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第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.4　对数函数
4.4.3　不同函数增长的差异
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表，则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（　　）
1 3 5 7 9 11
5 25 45 65 85 105
5 29 245 2 189 19 685 177 149
5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
B
2. 小明在调查某班小学生每月（x）的人均零花钱(y)时，得到了下列一组数据：
2 3 4 5 6 …
1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（　　）
（参考数据：，）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
C
提示：根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象（如图）.
观察发现，这些点基本上是落在函数
图象上或附近，因此用这一函数模型.
当时，，则有
.由且
的最小值为10.故选C
3. 设集合，，则的元素个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
提示：如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.故选C
C
4. 下列函数中，当足够大时，增长速度最快的是（　　）
A. B.
C. D.
提示：指数函数时呈爆炸式增长，并且随值的增大，增长速度越快，在一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数中，增长速度最快的是指数函数.故选A
A
5. 某工厂8年来某种产品年产量C与时间t（年）的函数关系如图.
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年到第八年每年的年产量保持不变.其中说法正确的是
　　　　.（填序号）
提示：由题图可知，前三年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确
②④
6. 一般地，对于指数函数与一次函数，随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而增长越　　　，
增长越　　　.
快
慢
提示：如图1，是指数函数与一次函数的图象.
一次函数保持固定的增长速度，
而增长得越来越快.
如图2，是一次函数与对数函
数的图象.
由图可知一次函数保持固定
的增长速度，而对数函数增长得越来越慢
7. 函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.
（1） 请指出图中曲线分别对应的函数；
对应的函数为对应的函数为
（2） 结合函数图象，判断，，的大小．
因为
，
所以，
所以.
从图象上可以看出，当时，，所以.
当时，，所以.
又由函数的单调性易知.
所以
综 合 应 用
8.（多选）如图表示一位骑自行车
和一位骑摩托车的旅行者在相距
80 km的甲、乙两城间从甲城到
乙城所行驶的路程与时间之间的
函数关系，有人根据函数图象，
提出了关于这两个旅行者的如下
信息，其中，正确的信息有 （　 　）
A. 骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h
B. 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C. 骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
ABC　
提示：看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确；D错误
9.（多选）已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是 （　　）
A. 随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B. 随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C. 当x∈（0，＋∞）时，y1的增长速度一直快于
D. 当x∈（0，＋∞）时，y2的增长速度有时快于
BD　
提示：对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，此后y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，BD正确；
对于y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，此后y3再也追不上y1，其中y1增长速度有时快于y3，C错误
10. 四人赛跑，假设其跑过的路程f（x）和时间（x）的函数关系分别是：①f1（x）＝x2，②f2（x）＝4x，③f3（x）＝log2x，④f4（x）＝2x.如果他们一直跑下去，那么最终跑在最前面的人具有的函数关系是　　　.（填序号）
提示：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④
④
11. 下列说法不正确的是　　　　.（填序号）
①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快；
②对任意的，都有；
③对任意的，都有.
①②③
提示：对于①，函数和的图象如图1所示，由图象知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，故①错误.
对于②，当时，的图象如图2所示，由图象知对任意的不一定正确，故②错误.
对于③，当时，
的图象如
图3所示，由图象知
对任意的
不一定
正确，故③错误
12. 在同一直角坐标系内分别作出下列各组函数的草图，比较它们在区间（0，＋∞）上增长的快慢．
（1） 和；（2）和．
（1） 当x较小时，y＝2x增长较快，而后y＝x2增长变快，并反超y＝2x，当x继续变大，y＝2x增长加速，从新反超y＝x2，此后一直速度快于y＝x2
（2） y一直保持匀速增长，当x较小时，y＝log2x增长较快，并超过y，随后由于y＝log2x增长速度越来越慢，因此当x较大时，被y反超，此后速度一直落后
13. 为了提高员工的工作积极性，某公司想修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下两点需求：
①奖金随着销售业绩的提高而提高；
②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；
公司规定销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为2千元.设业绩为万元时奖金为千元，现给出三个函数模型：①；②；③.其中，.
（1） 请选择合适的函数模型符合该公司新的“员工激励计划”，并给出合理的解释；
选择模型③，理由如下.
当时，
①②③中的函数均随增加而增加，满足第一点需求，
但①②函数模型随增加，但增加的幅度不变或减小，不满足第二点需求；
而③函数模型随着增加，增加的幅度增大，满足第二点需求，故选择模型③
（2） 试根据（1）选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖金为多少千元．
由题意得，
解得故，所以.
故销售业绩为200万元时的奖金为266千元
素 养 提 升
14. 函数的大致图象是(　　)
B
提示：时，指数函数增速快于二次函数，故f（x）→＋∞，图象单调递增，故排除C.
时，，故，故排除D.
又，即f（x）＞0时有两个零点，故图象B符合，图象A不符合.
故选B
15. 集合的真子集的个数为（　　）
A. B.
C. D.
提示：分析指数函数与幂函数的图象增长趋势，当时，有1个交点；当时，有2个交点；即集合有3个元素，所以真子集个数为，故选D
D(共22张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.3　对数
4.3.2　对数的运算（一）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列四个结论，其中正确的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C
2. 设，，则（　　）
A. B.
C. D.
D
3. 若，则的值为（　　）
A． B． 2
C． D． 5
提示：由，得，所以
C
4. 若a＞0，且a≠1，x∈R，y∈R，xy＞0，给出下列等式：
①logax2＝2logax；
②logaxy＝loga|x|＋loga|y|；
③logax2·logay2＝4loga|x|·loga|y|
正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
5. 已知，则的值为　 　　.
提示：，所以
或
6. 计算：　　　.
提示：原式
0
7. 若，是方程的两个根，则
　　　　．
提示：根据题意由根与系数的关系可知，，所以，即
8. 计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
综 合 应 用
9.（多选）已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是（　　）
A.（2a）2＝2b B. a·elna＝b
C. b＝2a D. log2a＝log8ab
提示：由2log3＋log3b＝0，得a＞0，b＞0，且log3a－2＋log3b＝0，
即log3a－2b＝0，所以a－2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不总是成立，则C错误；
由于（2a）2＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，故A错误；
由于a·elna＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；
又log8ab＝log8a3＝loa3＝log2a，D正确
BD
10. (多选）如果方程lg2x＋（lg2＋lg3）lgx＋lg2·lg3＝0的两个根为x1，x2，那么lgx1·lgx2和x1·x2的值分别为 （　 　）
A. lg2·lg3 B. lg2＋lg3
C. D. －6
提示：方程lg2x＋（lg6）lgx＋lg2·lg3＝0的两个根为x1，x2，可得lgx1·lgx2＝lg2·lg3，lgx1＋lgx2＝－lg6，即x1·x2
AC　
11. 若2log6x＝1－log63，则x＝　　　　.
12. 计算：lg（）＝　　　　.
提示：原式lg2lg（6＋2lg10
13. 已知m＞0，n＞0，log4m＝log8n＝log16（2m＋n），求log2－log4n的值.
由log4m＝log8n＝log16（2m＋n），得lom＝lon＝lo2m＋n），
则log2log2log2，于是k＞0.
整理得m＝k2，n＝k3，2m＋n＝k4，即2k2＋k3＝k4，解得k＝2，即m＝4，n＝8，
所以log2－log4n＝log22－log48＝1－lo23＝1－－
14. 计算：
（1） ；
（2）（.
素 养 提 升
15. 18世纪，数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数．利用以上公式，可以估计的值为　　　　．
提示：由题意，可得
　
16. 已知，则　 　　　（用表示）
提示：(共35张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.5　函数的应用（二）
4.5.1　函数的零点与方程的解
基础训练
综合应用
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基 础 训 练
1. 如果是函数的零点，那么一定在下列哪个区间中（　　）
A. B.
C. D.
提示：因为，易得是上的连续递增函数.因为，所以函数的唯一零点在区间内
B
2. 的零点所在区间为（　　）
A. B.
C. D.
提示：因为在上连续且单调递增，且，所以函数的零点所在区间为
C
3. 函数的零点是（　　）
A. B.
C. D.
C
提示：解方程，即，解得或.因此，函数的零点为
4. 下列图象表示的函数没有零点的是 （　　）
A
5. 设为方程的解，若，则的值为________.
提示：由题意可知是方程的解，所以.令.因为为R上的连续增函数，根据零点存在定理可得.根据，可得
　
6. 已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
2 8 12 5
则函数在上的
零点至少有________个．
提示：由图表可知，
，且函数图象是连续不断的，由零点存在定理可得，函数在区间上至少有一个零点，在区间上至少有一个零点，上至少有一个零点，所以函数在上的零点至少有3个
3　
7. 已知函数若的零点个数为2，则实数的取值范围为____________________ _____________.
提示：由题知，
函数
作出的图象，利用数形结合思想可知，当时，与有两个交点
　
8. 求下列函数的零点：
（1） ；
（2） .
（1） 　
（2） 4
综 合 应 用
9. （多选）对于函数，如果存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（　　）
A.
B.
C.
D.
BC　
提示：依题意只需判断与有无交点，若有交点，则为“不动点”函数.
