元素，则，即，该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素
14. 已知集合，,.
(1) 若，问是否存在，，使成立？
设，令
，，则.故若，则存在，使成立
(2) 对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论.
不一定存在，使，证明如下：
设，则，当时，，此时存在，使；当时，，此时不存在，使成立.故对于任意，不一定存在，使
素 养 提 升
15. 设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”.已知集合
，则T的“孤立元”是　　　　；对给定集合，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有　　　　个.
5
16
提示：集合T=，依次判断每个元素是否为“孤立元”：对于1，其中2∈T，不是“孤立元”；对于2，其中1∈T，3∈T，不是“孤立元”；对于3，其中2∈T，不是“孤立元”；对于5，满足，是“孤立元”，所以T的“孤立元”是5.由集合S中3个元素构成的所有集合有20个，不含孤立元的集合有，，，，共4个，故含“孤立元”的集合有16个
16. 已知集合，，其中.若
，分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能成立的是
　　　　.
①且；②且；③且；
④且.
④
提示：（1） 当时，由题意知，，从而是的根且或者无实数根，即.
（i）若是的根且，则是的根，即，且，当时，则，此时，即；当时，此时，的解为，此时，即；
（ii）当时，无解，当时，此时，即；当时，此时，即；故①②可能成立
（2） 当时，不是的根，且，得，即，，
（i）当时，，，此时，即；
（ii）当时，的解为，若时，显然；若时，且，此时，，故③可能成立
（3） 当时，有一个解，有两个解，且的解不是的解，所以，即，所以的解不是的解，又有两个解，故，即有两个不等的根，所以有3个解，即，故④不可能成立(共23张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.2　集合间的基本关系
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知集合，那么（　　）
A. B.
C. D.
B
2. 设集合，若，则等于
（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D.
A
3. 已知集合，则集合的子集个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
D
4. 已知集合，，且，则实数的所有可能取值组成的集合为（　　）
A. B.
C. D.
提示：由于，则，又，则或，得或6，故实数的所有可能取值组成的集合为
A
5. 已知集合，则集合的真子集个数为________.
7
6. 若集合，，，则实数________.
提示：由于集合，，，当时，，集合中的元素之间不满足互异性，舍去；当时，，符合题意；当时，或，集合或集合中的元素之间不满足互异性，舍去.综上所述，
7. 已知集合，则________.
提示：由集合，则方程有两个相等实根，所以，得，所以，解得，所以，即，故
8. 设集合，，.
(1) 写出集合A的所有子集；
(2) 若B为非空集合，求实数a的值.
（1） 由解得或，则，故集合A的子集为：，，，
（2） B为非空集合，得或或，当或时，不满足韦达定理，舍去，故，得
综 合 应 用
9. （多选）设集合，，那么（　　）
A. B.
C. D.
AC
10. （多选）若集合，集合
，则A，B的关系不成立的是（ 　　）
A. B.
C. D.
提示：由，，，选项A，B，C错误
ABC
11. 满足的集合有_______个.
提示：，则集合M中一定含1，2，3这三个元
素，可得1种.，那么除去1，2，3这三个元素，还可以从4，5，6中取1个元素来构成机构集合的有3种，取2个元素的有3种，所以满足题意的有种）
12. 设非空集合，且当时，有，则满足题设条件的集合共有________个.
提示：由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合，因此满足题意的集合的个数为
31
13. 已知集合.
(1) 若A中只有一个元素，求a的值；
若时，，符合题意；当时，一元二次方程有两个相等的实根，则，得.综上所述，或
(2) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围；
若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或，若A中有一个，由（1）知：或；若，则得.综上所述，a的取值范围为或
(3) 若，求a的取值范围.
若，由（2）知，；若，则当时，由（1）可知，符合题意；当时，则得.综上所述，实数a的取值范围为
14. 设集合.
(1) 当时，求集合的非空真子集的个数；
(2) 若，求实数的取值范围.
（1） 由题知，，当时，-1，0，1，2，3，4共8个元素，故集合的非空真子集的个数为个）
（2） 由题知，，显然，因为，所以得
素 养 提 升
15. 已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P.具有性质P的集合M的个数为________.
提示：当时，为；当时，为；当时，为；当时，为.所以满足条件的集合有8个
8
16. 已知集合，对它的非空子集，将中的每个元素都乘以再求和，如，求和为，试对的每个非空子集按上述求和，则这些和的总和为________.
提示：考虑集合中的元素在总和中出现的次数，因为的子集共有个，其中不含“”的子集共有个，所以含“”的子集共有个，所以这些和的总和为(共27张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.4 　充分条件与必要条件
1.4.2　充要条件
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. “”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
2. “”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
3. 不等式成立的一个必要不充分条件是（　　）
A. B.
C. 或 D.
A
4. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
C
5. 设集合，，或，则“”是“”的　　　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
充要
6. 若“”是“”的充要条件，则的值为
　　　　.
7. 使成立的一个充分不必要条件是
　　 　　　　　　.
提示：只需求集合的真子集
答案不唯一）
8. 下列各题中，判断p是q的什么条件.
