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(共25张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 等于（　　）
A.
B.
C.
D.
D
2. 给出下列式子：①；
②；③.其中一定成立的等式个数为（　　）
A. B.
C. D.
B　
3. 在中，，则的形状是
（　　）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 不能确定
B
4. 在直角坐标系中，点是角终边上的一点，
点是角终边上的一点，则的值是
（　　）
A. B.
C. D.
D
5. 化简
________.
6. 已知，，，，求的值.
7. 设，则___________________．（用含的式子表示）
提示：
8. 已知，是第三象限角，求的值.
　
综 合 应 用
9.（多选）下列命题中，真命题的是 （　　）
A. 存在的值，使
B. 不存在无穷多个的值，使
C. 对于任意的都有
D. 不存在的值，使
AD　　
10.（多选）已知，，均为锐
角，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
BCD
11. 赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，____________.
提示：由题意得，，故直角三角形斜边为.
设直角三角形中较短直角边长为，即，则较长直角边长为.
，由勾股定理得，得.
.
.
12. 已知，则
____________.
13. 已知，，，求的值.
因为，所以，则.
因为，所以
.
所以
，
所以
14. 求值.
，
，
所以，则.
又
，
所以
素 养 提 升
15. 已知，求的取值范围.
令则，
由于，则，即，所以
16. 已知函数满足：，
，，则
________.
提示：由已知等式联想到三角公式，
注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数.
则，.
，
故函数满足题意.而函数是最小正周期的函数，
所以(共29张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.5　三角恒等变换
5.5.2　简单的三角恒等变换(二)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 关于函数，下列说法正确的是（　　）
A. 是奇函数，最大值为
B. 是奇函数，最大值为
C. 是偶函数，最大值为
D. 是偶函数，最大值为
C
2. 函数的最小正周期为
（　　）
A. B.
C. D.
A
3. 在中，若，则是
（　　）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
B
4. 下列各点中，不是函数的图象的一个对称中心的是（　　）
A. B.
C. D.
D
5. 函数的最小正周期为________.
2
6. 函数的值域是________________.
7. 已知，则函数的最大值是__________.
7
8. 求函数的单调递增区间.
提示：，且
.
综 合 应 用
9.（多选）下列说法正确的是 （　 　）
A. ，且
B.
C.
D. ，
BCD　
提示：当时，，所以，故A错误.
当时，，故B正确.
因为，且，所以C正确.
因为，所以，则，且，所以
.故D正确
10.（多选）对于函数，下列结论中，正确的有（　　）
A. 存在，使
B. 存在，使函数的图象关于轴对称
C. 存在，使函数的图象关于原点成中心对称
D. 当时，函数的值域为
BC
11. 若函数在时取到最小值，则常数的值分别为_________________.
提示：且，再检验之
12. 已知为锐角，且，则________.
提示：由，得
，则.是锐角，
13. 证明：.
方法1：，
且.
方法2：
14. 已知函数，若对任意的有恒成立，求实数的最小值.
.
因为，所以.
因为在区间上的最小值为，所以最小值为，令，解得.则实数的最小值是
素 养 提 升
15.（多选）已知，满足，则（ 　　）
A.
B.
C.（
D.（
ABD　
提示：将配方，得，即.
令，则.
对于A，因为，所以，即，故选项A正确.
对于B，，令，则.因为，所以，故选项B正确.
对于C和D，
.
因为，所以，所以，即，故选项C错误，选项D正确
16. 如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为____________.
因为，所以为线段的中点，在三角形中，
.
所以，
所以.
设，则，
提示：连接，作垂直交于点，设角.
所以在三角形中，，
所以.
所以，
所以四边形的面积为
，此时(共33张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.6　函数
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
基础训练
综合应用
基 础 训 练
1. 如图是以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示的时钟，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（　　）
A. 220.45 cm
B. 198.03 cm
C. 200.45 cm
D. 229.55 cm
C
2. 为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（　　）
A.
B.
C.
D.
D
3. 如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（　　）
B
提示：当时，，作⊥，垂足为.
当时，
.
4. 如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈，则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（　　）
A.
B.
C.
D.
C
提示：由题意知，函数周期，初相为，则.因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误；
点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1，而在运动的过程中距离最大值为2，则，所以C选项符合，A选项不符合
5. 某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点间的距离表示成的函数，则_________，其中．
提示：设，过点作，垂足为，
则，即.
当时，，
.
当时，，
.
综上，
6. 如图，某摩天轮的旋转半径为60 m，最高点距地面135 m，运行一周大约30 min，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第
10 min时他距地面大约为________ m.
105
7. 如图，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数解析式为
________________________________．
提示：当点P在大圆上半圆上运动时，.
由任意角的三角函数的定义，可得点P的纵坐标为.
当点P在小圆下半圆上运动时，.
得点P的纵坐标为．
所以动点P的纵坐标关于时间的函数解析式为
8. 如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为
（1） 求的值.（精确到0.0001）
.因为逆时针方向每分转1.5圈，
所以.
.
因为，所以，
所以.
因为，所以
（2） 盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（精确到0.01 s）
令.
所以，所以.
因为，所以
综 合 应 用
9.（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120 s，以筒车的中心为原点，线段所在的直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系（为圆上的点），分别用表示 s后两点的纵坐标，则下列结论正确的是
（　　）
A. 将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
B. 函数的最大值为50
C. 函数在上单调递减
D. 当时，不等式
BD　
提示：由题意知，且，得，
所以．
对于A，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，故A错误.
对于B，，最大值为50，故B正确.
对于C，在上，时，取得最小值，因此在此区间上不是单调函数，故C错误.
对于D，由，得，得，故D正确
10.（多选）某摩天轮最高点距离地面的高度为
120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，
开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱
转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约
需要30 min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始
转动后距离地面的高度为.游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差为.下述结论正确的是
（　 　）
A.
B.
C. 在运行一周的过程中，的时间超过10 min
D.
ACD　
提示：由题意得是关于的三角函数.如图所示，以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系.
设摩天轮距地面最近点为P，则当时，游客甲位于
，以OP为终边的角为，而转一圈需要大约30 min，可知角速度大约为.由题意可得，故A正确.
当时，，故B错误.
，
即，
由正弦函数的性质可得，得，
故，得，即高度超过m时时间长.显然高度超过90 m的时间超过，故C正确.
甲、乙所在位置分别设为A，B两点，甲、乙座舱差7个，则，故 min后甲、乙的高度分别为，
.其高度差为
，故D正确
11. 如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要
12 min，其中心距离地面 m，半径为40 m.如果你从最低处登上摩天轮并开始计时，当你第4次距离地面 m时所用时间为 ________min.
20　
提示：设从最低处登上摩天轮后逆时针匀速转动的时间为 min，因为每转一圈需要12 min，则匀速转动 min所转动的角为，则距离地面的距离为m）.
由，得，得，得或，即或.
故第1次距离地面 m时所用时间为4 min，第2次距离地面
m时所用时间为8 min，第3次距离地面 m时所用时间为16 min，第4次距离地面 m时所用时间为20 min
12. 一个半径为2 m的水轮如图所示，其圆心距离水面1 m，已知水轮按逆时针方向匀速转动，每4 s转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1） 以过点且与水面垂直的直线为轴，过点且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（m）表示为时间（s）的函数；
如图，设水轮与轴正半轴的交点为A，轴与水面的交点为B．
根据题意，设，
.
因为函数的最小正周期，所以.
点P距离水面的高度h表示为时间t的函数是
（2） 在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过2 m？
根据题意，，
，
不妨设，则，
所以.