对于A：根据与的图象可知与无交点，故不是“不动点”函数，故A错误.
对于B：令，得，因为，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数，故B正确.
对于C：当时，令，得或，从而该函数为“不动点”函数，故C正确.
对于D：令，得，方程无解，因而该函数不是“不动点”函数，故D错误
10. （多选）已知函数f（x）=lnx＋ln（2－x），则 （　 　）
A. f（x）在区间（0，1）上单调递增
B. y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
C. y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D. 函数y=－ex有两个零点
ACD
提示：函数f（x）的定义域为（0，2），又f（x）＝lnx＋ln（2－x）＝ln（2x－x2）.
令g（x）＝2x－x2＝－（x－1）2＋1，x∈（0，2），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减.
又y＝ln x为单调递增函数，所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，故选项A正确；
因为函数g（x）的对称轴为直线x＝1，则函数f（x）关于直线x＝1对称，故选项B错误，选项C正确；
因为f（x）max＝f（1）＝0，所以函数y＝
| f（x）|＝－f（x），所以y＝| f（x）|在区间
（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调
递增，又函数y＝ex在R上为增函数，则函数y＝
| f（x）|与函数y＝ex在平面直角坐标系中的图象
如图所示，故函数y＝| f（x）|与函数y＝ex在区间（0，2）上有两个交点，即函数y＝| f（x）|－ex有两个零点，故D正确
11. 已知函数的零点依次为，则的大小关系为______________.
提示：对于 ，显然是R上的连续增函数，，所以的唯一零点.
对于，显然在区间上是增函数，，所以的唯一零点
.
对于，显然在区间上是增函数，，所以的唯一零点.
所以
12. 设方程的根为，方程的根为，则的值为________.
4
提示：由题意，作出函数图象（如图）.
由方程的根为，则函数与的交点为.
由方程的根为，则函数与的交点为.
由函数与的图象关于对称，且与垂直，则与关于直线对称，即.
由题意可得，则.
所以
13. 已知函数是定义在R上的偶函数，
且当时，．
（1） 已知函数的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函
数的单调递增区间；
单调递增区间为
（2） 写出函数的解析式；
设，则 ，所以，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
所以当时，.
故的解析式为
（3） 若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论）
因为有个不相等的实数根，
等价于与的图象有个交点.
结合（1） 中的图象可知，
当时，与的图象有个交点，
所以
14. 已知函数．
（1） 若是偶函数，求的值；
因为函数是偶函数，所以，可得，解得.将代回检验，得函数是偶函数，符合题意.所以
（2） 若方程在R上有实数解，求实数的取值范围；
方程在上有解，即有实数解，令，即方程有正根，令，对称轴，所以，解得
（3） 若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
由题意可知，令，所以，所以
，
因为在区间上单调递增，
所以，即，
所以，又，
故
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15. 已知函数若函数有6个零点，则的值可能为（　　）
A. B.
C. D.
C
提示：由题可得，在区间
上单调递减，在区间上单调递增，则据此可作出函数的大致图象.
令，则由题意可得有2个不同的实数解，且，记，
则解得，观察选项可知，满足题意
16. 定义函数
若至少有3个不同的解，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
B
提示：由题知.
记，
所以的图象为图象靠下的位置.
因为有两个根，分别为或，若至少有3个不同的解，
则有一个解或者两个解，即，解得或.
当时，，所以对称轴为，
若至少有3个不同的解，画出的大致图象（如图1）.
根据图象则需满足，即，解得.
当时，，所以对称轴为，此时大致图象如图2.
根据图象则需满足，即，解得，又因为，故.
当时，，解得根为－1，因为的根为－1，1，
此时的根为－1，1，不满足有三个根，故舍去.
综上，(共23张PPT)
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单元检测卷（指数与指数函数）
第四章　指数函数与对数函数
一、 单选题
1. 下列各函数中，为指数函数的是（　　）
A. B.
C. D.
D
2. 若函数与的图象关于轴对称，则满足的的取值范围是（　　）
A. B.（
C.（ D.（
C
3. 已知无理数，若，，，则它们的大小关系是（　　）
A. B.
C. D.
A
4. 若“ x∈，2x－1＋2－x－m＜0”为假命题，则m的取值范围为（　　）
A.（－∞，］ B. ［，＋∞）
C. D.
C
提示：由题意得该命题的否定为真命题，即“ x∈［0，2］，2x－1＋2－x－m≥0”为真命题，
2x－1＋2－x－m≥0即m≤2x－1＋2－x，
令t＝2x，因为x∈［0，2］，则t∈［1，4］，
则存在t∈［1，4］，使得m≤t＋成立，令f（t），令，则t负舍），
则根据对勾函数的性质知f（t）在区间［1，上单调递减，在区间，4］上单调递增，
且f（1），f（4），则f（t）max＝f（4），则m≤
二、 多选题
5. 已知指数函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不可能是（　 ）
ABD　
提示：由指数函数的图象和性质可知：0＜＜1.若a，b均为正数，则a＞b＞0，根据一次函数的图象和性质得此时函数y＝ax＋b图象过第一、二、三象限，即C正确；若a，b均为负数，则a＜b＜0，此时函数y＝ax＋b过第二、三、四象限
6. 定义在上的奇函数和偶函数满足
.下列结论正确的有（ 　　）
A. 且
B. 总有
C. 总有
D. ，使得f（2x0）＞2f（x0）g（x0）
　
提示：定义在上的奇函数和偶函数满足:，又，得.所以.，故A正确.
，故B正确.
根据奇偶性，
，故C正确.
，故D不正确
三、 填空题
7. 已知实数且若函数的值域为则实数的取值范围是___________.
提示：实数且，若函数的值域为.当时，的值域为，与值域为矛盾，所以不成立.当时，对于函数，函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即，解得.综上可知的取值范围为
8. 已知函数且函数图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ________.
提示：函数为减函数，且图象不经过第一象
限，所以，即
9. 已知函数是R上的增函
数，则实数a的取值范围是__________.
提示：因为函数是R上的增函数，则解得即
10. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
提示：当时，，而函数在区间上单调递增.
又是增函数，因此函数在区间上单调递增.
，即函数在区间上的值域为.
当时，函数的值域为，而函数的值域为，因此，
而当时，，必有解得，所以实数a的取值范围是
四、 解答题
11. 计算：
（1）（；
（2） .
（1） 原式
（2） 原式
12. 已知定义域为R的函数是奇函数.
（1） 求的值；
因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以.
又因为，所以，将代入，整理得.
当时，有，即.
又因为当时，有，所以，所以.
经检验符合题意，所以
（2） 判断的单调性；
由（1）知：函数.
因为为上单调增函数，且，则函数在上是减函数
（3）若存在，使成立，求的取值范围.
因为存在，使成立.
又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为.
又因为函数在上是减函数，所以，所以.
令，
由题意可知：问题等价转化为，又因为，所以
13. 设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1.
（1） 求证：f（0）＝1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
对任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），令m＝1，n＝0，则f（1）＝f（1）·f（0）.因为当x＞0时，0＜f（x）＜1，所以f（0）＝1.设m＝x＜0，n＝－x＞0，则f（0）＝f（x）·f（－x），其中0＜f（－x）＜1，所以f（x）1.即当x＜0时，有f（x）＞1
（2） 判断f（x）在R上的单调性；
设x1＜x2，则x2－x1＞0，所以0＜f（x2－x1）＜1.由（1）知，
f（x1）＞0，所以f（x2）－f（x1）＝f（（x2－x1）＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）·f（x1）－f（x1）＝f（x1）·［f（x2－x1）－1］＜0，即f（x2）＜f（x1），所以f（x）在R上单调递减
（3） 试举出一个满足条件的函数f（x），并说明举例的理由.
答案不唯一.如：f（x）.因为f（m＋n）·f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1.故指数函数f（x）满足题意(共28张PPT)
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第四章　指数函数与对数函数
单元检测卷（对数与对数函数）
一、 单选题
1. 已知则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
A
提示：由对数的定义可知所以
2. 函数（且）恒过定点（　　）
A. B.
C. D.
提示：由于，则函数恒过定点
D
3. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则
（　　）
A.
B.
C.
D.
B
提示：因为偶函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，且.又，
所以，
所以，即
4. 函数的大致图象是（　　）
D
提示：方法1：因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称.又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除.
当时，，即，因此，故排除A.
方法2：由方法1，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除.又，所以排除A
二、 多选题
5. 已知函数，则（　　）
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递减
C. 图象关于直线成轴对称
D. 图象关于点成中心对称
AC
提示：选项AB，由.令，则.当时，单调递增，单调递增，则函数单调递增，故A正确，B错误.
选项C，，
则，则的图象关于直线成轴对称；故C正确.
选项D，由，则，则的图象不关于点成中心对称，故D错误
6. 若，则下列结论可能成立的是（　 　）
A. B.
C. D.
BCD　
提示：若与同号，则由得，即， 所以.
当与同为正时，，故C正确.
当与同为负时，，故A错，B正确.
若，则，故D正确
三、 填空题
7. 函数的定义域为________________________.
