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(共26张PPT)
第5课时　一元一次不等式的实际应用（1）
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题．
知识导学
知识导学
1．（衔接回顾）用“＞”“＜”“≥”或“≤”填空：
大于：______，小于：______，最多：______，至少：______，不低于：______，不超过：______．

＞
＜
≤
≥
≥
≤
课堂讲练
例1　（人教七下P133改编）七年级举办古诗词知识竞赛，共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分．如果规定初赛成绩不低于92分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
解：设初赛答对了x道题，则答错或不答（25－x）道题．
由x应为正整数，可得x至少为24.
答：至少要答对24道题才能成功晋级．
　根据问题的实际意义，注意未知数的取值有时需为正整数．
训练　1.学校图书馆计划为参加自主阅读活动的400名学生颁发纪念品，纪念品为有学校标志的一枚定制书签或一个钥匙扣．已知定制书签的单价是10元，定制钥匙扣的单价是7元．如果图书馆用于购买纪念品的预算不超过3 500元，那么最多能定制多少枚书签？

解：设定制x枚书签，则定制（400－x）个钥匙扣．
根据题意，列得不等式10x＋7（400－x）≤3 500.
由x应为正整数，可得x最多为233.
答：最多能定制233枚书签．
例2　（人教七下P133改编）某市去年万元地区生产总值能耗为0.4 t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于10%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？

解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤．
解得x≤0.36.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.36 t标准煤．
训练　2.（2023广东改编）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打多少折？

解：设商家打x折销售．
解得x≥8.8.
答：商家最多可打8.8折．
　 解一元一次不等式应用题的一般步骤：①审：找出已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系；②设：设适当的未知数；③列：根据题中的不等关系列出不等式；④解：解不等式，求出其解集；⑤验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意；⑥答：作答．
课堂检测
1．书架长102 cm，在该书架上竖直摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚1.2 cm，每本语文书厚1.5 cm.已知书架上已摆放30本语文书，则数学书还可以摆多少本？设可以摆x本数学书，根据题意可列不等式为___________________．
1.5×30＋1.2x≤102
2．（人教七下P134改编）某工程队计划在8天内修路8 km，施工前3天修完3 km后，计划发生变化，准备至少提前3天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
解：设以后几天内平均每天修路x km.
根据题意，列得不等式3＋（8－3－3）x≥8.
解得x≥2.5.
答：以后几天内平均每天至少要修路2.5 km.
3．每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐的营养情况．他们获取了一份快餐的信息（如图），若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，则这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
解：设这份快餐含有x g的蛋白质．
根据题意，得x＋4x≤400×70%.
解得x≤56.
答：这份快餐最多含有56 g的蛋白质．
4．某水果商店计划购进山竹和酥梨共200 kg，已知山竹和酥梨的进价和售价如下表所示．若计划山竹和酥梨全部售完的利润不低于1 000元，则最多可购进酥梨多少千克？
进价（元/kg） 售价（元/kg）
山竹 12 20
酥梨 4 7
解：设购进酥梨x kg，则购进山竹（200－x） kg.
根据题意，得（7－4）x＋（20－12）（200－x）≥1 000.
解得x≤120.
答：最多可购进酥梨120 kg.
5．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，载重后总质量超过49 t的货车禁止通行，现有一辆自重6 t的货车要经由港珠澳大桥运输若干套某种设备，每套设备由1个质量为0.6 t的A部件和3个质量为0.8 t的B部件组成．该货车一次最多可运输多少套这种设备？
由m应为正整数，可得m最多为14.
答：该货车一次最多可运输14套这种设备．
解：设该货车一次可运输m套这种设备．
根据题意，列得不等式（0.6＋0.8×3）m＋6≤49.
6．（人教七下P137）长跑比赛中，刘伟跑在前面，在离终点100 m时，他以6.5 m/s的速度向终点冲刺，在他身后10 m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟之前到达终点？
解：设李明的冲刺速度为x m/s.
答：李明需以大于7.15 m/s的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟之前到达终点．
（拔高： ）7.（人教七下P136改编）一家水果店花费4 000元采购700 kg苹果和400 kg香蕉，计划以5元/kg的价格销售香蕉，但这两种水果在运输过程中都损耗了10%.若香蕉的售价不变，为了使这两种水果的总利润率不低于39.5%，则苹果的售价至少应定为每千克多少元？
解：设苹果的售价定为每千克x元．
根据题意，得700×（1－0.1）x＋400×（1－0.1）×5－4 000≥ 4 000×39.5%.解得x≥6.
答：苹果的售价至少应定为每千克6元．
随 堂 测
1．小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则可列不等式为(　　)
A．5×2＋2x≥30 B．5×2＋2x≤30
C．2×2＋5x≥30 D．2×2＋5x≤30
D
2.有一根原长为10 cm的弹簧，每挂1 kg的重物，弹簧就伸长3 cm.在弹性限度内，弹簧最长可达到37 cm，则该弹簧最多可挂多少千克的重物？
解：设可挂x kg的重物．
根据题意，得10＋3x≤37.
解得x≤9.
答：该弹簧最多可挂9 kg的重物．
3.有甲、乙两种客车，甲种客车每辆可载45名乘客，乙种客车每辆可载30名乘客．学校组织310名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，若想一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲种客车多少辆？
解：设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8－x)辆．
由x应为正整数，可得x至少为5.
答：至少需要租用甲种客车5辆．
运算滚动　4.不等式4x－7≥5的解集为________．
x≥3(共28张PPT)
第4课时　一元一次不等式的概念及解法（2）
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
知识导学
知识导学
解：去分母，得______________________.