解得，
所以在水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度超过2 m的时间有 s(共25张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 函数的最大值是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D.
C
2. 从函数的图象知，使成立的有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
3. 已知函数，则是为奇函数的
（　　）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
B
4. 下列函数既是偶函数且又在上是单调递减函数的是
（　　）
A.
B.
C.
D.
D
5. 根据函数的图象，可知当时，函数的最大值是________，最小值是________.
6. 在上，使不等式成立的的集合为
_____________________________.
　
7. 函数的零点个数为________．
3
8. 画出下列函数的简图.
（1） ；
略
（2） .
略
综 合 应 用
9.（多选）以下对函数，的图象描述正确的是
（ 　　）
A. 在上的图象形状相同，只是位置不同
B. 介于直线与直线之间
C. 关于轴对称
D. 与轴仅有一个交点
ABD　　
10.（多选）定义为a，b中较大的数，已知函数，下列结论正确的为（　　）
A. 为非奇非偶函数
B. 是以为最小正周期的周期函数
C. 的值域为
D. 当时，
AD　　
11. 已知函数在区间上有两个零
点，则实数的取值范围是________________.
12. 已知，则的最大值为_______.
提示：因为，
所以，所以，即.
因为，
又，利用二次函数的性质知，当时，
13. 求函数的定义域.
14. 在同一平面直角坐标系中，作出函数与在上的图象.
略
素 养 提 升
15.（多选）若函数，的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则（　　）
A． 当时，
B．
C．
D． 所围图形的面积为
AC　
提示：作出函数的图象，函数的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
由图可知，当时，，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
利用图象的对称性，知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，因为OA＝2，，所以，故D错误
16. 已知函数，的值域为，则实数的取值范围为________.
提示：
.
设，函数的对称轴为，且.
因为函数在区间上的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0，所以.故实数的取值范围为(共24张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.3　诱导公式
5.3.1　诱导公式（一）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知的终边上有一点，则的值为
（　　）
A. B.
C. D.
C
2. 下列选项中，与最接近的数是（　　）
A. B.
C. D.
C
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. b＞a＞c B. a＞b＞c
C. b＞c＞a D. a＞c＞b
A
4. 已知，则等于（　　）
A. B.
C. D.
B
提示：
，
5. 若，且，则___________.
或　
6. 若，则________．
　
7. 已知函数满足，，则________．
　
8. 求
的值．
综 合 应 用
9. （多选）已知函数，给出下列选项，其中不正确的有（　 　）
A.
B.
C.
D.
ABC　
提示：因为，所以
，故A不恒成立.
，故B不恒成立.
，故C不恒成立，D恒成立
10. （多选）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为
，B的角速度为，起点位置坐标为，
则（　 　）
A. 在1 s末，点的坐标为
B. 在1 s末，扇形的弧长为
C. 在末，点在单位圆上第二次重合
D. 面积的最大值为
BCD
提示：在1 s末，点的坐标为，点的坐标为.，扇形的弧长为
.
设在t s末，点在单位圆上第二次重合，
则，故在末，点在单位圆上第二次重合.
，经过 s后，可得面积的可取得最大值为
11. 已知，则________．
2
12. 已知，则________．
　　
13. 化简：．
当时，
时，
14. 已知函数，且，求的值．
因为函数，且，所以，即.
素 养 提 升
15. 已知，则
____________．
提示：，
，
所以
　
16. 在中，三个内角，，满足，则必是（　　）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
C
提示：
，则或，即或
所以为等腰或直角三角形(共32张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.3　正切函数的性质与图象
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 函数的定义域是（　　）
A.
B.
C.
D.
D
2. 在下列函数中，同时满足条件：①在区间上递增，②以为周期，③是奇函数的是（　　）
A. B.
C. D.
C
3. 函数在以下区间上是单调递增的是（　　）
A. B.
C. D.
A　
4. 已知函数的图象过点，则的值可能是（　　）
A. B.
C. D.
A
5. 函数的图象的对称中心的坐标是
____________________________.
6. 使不等式成立的的集合为
___________________________________.
7. 当时，函数的值域为________.
8. 求函数的定义域﹑周期及单调区间.
定义域是
周期是
单调递减区间是
综 合 应 用
9. （多选）下列不等式不成立的是 （　 　）
A.
B.
C.
D.
ABC
10. （多选）如图，锐角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在轴上，在角的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，，的值分别等于线段，的长，且，
则下列结论正确的是（　 　）
A. 函数有3个零点
B. 函数在区间上有2个零点
C. 函数在区间上有1个零点
D. 函数在区间上有1个零点
BCD
提示：由已知得，当时，，
所以当时，.
对于A，当时，，所以，此时函数无零点.
当时，因为，所以，此时函数无零点.
当时，，此时函数的零点为.
因为为奇函数，其图象关于原点对称，所以当时，函数无零点.
综上所述，函数有且只有1个零点，故A不正确.
对于B，当时，因为，所以.
又为奇函数，所以当时，.
当时，，
所以函数在区间上有且只有一个零点.
作出函数和的图象（如图）.
由图知，当时，函数和的图象只有1个交点，函数在上只有1个零点.
所以函数在上有2个零点，故B正确.
对于C，当时，.
又函数为奇函数，所以当时，.
当时，，所以函数在区间上有且只有1个零点，故C正确.
对于D，当时，，所以.
又由于为奇函数，所以当时，.
所以.
当时，，所以函数在区间上有1个零点
11. 已知直线（常数）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为，，，则点与点的距离为__________.
提示：根据直线与曲线的图象交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为，则点与点的距离恰好是1个周期，且的最小正周期为.所以
　
12. 不等式的解集为________________________.
提示：作出与的图象（如图）
　
13. 设函数.
（1） 求函数的最小正周期、对称中心；
.
令，解得，
故对称中心为
（2） 作出函数在一个周期内的简图.
令，解得.
令，解得.
令，解得.
令，解得.
令，解得.
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，
图象上的点有两点.
在这个周期内左右两侧相邻的
渐近线方程分别为和，
从而得到函数在一个周期内的简图（如图）
14. 已知函数．
（1） 求函数的定义域；
由，得，所以函数的定义域是
（2） 用定义判断函数的奇偶性；
由（1） 知函数的定义域关于原点对称，
因为，
所以是奇函数
（3） 作出函数在区间上的图象．
所以在区间上的图象如图所示
素 养 提 升
15. （多选）已知函数，（其中是大于的常数），则函数的所
有零点之和可能是（　　）
A. B.
C. D.
BD　
提示：转化成和交点横坐标之和，画出大致图象（如图），根据对称性求解
16. 请同学们回味正切函数的性质与图象的研究过程，尝试作出以下函数的大致图象：.
先求出定义域：，再验证奇函数，接下来考虑当时，函数单调递减
趋向于时，趋向于，因此大致画出草图（如图）(共22张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 函数的最大值及取最大值时的值分别是（　　）
A.
B. 　
C.
D.
C
2. 下列函数在区间上为增函数的是（　　）
A. B.
C. D.
D
3. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则的值是（　　）
A. B.
C. D.
B
4. 函数的图象的对称轴可以是直线（　　）
A. B.
C. D.
A
5. 函数的单调递减区间为 ______________________.
6. ________.
提示：tan45°＝1，可得tan22.5°－1
－1
7. 函数的图象的对称中心为
____________________________.
8. 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小:
（1） 与；
（2） 与.