提示：由对数函数的定义可得，解得或，所以函数定义域为
8. 已知函数f（x）=lg（＋x）＋2，若f（－m）=3，则f（m）=________.
提示：根据题意，函数f（x）＝lg＋x）＋2，其定义域为R，
则f（－x）＋f（x）＝lg－x）＋2＋lg＋x）＋2＝lg 1＋4＝4，
从而f（－m）＋f（m）＝4，而f（－m）＝3，得f（m）＝1
1　
9. 已知函数是上的减函数，则a的取值范围为____________.
提示：由题意，是R上的减函数，所以即解得
　
10. 若函数的值域为R，实数a的取值范围是________.
提示：函数的值域为，设的值域为，则.
当时，，此时，符合.
当时，解得.
综上，得实数a的取值范围是
　
四、 解答题
11. 已知a∈R，函数f（x）=log2.
（1） 当a=4时，求f（x）的定义域；
函数f（x）＝log2，
由4＋0，即x（1＋4x）＞0，解得x＞0或x＜－，
可得f（x）的定义域为
（2） 设a＞0，若对任意t∈［1，2］，函数f（x）在区间［t，3t－1］上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.
函数f（x）在区间［t，3t－1］上单调递减，
由题意得f（t）－f（3t－1）≤1，
即log2－log2≤1，
即＋a≤2，即a≥.
设r＝t－1，则0≤r≤1，可得.
当r＝0时，0；
当0＜r≤1时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得r处取得最大值5－2，
可得a的取值范围是a≥5－2
12. 已知函数.
（1） 求不等式的解集；
由，可得，故函数的定义域为，关于原点对称.
又，即为奇函数.
又，
函数在区间上单调递减，值域为.
由复合函数的单调性质知在区间上单调递减，且的值域为R.
不等式，转化为
.
因为为奇函数，所以
.
因为在区间上单调递减，所以
，
即，即，
即，解得.
则原不等式的解集为
（2） 函数，≠1），若存在，使得成立，求实数的取值范围.
因为存在，使得成立，
所以时，的值域与的值域有交集.
因为在区间上是减函数，，
所以的值域为.
当时，在区间上单调递减，故的值域为，
所以即.
当时，在区间上单调递增，故的值域为，不符.
综上所述，实数的取值范围为
13． 若存在实数使得，则称函数为函数，的“函数”．
(1) 若函数为函数的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数的解析式；
因为为、的“函数”，所以①，所以．
因为为奇函数，为偶函数，所以
，
所以②.
联立①②得，
(2) 设函数，，是否存在实数，使得函数为函数，的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
假设存在实数使得函数为函数的“函数”.则
①因为是偶函数﹐所以．
即，
则
，
整理得．
因为对恒成立，所以．
②
．
因为，
当且仅当取等号，
所以，
由于的值域为，
所以，则，
又，所以．
综上，存在满足要求(共26张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是 （　　）
C
2. 若函数的图象经过，则的值为（　　）
A. B.
C. 3 D. 9
B
3. 给出下列函数：；；；
；．其中，指数函数的个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
B
4. 已知函数，则的值为（　　）
A. 2 B. 4
C. 5 D. 7
C
5. 函数是指数函数，则=_______.
3
提示：由指数函数的概念，得且，解得
6. 若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是________________.
提示：由于函数是自变量）是指数函数，则且，解得且
且
7. 已知指数函数在上单调递增，则的值为________.
提示：，解得.又函数在上单调递增，则
2
8. 已知函数则________.
提示：由得，则
综 合 应 用
9. （多选）设指数函数，且，则下列等式正确的是（　 　）
A.
B.
C.
D.
ABC
提示：对于A，，
所以，故A正确.
对于B，，
所以，故B正确.
对于C，，
所以，故C正确.
对于D，，
所以，故D错误.故选ABC
10. （多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at（a＞0，且a≠1），则 （　　 ）
A. a=3
B. 第4个月时，浮萍面积超过80 m2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 浮萍每月的增长率为2
ABD
提示：由图可知，函数过点（1，3），将其代入解析式y＝at，可得a＝3，A正确；
所以y＝3t，可得第4个月的浮萍面积为34＝81（m2），超过了80 m2，B正确；前3个月的浮萍面积，分别为3 m2，9 m2，27 m2，9－3≠27－9从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，C不正确；每月增长率为2，故每月增长率为2，D正确
11. 若函数为偶函数， 且当时，，
则_________.
提示：当时，，所以.又因为为偶函数，所以
12. 已知若，则
__________.
提示：因为，所以
13. 已知函数（且）的图象过点．
（1） 求函数的解析式；
由，得，
所以函数的解析式为
（2） 判断的奇偶性并证明．
函数是奇函数.
证明：由（1）知：，
函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
所以.
故函数是奇函数
14. 函数的图象如图所示，由指数函数
与幂函数“拼接”而成．
（1） 求函数的解析式；
将分别代入，
求得所以
（2） 已知，求的取值范围．
由题意，根据定义域和单调性，有解得
素 养 提 升
15. 已知定义域为R的函数满足：①
，②，则满足条件的的一个解析式为____________.
提示：由，可知符合该性质的函数可以为指数函数，又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为
16. 已知函数R，且，，，…，，，求函数的一个解析式.
由已知得，.
.
.
，又(共41张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.4　对数函数
4.4.2　对数函数的图象和性质(二)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 函数f（x）＝log0.5（4x－3）的定义域为 （　　）
A.（1，＋∞） B.
C. D.
提示：对于函数f（x）＝log0.5（4x－3），有4x－3＞0，解得x，故函数的定义域为
B
2. 为了得到函数y＝lox的图象，只需将函数y＝log2的图象
（　　）
A. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
A
3. 已知函数，则是（　　）
A. 奇函数，且在区间上是增函数
B. 奇函数，且在区间上是减函数
C. 偶函数，且在区间上是增函数
D. 偶函数，且在区间上是减函数
A
提示：若函数有意义，则解得，即函数的定义域为.
因为
，所以函数是奇函数.
函数，
因为函数在区间上单调递增，函数在定义域上单调递增，
所以函数在区间上是增函数.
故选A
4. 16世纪，英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，，则a，b，c的大小关系为
（　　）
A. B.
C. D.
A
提示：因为函数单调递增，所以.因为函数单调递减，所以.因为单调递减，所以.所以，故B，C，D错误
5. 若的值域为，则的取值范围
是　　 　　　.
提示：因为函数的值域为，所以真数部分可以取得所有的正数，所以，即，解得.所以的取值范围是
6. 已知函数f（x）＝loga（ax2－x＋3）（a＞0，且a≠1）在区间［2，4］上是增函数，则实数a的取值范围是　 　　　.
提示：设μ＝ax2－x＋3.
则原函数f（x）＝loga（ax2－x＋3）是函数y＝logaμ，μ＝ax2－x＋3的复合函数，
①当a＞1时，因μ＝logax在区间（0，＋∞）上是增函数，根据复合函数的单调性，得函数μ＝ax2－x＋3在区间［2，4］上是增函数，
所以所以a＞1.
＜a或a＞1
②当0＜a＜1时，因μ＝logax在区间（0，＋∞）上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数μ＝ax2－x＋3在区间［2，4］上是减函数，
所以
所以＜a≤.
综上所述：＜a≤或a＞1
7. 设，若函数，的值域为，则的取值范围是　　　　.
提示：作出函数图象（如图），根据题意，得.
令，解得或.
结合，
①若，则不合题意，舍去.
②若，则，此时.
③若，则，此时.
④若，则.
综上所述，
8. 已知函数.
(1) 当时，求该函数的值域；
.
.
令，则函数化为.
因此当时，取得最小值.
当时，取得最大值0，
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0，
可得函数的值域为
(2) 若对于恒成立，求实数m的取值范围．
恒成立，
即恒成立.
方法1：令，则恒成立，
令，
则解得，
所以实数的取值范围为.
方法2：即m＋1t－对于任意t∈［1，3］恒成立，
令h（t）＝t－，下求h（t）在t∈［1，3］的最大值，
因为h（t）≤h（3），故m＋1，即m.
综 合 应 用
9.（多选）若logab＜0，则函数f（x）＝ax＋b与g（x）＝logb（a－x）在同一坐标系内的大致图象可能是 （　　）
BC　
提示：因为logab＜0＝loga1，
所以当0＜a＜1时，得b＞1，
所以y＝ax在定义域内单调递减，
且f（x）＝ax＋b＞b＞1.
函数g（x）＝logb（a－x）的定义域为（－∞，a），
且由简单函数μ（x）＝a－x，g（μ）＝logbu复合而成.
由复合函数的单调性可知g（x）＝logb（a－x）在定义域范围内单调递减，
且当x趋近于a时，y取得无穷小，故B正确，D错误；
当a＞1时，得0＜b＜1，
所以y＝ax在定义域内单调递增，且f（x）＝ax＋b＞b.
当x无穷小时，f（x）＝ax＋b无限趋近于b＜1，
此时g（x）＝logb（a－x）在区间（－∞，a）内单调递增，
且当x趋近于a时，y取得无穷大，故C正确，A错误
10.（多选）已知函数，若，且
，则（　　）
A. B.
C. D.
AC　
提示：由题意得作出其大致图象（如图）.