去括号，得________________．
移项，得________________．
合并同类项，得__________．
系数化为1，得__________．
3（2＋x）＝2（2x－1）
6＋3x＝4x－2
3x－4x＝－2－6
－x＝－8
x＝8
解：去分母，得_______________________.
去括号，得________________．
移项，得________________．
合并同类项，得__________．
系数化为1，得__________．
3（2＋x）≥2（2x－1）
6＋3x≥4x－2
3x－4x≥－2－6
－x≥－8
x≤8
课堂讲练
解一元一次不等式（去分母）
解：去分母，得3（x－1）＜4（2x－7）.
去括号，得3x－3＜8x－28.
移项，得3x－8x＜－28＋3.
合并同类项，得－5x＜－25.
系数化为1，得x＞5.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
例1题答图
解：去分母，得2x≤6－（x－3）.
去括号，得2x≤6－x＋3.
移项，得2x＋x≤6＋3.
合并同类项，得3x≤9.
系数化为1，得x≤3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
训练1题答图
解一元一次不等式的一般步骤及其注意事项：（1）去分母：不等式中每一项都要乘分母的最小公倍数，不要漏乘（尤其是不含分母的项），如果分子是多项式，去分母时要注意添括号；（2）去括号：去括号时，括号前的系数（含符号）要分别乘括号内的每一项；（3）移项：要改变正负号；（4）合并同类项：系数运算，字母不变；（5）系数化为1：如果系数是负数，不等号的方向要改变．
一元一次不等式的整数解
解：去分母，得2（y＋1）＞3（y－1）.
去括号，得2y＋2＞3y－3.
移项，得2y－3y＞－3－2.
合并同类项，得－y＞－5.
系数化为1，得y＜5.
这个不等式的所有正整数解为1，2，3，4.
去分母，得4x－11≤5（4x＋1）.
去括号，得4x－11≤20x＋5.
移项，得4x－20x≤5＋11.
合并同类项，得－16x≤16.
系数化为1，得x≥－1.
∵x为负整数，∴x＝－1.
课堂检测
D
D
D
解：去分母，得4（1－x）＜－3（x＋2）.
去括号，得4－4x＜－3x－6.
移项，得－4x＋3x＜－6－4.
合并同类项，得－x＜－10.
系数化为1，得x＞10.
解：去分母，得7x＋3＋5＞5x.
移项，得7x－5x ＞ －3－5.
合并同类项，得2x ＞ －8.
系数化为1，得x ＞ －4.
去分母，得9x＋8≥2x－6.
移项，得9x－2x≥－6－8.
合并同类项，得7x≥－14.
系数化为1，得x≥－2.
∴满足该不等关系的x的最小整数解是－2.
6．（人教七下P136改编）下面解不等式的过程是否正确？若不正确，请指出哪几处出现错误，找出错误的原因并改正．
解：第一处错误在第一步，错误的原因是在去分母时忘记将分子的多项式加上括号；第二处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以－8时，不等号方向没有改变．
正确的解答过程如下：
去分母，得6－（5x＋4）＞3x－6.
去括号，得6－5x－4＞3x－6.
移项，得－5x－3x＞－6－6＋4.
合并同类项，得－8x＞－8.
系数化为1，得x＜1.
解：去分母，得x＋m－2＞4m.
移项，得x＞4m－m＋2.
合并同类项，得x＞3m＋2.
∵不等式的解集为x＞5，∴3m＋2＝5.
解得m＝1.
可用含字母的式子先表示出不等式的解集，再对比求出字母的值．
①＋②，得3x＋3y＝2－2m.
随 堂 测
A B
C D
A
①去分母，得3x＜4x－3；
②移项，得3x－4x＜－3；
③合并同类项，得－x＜－3；
④系数化为1，得x＞3.
其中开始出现错误的是步骤(　　)
A．① B．② C．③ D．④
A
3
x≤7
解：去分母，得 x－3≤24－2(3－4x).
去括号，得x－3≤24－6＋8x.
移项，得x－8x≤24－6＋3.
合并同类项，得－7x≤21.
系数化为1，得x≥－3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
第5题答图
D(共34张PPT)
第2课时　不等式的解法—— 不等式的性质
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形．
知识导学
知识导学
文字语言 符号语言
基本事实 交换不等式两边，不等号的方向改变 如果a＞b，那么b＜a
不等关系可以传递 如果a＞b，b＞c，那么a＞c
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向________ 如果a＞b，那么a±c______b±c
不变
＞
文字语言 符号语言
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向________ 如果a＞b，c＞0，那么ac______bc
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向________ 如果a＞b，c＜0，那么ac______bc
不变
＞
＞
改变
＜
＜
课堂讲练
不等式的性质
例1　已知a＞b，用“＜”或“＞”填空：
（1）a＋2______b＋2； （2）a－3______b－3；
＞
＞
＞
＞
＜
＜
＜
＜
＞
＞
利用不等式的性质解不等式
例2　利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x－2＞7；　
解：根据不等式的性质1，不等式两边加2，不等号的方向不变，
所以x－2＋2＞7＋2，x＞9.
（2）－7x＞14.
解：根据不等式的性质3，不等式两边除以－7，不等号的方向改变，
训练　2.利用不等式的性质解下列不等式：
（1）5x＞4x＋3；
解：根据不等式的性质1，不等式两边减4x，不等号的方向不变，
所以5x－4x＞4x＋3－4x，x＞3.
解：根据不等式的性质2，不等式两边乘3，不等号的方向不变，
例3　解不等式，并在数轴上表示其解集．
（1）2x－3＜1；
解：根据不等式的性质1，不等式两边加3，不等号的方向不变，
所以2x－3＋3＜1＋3，2x＜4.
根据不等式的性质2，不等式两边除以2，不等号的方向不变，
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
例3题答图1
（2）1－4x≥5.