（1） 　
（2）
综 合 应 用
9.（多选）已知函数，则下列结论错误的是
（　 　）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象的一条对称轴方程是x＝
C. 函数在区间上为减函数
D. 函数是偶函数
ACD　　
10.（多选）已知方程在时有解，则实数可能是（　 　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
ABC　　
11. 已知函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________.
12. 函数的单调递增区间是____________.
13. 已知函数.
（1） 求函数的单调递减区间；
（2） 若，求的最大值和最小值.
（1） 　　
（2） 最大值：2；最小值：
14. 已知函数在上的最大值是，求的值.
　
提示：最大值为
素 养 提 升
15. 已知函数，其中，若对恒成立，且，求函数的解析式与单调递减区间.
单调递减区间为
16. 已知函数满足，，且在上单调，则的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
B
提示：满足，
，即，
.
在区间上单调，
，即，
所以当时，最大，最大值为(共24张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.5　三角恒等变换
5.5.2　简单的三角恒等变换(一)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 等于（　　）
A.
B.
C.
D.
B　
2. 若为钝角，，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
A
3. 已知，则的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
D
4. 已知，则的值是
（　　）
A.
B.
C.
D.
C
5. 已知，则________.
　
6. 若，则________.
1　
7. 若，则________.
8. 若，，求和的值.
，又，所以，所以.因为，所以，所以.所以
综 合 应 用
9. （多选）已知，，其中，
为锐角.下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
AC
10. （多选）已知函数，
，下列结论正确的是（　　）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为
C. 将函数的图象向右平移单位后，得函数的图象
D. 将函数的图象向左平移单位后，得函数的图象
AD
提示：函数．
所以，
所以函数的最小正周期为，故A项正确.
函数的最大值为，故B项错误.
函数的图象向右平移个单位得到的图象，故C项错误.
函数的图象向左平移个单位得到的图象，故D项正确
11. 已知，，则____________.
提示：由，两边平方得，即.
因为，所以，所以.
两式联立得，所以
12. 已知，则________.
提示：.
　
13. 利用半角公式，求的值．
因为，所以，所以
14. 求证：.
素 养 提 升
15. 已知为中的三个内角，，则
__________.
　
提示：
16. 已知，，且，求，的值.
对进行变形整理，得，
即.
上式可看作的一元二次方程，此方程有实根，
，得.
但，所以.
因为，所以，故，即.
将代入，得，故(共28张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念（二）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 的值为（　　）
A. － B.
C. － D.
D
2. 已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（　　）
A. B.
C. D.
C
3. 在△中，三个内角A，B，C满足，则△必为（　　）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 以上三种情况都可能
B
4. 若，则点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
5. 已知角的终边过点，则_______．
6. 化简：____________．
k
7. 已知，，则________．
提示：由，
得．因为，而，所以当且仅当时，等式成立．又因为，所以，故
　
8. 已知，且有意义．
（1） 试判断角所在的象限；
因为，所以　①.
由有意义，所以　②，
由①②得，角在第四象限
（2） 若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值．
因为点在单位圆上，
所以，解得.
又是第四象限角，即，
所以，由三角函数定义知
综 合 应 用
9. (多选)若sin θ · cos θ＞0，则角θ的终边在 （　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
提示：因为，
所以或，
所以角的终边在第一象限或第三象限
AC
10. (多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
提示：由α是第一象限角，，得的终边在x轴上方，则的正负不确定；又因为，所以是第一或第三象限角，则的正负不确定
AD
11. 对于①，②，③，④，
⑤，⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是________________________；
（2）角为第二象限角的充要条件是________________________；
（3）角为第三象限角的充要条件是________________________；
（4）角为第四象限角的充要条件是________________________.
①③或①⑤或③⑤　
①④或①⑥或④⑥
②④或②⑤或④⑤
②③或②⑥或③⑥
11. 对于①，②，③，④，
⑤，⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是________________________；
（2）角为第二象限角的充要条件是________________________；
（3）角为第三象限角的充要条件是________________________；
（4）角为第四象限角的充要条件是________________________.
①③或①⑤或③⑤　
①④或①⑥或④⑥
②④或②⑤或④⑤
②③或②⑥或③⑥
12. 函数的值域是__________．
提示：　当x是第一象限角时，
，所以.
当x是第二象限角时，
所以.
当x是第三象限角时，
所以.
当x是第四象限角时，
所以.
故函数的值域
13. 讨论：的符号情况．
的终边第一象限角、第四象限角或在轴正半轴上，为正；的终边第二象限角、第三象限角或在轴负半轴上，为负；的终边在轴上，为0
14. 已知集合，．
（1） 当时，求x的值；
因为，且，所以，解得
（2） 当时，求x和y的值．
因为，所以y可能取值为.
当时，则得.
当时，则得.当时，
则，即，得．
经检验知符合题意．
综上可得，若，则；
若，则；
若，则
素 养 提 升
15. 如图，在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在，圆在x轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于时，点P的坐标为________________________．
提示：如图，过圆心C作x轴的垂线，垂足
为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线
交于点B．
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧
，即圆心角，则.所以，
所以，所以点P的坐标为
16. 已知，求证：.
如图，设角的终边与单位圆交于点
，单位圆交x轴于点A，交y轴于
点B.
连接，过P作轴，轴，M，N分别为垂足.
则.
在中，，所以.
因为
.
又，所以，即.
所以(共26张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列结论正确的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C
2. 已知，为锐角，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
A
3. 等于（　　）
A. B.
C. D.
D
4. 设，，则有
（　　）
A. B.
C. D.
A
5. 已知，化简 __________.
　
6. 已知等腰三角形的一个底角的余弦值为，则这个三角形的顶角的正弦值为 __________.
　
7. 若，则____________.
　
8. 已知，为锐角，求的值.
综 合 应 用
9.（多选）已知函数（且）的图象过定点，且角的终边经过，则（　 　）
A.
B.
C.
D.
BCD　
提示：.
令，得，进而，则，故A错误.
因为，所以，
则.
，故BCD正确
10.（多选）已知函数，则（　　）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于原点对称
C. 有最小值
D. 在区间上为增函数
BD　
提示：由函数.
对于A，由的最小正周期不为π，所以A错误.
对于B，由的定义域关于原点对称，且
，所以的图象关于原点对称，所以B正确.
对于C，由函数的值域为，得，所以C错误.
对于D，由，得，得函数单调递增，所以在上也单调递增，所以D正确
11. 已知为第二象限角，且，则的值为________．
提示：．
又为第二象限角，且，所以，
所以
12. 关于的方程，其最小的14个正实数解之和为____________.
提示：依题意，，
，
得或.
在上，方程有个根：.
由于，所以关于的方程其最小14个正实数解之和为
　
13. 已知函数.
（1） 化简函数；
（2） 若，求和的值.
（1）
（2） 由，得，
则
14. 设为锐角，若，求的值.
因为为锐角，所以，由，知.
所以，有，
，
所以
素 养 提 升
15（多选）已知，，，则（　　）
A.
B.
C.
D.
BC　
提示：如图所示：
当时，.
因为，则
.因为，则.
因为，则
16. 函数的值域为____________．
提示：设，则，且，
所以.
所以，
所以可化为.
当时，取得最小值0，当时，取得最大值2.
所以的值域为，即的值域为(共25张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.3　诱导公式
5.3.1　诱导公式（二）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知sin，则的值为（　　）
A. B. －
C. D. －
D
2. 已知为第一象限角，则将角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆的交点坐标是（　　）
A.（
B.（
C.（
D.（
D
3. 已知，则的值为
（　　）
A. B.
C. D.
A
4. 已知角的终边经过点，则的值为
（　　）
A. B.
C. D.
D
5. 若，则
________．
6. 已知为锐角，且，则 ________．
　
7. 计算：________．
1
8. 求值：
综 合 应 用
9.（多选）下列命题为真的是 　　
A. 成立的条件是角是锐角
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
CD　
提示：选项A中，对任意角都成立，故A不对.