所以在区间上，函数是减函数，在
区间上，函数是增函数.
因为，所以若，则
，不合题意，所以，C正确.
若，则，也不合题意，所以，A正确.
结合图象可知b可大于1，可小于1或等于1，B错误.
由，可得所以所以，故，D错误
11. 若实数x，y，z满足log3x＝log4y＝5z，则x，y，z的大小关系
为　　 　　.
提示：设log3x＝log4y＝5z＝t，则t＞0，
设f（x）＝log3x，f（x）＝log4x，f（x）＝5x，f（x）＝t.
作出函数的图象，如图所示.
由图可得a＞b＞c，所以z＜x＜y
z＜x＜y　
12. 若不等式在上恒成立，
则实数a的取值范围为　 　　　.
提示：变形为，即在上恒成立.若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意.
若，画出两个函数的图象如图所示，要想满足在上恒成立，只需，即，解得.综上，实数a的取值范围是
13. 已知函数，的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．
（1） 若，求的值
函数，当时，，则函数图象恒过定点.
又因为在函数的图象上，即，解得负值舍去）.
则，由，则.
令，则， 即，即.
因为，所以，即，解得
（2） 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
因为，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
方法1：令，则，函数的对称轴为.
①，即在区间上单调递增，，则，又，所以.
②，即，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则
，则，又，所以无解.
③，即在区间上单调递减，，即，又，所以无解.
综上所述，实数的取值范围为
方法2：即k－4＜x＋对于任意x∈［3，4］恒成立，
令h（x）＝x＋，下求h（x）在x∈［3，4］的最小值，
因为h（x）在x∈［3，4］递增，故h（x）≥h（3），即k－4＜ k＜.
14. 已知是定义在R上的偶函数，且
，．
（1） 求的解析式；
是定义在R上的偶函数，所以
.此时
，满足题意.所以
（2） 设，若存在，对任意的，都有，求实数t的取值范围．
依题意存在，对任意的，都有.
在区间上递增，在区间上的最小值为.
，开口向上，对称轴为，
当时，在区间上递增，最小值为，依题意可知，则.
当时，的最小值为，依题意可知，则.
当时，在区间上递减，最小值为，依题意可知，不符合.
综上所述，的取值范围是
素 养 提 升
15.（多选）函数 的图象过点和点，且图象无限接近直线，则（　 　）
A.
B. 函数的递增区间为和
C. 函数是偶函数
D. 方程有个解
ACD　
提示：因为，所以，即.
所以函数的图象关于直线对称，又已知其图象无限接近直线，
所以，所以.
由已知得
所以所以.
的图象如图所示，所以，故A选项正确.
由图可知的单调递增区间为
，所以B错误.
又为偶函数，所以C正确.
由，得.记 .
注意到最大值，且g开口向下，所以与有个交点，即方程有个解，所以D正确
16. 已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
B
提示：因为，
所以.
即，
所以均为方程的根.
由于函数在定义域内单调递增，且，
所以方程的根唯一，
所以(共30张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.2　指数函数
4.2.2　指数函数的图象和性质（二）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 设R，且，则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
C
2. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
3. 下列比较大小正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
4. 已知函数（，）恒过点，则函数的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
5. 不等式的解集为___________________________．
提示：由，
所以，即，
解得或
6. 已知函数是R上的单调递增函数，则实数的取值范围是________.
提示：函数是R上的增函数，则在区间上单调递增，故.在区间上单调递增，则.又在处，有，解得，所以a的取值范围是
7. 设，则大小关系是____________.
提示：因为在区间上单调递增，所以，即，因为在R上单调递减，所以，即综上，
8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最小值为____________.
提示：是偶函数，所以.是奇函数，所以.两式联立解得，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值是
综 合 应 用
9. （多选）已知函数f（x）是定义在区间
［－4，0）∪（0，4］上的奇函数，当
x∈（0，4］时，f（x）的图象如图所示，
那么满足不等式f（x）－3x＋1≥0的x的可
能取值是 （　　）
A. －4 B. －1
C. D. 2
AC
提示：因为函数f（x）是定义在［－4，0）∪（0，4］上的奇函数，由题意，画出函数f（x）在［－4，0）∪（0，4］上的图象，如图，在同一坐标系内画出y＝3x－1的图象.因为f（2），所以f（－2）＝－f（2）＝－3－2－1，又f（1）＝2＝31－1，所以f（x）的图象与y＝3x－1的图象交于和（1，2）两点，f（x）－3x＋1≥0，即为f（x）≥3x－1，由图象可得，只需－4≤x≤
－2或0＜x≤1，故A，C可能取到
10. （多选）对于函数定义域中任意的，当时，结论正确的是（　 　）
A.
B.
C.
D.
ACD
提示：.
对于A：，故A正确.
对于B：，故，故B错误.
对于C：不妨设，因为在定义域上单调递增，则，所以，所以，故C正确.
对于D：因为且，即，
所以，即，所以，故D正确
11. 方程有________个实数根.
2
12. 函数的单调递减区间为____________，值域为________.
提示：函数的定义域为R，，所以的值域为
设在区间上单调递减，在区间上单调递增.
为减函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减
　
　
13. 已知函数f（x）=ax（ax－3a2－1）（a＞0，且a≠1）在区间［0，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
由题意得f（x）＝（ax）2－（3a2＋1）ax.
令t＝ax.f（t）＝t2－（3a2＋1）t（t＞0）.
当a＞1时，t＝ax在区间［0，＋∞］上为增函数，则此时t≥1，
而对于f（t）而言，对称轴t2，
故f（x）在区间［0，＋∞）上不可能为增函数.
当0＜a＜1时，t＝ax在区间［0，＋∞）上为减函数，
此时0＜t＜1，要使f（x）在区间［0，＋∞）上为增函数，
则f（t）在区间（0，1］上必为减函数，故≥1.
所以a≥或a≤－，
所以≤a＜1
14. 已知指数函数f（x）的图象过点（3，27），函数g（x）=f（x）＋f（－x）
（1） 求f（x）的解析式；
设f（x）＝mx（m＞0且m≠1），
因为指数函数f（x）的图象过点（3，27），
所以f（3）＝m3＝27，解得m＝3，
所以f（x）＝3x
（2） 判断g（x）在区间［0，＋∞）上的单调性，并用定义证明；
g（x）在［0，＋∞）上单调递增.
证明如下：
由（1）易知g（x）＝3x＋3－x＝3x＋，
对 x1，x2∈［0，＋∞），且x1＜x2，
有g（x2）－g（x1）
，
因为x2＞x1＞0，所以，x1＋x2＞0，此时1，
可得0，所以g（x2）－g（x1）＞0，
即g（x2）＞g（x1），则g（x）在区间［0，＋∞）上单调递增
（3） 若不等式g（t）－g（x2＋2x＋3）≤0对x∈R恒成立，求t的取值范围.
易知g（x）＝g（－x），
所以g（x）是偶函数，若g（t）－g（x2＋2x＋3）≤0，即g（t）≤g（x2＋2x＋3），
易得x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，
因为g（x）在［0，＋∞）上单调递增，
所以|t|≤x2＋2x＋3即可，可得|t|≤2，
解得－2≤t≤2.
故t的取值范围为［－2，2］
素 养 提 升
15. （多选）已知函数f（x）=，则（　 　）
A. 当a=0时，f（x）为偶函数
B. f（x）既有最大值又有最小值
C. f（x）在（－∞，a］上单调递增
D. f（x）的图象恒过定点
ACD
提示：当a＝0时，f（x）＝2－x2，定义域为R，因为f（－x）＝2－（－x2）＝2－x2＝f（x），所以f（x）为偶函数，A正确；
因为y＝－x2＋2ax＝－（x－a）2＋a2≤a2，所以0＜f（x）＝2－x2＋2ax≤2a2，则f（x）有最大值，没有最小值，B错误；
因为y＝－x2＋2ax在区间（－∞，a］上单调递增，在区间［a，＋∞）上单调递减，又y＝2x在R上单调递增，
所以f（x）在区间（－∞，a］上单调递增，在区间［a，＋∞）上单调递减，C正确；
当x＝0时，f（0）＝20＝1，所以f（x）的图象恒过定点（0，1），D正确
16. 设函数f（x）=k·2x－2－x是定义域为R的奇函数.
（1） 求k的值；
因为f（x）＝k·2x－2－x是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝0，所以k－1＝0，解得k＝1，f（x）＝2x－2－x，当k＝1时，f（－x）＝2－x－2x＝－f（x），则f（x）为奇函数，故k＝1
（2） 若不等式f（x）＞a·2x－1有解，求实数a的取值范围；
f（x）＞a·2x－1有解，即a＜－＋1有解，
所以a＜.
因为－＋1＝－≤，（x＝1时，等号成立），所以a＜
（3） 设g（x）=4x＋4－x－4f（x），求g（x）在［1，＋∞）上的最小值.
g（x）＝4x＋4－x－4f（x），即g（x）＝4x＋4－x－4.