解：根据不等式的性质1，不等式两边减1，不等号的方向不变，
所以1－4x－1≥5－1，－4x≥4.
根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
例3题答图2
根据不等式的性质2，不等式两边乘4，不等号的方向不变，
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
训练3题答图1
解：根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
训练3题答图2
不等式的两边乘（或除以）同一个数时，需要根据这个数的正负判断是否改变不等号的方向．
课堂检测
A
2．（2025广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　）
A．a＋c＞b＋c
B．a＋c＝b＋c
C．a＋c＜b＋c
D．a－c＜b－c
A
3．判断下列结论是否正确．（填“√”或“×”）
（1）由m＞n，得m－a>n－a；（　　）
（2）由am＞an，得m＞n；（　　）
（3）由－2x＜－4，得x＞2；（　　）
√
√
√
×
×
×
4．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集．
（1）x－3≤－2；
解：根据不等式的性质1，不等式两边加3，不等号的方向不变，
所以x－3＋3≤－2＋3，x≤1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
第4题答图1
（2）3x＋5＞－4.
解：根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，
所以3x＋5－5＞－4－5，3x＞－9.
根据不等式的性质2，不等式两边除以3，不等号的方向不变，
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
第4题答图2
B
6．已知关于x的不等式（3－a）x＞3－a的解集为x＜1，则a的取值范围为________．
a＞3
7．【应用意识】（人教七下P127改编）某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高8 cm.容器内原有水的高度为2 cm，现准备向该容器内继续注水．用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，则V的取值范围为____________．
0≤V≤90
（拔高： ）8.P，Q，R，S四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他们的体重大小关系为（　　）
A．R＜Q＜P＜S
B．Q＜R＜P＜S
C．Q＜R＜S＜P
D．Q＜P＜R＜S
B
随 堂 测
1．若a＜1，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．－a＜－1 B．a＋1＜2
C．a－1＞0 D．－a＜1
B
2．已知x＞y，用“＞”或“＜”填空：
(1)x＋3________y＋3;
(2)x－5________y－5；
(3)4x________4y;
＞
＞
＞
＜
＜
3．如果m－n＜0，那么m与n的大小关系是m________n(填“＞”
“＜”或“＝”)．
＜
4．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x－9＜7；
解：根据不等式的性质1，不等式两边加9，不等号的方向不变，所以x－9＋9＜7＋9，x＜16.
不等式x－9 ＜ 7的解集x ＜ 16在数轴上的表示如答图1所示．
第4题答图1
第4题答图2
(3)3x＋1＞－5.
解：根据不等式的性质1，不等式两边减1，不等号的方向不变，所以3x＋1－1＞－5－1，3x＞－6.
不等式3x＋1 ＞ －5的解集x ＞ －2在数轴上的表示如答图3所示．
第4题答图3
运算滚动　5.解方程：4x2－25＝0.
解：移项，得4x2＝25.(共17张PPT)
微专题7　一元一次不等式（组）的含参问题
第十一章　不等式与不等式组
类型 　 已知不等式（组）的解集
1．若不等式（m＋1）x＞m＋1的解集为x＜1，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0
B．m＜－1
C．m＞－1
D．m是任意实数
B
2
解：解不等式x＋9≤4x，得x≥3.
∵该不等式组的解集为x≥3，
∴k＋2≤3.解得k≤1.
类型 　 已知方程（组）的解
4．若关于x的方程2x＋k－3＝0的解为负数，则k的取值范围是________．
用参数表示出方程（组）的解后，结合解的情况列出不等式（组）求解．
k＞3
②－①，得2y＝3－2a－1.解得y＝1－a.
把y＝1－a代入①，得x＝3a.
3k＋1
2k
－1－k
类型 　 已知不等式（组）是否有解（两个不等式解集之间的关系）
D
用参数表示出不等式的解集之后，根据解的情况利用数轴或口诀判断参数的取值范围．一定要关注参数的临界值是否可以取到，不确定时可以将临界值代入验证不等式（组）是否符合题意．
a＜－1
解：解不等式x－m≤2m＋3，得x≤3m＋3.
∵此不等式组有解，
∴3m＋3＞2m＋1.解得m＞－2.
10．已知关于x的不等式6x＋2＞2（x＋m）的每一个解都是不等式x－3＜2x＋6的解，求m的取值范围．
解不等式x－3＜2x＋6，得x＞－9.
∵不等式6x＋2＞2（x＋m）的每一个解都是不等式x－3＜2x＋6的解，
类型　 已知不等式（组）整数解的情况
11．已知关于x的不等式2x＋m＜1只有2个正整数解，则m的取值范围是（　　）
A．－5≤m＜－3 B．－5＜m≤－3
C．－5＜m＜－3 D．－5≤m≤－3
　
判断特殊解的个数时，一定要关注“≥”与“≤”，不要忘记取临界上的特殊解．
A
12．已知关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（　　）
A．7＜m＜10
B．7≤m＜10
C．7＜m≤10
D．7≤m≤10
B
解不等式①，得x＞1.解不等式②，得x≤a＋1.
∴该不等式组的解集为1＜x≤a＋1.
∵该不等式组有且只有三个整数解，
∴这三个整数解只能是2，3，4.