选项B中，当时，故B不对.
选项C中，若，则，故C对.
选项D中，若，得，故或故，故D对
10.（多选）在中，下列结论正确的有（　 　）
A.
B.
C.
D.
ABC
11. 已知是第四象限角，，则
____________．
提示：是第四象限角，，即.
又
.
又，所以，且.所以，所以
12. 定义：角θ与φ都是任意角，若满足，则称θ与φ“广义互余”．已知，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________．（填序号）
①；②；
③；④.
①③
提示：因为，所以.
若，则
，故①满足；
，故②不满足；，故③满足，
④不满足
13. 化简:
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） 原式
（2） 原式
（3） 原式
14. 已知是关于的方程的两个根，求的值.
由题意知或，且消去，得到，解得舍去），或，所以
，即
素 养 提 升
15. 已知函数，且
，则＝________.
提示：
.
而
，
所以，故
16.（多选）已知锐角满足，设，则下列结论正确的是（　 　）
A.
B.
C.
D.
ABC　
提示：因为为锐角，若，则.，则，同理，与矛盾，所以，A项正确.
由于，则，B项正确.
同理得，是减函数，所以，C正确.
，D错误(共27张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
单元检测卷（三角函数的图象与性质、三角恒等变换）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
一、 单选题
1. 若，，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
提示：因为，所以，所以.又，所以
D
2. 已知，为锐角，，，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
C
提示：因为为锐角，，所以.
又，则
3. 已知，，且，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
A
提示：因为，即，所以，所以.因为，化简得因为，所以
4. 设函数的最大值为，最小值为，则（　　）
A. 存在实数，使
B. 存在实数，使
C. 对任意实数，有
D. 对任意实数，有
A
提示：，
即，
即为为辅助角.
由，
得，
即，
化简得
.
由于恒成立，
判别式恒成立，
即有不等式的解集为，
由韦达定理得，且，故同正，则，故存在实数，使
二、 多选题
5. 已知函数，则（　 　）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 的图象关于点对称
ACD
提示：的最小正周期为，故A正确.
由得的图象关于直线对称，由，解得，故B错误.
的单调递减区间为时，单调递减区间为，故C正确.
由得，所以的图象关于点对称，故D正确
6. 某同学对函数进行研究后，得到以下结论，其中正确的是（　　 ）
A. 函数的图象是轴对称图形
B. 对R，成立
C. 函数图象与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等
D. 当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点
ABD
提示：解：对于，所以是偶函数，函数的图象是轴对称图形，故正确.
对于，所以对任意实数均成立，故正确.
对于，当或时，或，所以函数的图象与直线有无穷多个公共点，但不满足任意相邻两点的距离相等，故错误.
对于，所以当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，故正确
三、 填空题
7. 函数的最小正周期为________.
提示：最小正周期
8. ________.
提示：
　
9. 对任意两实数a，b，定义运算“”如下：则关于函数，下列结论中：
①函数的值域为；②函数的对称轴为，；③函数是周期函数；④当且仅当x=2kπ（）时，函数取得最大值1；⑤当且仅当时，.正确的结论是________________.（填序号）
①②③
提示：当时，
当时，，
即函数的值域为.
由上可知函数的对称轴为.
因为，所以函数是周期函数.
当且仅当时，函数取得最大值1.
当且仅当时，
10. 已知函数的图象过定点，且角的终边过点，始边与轴的非负半轴重合，则的值为________.
提示：函数的图象过定点，又由角的终边过点，且始边与轴的正半轴重合，，
所以
　
四、 解答题
11. 已知函数的最大值为，最小值为.
（1） 求；
由条件得，所以
（2） 用五点作图法作出函数的图象，并写出的对称轴与对称中心.
由于，五点法列表可得:
根据函数的对称轴为，对称中心的坐标为
12. 已知，且.
（1） 求的值；
因为，两边平方，得，
.又，所以
（2） 若，，求的值.
因为，所以，
故.
又，得，
所以
13. 已知函数．
（1） 若，求的值域；
由，得.
由，得，所以，即的值域是
（2） 若在区间上有零点，求实数的取值范围．
因为，所以.
由，得，则.
令，则，
则.
由函数在区间上单调递增，
得，所以(共36张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.6　函数
5.6.2　函数的图象(二)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（　　）
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
C
2. 把函数（，）图象上所有点向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为，则（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
B
3. 已知函数的部分图象如图所示，则函数在上的大致图象为（　　）
C
4. 已知函数，则的最小正周期
（　　）
A. 与有关，且与有关
B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关
D. 与无关，但与有关
B
5. 在同一直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是________.
2
6. 若动直线与函数和的图象分别交于两点，则的最大值为________.
7. 已知函数，给出下列3个结论：
①的最小值是；
②若，则在区间上单调递增；
③若，则将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象.
其中正确的是____________.（填序号）
①②
8. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，求函数在区间上的最小值.
由题设，，其图象关于点对称．
则，则，得．
由，得，于是．
由，得．
函数在区间上的最小值为
综 合 应 用
9.（多选）关于函数的描述正确的是（　　）
A. 函数图象的一条对称轴为直线
B. 函数在上单调递增
C. 函数在上有2个零点
D. 将图象上所有点向右平移个单位，所得图象关于原点对称
AC　　
10.（多选）将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则（　 　）
A. 的图象关于点对称
B. ，
C. 在区间上恰好有3个零点
D. 若锐角满足，则
ACD
11. 设函数，则不等式
的解集为_____________________________.
提示：易知
，即是偶函数
12. 已知函数，将函数图象上所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若，则的最小值为________.
13. 已知函数的最小正周期是.
（1） 求函数的解析式；
依题意，，
的最小正周期，解得，
所以
（2） 将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求m的取值范围.
依题意，
，
由，得．
当时，恒成立．
当时，，而正弦函数在上单调递减，于是函数在上单调递减．
，
．
从而，即．
所以m的取值范围是
14. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点.
（1） 求函数的解析式；
由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期．
故，此时．
选条件①②：因为的最小值为，所以.
因为图象的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以．
选条件①③：因为的最小值为，所以.
因为函数的图象过点，
即，即，
.
因为，所以，
所以，得，所以.
选条件②③：因为函数的一个对称中心为，所以．
所以．
因为，所以，此时.
所以．
因为函数的图象过点，
所以，即，
即，所以，所以
（2） 若函数在区间上的最小值为，求的取值范围．
因为，所以，
函数在区间上的最小值为，
则，即，
所以的取值范围为
素 养 提 升
15.（多选）智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声.
已知某噪声的声波曲线在
上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（　　）
A.
B.
C.
D.
AD　
提示：由题中图2可知：过两点，
所以有，即.
由.
因为，所以，所以，即，得，此时函数的周期为.要想抵消噪声，只需函数向左或向右平移一个单位长度，
得到，
或，故选项A，D符合，显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意
16.（多选）已知函数
若对任意有恒成立，且在区间上是单调函数，则的值可能为（　　）
A. B.
C. D.
AB　
提示：因为，所以为函数的对称中心.
因为对任意有恒成立，所以为函数的对称轴.
设函数的最小正周期为，
则，
解得.
因为在区间上是单调函数，
所以，故排除D.
对于A，当时，.
由，得
.
因为，所以.
此时.
当时，，
所以在区间上为减函数，满足题意，故A正确.