可令t＝2x－2－x，可得函数t在区间［1，＋∞）上单调递增，即t.
t2＝4x＋4－x－2，可得函数h（t）＝t2－4t＋2，t.
由g（t）的对称轴为t＝2，可得t＝2时，g（t）取得最小值－2(共33张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.4　对数函数
4.4.2　对数函数的图象和性质(一)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知函数的图象如图所示，则二次函数的图象顶点的横坐标的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
B
提示：令，其中，则，由图知，则的顶点横坐标为
2. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（　　）
A
提示：依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数的性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC；由对数函数的性质可得单调递增，且过定点，排除D
3. 已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
提示：因为，所以函数图象过的定点为.将其代入直线方程得，即.又，所以，当且仅当即时，等号成立，故有最小值4
4. 已知函数过点（4，2），若，的反函数为，则的值域为（　　）
A. B.
C. D.
D
提示：函数过点，则，解得，所以的反函数为，得．
由，所以的定义域为，当时，有，则的值域为.故选D
5. 函数，且的图象过定点_____________.
提示：令，则，此时在上无论取何值，的值总为1，故函数的图象过定点
　
6. 如图，，，，是，，，四个函数的图象，则
（1） 函数的图象是________；
（2） 函数的图象是________；
（3） 函数的图象是________；
（4） 函数的图象是________．
D
B
A
C　
提示：对于对数函数可知，当时，函数在定义域内单调递增；当时，函数在定义域内单调递减；所以函数的图象是C；且当时，底数越大，图象越靠近x轴，所以函数的图象是D，函数的图象是B，函数的图象是A
7. 函数与函数（）的图象关于________轴对称.
提示：，设，则，故两函数关于轴对称
8. 已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列五个关系式：①a＞b＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a=b.其中可能成立的关系式是_____________.（填序号）
②④⑤　
提示：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；当a＞1时，必有b＞a，令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；当b＜1时，必有b＜a，令log2a＝log3b＝－1，可得a，b，由此知④成立，③不成立.综上可知，可能成立的关系式为②④⑤
综 合 应 用
9. （多选）若为函数图象上的一点，则下列选项正确的是（　 　）
A. 为函数图象上的点
B. 为函数图象上的点
C. 为函数图象上的点
D. 为函数图象上的点
ABC
提示：若为函数图象上的一点，所以，所以，则为函数图象上的点，故A正确.
因为，所以，则为函数图象上的点，故B正确.
因为，所以，则为函数图象上的点，故C正确.
因为，所以，故D错误
10. （多选）函数的大致图象不可能为（　 　）
BCD
提示：函数的定义域为.因为，所以函数为偶函数.当时，为减函数，且过定点.故函数的大致图象不可能为BCD
11. 已知直线与函数，的图象交点的横坐标分别为，，则________.
提示：由，得.
由，得.
画出
的图象如图所示.
与的图象关于直线
对称，
由解得.
所以
12. 设若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________.
提示：作出函数
的图象，如图所示.
因为有三个不同的实数根，
即函数与的图象有三个不同的交点.
结合图象，可得，即实数的取值范围为
13. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1） 求；
因为是定义在上的奇函数，则
，则
（2） 解不等式．
当时，，因为为增函数，根据复合函数的单调性知为减函数.又因为为减函数，所以函数为减函数.又因为是定义在上的奇函数，所以在上为减函数.因为，所以，解得.所以不等式的解集为
14. 已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1），若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1＋x2的值（　　）
A. 恒小于2 B. 恒大于2
C. 恒等于2 D. 与a相关
B
提示：方法1：若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝t，
不妨令－1＜x1＜1＜x2＜3，则－1＜2－x2＜1，
则loga（x1＋1）＝t，则x1＝at－1，
且loga（3－x2）＋a－1＝t，则x2＝3－at＋1－a，
则x1＋x2＝2＋（at－at＋1－a）.
又a＞0，且a≠1，
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，且t＜t＋1－a，则at＞at＋1－a，此时x1＋x2＞2；
当a＞1时，y＝ax为增函数，且t＞t＋1－a，则at＞at＋1－a，此时x1＋x2＞2；
故x1＋x2的值恒大于2.
故选：B.
方法2：因为y＝f（x）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝1对称.
当a＞1时，y＝f（x）的图像如图1，由图可知x1＋x2＞2.
当0＜a＜1时，y＝f（x）的图像如图2，由图可知x1＋x2＞2
图1
图2
素 养 提 升
15. 设，，若，则
的最大值为________．
提示：由，得.
又，所以.
同理可得.
因为，所以，所以
.
又.
当，且时，即.
由基本不等式知.
当且仅当，即
即时等号成立.
当时，，此时.
当时，，此时.
综上所述，的最大值为
16. 已知，方程与的根分别为，若，则的取值范围为____________．
提示：方程的根，即与
图象交点的横坐标，方程
的根，即与图象交点
的坐标， 而与的图象关于直线
轴对称，如图所示.与的
交点为，所以，所以.又，所以，即(共28张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列函数是对数函数的是 （　　）
A. y＝loga（5＋x）（a＞0且a≠1）
B. y＝lo
C. y＝log3（－x）
D. y＝logx（x＞0且x≠1）
B
2. 下列函数，其中为对数函数的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C
3. 下列说法正确的是 （　　）
A. 若，则
B. 函数（且）是对数函数
C. 对数函数（，且）在区间上是增函数
D. 函数与的图象重合
D
4. 若函数的图象过点，则的值是（　　）
A. 3 B. 1
C. －1 D. －3
A
5. 函数为对数函数，则　　　．
提示：由题意知，解得
4
6. 若对数函数的图象过点，则　　　　．
提示：设对数函数，且，因为函数图象过点，所以，得，所以
7. 已知为对数函数，，则　　　　．
提示：设，且，则， 所以，即，所以，所以
1
8. 已知函数，.
(1) 求a及函数的定义域；
依题意，所以，由得，解得，所以的定义域为
(2) 求方程的根.
，则，所以的定义域为.
令，得，
所以，
则
综 合 应 用
9.（多选）函数中，实数的取值可能是（　　）
A. B. 3
C. 4 D. 5
提示：因为，所以根据对数函数的定义得即所以或
AC　
10.（多选）下列点中，既在指数函数图象上，也在对数函数图象上的点可以是（　　）
A.（ B.（
C.（ D.
BD　
提示：对于A中，若点在函数的图象上，解得，此时对数函数不成立，不符合题意.
对于B中，若点在函数的图象上，解得，此时对数函数也过点，所以符合题意.
对于C中，若点在函数的图象上，解得，此时对数函数不成立，不符合题意.
对于D中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数也过点，所以符合题意
11. 设为奇函数，则a＝ 　　　　.
提示：因为f（x）＝ln为奇函数，
所以f（－x）＋f（x）＝ln＋lnln0.解得a＝±2.
当a＝－2时，f（x）无意义；当a＝2时，f（x）为奇函数.所以a＝2
2
12. 在对数式中，实数的取值范围是
　　　 　．
提示：由对数式，可知解得且
且
13. 设为奇函数，a为常数．
（1） 求a的值；
因为为奇函数，所以对定义域内的任意都成立.所以，即，整理得，求解并验证得或舍）
（2） 若函数，求与两个函数图象的交点坐标．
由得，整理得，解得，则交点纵坐标，即与两个函数图象的交点坐标为
14. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，的图象过点．
(1)求a的值；
(2)求的解析式；
（1） 因为当时，的图象过点，所以，解得
（2） 设，则，则.因为为定义在上的偶函数，则.综上所述，
(3) 求不等式的解集．
由，得或解得或.故不等式的解集为
素 养 提 升
15.（多选）若函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则（　　）
A.
B.
C. 为偶函数
D. 当时，
BD　
提示：因为为奇函数，所以
.因为为偶函数，所以
，即.所以
，所以，所以
.所以为奇函数，所以B正确，C错误.
对于A，因为，且为奇函数，所以，所以A错误.
对于D，当时，则，因为，所以，所以D正确
16. 已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，
，则（　　）
A. B. 1
C. 504 D. 无法确定
A
提示：因为函数的定义域为，且，
所以函数是定义在上的奇函数，
所以，解得.
即.
因为为偶函数，
所以，
即的图象关于直线对称.
又满足，
所以，
则，
即函数是周期函数，周期为4，
则(共40张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.5　函数的应用（二）
4.5.3　函数模型的应用
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 若甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A. 甲比乙先出发
B. 乙比甲跑的路程多
C. 甲、乙两人的速度相同
D. 甲先到达终点
D
2. 向高为的容器中注水，注满为止.如果注水量与水深之间的函数关系图象如图所示，那么容器的形状可能是(　　)
B
3. 某地区植被被破坏后，土地沙漠化越来越严重，最近3年测得沙漠化的面积分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠化的面积(单位：万公顷)关于时间(单位：年)的函数关系大致为(　　)
A.
B.
C.
D.
C
4. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象是（　　）
C
提示：因为∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，
所以BC3 cm.
根据题意得：点Q到达点B的时间是 s，到达点C的时间为4 s，点P到达点C的时间为4 s.