∴4≤a＋1＜5.解得3≤a＜4.(共33张PPT)
第1课时　不等式及其解集
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
结合具体问题，了解不等式的意义；能在数轴上表示出一元一次不等式的解集．
课堂讲练
不等式的概念
用符号“＜”“＞”“≠”“≥”或“≤”表示不等关系的式子叫作不等式．
例1　判断下列式子是否为不等式：（填“是”或“否”）
①x＋1＞0；（　　）　②a＋b＝0；（　　）
③4－2x; （　　） ④8＜9； （　　）
⑤x－y≠1; （　　） ⑥3x－1≤x. （　　）

是
是
是
是
否
否
训练　1.下列式子：①2－x＜2x；②a≠3；③m2－n；④－1＜0；⑤3x≥y；⑥a＝b＋c.其中属于不等式的有____________．（填序号）
　
1.符号“≥”或“≤”分别比“＞”或“＜”多了一层相等的含义，符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”，符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”．
2．不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数．
①②④⑤
用不等式表示不等关系
例2　用不等式表示下列不等关系：
（1）a比3大：__________；
（2）2y是正数：__________；
（3）m与n的差小于1：__________；
（4）x的一半不小于5：__________．
a＞3
2y＞0
m－n＜1
训练　2.用不等式表示下列不等关系：
（1）x比4小：__________；
（2）a与b的差是非负数：__________；
（3）m的2倍不等于7：__________；
（4）x的3倍比x与3的和大：__________；
（5）5m与n的积至多为6：__________．
x＜4
a－b≥0
2m≠7
3x＞x＋3
5mn≤6
　 常见关键词与不等号的对应关系：
常见 关键词 大（多、高）于、超过、 比…大（多、高） 小（少、低）于、不 足、比…小（少、低） 不等于、 不为 大于或等于、至少、 不小（少、低）于 小于或等于、不超过、
至多、不大（多、高）于
不等号 ＞ ＜ ≠ ≥ ≤
不等式的解与解集
1．使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．
2．一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
3．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
例3　（1）补全下列表格：
x … 0 1 2 3 4 …
x－2 … －2 2 …
（2）上面x的五个值中，是不等式x－2＜0的解的为________．
（3）当x＜______时，不等式x－2＜0总成立；
当x＞______或x＝______时，不等式x－2＜0不成立．
所以不等式x－2＜0的解集为________．
－1
0
1
0，1
2
2
2
x＜2
训练　3.（1）下列数值：－4，－3，－2，－1，0，其中是不等式x＋3＞0的解为_____________；
（2）不等式x＋3 ＞ 0的解有________个，请写出该不等式的两个负整数解：__________；
（3）不等式x＋3 ＞ 0的解集为________．
－2，－1，0
无数
－2，－1
x＞－3
在数轴上表示不等式的解集
例4　在横线上写出下列数轴表示的不等式的解集．（未知数用x表示）
（1） ___________；
（2） ___________．
x＞－2
x≤1
训练　4.在横线上写出下列数轴表示的不等式的解集．（未知数用x表示）
（1） ___________；
（2） ___________．
x＜4
x≥－3
例5　在数轴上表示下列不等式的解集．
（1）x＜2；　　　　　　

　
例5题答图1
解：x＜2的解集在数轴上的表示如答图1所示．
（2）x≥2.
例5题答图2
解：x≥2的解集在数轴上的表示如答图2所示．
训练　5.在数轴上表示下列不等式的解集．
（1）x＞0；　　　　　　　
训练5题答图1
解：x＞0的解集在数轴上的表示如答图1所示．
（2）x≤－1.
训练5题答图2
解：x≤－1的解集在数轴上的表示如答图2所示．
用数轴表示不等式的解集：大于向右画，小于向左画；无等号用空心圆圈，有等号用实心圆点．

代数表示 x＞a x＜a x≥a x≤a
数轴表示
特点 空心点， 折线向右 空心点， 折线向左 实心点， 折线向右 实心点，
折线向左
课堂检测
1．下列式子中，不属于不等式的是（　　）
A．－2≠1
B．2x＝4
C．x＜0
D．x＋5≥2
B
2．关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（　　）
A．x＞1
B．x≥1
C．x＜1
D．x≤1
A
3．下列各数中是不等式3－x＞5的解的是（　　）
A．2
B．－1
C．－2
D．－3
D
4．【应用意识】限高标志牌的含义为禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图是某高架桥洞前的限高标志牌，则下列装载高度的大型车辆能通过此桥洞的是（　　）
A．3.6 m
B．3.85 m
C．4.0 m
D．5.0 m
A
5．用不等式表示下列不等关系：
（1）a与4的差大于－1：____________；
（2）x的2倍与3的和是非正数：____________．
a－4＞－1
2x＋3≤0
6．对于不等式2x≥4，下列说法不正确的是（　　）
A．x＝3是它的一个解
B．x＝2是它的解集
C．它有无数个解
D．x≥2是它的解集
不等式的解集是一个集合，它包含不等式的每一个解．
B
7．在数轴上表示下列不等式的解集并填空．
（1）x＞－4：最小整数解为______，负整数解为______________；
－3
－3，－2，－1
第7题答图1
解：x＞－4的解集在数轴上的表示如答图1所示．
（2）x≤3：非负整数解为____________．
0，1，2，3
第7题答图2
解：x≤3的解集在数轴上的表示如答图2所示．
（拔高： ）8.某罐头包装上的部分标注如图所示，则该罐头中固形物的质量m（单位：g）可以用不等式表示为________．
净含量：150 g
固形物：不低于60%
m≥90
随 堂 测
1．若式子“2x□5”是不等式，则“□”内的符号不可能是(　　)
A．＋ B．＞ C．≠ D．≤
2．下列各数中，能使不等式2x>0成立的是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
A
D
3．用不等式表示下列不等关系：
(1)x是非正数：__________；
(2)x与2的差小于15：__________；
(3)x与y的2倍的和不小于5：__________；
(4)某小区的环境噪声在100 dB(分贝)以下，设环境噪声为x dB：__________．
x≤0
x－2＜15
x＋2y≥5
x＜100
4．写出下列数轴上表示的不等式的解集(未知数用x表示)．
(1) (2)
解集：__________ 解集：____________
x＜－1
x≥1
5．在数轴上表示出下列不等式的解集，并填空．
(1)x＞－3; (2)x≤2.