对于B，当时，.
由，得.
因为，所以.
此时.当时，，
所以在区间上为减函数，满足题意，故B正确.
对于C，当时，.
由，得.
因为，所以，即.因为，所以不存在使，故C错误(共35张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
单元检测卷（函数y=sin （ωx+φ）、
三角函数的应用）
第五章　三角函数
一、 单选题
1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
B
提示：由，得，解得.
只需将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象
2. 小明用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
0

0 2 0 0
请你根据已有信息推算A，的值依次为（　　）
A. 2，2，
B. 2，2，
C. 2，，
D. 2，2，
D
3. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为
（　　）
A. B.
C. D.
A
提示：，
所以.
因为的图象关于点对称，依题意得解得
因为，所以的最小值为
4. 若将函数的图象向左平移个单位可以得到一个偶函数的图象，则可以是（　　）
A. B.
C. D.
D
提示：将函数的图象向左平移个单位可以得到一个偶函数的图象.设该偶函数为，则.
由题设，即，故.
所以当时，
二、 多选题
5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（　 　）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数图象关于直线对称
D. 函数图象关于点对称
ACD　
提示：由题意得
.
对于A，因为，所以.因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故A正确.
对于B，因为，所以.因为在区间上不单调，所以在区间上不单调，故B错误.
对于C，令，得.令，得，所以函数的图象关于直线对称，故C正确.
对于D，，得.令，得，所以函数的图象关于点对称，故D正确
6. 在沱江上有一个水车，半径为4 m（示意图如图所示），水车圆心距离水面2 m，已知水车每30 s逆时针匀速转动一圈，如果当水车上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（　 　）
A. 点P第一次到达最高点需要10 s
B. 当水车转动35 s时，点P距离水面2 m
C. 当水车转动25 s时，点P在水面下方，距离水面2 m
D. 点P距离水面的高度h（m）与t（s）的函数解析式为
ACD　
提示：设点P距离水面的高度h（m）和时间t（s）的函数解析式为
由题意得
解得
所以，故D正确.
对于A，令，即，即，解得，故A正确.
对于B，令，代入，解得，故B错误.
对于C，令，代入，解得，故C正确
三、 填空题
7. 将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是__________.（填序号）
①当时，有最小值；
②图象关于直线对称；
③图象关于点对称．
①②
提示：函数的图象向右平移个单位，得到，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.
对于①，当时，，则当时，函数有最小值，故①正确.
对于②，由，得，当时，，即函数的图象关于直线对称，故②正确.
对于③，由②的结论可得③错误
8. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则的可能取值有________个.
2
提示：函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
，
若是奇函数，则，解得.
由，则时，；时，的可能取值有2个
9. 函数的图象与函数的图象在区间上所有交点的横坐标之和为 ________．
5
提示：因为，得，所以是的一条对称轴.
又因为，
所以关于对称.
又因为，
则与大致图象如图所示.
与在区间上有5个交点.
设这5个交点从左到右的横坐标分别为，
则，
所以
10. 已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的
图象关于原点对称，则函数的解析式_____________.
提示：因为函数的最小正周期是，所以，所以.
函数的图象向右平移个单位长度后得到.
因为关于原点对称，
所以，所以.
因为，所以，
因此
四、 解答题
11. 已知函数的部分图象如图所示，其中，．
（1） 求的解析式；
依题意，，解得，
故，故.
因为，所以.
因为，故，
则
（2） 设函数，，求的值域．
，
若，
，
故，
则.
即的值域为
12. 已知函数．
（1） 当时，用五点法作出函数一个周期内的图象；
由于.
当时，，
列表
0
0 2 0 －2 0
（2） 若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围．
由（1）得.
因为，所以.
又函数在区间上是单调递增函数，
所以.
解得.
又，解得，所以的取值范围为
13. 已知函数的图象关于直线对称，且.
（1） 求的表达式；
因为
.
又函数的图象关于直线对称，则，解得.
又，即，
即
（2） 若将函数图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到的图象，且关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
将图象上各点的横坐标变为原来的，得函数图象所对应的解析式为.再将所得图象向右平移个单位，得到的图象，则.
由关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
则函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点.
又函数在区间上的图象如图所示，
则函数的图象与直线在区
间上有且只有一个交点时，
或，
即实数的取值范围为或(共27张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（二）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 的值为（　　）
A. B.
C. D.
A
2. 已知，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
D
3. 的值为（　　）
A. B.
C. D.
A
4. 的值为（　　）
A. B. 1
C. D. 2
C
5. 化简：________．
6. 将化为
的形式：________________.
7. 化简：________．
8. 已知都是锐角，且，，求的值.
　
提示：
综 合 应 用
9. （多选）下列各式中，值为1的是 （　　 ）
A.
B.
C.
D.
ABD
提示：对于A，，故A正确.
对于B，
，故B正确.
对于C，
，故C不正确.
对于D，
，故D正确
10. （多选）已知，且，
，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
ABD　
提示：由，得.
同除，得.
由，故，则，得，
当且仅当时，等号成立.
注意到，于是，故A，B正确.
对于C，结合条件得
，
得或.
但由AB可知都不可能成立，故C
错误.
对于D，，
由知，，
所以，故D正确
11. 设，，且
，则____________.
提示：配方得，得
，又，所以，所以，所以
　
12. 《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．
引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几
何 ”其意思为“今有水池1丈见方（即
丈=10尺），芦苇生长在水池的中央，
长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少 ”将芦苇均视为线段，在芦苇的移动过程中，其长度不变，记，则____________．
提示：依题意，设尺，则尺），
尺）.在中，由，得，得.
所以，
故
13. 在锐角三角形ABC中，，，求，的值．
在锐角三角形ABC中，.
.
，
14. 已知，，，其中，为锐角．
（1） 求的值；
由题意知
，所以
（2） 求的值．
由题意知且为锐角，
所以，所以.
所以.
因为为锐角，故
素 养 提 升
15. 设次多项式
，，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式.求切比雪夫多项式.
因为
，
所以，
所以，
所以
16. 计算：
________．
提示：因为
，
整理得，
则.
所以
，
即(共19张PPT)
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第五章　三角函数
第五章检测卷（A）
一、 单选题
1. 若为钝角，，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
A
2. 函数的一条对称轴方程是(　　)
A.
B.
C.
D.
C
3. 如图是三个并排放置的正方形，则等于
（　　）
A. B.
C. D.
C
4. 如图，圆的半径为1是圆上的定点是圆上的动点，角的始边为射线终边为射线过点作直线的垂线，垂足为将点到直线的距离表示成的函数则
在上的图象大致为（　　）
B
提示：由题图可知，当时，，此时，排除A，D;当时，.
设点M到直线OP的距离为d，则，即.所以，排除C.故选B
二、 多选题
5. 下列四个函数：，，，
，以为周期的是(　　)
A.
B.
C.
D.
CD
6. 下列各式中值为1的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
CD
三、 填空题
7. 若，则________，________．
　
　
8. 函数的最大值是________，其单调递增区间为_______________________________________．
2
　
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉
工具，既经济又环保，明代科学家徐
光启在《农政全书》中用图1描绘了筒
车的工作原理.假定在水流稳定的情况
下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4 m，筒车的轴心到水面的距离为2 m，筒车每分钟按逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.
若以筒车的轴心O为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为
_____________________________________．
　
10. 已知方程在区间上有两个实数根，则实数的取值范围是____________.
四、 解答题
11. 已知，求：
（1） 的值；
（2） 的值；
因为，所以，
且，则，
由题意可得
解得，
所以.