(1) p：，q：；
若，则，充分性成立；若，满足，但分式无意义，必要性不成立，所以是的充分不必要条件
(2) 对于反比例函数，，p：，q：y的值随x值的增大而减小；
(3) p：函数的图象关于y轴对称，q：函数.
（2） 对于反比例函数，若，则随的增大而减小，反之，若随的增大而减小，则，所以是的充要条件
（3） 图象关于轴对称的函数可以是，也可以不是，充分性不成立；函数的图象关于轴对称，必要性成立，所以是的必要不充分条件
综 合 应 用
9.（多选）已知，都是的充分条件，s是的充要条件，是的必要条件，则（　　）
A. 是的充要条件 B. 是的充分条件
C. 是的充分不必要条件 D. 是的充要条件
提示：因为，都是的充分条件，所以，.因为是的充要条件，所以.因为是的必要条件，所以.综上得，，，即是的充要条件，是的充分条件，故AB正确，CD错误
AB　
10.（多选）下列命题中错误的是 （　　）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要条件
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
BC　
提示：选项A，由，能推出，但由，不能推出，例如当时，符合，但不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确；选项B，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项B错误；选项C，由且能推出，充分性成立，故选项C错误；选项D，因为可以等于零，由不能推出，由等价于且，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项D正确
11. 已知命题甲：命题乙：则甲是乙的
　　 　　条件.
必要不充分
提示：当时，满足命题甲：此时命题乙不成立，即充分性不成立；反之若命题乙：成立时，得命题甲一定成立，即必要性成立，所以命题甲是命题乙的必要不充分条件
12. 已知命题：“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是　　　　.
提示：设命题：“方程至少有一个负实根”为真命题.
当时，，符合题意；
当时，，且，则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当时，若，解得，此时方程为符合题意；
若，解得，此时，则此时方程有两个负根，符合题意.
综上所述，为真命题时，的取值范围是.
若为真命题的一个必要不充分条件为，则
13. 已知a，b，c均为实数，证明“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明：若成立，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的判别式，且两根之积，所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，即充分性成立.反之，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，则两根之积，所以成立，即必要性成立.综上，“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件
14. 已知：，：.
(1) 若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
由p是q的充分不必要条件，得集合是集合的真子集，所以或得，所以实数m的取值范围是
(2) 若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，记集合，当，则，即时，符合题意；当，即时，得或得.综上得
素 养 提 升
15.（多选）已知集合，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是(　 　)
A.
B.
C.
D.
BCD　
提示：因为，，设“”是真命题.
当时，则，即，得或；
当时，则由题意得方程有两个非负实数根，
所以得.
综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为，故其充分不必要条件为它的真子集，故选项B，C，D均符合题意
16. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 　　　　　　.
提示：由题意得，可推出则不符合题意，
比如当时，不符合题意；
当时，则是的充要条件，不符合题意；
当时，等价于则可推出
所以，即实数的取值范围是(共22张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
1.3　集合的基本运算
1.3.1　集合的基本运算（二）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知集合，，则等于（　　）
A. B.
C. D.
A
2. 已知集合，，则集合等于（　　）
A. B.
C. D.
A
3. 设全集，集合
，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（　　）
A.
B.
C.
D.
C
4. 设全集，集合，则等于（　　）
A. 3 B.
C. 4 D. 2
提示：由得　
D
5. 设全集为，，，则___________.
6. 已知，，，，则______________.
提示：画韦恩图
7. 已知集合，，且，则实数的取值范围为________.
提示：由于，故，因为，所以，故的取值范围是
8. 已知全集，，.
(1) 求，；
(2) 求.
（1） ，或
（2） 由（1）得，
综 合 应 用
9. （多选）已知集合，
，则（　　 ）
A.
B.
C.
D.
提示：集合表示所有奇数构成的集合，，选项ABC正确，选项D错误
ABC
10. （多选）已知，为全集的非空真子集，若，则（　　）
A. B.
C. D.
提示：因为，为全集的非空真子集且，所以，则，，，故选项A错误，选项B、D正确；当时，，当时，，故选项C错误
BD
11. 对于任意两集合，定义，
，记集合
，则________________________.
提示：由于，则，，故
　
12. 已知全集，集合，
，若，则实数的取
值范围是____________.
提示：当时，，即，此时，
，符合题意；
当时，，得，因为集合，，所以或，因为，所以，得，所以当时，.综上所述，实数的取值范围是
13. 已知集合，.
(1) 当a=2时，求，；
(2) 若R，求实数的取值范围.
（1） 当时，故;，故
（2） 由于，则，故得
14. 已知全集为R，集合，.
(1) 若，求；
若，则，由，解得，则，则，则
(2) 若，求实数的取值范围.
由于，当，即时，，符合题意；当，即时，，要满足，得，得，综上，实数的取值范围为或
素 养 提 升
15. 已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，
中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为（　 　）
A. 2 B. 6
C. 8 D. 12
BC
提示：因为中有m个元素，所以中有个元素，设集合B中元素个数为，又集合A中含有6个元素，则，即，因为，所以，又中共有12个元素，所以，则
16. 已知集合，，且
，，则________.
提示：由题意得1，，.当时，则不满足元素互异性，当即时，，，满足要求.故
3

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