负整数解为___________ 非负整数解为________
最小整数解为________ 最大整数解为________
－2，－1
－2
0，1，2
2
易错滚动　6.如图，在四边形ABCD中，若∠ABC＋∠C＝180°，则下列结论正确的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
D(共22张PPT)
微专题6　用二元一次方程组和
一元一次不等式解决实际问题
第十一章　不等式与不等式组
1．（2025眉山改编）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下：
食品类别 能量 （单位：千卡） 蛋白质 （单位：g） 脂肪 （单位：g） 碳水化合物
（单位：g）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
（1）若要从这两种食品中摄入1 280千卡能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？
解：设应选用A种食品x份，B种食品y份．
答：应选用A种食品3份，B种食品2份．
（2）若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，则最多选用A种食品多少份？
根据题意，得12m＋13（6－m）≥76.解得m≤2.
答：最多选用A种食品2份．
2．青青同学坚持每月记录家庭“碳足迹”，并且根据记录计算出家庭每月消耗量和耗碳量的情况．为了让家庭暑假期间降低耗碳总量，他准备为家庭设计2025年8月的“碳足迹”目标，绘制如下不完整的表格．
种类 消耗量 耗碳量估算方法 耗碳量
牛肉 　________kg 消耗量×33 kg/kg ________kg
鸡肉 　________kg 消耗量×2.8 kg/kg ________kg
用电 ________kW·h 消耗量×0.8 kg/kW·h ________kg
天然气 30 m3 消耗量×1.9 kg/m3 57 kg
请根据青青同学的设计解决下列问题：
（1）如果购买牛肉和鸡肉的总量为30 kg，且这两种肉的耗碳总量为386 kg，那么分别购买牛肉和鸡肉多少千克？
解：设购买牛肉x kg，鸡肉y kg.
答：购买牛肉10 kg，鸡肉20 kg.
（2）在（1）的条件下，如果青青同学想将家庭2025年8月天然气、牛肉、鸡肉和用电的耗碳总量控制在550 kg以内，那么该月用电量不能超过多少千瓦时？（结果取整数）
解：设该月用电量为z kW·h.
根据题意，得57＋386＋0.8z<550.
解得z<133.75.
因为z取整数，所以该月用电量不能超过133 kW·h.
3.学校为举行社团活动，准备向某商家购买A，B两款文化衫．已知购买3件A款文化衫和2件B款文化衫共需180元，购买2件A款文化衫和4件B款文化衫共需200元．
（1）求A，B两款文化衫的单价．
解：设A款文化衫的单价为x元，B款文化衫的单价为y元．
答：A款文化衫的单价为40元，B款文化衫的单价为30元．
（2）学校决定向该商家购买A，B两款文化衫共100件（两款都买，其中A款文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，活动方案如图所示．设购买A款文化衫m件，根据以上信息，请说明学校选择哪种活动方案购买更划算．
解：活动一所需费用：40×0.8m＋30×0.4（100－m）＝20m＋1 200；
活动二所需费用：40m＋30（100－m－m）＝－20m＋3 000.
①若选择活动一购买更划算，则20m＋1 200＜－20m＋3 000.
解得m＜45.即0＜m＜45时，选择活动一购买更划算．
②若选择活动二购买更划算，则20m＋1 200＞－20m＋3 000.
解得m＞45.即45＜m≤50时，选择活动二购买更划算．
③若选择两种活动购买均可，则20m＋1 200＝－20m＋3 000.
解得m＝45.即m＝45时，选择两种活动购买均可．
综上，当0当m＝45时，选择两种活动购买均可；
当45＜m≤50时，选择活动二购买更划算．
4．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1 200元
第二周 5台 6台 1 900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求每台A，B两种型号电风扇的售价．
解：设每台A种型号电风扇的售价为x元，每台B种型号电风扇的售价为y元．
答：每台A种型号电风扇的售价为200元，每台B种型号电风扇的售价为150元．
（2）超市准备用不多于7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台．
①A种型号电风扇最多能采购多少台？
解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50－a）台．
∵a为正整数，∴a的最大值为37.
答：A种型号电风扇最多能采购37台．
②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1 850元的目标，则有哪几种采购方案？
根据题意，得（200－160）a＋（150－120）（50－a）＞1 850.
解得a＞35.
∵a为正整数，∴a的值可以取36，37.∴共有2种采购方案．
方案1：采购A种型号电风扇36台，B种型号电风扇14台；
方案2：采购A种型号电风扇37台，B种型号电风扇13台．
5.【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大 素材1 某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价为3 500元．
如何安排销售，使总收益最大 素材2 已知加工A，B两品种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两品种仙桃礼盒共1 000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两品种仙桃礼盒每件的售价；
解：设A品种仙桃礼盒每件的售价为a元，B品种仙桃礼盒每件的售价为b元．
答：A品种仙桃礼盒每件的售价为80元，B品种仙桃礼盒每件的售价为100元．
问题解决 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案；
解：设销售A品种仙桃礼盒m盒，则销售B品种仙桃礼盒（1 000－m）盒．
根据题意，得50m＋60（1 000－m）≤54 020.
解得m≥598.
又m≤1.5（1 000－m），∴m≤600.
∴598≤m≤600.
∵m为正整数，∴m的值可以为598，599，600.