当点Q在AB边上时（不含端点），0＜t＜，AQ＝2t，AP＝t.
如图1，过点Q作QD⊥AC于点D，则DQ∥BC，
所以△ADQ∽△ACB，
所以，
所以，
解得DQt，ADt.
所以S×PA·DQ×t×tt2.
当点Q在BC边上时，≤t≤4，BQ＝2t－5，AP＝t，如图2，
所以CQ＝8－2t，PC＝4－t，
所以SAC·CQ－CQ·PC×4×（8－2t）
－8－2t）（4－t）＝－t2＋4t，
即S＝－t2＋4t.
综上所述，S与t的函数关系式为S
所以函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分
5. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，为增加销量，李明进行促销：一次购买水果的总价不少于120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，扣除平台费用，李明会得到支付款的.为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
提示：设支付款为元，则，解得.
因为，故，解得
15　
6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则________．
4.3
提示：设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则.由已知可得.所以
7. 研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约________℃.（参考数据：）
3
提示：设目前大气中二氧化碳的含量为a，
依题意，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升.
当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升.
依次类推，当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升.
令，即，方程两边同时取常用对数，则，
所以到2050年，地球平均温度将上升约
8. 大西洋鲑鱼每年都要逆流迴游2000 m，游到出生地产卵，科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以近似表示为函数
其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
（1） 当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速是多少
（2） 求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
（1） 由题意，将代入函数可得，计算可得，即它的游速为
（2） 由函数可知，其为单调递增函数，，则，所以
综 合 应 用
9. （多选）某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（　　 ）
A. 前三年总产量增长的速度越来越快
B. 前三年总产量增长的速度越来越慢
C. 第年后至第年这种产品停止生产了
D. 第年后至第年间总产量匀速增加
BCD
提示：对于AB，根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢，即增长速度越来越慢，A错误，B正确.
对于C，第年总产量未发生变化，可见产品停止生产了，C正确.
对于D，第年，总产量模型为直线模型，体现为匀速增长，D正确
10. （多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：
m2）与时间t(单位：月)的关系为(，
且).下列说法正确的是（　　）
A. 浮萍每月的增长率为
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是
，则
BD
提示：图象过点，　
所以，即，所以.因为， 所以每月的增长率为1，A错误.
当时，，所以B正确.
因为第二个月比第一个月增加，第三个月比第二个月增加， 所以C不正确.
因为，
所以，
所以，D正确
11. 神舟十六号载人飞船在2023年10月左右返回地球，在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，________.（）
提示：由题意得，即，即.
两边同取自然对数得，，所以
12. 衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为a，经过t天后其体积V与天数t的函数关系式为.已知新丸经过50天后其体积变为.若要使一个新丸的体积变为，其经过的天数为________．
75天
提示：由已知，得，所以.设经过天后，一个新丸的体积变为，则，所以， 所以，解得.故经过75天，新丸的体积会变为
13. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查可知：A产品的利润与投资额成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2．（注：利润与投资额的单位都是万元）
（1） 求函数，的解析式；
设投资额为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，由题设得.由图可知，则.又，所以，所以
（2） 该企业已筹集到160万元资金，并全部投入，两种产品的生产.问：怎样分配这160万元投资，才能使企业获得最大利润？求出最大利润．
设产品投入x万元，则产品投入万元，设企业的利润为y万元，则，令，则，故，所以当时，，此时，所以当产品投入60万元，产品投入100万元，企业获得的利润最大，为65万元
14. 某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，
药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在
药熏过程中，教室内每立方米空气中的药
物含量y（毫克）与药熏时间t（时）成正比；
当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内
每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到
最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（时）的变化曲线如图所示.
（1） 从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系式；
由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为，可得解得所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为
（2） 据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室
当，令，则，
整理得，则，解得，所以至少需要经过0.8个小时，学生才能回到教室
素 养 提 升
15. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是________天.（填整数，参考数据：）
提示：设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故
16. 某科研小组对面积为8000 m2的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：m2）与所经过月数的下列数据：
0 2 3 4
4 25 62.5 156.25
为描述该生物覆盖面积y（单位：m2）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.（参考数据：，）
（1） 试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
显然函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律，
函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，
由表中数据知该生物增长的速度越来越快，因此函数不符合题意.
若选择函数模型，则有解得.
当时，，当时，，所给数据均满足函数.
若选择函数模型，则解得.
，而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意，
所以函数模型更适合，函数解析式
（2） 约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘
由（1） 知，，设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘，
则，解得.
所以约经过9个月，此生物能覆盖整个池塘
（3） 经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案.
方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为；
方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4 m2，生物增长速度不变.
问该选择哪种方案？说明理由.
依题意，方案二的函数模型为.
当时，方案二的函数模型对应的值依次为10，25，62.5，156.25，390.625，976.5625.
方案一的函数模型对应的值依次为56.79，96.55，164.14，279.03，474.35，806.40.
方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小.
方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘，由，解得.方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘(共27张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.1　指数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列计算正确的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C
2. 计算：（　　）
A. B.
C. D.
B
3. 将化成分数指数幂的形式是（　　）
A. B.
C. D.
A
4. 化简的结果为（　　）
A. B.
C. D.
D
5. 中x的取值范围是___________．
提示：，要使该式有意义，只需，解得
6. __________.
提示：
7. 求下列各式的值：
（1） ________；
（2） ________．
提示：（1） 由题意得，
（2）
8. 化简： （a＞0，b＞0）．
综 合 应 用
9. （多选）下列说法正确的是 （　　）
A.
B. 16的4次方根是
C.
D.
BD
提示：负数的3次方根是一个负数，，故A错误；16的4次方根有两个，为，故B正确；，故C错误；是非负数，所以，故D正确
10. （多选）已知，则下列选项中正确的有（　 　 ）
A.
B.
C.
D.
ABD
提示：将两边平方，得，所以，A正确.，因为的大小不确定，所以，B正确.，因为，所以，C错误.，D正确
11. 若，则________．
2
提示：由于，且，故，所以，故
12. 比较和三个数的大小.
13.
原式
14. （1） 若，求的值；
，则
（2） 已知，求的值．
因为，且，所以
素 养 提 升
15. 化简求值：
（1） ；
（2） （a＞0）.
16. 求下列各式的值.
（1） 已知，求的值；
易知，
又，所以
（2） 若，求；
化简得，将代入，可得
（3） 若x=（）（n≥2，n∈N＋），求（x＋）n的值.
因为1＋x2＝1＋2＝1＋－2＋＋2＋，　所以，所以x＋，所以（x＋nn＝5(共24张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.1　指数
4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 当时，下列计算正确的是（　　）
A. B.
C.（ D.
B
2. 下列式子正确的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
B
3. 下列式子错误的是 （　　）
A. B.
C. D.（
C
4. 已知，，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
D
5. ________（a＞0）．
1
6.（________（m＞0）．
512m3
7. 化简________．
提示：
8. 设求的值.
原式
综 合 应 用
9.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 （　 　）
A. －＝（－x
B. （y＞0）
C. （x＞0）
D. （x＞0）
BCD　
提示：选项A错误，－－x≥0），而
（－xx≤0）；选项B正确，y＞0）；选项C正确，x＞0）；选项D正确，x＞0）
10.（多选）下列式子正确的有 (　 　)
A.
B. （其中）
C.
D. （其中，）
BCD　
提示：对于选项A，，故A错误.对于选项B，因为，所以，故B正确.对于选项C，，故C正确.对于选项D，因为，所以，故D正确
11. 求值________．
1
12. 化简：().
13. 化简：.
14. 化简：.
素 养 提 升
15. 若＝4，x＝a＋3，y＝b－1＋3，则（x＋y＋（x－y＝________.
8
提示：因为x＝a＋3，y＝b－1＋3，
所以x＋y＝a＋3＋3＋b－1
＝a＋3＋3＋b－13，
x－y＝a＋3－3－b－1
＝a－3＋3－b－13，
所以（x＋y＋（x－y
2＋2＝28
16. 已知＝3，求＝________.
提示：·
×（3－1）＝2
2(共21张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.3　对数
4.3.1　对数的概念
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 将化为对数式是（　　）
A.
B.
C.
D.
B
2. （　　）
A. 1 B. 0
C. 2 D.
B
3. 在中，实数a的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
B
4. 方程，则等于（　　）
A. B.
C. 7 D.
A
5. 若，则__________．
6. 已知，，则正实数的值为________．
提示：因为，所以.又，即，所以
7. 若，则的取值范围是________________ ______________.
提示：对于等式，有解得
且.因此，的取值范围是
　
8. 求下列各式中x的值：
（1） ；
（2） ．
（1） 由，所以
（2） 由所以
综 合 应 用
9. （多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是 （ 　　）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
ABD
提示：根据指数式与对数式的互化公式可知，ABD正确.对于C，，故C错误
10. （多选）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是
（　　）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
提示：①，正确.
②根据指数式和对数式的互化可知其正确.
③，错误.
④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误
AB
11. 若f（10x）=x，则f（3）=________.