因此
（3） 的值.
原式
12. 已知，，，
，求的值.
13. 已知函数．
（1） 求的最小正周期和单调递增区间；
，令，得，即的单调递增区间为
（2） 若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
因为，得
.令，
即.
画出在区间上的图象（如图），因为在的值域为，所以，解得，即实数m的取值范围为(共33张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.6　函数y=Asin（ωx+φ）
5.6.2　函数y=Asin（ωx＋φ）的图象(一)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 将函数的图象向右平移个单位长度，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
则所得图象的函数解析式为（　　）
A. B.
C. D.
D
2. 若函数的图象（部分）如图所示，则和的取值分别是（　　）
A.
B.
C.
D.
C
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上单调递增
B
4. 已知曲线，曲线
的部分
图象如图所示.下列结论正确的是（　　）
A. 将曲线先向右平移个单位长度，
再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到
B. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的得到
C. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得
D. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的得到
A
5. 若函数（是常数，且的最大值为，最小值为，则振幅为________，周期为
　________，初相为________，频率为________.
3
　　
　　
6. 关于函数的图象，给出下列四个结论：①关于直线对称；②关于点对称；③在区间上单调递增；④可由函数的图象向右平移个单位
长度得到.其中正确的结论是________.（填序号）
①②③
7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的最小正值为________.
　
8. 已知函数在上的最大值为，求的值.
　
综 合 应 用
9. （多选）若函数
在一个周期内的
图象如图所示.下列结论正确的是（　　）
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是，
D. 把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象
BC
10. （多选）若函数
的部分图象如
图所示，则下列说法正确的有（　 　）
A.
B. 的一个对称中心为
C. 的一个增区间为
D. 可将函数向右平移个单位得到
ABD
11. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则________.
，又的最大、最小值为，故等价于一个取得1，一个取得．
不妨设，所以．又，所以，即
12. 函数，的部分图象如图所示，则________，________.
当时，，则，或．
当时，，则．
当时，，得.
当时，，得.
因为，所以．
所以.所以
13. 函数的部分图象如图所示．
（1） 求函数的解析式和单调递增区间；
由图象知，．又，则．
则，将代入得，，
得，
解得．
由，得当时，，
所以.
令，
得，
所以的单调递增区间为
（2） 若将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
将的图象向右平移个单位得
．
然后再将横坐标缩短为原来的得到的图象.
由于，则，则.
故当时，的最小值为；当时，的最大值为
14. 已知函数的最小值为，图象经过点，且相邻两个最高点之间的距离为.
（1） 求函数的解析式及单调递减区间；
，单调递减区间：
（2） 当时，方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.
或
素 养 提 升
15. 设函数，其中.
（1） 写出的最大值，最小值和最小正周期；
（2） 试求最小的正整数，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少有一个值是或.
（1）
（2） 由，即，得.所以最小正整数为16
16. 已知函数，满足______．
在：①函数的一个零点为0，②函数图象上相邻两条对称轴的距离为，③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．
（1） 求函数的解析式；
若选①②．因为函数的一个零点为，所以，所以，所以，因为，所以．
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．
因为，所以，所以函数的解析式为．
若选①③．因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以．因为，所以．
因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以，即．因为，所以．
所以函数的解析式为．
若选②③．因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．
因为，所以．因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，
所以．
所以，
即．
因为，所以，所以函数的解析式为
（2） 把函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．
把的图象向右平移个单位得到
，再将
向上平移1个单位得到．
由得，
因为在区间上的最大值为2，所以在区间上的最大值为1，所以，即，所以的最小值为(共27张PPT)
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第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列函数中，最小正周期为的是（　　）
A. B.
C. D.
D
2. 下列函数中，不是偶函数的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
3. 函数（　　）
A. 是偶函数
B. 是奇函数　
C. 是非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
A
4. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　）
A. B.
C. D.
A
5. 用作调频无线电信号的载波以为模
型，其中的单位是，则此载波的周期约为_____________（保留位有效数字），频率为_________________．
1.09×10－8 s　
9.15×107 Hz
6. 若函数的最小正周期不小于，则正整数的最大值为________.
3
7. 已知为偶函数，当时，，则当时，的表达式为____________________.
8. 证明：是函数的一个周期.
综 合 应 用
9. （多选）若函数是奇函数，则的一个可能值为（　　）
A. B.
C. D.
提示：　　
BD　
10. （多选）下列函数中，是以为周期的函数是（　 　）　
A.
B.
C.
D.
ABC
11. 已知函数，若，则
=________.
－5　
12. 已知函数是以为最小正周期的奇函数，且，则________.
－1
13. 判断函数的奇偶性，并说明理由.
偶函数
14. 设函数是最小正周期为的偶函数，它在区间上的图象为线段，如图（单位格子）所示，则在区间上的表达式为____________.
素 养 提 升
15. 设R，函数
的最小正
周期为，且．
（1） 求和的值；
因为的最小正周期是，所以，得.
，即.
（2） 在给定直角坐标系中作出函数在上的图象；
由（1）可知，列表
0
0
1 0 －1 0
（3） 若，求的取值范围．
由，得，
解得.
所以的解集为
16. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意
都存在满足，则称函数为
“自均值函数”.
（1） 判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
提示： ，若是“自均值函数”，则存在实数，使得对于任意都存在满足.
即，即.
函数的值域为的值域为，不满足条件.
故函数不是“自均值函数”
（2） 若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.
提示：存在，对于，存在，有，即.
当时，的值域是.
在上的值域包含.
当时，，则.
若，则.
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得.
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于.
又时，递减且，而有，解得.
此时取的值域是，而，故在的值域包含，
所以的取值范围是(共25张PPT)
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第五章检测卷（B）
第五章　三角函数
一、 单选题
1. 化简的结果是（　　）
A. B.
C. D.
C
2. 设函数，则的奇偶性
（　　）
A. 与有关，且与有关
B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关
D. 与无关，但与有关
D
3. 已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（　　）
A. 偶函数且它的图象关于点对称
B. 偶函数且它的图象关于点对称
C. 奇函数且它的图象关于点对称
D. 奇函数且它的图象关于点对称
D
4. 已知，，则下列结论错误的是（　　）
A.
B.
C.
D.
C
提示：因为，所以，所以.由，得，又，所以.由，得，所以，故A正确.由，得，所以，故B正确.对于C，当时，显然不成立，故C不正确.由，得，所以，故D正确.故选C
二、 多选题
5. 下列各式中，值为的是（　 　）
A.
B.
C.
D.
ABD
6. 某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在 min后距离地面的高度，已知该摩天轮的旋转半径为60 m，最高点距地面135 m，旋转一周大约30 min，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15 min时，乙距离地面的高度为
m，则乙所乘坐的舱号为（　　）
A. 6 B. 7
C. 15 D. 16
BD　
提示：由题意得 min，故.摩天轮最低点距地面 m，故解得
故.
由于 min，故甲乘坐摩天轮15 min时，距地面最高，即，
故.
因为，所以，故，解得.故.
令，其中，解得.
当，解得.
因为，所以，解得，此时.
当，解得.
因为，所以，解得，此时.
综上， min或 min.
每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为.
当 min时，乙比甲晚出发 min，甲、乙相差个乘坐舱.由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱.
当 min时，乙比甲早出发 min，甲、乙相差个乘坐舱，故乙在7号乘坐舱
三、 填空题
7. 在中，，，则的大小为 ________.