∴共有3种销售方案．
方案1：销售A品种仙桃礼盒598件，B品种仙桃礼盒402件；
方案2：销售A品种仙桃礼盒599件，B品种仙桃礼盒401件；
方案3：销售A品种仙桃礼盒600件，B品种仙桃礼盒400件．
问题解决 任务3 求出最大收益及最 大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A，B两品种仙桃礼盒的销售方案？农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
解：选择方案1可获得的收益为（80－50）×598＋（100－60）× 402＝34 020（元）；
选择方案2可获得的收益为（80－50）×599＋（100－60）×401＝34 010（元）；
选择方案3可获得的收益为（80－50）×600＋（100－60）×400＝34 000（元）.
∵34 020＞34 010＞34 000，
∴销售A品种仙桃礼盒598件，B品种仙桃礼盒402件时，农户收益最大，最大收益为34 020元．(共11张PPT)
新课标、新导向—— 核心素养突破
第十一章　不等式与不等式组
核心素养：抽象能力、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念
核心思想方法：类比、转化与化归、数形结合、特殊与一般
素养点 抽象能力、几何直观、模型观念——从实际问题中抽象出数学模型
1．研究表明，运动时将心率p（单位：次/min）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏的作用．最佳燃脂心率不超过（220－年龄）×0.8，不低于（220－年龄）×0.6，则30岁的人最佳燃脂心率的范围是（　　）
A．114≤p≤152 B．114＜p＜152
C．114≤p≤190 D．114＜p＜190
A
2．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH的值x应满足____________水质才能合格．
6.3≤x≤8.1
3．自来水公司有一种长度为9.9 m的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为3.6 m和2.1 m的A型管道和B型管道．
某小区铺设自来水管道，需要A型管道160根，B型管道178根，现有标准管道100根，设按截法一的标准管道为x根．
（1）根据题意，完成以下表格：
截法一 截法二
标准管道（根） x ____________
A型管道（根） x 2（100－x）
B型管道（根） 3x ____________
100－x
100－x
（2）若把100根标准管道按以上两种截法来截，共有哪几种截取方案？
解得39≤x≤40.
∵x为正整数，∴x的值可取39，40.
∴共有两种截取方案：
①按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；
②按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道．
素养点　 运算能力、推理能力——运用不等式的性质推理
4．【辩证思维】小林说不等式a＞2a永远不会成立，因为如果在这个不等式的两边同除以a，就会得到1＞2这样的错误结论，你认为他的说法对吗？如果不对，请你举出一个反例，并说明小林错误的原因．
解：他的说法不对．
举例：当a＝－1时，－1＞－2成立．
因为小林只考虑到了a是正数的情况，而不等式两边除以同一个负数，不等号的方向改变，所以只要a的取值为任意一个负数，即可使a>2a成立．
5．有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照B→C（或C→B）的顺序进行运算，是将数据3经过“乘－2”的运算得出结果－6.
（1）将－2按照A→B→C→A的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果．
解：（－2＋1）×（－2）－3＝－1.
（2）将一个大于3的数按照A→C→B→A的顺序进行运算，发现运算结果总小于1.请验证这个结论．
解：设这个数为x，则（x－3）×（－2）＋1＝－2x＋7.
∵x＞3，∴－2x＋7＜1.
∴这个结论成立．
证明：（1）∵a＋b＋c＝0，3a＋2b＋c＞0，
∴b＝－a－c，3a＋2b＋c＝（a＋b＋c）＋2a＋b＝2a＋b＞0.
∴2a－a－c＞0，即a－c＞0.∴a＞c.
（2）∵b＝－a－c，c＞0，∴b＜－a.
又2a＋b＞0，∴－2a＜b.∴－2a＜b＜－a.(共29张PPT)
第7课时　一元一次不等式组的概念及解法（1）
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．
课堂讲练
一元一次不等式组的概念
把两个或更多的含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．
例1　下列是一元一次不等式组的是（　　）
D
②③
一元一次不等式组的解集
几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．
例2　请直接写出下列不等式组的解集．
________________ 　________________
x＞1
－3≤x＜1
________________ 　________________
无解
x＜－3
例3　根据下列数轴写出各不等式组的解集．
（1） 　（2）
________________ 　________________
x<－3
无解
训练　3.根据下列数轴写出各不等式组的解集．
（1） （2）
________________ ________________
－3x≥0
利用数轴或口诀确定不等式组的解集
不等式组 （a数轴表示
解集 x≥b ①________ ②________ 无解
口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找
xa≤x解简单的一元一次不等式组
（1）解不等式①，得________．
（2）解不等式②，得________．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（4）不等式组的解集是__________．
x＞－2
x≤2
解：（3）不等式①和②的解集在数轴上的表示如答图所示．
例4题答图
－2＜x≤2
解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≥3.
不等式①和②的解集在数轴上的表示如答图所示．
所以不等式组的解集是x≥3.
训练4题答图
课堂检测
A
2．（2024广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是________．
x≥3
解：解不等式①，得x＜5.
解不等式②，得x＞1.
所以不等式组的解集是1＜x＜5.
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≤－2.
所以不等式组的解集是x≤－2.
解：解不等式①，得x＜－6.
解不等式②，得x≥2.
所以不等式组无解．
4．当x取何值时，不等式x＋3>1与2x<5－3x都成立？
解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x＜1.
所以不等式组的解集是－2＜x＜1.
即当－2＜x＜1时，不等式x＋3>1与2x<5－3x都成立．
5．（2025青海）在平面直角坐标系中，点P（a－2，1＋a）在第三象限，则a的取值范围是________．
a＜－1
解：解不等式x＋m＜0，得x＜－m.
所以m－n＝－3－（－6）＝3.
解：解不等式2x＋1≥3，得x≥1.
解不等式a－x＞1，得x＜a－1.
∵该不等式组无解，
∴a－1≤1.解得a≤2.