12. 若，则___________．
提示：因为，则，所以
13. 求下列式子中x的值：．
提示：由题意可得，则，且，整理得，解得或舍去），所以
　
14. 已知log2［log3（log4x）］=log3［log4（log2y）］=log4［log2（log3z）］=0，求x＋y＋z的值.
由题可知：
所以x＋y＋z＝64＋16＋9＝89
素 养 提 升
15. 设x=，y=（a＞0且a≠1），求证：z=.
由已知得logax，　①
logay.　②
将②式代入①式，得logaz.
所以z
16． 已知，则________．
提示：由，得，而，所以(共22张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章检测卷（A）
第四章　指数函数与对数函数
一、 单选题
1. 已知，则（　　）
A.
B.
C.
D.
C
提示：因为，
可知，且在定义域内单调递减，则，即，所以
2. 已知函数f（x）＝则f（1－x）的图象是（　　）
D
提示：由f（x）可得f（1－x）
当x＝0时，f（1－0）＝2，则f（1－x）的图象过点（0，2），则排除选项AB；
当x≥0时，f（1－x）＝21－x＞0，排除选项C，正确选项为D
3. 设集合，则
（　　）
A.
B.
C.
D.
B
提示：由题意得，则，则，故A错误.
，或，则，故B正确.
又，故C错误.
，故D错误
4. 已知，则（　　）
A. B.
C. D.
提示：由得，，则
C
二、 多选题
5. 以下运算结果等于2的是（　 　）
A.
B.
C.
D.
BCD　
提示：对于A，，不合题意.
对于B，，符合题意.
对于C，，符合题意.
对于D，，符合题意
6. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是
（　　）
A. 的定义域为
B.
C. 的单调递减区间为，
D. 的值域为
AC　
提示：由题知，即的定义域为，A正确.
因为函数为奇函数，所以即，解得，经检验符合题意，B错误.
当时，单调递增，则单调递减.又函数为奇函数，所以的单调递减区间为
，C正确.
当时，，故D错误
三、 填空题
7. 函数的定义域是_________________.
提示：由，
得解得且，
所以函数的定义域是
8. 函数在区间上的最小值为__________.
提示：.因为，所以，故，故，
当且仅当，即时，等号成立
9. 已知，则的值为___________.
提示：，所以
/
10. 已知函数，则的定义域为___________________________.
提示：依题意可得，解得且，
所以的定义域为
四、 解答题
11. 化简求值：
（1） ；
（2） ．
12. 已知，求．（用表示）
因为，所以，
所以
13. 设函数为实数）
（1） 当时，求方程的根；
当时，，由，可得，所以或，解得或
（2） 当时，设函数，若对任意的，总存在着，使得成立，求实数b的取值范围.
当时，可得.
设，所以，则.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以.
又由，所以，即
又由，可得.
因为对于任意，总存在，使得成立，
可得，即，解得.
所以实数的取值范围为(共34张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
第四章检测卷（B）
一、 单选题
1. 函数与函数的图象（　　）
A. 关于轴对称
B. 关于轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线对称
D
提示：函数与函数的图象关于直线对称
2. 已知函数（且）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
C
提示：函数a＞0且a≠1）在区间上是减函数.
当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意.
当时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上单调递减.因此，并且，解得.
所以实数的取值范围是
3. 有以下四个结论，其中正确的是 （　　）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
B
提示：对于A，由于，而0和负数没有对数，则无意义，A错误.
对于B，，B正确.
对于C，由，得，C错误.
对于D，由，得，D错误
4. 已知函数，，且
，则（　　）
A. ，，
B. ，，
C.
D.
D
提示：令，解得，
画出的图象如图所示.
由于，且，由图可知：的值可正可负也可为，所以选项A，B错误.
当时，
，满足，所以选项C错误.
，所以，选项D正确
二、 多选题
5. 若实数x，y满足，，，则（　 　）
A. 且
B. m的最大值为
C. n的最小值为7
D.
ABD
提示：对于A，因为，若，则，又，显然不成立，即.同理可得，所以，即且，故A正确.
对于B，，即，所以.当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故B正确.
对于C，
，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误.
对于D，.
因为，所以，即，即，即.因为，所以，即，故D正确
6. 给出以下四个结论，其中正确的是 （　　）
A. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是
B. 函数的图象上关于原点对称的点共有1对
C. 若都是正数，且，则
D. 设，其中，则，
AC
提示：对于A，因为在区间上为减函数.当时，在区间上单调递减，在上单调递减，所以在其定义域内单调递增，不满足题意.
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以在其定义域内单调递减，满足题意；又在区间上恒有，显然当时，不等式恒成立.当时，可化为.又，所以.综上，，故A正确.
对于B，因为
当时，令，
从而的图象上关于原点
对称的点的对数转化为和的图象在区
间上的交点个数.作出和
在区间上的函数图象（如图1）.
由图象可知两函数图象有两个交点，
所以的图象上关于原点对称的点共有2对，故B错误.
对于C，令，则，
所以.
所以，则.
，则.
所以，故C正确.
对于D，如图2，由于
是定义域上的凸函数，故应
为点对应的纵坐标，应为点对应的
纵坐标，故，
当时，等号成立，故D错误
三、 填空题
7. 设，则________．
提示：由，得，则，由，得，所以
1　
8. 函数的定义域为____________________．
提示：由解析式知解得或，
所以函数定义域为
　
9. 已知函数若存在，使得
，则的取值范围是
_________________________．
提示：当时，则.可得，即，求得，则.
因为函数在区间上递增，所以.
当时，.
所以，可知不存在，使得
.
当时，则，
由，得.
令，则.
因为，所以.
所以，则，即.
所以函数在区间上单调递增，可得，
即.
综上，的取值范围是
10. 函数（，且）的图象恒过点________．
提示：令，解得，此时，故，且a≠1）的图象恒过点
　
四、 解答题
11. 已知函数，.
（1） 当，时，求满足的x的值；
因为时，.
又因为，所以
所以，所以，即
（2） 当，时，若对任意R且，不等式恒成立，求实数m的最大值.
，所以，
所以，
故.
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，所以.
又因为，
由“对钩函数”的单调性可知，时y有最小值，
所以，所以，
所以m的最大值为
12. 已知函数的定义域为A，值域为B.
（1） 当时，求集合A；
当时，，所以.
若，则不等式无解，所以，
即，即，解得或.
所以
（2） 当时，求集合B.
当时，，所以.
若，则不等式无解，所以，
即，解得此时不等式恒成立，所以定义域.
又当时，恒成立（当且仅当时等号成立），
所以，所以，所以
设函数，是定义域为R的奇函数.
（1） 求实数值；
由于是定义域为的奇函数，所以
.
此时，满足是奇函数.
所以
（2） 若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
由（1） 得.
若，则，所以是减函数.证明如下：
任取，则
.
由于，所以.
所以.
所以在上单调递减
（3） 在（2）的条件下，不等式
对任意实数均成立，求实数的取值范围.
由（1）得是定义在上的奇函数.
依题意，不等式恒成立，
即恒成立.
由（2）得在上单调递减，所以
恒成立.
令，则对于函数，
函数在区间上单调递增，最小值为.
所以的最大值为，
所以(共29张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.2 　指数函数
4.2.2　指数函数的图象和性质（一）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 函数恒过定点（　　）
A.（ B.（
C.（ D.（
B
2. 函数与关于（　　）对称
A. x轴 B. y轴
C. y＝x D. 原点
B
3. 函数，的值域是（　　）
A. B.
C. D.
C
4. 函数与的大致图象是（　　）
A
5. 函数的定义域是__________.
提示：由题知，，解得，
所以函数的定义域是
6. 函数，的值域为__________．
7. 函数且所过的定点坐标为_______________．
提示：令，即，则，所以所过定点坐标为
8. 已知指数函数f（x）的图象过点P（3，8），且函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，又g（2x－1）＜g（3x），求x的取值范围.
设f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），因为指数函数f（x）的图象过点P（3，8），
所以a3＝8，解得a＝2，所以f（x）＝2x.
又因为函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）.
因为g（2x－1）＜g（3x），所以，又函数g（x）在R上是减函数，
所以2x－1＞3x，解得x＜－1，所以x的取值范围为（－∞，－1）
综 合 应 用
9.（多选）函数y＝ax－（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　）
CD　
提示：当a＞1时，∈（0，1），因此x＝0时，0＜y＝1－＜1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合，A，B不正确；当0＜a＜1时，1，因此x＝0时，y＜0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合
10. 已知函数f（x）＝，则（　 　）
A. 函数f（x）的定义域为R
B. 函数f（x）的值域为（0，2］
C. 函数f（x）在区间［－2，＋∞）上单调递增
D. f（）＞f（4）
ABD　
提示：令u＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2－1，则u∈［－1，＋∞）.
对于选项A，f（x）的定义域为R，故A正确；对于选项B，因为y，u∈［－1，＋∞）的值域为（0，2］，所以函数f（x）的值域为（0，2］，故B正确；对于选项C，因为u＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2－1在区间［－2，＋∞）上单调递增，且y在u∈［－1，＋∞）上单调递减，所以根据复合函数的单调性法则，得函数f（x）在区间［－2，＋∞）上单调递减，故C不正确；
对于选项D，由于函数f（x）在区间［－2，＋∞）上单调递减，则ff（4），故D正确
11. 甲同学在同一坐标系中画函数，，的图象（如图），其中多余的一个是____________.