8. 若，则
____________．
4
9. 已知函数，若函数在区间上单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为________．
提示：由在区间上单调递增，且函数的图象关于直线对称，可得，且，得，所以，得
10. 函数的单调递减区间为
____________________________.
提示：因为，所以.
解得.
当时，
是增函数.
所以是减函数，
即的单调递减区间为
四、 解答题
11. 如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点，轴正半轴与单位圆交于点，已知，点的纵坐标是.
（1） 求的值；
由和α为锐角，知.
又点B的纵坐标是，所以.
所以
（2） 求的值.
因为
所以.
因为，所以.
因为，所以
12. 已知函数的最小正周期为且为函数的图象的一条对称轴.
（1） 求和的值；
因为的最小正周期为π，所以.
又，
得.
又，则
（2） 设函数，求的单调递减区间.
函数
.
令，
得，
所以的单调递减区间为
13. 已知函数的值域为.
（1） 若函数的图象关于直线对称，求的最小值；
，其中.
由题意可得，解得.
所以.
所以.
由的图象关于直线对称，得.
所以，所以
（2） 当时，方程有四个实数根，求的取值范围.
作出的图象，如图.
故在区间上单调递增;在区间上单调递减，因为，所以(共23张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 下列叙述正确的是 （　　）
A. 三角形的内角必定是第一、二象限角
B. 始边相同而终边不同的角一定不相等
C. 第四象限角一定是负角
D. 钝角比第三象限角小
B
2. 射线OA在轴非负半轴，绕端点O按逆时针方向旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点按顺时针方向旋转270°到达OC位置，则∠AOC的值为（　　）
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
B
3. 是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
C
4. 对于第四象限角的集合，下列四种表示中错误的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
C
5. 时针走过1 h 50 min，则分针转过的角度是________.
6. 与角－1560°的终边相同的角的集合中，最小正角是______，最大负角是________.
240°
－120°
7. 若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝ ________.
提示：，又，所以
270°
8. 已知下列各角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出各角，并指出它们是第几象限角：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
（1） 第一象限角，作图略　
（2） 第四象限角，作图略　
（3） 第二象限角，作图略　
（4） 第三象限角，作图略
综 合 应 用
9.（多选）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（　　）
A. B.
C. D.
提示：，所以，即与角的终边相同，选项AC符合题意
AC　
10.（多选）已知角，的顶点与直角坐标系的原点重合，始边也与轴的非负半轴重合，则下列结论正确的有（　 　）
A. 若角和角的终边重合，则，
B. 若角和角的终边关于原点对称，则，
C. 若角和角的终边关于x轴对称，则，
D. 若角和角的终边关于y轴对称，则，
ABCD
11. “一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
必要不充分
12. 已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝___________________________.
或或或
提示：由角与角的终边关于轴对称，知角与角的终边相同，得，结合θ为小于360°的正角，可得答案
13. 已知，如图所示.
（1） 分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.
（2） 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
（1） 终边落在OA位置上的角的集合为；终边落在OB位置上的角的集合为
（2）
14. 设集合
，请判断集合，之间的关系．
因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，从而
素 养 提 升
15. 今天是星期三，那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期
几
每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五
16. 若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在的位置．
因为α是第二象限角，所以．所以，所以2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上．下面判断和的终边所在的位置.
因为，
当时，.
当时，，所以的终边位于第一或第三象限．
因为，
当时，.
当时，.
当时，，
所以的终边位于第一、第二或第四象限(共20张PPT)
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第五章　三角函数
5.7　三角函数的应用
基础训练
综合应用
基 础 训 练
1. 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子
各点的位置图，经过周期后，点的位置
将移至（　　）
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
B
2. 若简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（　　）
A. B.
C. D.
B
3. 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．
若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s，那么线长约为（　　）cm．（精确到0.1 cm）
A. 12.7 B. 25.3
C. 101.3 D. 50.7
B
4. 如图，有一个半径为的水轮，水轮的圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有（　　）
A.
B.
C.
D.
B
5. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.二十四节气又分为12个节气和12个中气，一一相间，二十四节气与季节、月份的关系如下表：
季节 春 夏 月份 2 3 4 5 6 7
节气 立春 惊蛰 清明 立夏 芒种 小暑
中气 雨水 春分 谷雨 小满 夏至 大暑
二十四节气反映了太阳的周年运动，在公历中它们的日期是相对固定的，现行的二十四节气每一个分别相应于太阳在黄道上每运动15°所到达的一定位置.如春分太阳位于黄经0度，清明太阳位于黄经15度，谷雨太阳位于黄经30度，则夏至太阳位于黄经________度.
季节 秋 冬 月份 8 9 10 11 12 1
节气 立秋 白露 寒露 立冬 大雪 小寒
中气 处暑 秋分 霜降 小雪 冬至 大寒
90
6. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可以近似地用函数
来表示.已知这个城市6月份的月平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，则它10月份的月平均气温为________.
7. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压u（单位：V）和时间t（单位：s）满足
.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为________.（答案用分数表示）
8. 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（1） 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
根据图象可知:
根据，得.
所以振幅是3，周期是4，频率是
（2） 写出这个简谐运动的函数解析式.
设简谐运动的函数解析式为:
根据（1）有.
根据最小正周期计算公式为，得
得
的中点为
得的一个顶点坐标为（2.2，－3）.
故，得.
当时，.
所以
综 合 应 用
9. （多选）若函数与函数
的图象在区间上，其中，.下列结论错误的是（　 　）
A. 至少有两个交点
B. 至多有两个交点
C. 至多有一个交点
D. 至少有一个交点
ABD
10. （多选）设函数的图象为下面两个图中的某一个，则函数的图象的对称轴方程不可能为（　 　）
A.
B.
C.
D.
提示：先确定的值，舍），再求对称轴方程
BCD
11. 若函数在区间上至少出现2个最大值，则的最小值是________.
12. 已知南北回归线的纬度为，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是.当地夏半年取正值，冬半年取负值，如果在北半球某地（纬度为）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？（结果用含有和的式子表示）
如图，设点A，B，C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时
楼顶在地面上的投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的
楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射
纬度为，依题意两楼的间距不小于MC.根据太阳高度角的
定义得，(共25张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.2　三角函数的概念
5.2.2　同角三角函数的基本关系
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 已知，则的值为（　　）
A. 0 B.
C. －1 D.
C
2. 已知，且，则的值为（　　）
A. B.
C. D. 或
C
3. 若，则，，的大小关系是（　　）
A.
B.
C.
D.
D　
4. 已知则的值为（　　）
A. B.
C. D.
A
5. 当时，满足的的取值范围是____________．
6. 已知，且为第四象限角，则________.
7. 已知为第二象限角，且，则
________.
8. 化简：（1） ；
（2） ；
（3） .
（1）
（2）
（3）
综 合 应 用
9.（多选）已知，，则下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
BD　
提示：由，
得，
则，即
得或.
又，则，故，则选项B正确.
由得为第四象限角.
又，则，则选项A错误.
，则选项C错误.
，则选项D正确
10. (多选)已知α是第二象限角，则下列式子不成立的是 （　 　）
A.
B.
C.
D.
ACD　
11. 已知为第二象限角，且，，则________.
提示：因为为第二象限角，所以得或.
因为，即
，所以，得舍）或.所以
12. ________．
1
13. 已知恒成立，求的取值范围．
可化为，令，而在R上是单调递增函数.要使恒成立，即有，所以
14. 求下列函数的定义域：
；
．
（1） ，则，故定义域为
（2） ，且，所以定义域为
素 养 提 升
15. 1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：，
，（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：，，（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，.若，且，则________.
提示：由，
得.，两边平方，得，所以.