求参数的取值范围时，要特别注意临界值能否取到．
a＞2
随 堂 测
1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是(　　)
C
A．m＜2 B．m≤2
C．m≥2 D．不能确定
C
3．请写出下列数轴所表示的不等式组的解集．
(1) (2)
__________ 　　 　　 　 __________
－1x>1
4．利用数轴解下列不等式组：
解：解不等式①，得x＜2.
解不等式②，得x≤3.
把不等式①和②的解集分别在数轴上表示出来如答图1所示．
所以不等式组的解集为x＜2.
第4题答图1
解：解不等式①，得x＞－3.
解不等式②，得x≤5.
把不等式①和②的解集分别在数轴上表示出来如答图2所示．
第4题答图2
所以不等式组的解集为－3＜x≤5.
易错滚动　5.已知点P(a2－9，a－1)在y轴上，则点P的坐标为___________________.
(0，2)或(0，－4)(共30张PPT)
第3课时　一元一次不等式的概念及解法（1）
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．
知识导学
知识导学
1．只含有________个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是________的不等式，叫作一元一次不等式．
一
1
2．（1）解方程：3（2－x）＝18.
解：去括号，得____________.
移项，得____________.
合并同类项，得____________.
系数化为1，得________.
6－3x＝18
－3x＝18－6
－3x＝12
x＝－4
（2）解不等式：3（2－x）＞18.
解：去括号，得____________．
移项，得____________．
合并同类项，得____________．
系数化为1，得________．
　解一元一次方程与解一元一次不等式有什么异同？
6－3x＞18
－3x＞18－6
－3x＞12
x＜－4
课堂讲练
一元一次不等式的概念
例1　下列不等式中，是一元一次不等式的打“√”，不是的打“×”．
（1）7＞4：______；　
（2）x≥2x＋1：______；
（3）x2≤2x：______；
（4）x＋y＞1：______．
×
×
×
√
B
解一元一次不等式（移项）
例2　解不等式9x＋3＞8x－4，并在数轴上表示解集．

解：移项，得9x－8x＞－4－3.
合并同类项，得x＞－7.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
例2题答图
训练　2.解不等式－x＋1≥7x－3，并在数轴上表示解集．

移项，得－x－7x≥－3－1.
合并同类项，得－8x≥－4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
训练2题答图
解一元一次不等式（去括号）
例3　解不等式7x≤3（x＋4），并在数轴上表示解集．

解：去括号，得7x≤3x＋12.
移项，得7x－3x≤12.
合并同类项，得4x≤12.
系数化为1，得x≤3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
例3题答图
训练　3.解不等式－2（x－5）＞4（x＋1），并在数轴上表示解集．

解：去括号，得－2x＋10＞4x＋4.
移项，得－2x－4x＞4－10.
合并同类项，得－6x＞－6.
系数化为1，得x＜1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
训练3题答图
课堂检测
B
2．将不等式－3（x＋1）＞－6的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A
3．已知（m＋2）x|m|－1＋3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝________．
4．不等式4（x－2）≤2x的正整数解为_____________．
2
1，2，3，4
5．解不等式：x－（3x－10）＜4.
解：去括号，得x－3x＋10＜4.
移项，得x－3x＜4－10.
合并同类项，得－2x＜－6.
系数化为1，得x＞3.
去括号时，括号前的系数（含符号）要分别乘括号内的每一项；移项时被移项要变号．
6．当x满足什么条件时，x与3的和的2倍不大于x的4倍与2的差？
解：∵x与3的和的2倍不大于x的4倍与2的差，
∴2（x＋3）≤4x－2.
去括号，得2x＋6≤4x－2.
移项，得2x－4x≤－2－6.
合并同类项，得－2x≤－8.
系数化为1，得x≥4.
∴当x≥4时，x与3的和的2倍不大于x的4倍与2的差．
7．解不等式x－3（x－2）＞2（2x－3），并在数轴上表示解集．
解：去括号，得x－3x＋6＞4x－6.
移项，得x－3x－4x＞－6－6.
合并同类项，得－6x＞－12.
系数化为1，得x＜2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
第7题答图
8．若点（2x－4，3）在第二象限内，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2
B．x≥2
C．x＜2
D．x≤2
C
9．若关于x的方程4x－2m＋1＝5x－8的解是非负数，求m的取值范围．
解：∵4x－2m＋1＝5x－8，
∴x＝9－2m.
∵关于x的方程4x－2m＋1＝5x－8的解是非负数，
（拔高： ）10.对于有理数a，b，定义max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b.例如max{1，－2}＝1.若max{x－1，－2}＝－2，则x的取值范围是________．
x≤－1
随 堂 测
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
2．若3a－3＞2a，则a的值可能是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
D
3．关于x的不等式4x－3＞x的解集是________．
4．写出一个解集为x≥2的一元一次不等式：_________________．
x＞1
x－2≥0(答案不唯一)
5．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)5x＋1＜2x＋7；
解：移项，得5x－2x＜7－1.
合并同类项，得3x＜6.
系数化为1，得x＜2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
第5题答图1
(2)2x－6≤3(x－1)；
解：去括号，得2x－6≤3x－3.
移项，得2x－3x≤－3＋6.
合并同类项，得－x≤3.
系数化为1，得x≥－3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
第5题答图2
(3)2(5－2x)≤－3(x－2).
解：去括号，得10－4x≤－3x＋6.
移项，得－4x＋3x≤6－10.
合并同类项，得－x≤－4.
系数化为1，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图3所示．
第5题答图3
易错滚动　6.已知点M(－4，6)，N(2，2a)，且MN∥x轴，则a＝________．
3(共28张PPT)
第8课时　一元一次不等式组的概念及解法（2）
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
课堂讲练
解复杂的一元一次不等式组
所以不等式组无解．
解：解不等式①，得x＞－1.