②
12. 指数函数y＝ax在区间上的最大值和最小值的和为，则a＝__________.
提示：当a＞1时，可得y的最小值为，y的最大值为a，那么＋a，解得a＝2；
当0＜a＜1时，可得y的最大值为，y的最小值为a，那么＋a，解得a
或2
13. 已知函数f（x）是定义在区间（－1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x.
（1） 求函数f（x）的解析式；
根据题意，f（x）是定义在区间（－1，1）上的奇函数，则f（0）＝0.
设－1＜x＜0，则0＜－x＜1，f（－x）＝2－x，
又由函数f（x）为奇函数，可得
f（x）＝－f（－x）＝－2－x＝－，
则f（x）
（2） 求f（x）的值域；
当x∈（0，1）时，f（x）＝2x∈（1，2）；当x＝0时，f（x）＝0；当x∈（－1，0）时，f（x）＝－2－x∈（－2，－1）；所以f（x）的值域为（1，2）∪（－2，－1）∪
（3） 若不等式f（2a）＋f（1－a）＞0，求实数a的取值范围.
根据题意，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x.则函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，又由函数f（x）是定义在区间（－1，1）上的奇函数，则函数在区间（－1，1）上单调递增，由f（2a）＋f（1－a）＞0，有f（2a）＞－f（1－a）＝f（a－1），所以解得0＜a＜，所以实数a的取值范围为
14. 设函数，函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
A
提示：由函数的图象经过第一、三、四象限，可得，所以，又因为，所以的取值范围为，故选A
素 养 提 升
15.（多选）若正数x，y满足4x－4y＜5－x－5－y，则下列关系正确的是 （　　）
A. x＜y B. y－3＞x－3
C. D. ＜3－x
AD　
提示：4x－4y＜5－x－5－y，故4x－5－x＜4y－5－y，函数f（x）＝4x－5－x单调递增，故f（x）＜f（y），x＜y，故0＜x＜y.对选项A：x＜y，正确；对选项B：若y－3＞x－3，则x3＞y3，即x＞y，错误；对选项C：若，则x＞y，错误；对选项D：若＜3－x，则y＞x，正确
16. 已知函数f（x）＝|3x－1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则 （　　）
A. a＜0，b＜0，c＜0
B. a＜0，b≥0，c＞0
C. 3－a＜3c
D. 3a＋3c＜2
D
画出f（x）＝|3x－1|的大致图象如图7，
由于a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），
由图可知：a＜0，0＜c，b的值可正可负也可为0，所以选项A、B错误.
当a＝－2，b＝0，c时，f（－2），f（0）＝0，
f －1，
满足f（a）＞f（c）＞f（b），3－a＝32＝9，所以C选项错误.
f（a）＝|3a－1|＝1－3a，f（c）＝|3c－1|＝3c－1，
f（a）＞f（c），1－3a＞3c－1，所以3a＋3c＜2，D选项正确.(共26张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
4.5 　函数的应用(二)
4.5.2　用二分法求方程的近似解
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是 （　　）
C
2. 用二分法求函数f（x）＝ex－x－2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据；f（1）≈－0.28，f（1.5）≈0.98，f（1.25）≈0.24，f（1.125）≈－0.04，关于下一步的说法正确的是 （　　）
A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.187 5）
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.062 5）
C
提示：由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，（1，1.5）→（1，1.25）→（1.125，1.25）时的区间长度为0.125＞0.1，故没有达到精确的要求，应该接着计算f
f（1.187 5）的值
3. 在使用二分法计算函数的零点的近似解
时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，那么接下来至少需要计算（　　）次区间中点的函数
值．
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
4. 用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　）
A. B.
C. D.
B
5. 用二分法研究函数的零点时，第一次计算得则得其中一个零点 　　　　，第二次应计算　　　　.
6. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数＝　　　　.
4
7. 用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为
　　　　次．
提示：二分法的特点：每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后区间长度为，从而列出不等式，求出
7
8. 用二分法求方程的近似解．（精确度为0.1）
提示：分别画出函数和的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程的解.
1.5625（答案不唯一） 　
由函数与的图象可以发现，方程有唯一解，且这个解在区间上.
设，则函数的零点即方程的解，记为，利用计算器计算得：
；
；
；
；
.
因为，
所以方程的近似解可取为1.5625
综 合 应 用
9.（多选）下列函数零点能用二分法求解的是 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
ABD　　
10.（多选）下列关于函数，的说法错误的是
（ 　　）
A. 若且满足，则是的一个零点
B. 若是在区间上的零点，则可用二分法求的近似值
C. 函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
BCD　
提示：对A，若且满足，则是的一个零点；故A正确.
对B，因为函数不一定连续，故B错误.
对C，函数的零点是方程的根，的根是函数的零点，故C错误.
对D，用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误
11. 下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判
断：方程的一个近似解为_____________________．
(精确度为0.1)
1 1.25 1.375 1.4065 1.438
0.165
1.5 1.625 1.75 1.875 2
0.625 1.982 2.645 4.35 6
1.42（答案不唯一）
12. 函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为___________．
提示：设，因为函数在区间上均为连续增函数，故函数在区间上为连续增函数.
因为
，故.
又因为，由零点存在定理可得
13. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请问：你最少称几次一定能发现这枚假币？
最少称四次
提示：第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称.
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称.
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称.
第四次两端各1枚，若不平衡，则较轻的一端是假币；若平衡，则剩余的是假币.
所以为四次
14. 已知函数
.证明并利用二分法证明方程在区间上有两个实数根.
由，得.又因为，所以，即.
可知，又因为在区间上连续，所以函数在区间和上至少有一个零点.又因为最多有两个零点，从而在区间上有两个实数根
素 养 提 升
15. 已知增函数y＝f（x）的图象在区间［a，b］上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为［a，b］，，，则b－a的值是
（　　）
A. 1 B.
C. － D.
B
提示：因为依次确定了零点所在区间为［a，b］，，
可得即
解得a＝－，b＝1.
所以b－a＝1－
16. 华罗庚是20世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.某传染病暴发地区对相关人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的样本混合检测，若为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检测，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检测……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（　　）次检测.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
B
提示：先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检测，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检测，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检测，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测(共31张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第四章　指数函数与对数函数
4.3　对数
4.3.2　对数的运算(二)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知，则的值大约为
（　　）
A. 1.79 B. 1.81
C. 1.87 D. 1.89
A
提示:
2. 等于（　　）
A. 2 B. 0
C. D.
B
3. 已知正数满足，给出下列不等式：
①，②，③.其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
D
提示：记，因为为正数，所以，则，所以.对于①，当且仅当时等号成立），由于，故等号不成立，即，因此，①正确.
对于②，当且仅当时等号成立），由于，故等号不成立，即，因此，②正确.
对于③，，即，故，③正确.
所以正确的个数为3.
故选D
4. 的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
C
提示：
5. 计算________．
提示：
25
6. 已知log95=m，log37=n，则用m，n表示log359=________.
提示：由log95＝m，log37＝n，可得mlog35，n＝log37，所以log359
7. ________.
提示：
8. 计算：
（1） （lg 5）2＋lg 2×lg 50＋.
（2） （log32＋log23）2－.
（log32＋log23）2－
··
＋2－2
综 合 应 用
9. （多选）若，则（　　 ）
A. 的最小值是
B. 的最小值是
C. 的最大值是0
D. 的最大值是
BCD
提示：若，则，即.对于A，，当且仅当，即时，等号成立，可得，故A错误；
对于B，由，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由，可得，所以
，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，可知，故
，令，可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值是，故D正确.故选BCD
10. （多选）设a，b，c都是正数，且4a=6b=9c，则下列结论正确的是 （　 　）
A. c＜b＜a
B. ab＋bc=ac
C. 4b·9b=4a·9c
D. =
ACD　
提示：设4a＝6b＝9c＝k＞1，所以a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
选项A，由对数函数的单调性可知，0＜logk4＜logk6＜logk9，可知c＜b＜a，故A正确；
选项B，b（a＋c）··2ac，故B错误；
选项C，4a·9c＝（6b）2＝36b＝（4·9）b＝4b·9b，故C正确.
选项D，logk4＋logk9＝logk36＝2logk6，则，故D正确
11. 已知，则的最小值为________.
提示：因为，所以.所以，当且仅当，即时，等号成立.显然此时有解，所以的最小值为
　
12. 《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为________.
提示：由题可知，.因为，所以，所以的整数部分为2567
2567　
13. （1） 解方程：；
方程，即，因式分解为，所以或，解得或
（2） 计算：.
原式
14. 已知．
（1） 求的值；
（2） 用m表示．
（1） ，则
（2）
素 养 提 升
15. 已知实数满足，，则______．
提示：因为，所以，故，即，即.因为所以.令，所以函数在上单调递增，而，故，解得，则
　
16. 点都在同一个指数函数的图象上，则t=________．
提示：设指数函数为，其中且.将代入函数解析式得解得.故
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