因为，所以.
，
所以
16. 已知，求的值．
设．由得．
因为
，
所以．
所以．
又因为，
．
以此类推：，即(共23张PPT)
第五章　三角函数
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念（一）
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 的值为（　　）
A. B.
C. D.
C
2. 若角的终边经过点，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
D
3. 下列各式中，结果是正值的是 （　　）
A. B.
C. D.
提示：；，故
C
4. 当是第三象限角时，点的位置在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
提示：当在第三象限时，，且，故点在第二象限
B
5. 方程的解集为_______________________________________．
6. 在直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针方向旋转到点B，点B的坐标是______________．
7. 若角的终边经过点，则________，________，________.
　
8. 已知角的终边过点，且，求及的值．
由角的终边过点，知，
又，得．
所以
综 合 应 用
9.（多选）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点，，且，则（　 　）
A. B.
C. D.
BCD
10.（多选）质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的上逆时针作匀速圆周运动（同时出发）．A的角速度大小为
，起点为与x轴正半轴的交点；B的角速度大小为1rad/s，起点为射线与的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是（　　）
A. B.（
C.（ D.（
BD　
提示：依题意，点的起始位置，点的起始位置，则.
设当A与B重合时，用的时间为 s，于是，即，
则，当为偶数时，，即，B正确；
当为奇数时，，即，D正确
11. 若令，则 ________0.（填“＞”“＜”或“＝”）
提示：可得－＜m＜0，所以m＜0
＜
12. 已知，，，
则a，b，c由小到大的顺序是 ____________．
13. 已知角的终边经过点，且.试判断角所在的象限，并求和的值.
，由，因为，解得.当时，，点在第三象限，是第三象限角，得.当
时，是第二象限角，得
14. 判断下列三角函数值的符号．
(1) ；
(2) .(为三角形的内角)
（1）
（2）
素 养 提 升
15. 已知长方形的四个顶点是，，，，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的后，依次反射到，和上的，和（入射角等于反射角）.设的坐标是，若，则的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
C
提示：设，则，所以.又，所以.而，所以.
又，所以.
根据题设，即，所以，即
16. 在单位圆中，证明：当时，有
成立.
设角的终边交单位圆于点，单位圆与轴正方向相交于点，过点作单位圆的切线交角的终边于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接的面积的长，扇形的面积的面积.由三者的面积包含关系知，即.因此，在的条件下，是成立的(共27张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.2　弧度制
基础训练
综合应用
素养提升
基 础 训 练
1. 2145°转化为弧度数为 （　　）
A. B.
C. D.
D　
2. 将－1485°化成的形式是（　　）
A. －－8π B. －8π
C. －10π D. －10π
D
3. 下列各对角中，终边相同的角是 （　　）
A. B.
C. D.
D
4. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（　　）
A. B.
C. D.
C
5. 若，则的终边落在第________象限．
二
6. 若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是
_______________.
　
7. 在半径为5 cm的扇形中，圆心角为2 rad，则扇形的面积是
（　　）
A. 50 cm2 B. 25 cm2
C. 20 cm2 D. 10 cm2
B
8. 分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m的圆中，的圆心角所对的弧的长度.
角度制下：1 m，，弧长m）.
弧度制下：1 m，，弧长m）
综 合 应 用
9. （多选）下列结论正确的是 （　　 ）
A. 终边在x轴上的角的集合是
B. 终边在第二象限的角的集合为
C. 终边在坐标轴上的角的集合是
D. 终边在直线y=x上的角的集合是
ABC
10. （多选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.
下列结论正确的是（　 　）
（参考数据：）
A.
B. 若，扇形的半径，则
C. 若扇面为“美观扇面”，则
D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
ABC　
提示：扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为.
选项A：.故A正确.
选项B：由，得，得，又扇形的半径，则.故B正确.
选项C：若扇面为“美观扇面”，则，得.故C正确.
选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，则此时的扇形面积为.故D错误
11. 已知集合，，则∩=_______________________．
提示：集合.当时，；当时，.所以
　
12. 古希腊地理学家埃拉托色尼从书中
得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊
尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）
记为，夏至那天正午，阳光直射，
立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离 km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为________km．（）
6369
提示：设地心为，依题意得，.设地球的周长为，半径为，则，所以km）
13. 如图，用弧度制分别表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合.
（1）
（2）
（3）
（4）
14. 已知扇形的周长为30，当它的圆心角取何值时，扇形的面积最大？试求这个最大值．
因为扇形的周长为30，设扇形的弧长为l.
由题意得，即，
所以.
则当时，，此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大是
素 养 提 升
15. 如图，，是直线上的两点，且，两个半径相等的动
圆分别与相切于，两点，是这两个圆的公共点，则圆弧
，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是___________．
提示：由题意得在线段中垂线上，所以到直线上的距离取值范围为，当1时，两圆相切，此时面积最大
　
16. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形实线所示，正方形的顶点A与点P重合沿圆周按逆时针方向滚动，当点A第一次回到点P位置时，点A走过的路径的长
度为_____________．
提示：由图可知：圆O的半径，正方形ABCD的边长以正方形的边为弦时所对的圆心角为.正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为，则
点A所走过
的路径的长度为(共19张PPT)
浙江省普通高中作业本　数学　必修　第一册（双色版）
第五章　三角函数
单元检测卷（任意角和弧度制、
三角函数的概念、诱导公式）
一、 单选题
1. 化成弧度是（　　）
A. B.
C. D.
提示：－150°
B
2. 下列能使恒成立的x的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D. [0，]
提示：当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足
A
3. 已知扇形的面积为，的长为，则等于（　　）
A. B. 2
C. D. 4
提示：设扇形所在圆的半径为，圆心角为，因为扇形的面积为的长为，所以得所以
为等腰直角三角形，所以
C
4. 若，且，则等于（　　）
A. B.
C. D.
A
提示：由，得，则.因为，
所以，
所以
二、 多选题
5. 下列给出的角，其终边与的终边互相垂直的有（　　）
A. B.
C. D.
AD
提示：在范围内，终边与的终边互相垂直的角为和.选项A中的终边与的终边重合，选项D项中的终边与的终边重合，故A，D满足
6. 下列命题为假命题的是 （　　）
A. 是第四象限角
B. 与角终边相同的最小正角是
C. 若是第三象限角，则不在第二象限
D. 已知是角终边上一点，则
BD
提示：与终边相同，在第四象限，故A不符合题意.
与终边相同的角为，当时，的最小正角为，故B符合题意.
由是第三象限角得，所以.
当时，在第一象限.
当时，在第三象限.
当时，在第四象限.
故C不符合题意.
由是角终边上一点，知角的终边在第二象限，，故D符合题意
三、 填空题
7. 已知，则________．
提示：因为，
所以
1　
8. 已知圆与直线相切于点，点，同时从点出发，沿着直线向右，沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，(如图)，则图中面积
的大小关系是________．
　
提示：如图所示，因为直线与圆相切，
所以，设弧的长为，所以
.
因为，所以，即，所以
9. 已知，，则
________.
提示：因为，所以
即.由α∈
（－π，0），可得，
所以
与联立，解得.所以
　
10. 若，则
__________．
提示：由，得，所以
　
四、 解答题
11. 时间经过 h min，时针、分针各转多少度？各等于多少弧度？
每经过 min，时针转，分针转.时间经过2 h 20 min，则时针转，即.则分针转，等于
12. 已知，且，计算：
（1） ；　
将两边平方，得，所以，
.又，
所以
（2） .
由（1）知
，所以
13. 若，求
的值.
由，得，得.

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