解不等式②，得x≤2.
不等式①和②的解集在数轴上的表示如答图所示．
所以不等式组的解集为－1＜x≤2.
例3题答图
解不等式①，得x≤－2.
解不等式②，得x＜3.
不等式①和②的解集在数轴上的表示如答图所示．
所以不等式组的解集为x≤－2.
训练1题答图
不等式组的整数解
解不等式②，得x≤1.
所以x可取的整数值是－1，0，1.
解：解不等式①，得x＜3.
解不等式②，得x≤2.
所以不等式组的解集为x≤2.
所以该不等式组的所有非负整数解是0，1，2.
课堂检测
A
B
1＜x≤5
解：解不等式①，得x＜0.
解：解不等式①，得x≥2.
解不等式②，得x＞3.
所以不等式组的解集为x＞3.
解：解不等式2x－7＜3（x－1），得x＞－4.
所以不等式组的解集为－4＜x≤3.
不等式组的解集在数轴上的表示如答图所示．
第5题答图
解不等式①，得x＜2.
解不等式②，得x≥－4.
所以不等式组的解集为－4≤x＜2.
解：不能．理由如下：
所以不等式组无解．
因为不等式组只有3个整数解，
所以不等式组的整数解是3，4，5.
所以a的取值范围为10＜a≤12.
注意临界值能否取到．
随 堂 测
A．－3＜x≤1 B．x≤1
C．x＜－1 D．－1＜x≤1
C
4
解：解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞－1.
所以该不等式组的解集为－1＜x≤2.
将其表示在数轴上如答图所示．
第3题答图
解：解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x＜5.
所以该不等式组的解集为x≤3.
所以该不等式组的所有正整数解是1，2，3.(共16张PPT)
※综合与实践　低碳生活
第十一章　不等式与不等式组
（素材来源：人教七下P146－149）全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关.2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．什么是“碳达峰”“碳中和”？要实现我国“碳达峰”“碳中和”的目标，除了国家层面的规划和实施，我们每个人还能作出什么贡献呢？我们该进行怎样的低碳生活呢？
活动一　学习“碳中和”等相关知识
【学习资料】通俗来讲，碳中和指一段时间内，特定组织或整个社会活动产生的二氧化碳，通过植树造林、海洋吸收、工程封存等自然、人为手段被吸收和抵消掉，实现人类活动二氧化碳相对“零排放”；碳达峰指二氧化碳排放量在某一年达到了最大值，之后进入下降阶段．
【数据研究】（1）通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，北京冬奥会三个赛区的场馆共减少排放二氧化碳320 000 t，其中的320 000用科学记数法表示为____________．
3.2×105
（2）国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3 985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为m t，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为____________t．（用含m的式子表示）
3 985m
【问题探究】（3）在我们生活的大气层中，二氧化碳只约占大气体积的0.03%，为什么会对气温有较大的影响？请查阅相关资料说明．
解：二氧化碳是地球大气中主要的温室气体，而温室气体具有保温的作用．当太阳光照射到地球表面时，会使地表升温，地球表面同样会将大量的太阳光再次辐射回外太空，而大气中的温室气体能够截留地球表面的辐射，阻止了地球的散热，使地球表面变得更暖．虽然大气中二氧化碳只约占大气体积的0.03%，但小小的二氧化碳增幅，就足以使全球平均气温上升．（答案不唯一，言之有理即可）
活动二　计算生活中的“碳足迹”
【阅读资料】每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据：
排碳计算公式 家庭用电的二氧化碳排放量（kg）＝ 耗电量（kW·h）×0.785； 汽油的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7； 天然气的二氧化碳排放量（kg）＝ 天然气使用量（m3）×0.19； 自来水的二氧化碳排放量（kg）＝ 自来水使用量（t）×0.91 每人使用各种交通工具
每移动1 km产生的碳排放量
自行车：0 kg；
公交车：0.04 kg；
汽车：0.17 kg
【理解运用】（1）小明家本月家庭用电100 kW·h，驾车耗油80 L，天然气使用量为10 m3，自来水使用量为6 t，请你计算一下小明家本月这几项二氧化碳排放量的总和．（结果保留整数）
解：100×0.785＋80×2.7＋10×0.19＋6×0.91＝78.5＋216＋1.9＋5.46＝301.86≈302（kg）.
答：小明家本月这几项二氧化碳排放量的总和约为302 kg.
（2）小丽按照上述公式估计家里去年一年的碳排放总量为2 240 kg，并计划通过植树来中和去年的碳排放量，她查阅资料后，得知一棵白榆树一年吸收二氧化碳约8 kg、一棵紫穗槐一年吸收二氧化碳约5.2 kg，根据这两个数据计算，她发现种植白榆树、紫穗槐共350棵，一年恰好可以吸收掉家里去年的碳排放总量，则她应分别种植这两种树多少棵？
解：设她种植x棵白榆树，y棵紫穗槐．
答：她应种植150棵白榆树，200棵紫穗槐．
（3）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800 kg，为弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾车改成搭公交车．假设小玲每日上下班驾车或搭公交车的来回总距离皆为20 km，则与驾车相比，她至少要搭公交车上下班几天，减少的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？
解：设小玲搭公交车上下班x天．
又x为正整数，∴x的最小值为308.
答：小玲至少要搭公交车上下班308天．
活动三　认识、分析我国“碳达峰”“碳中和”目标
【阅读材料】2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%～45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．与此同时，我国经济也实现跨越式发展．2020年，我国宣布自主贡献新目标举措：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，到2030年，单位国内生产总值二氧化碳排放将比2005年下降65%以上，努力争取2060年前实现“碳中和”．
【问题解决】设2005年单位国内生产总值二氧化碳排放为a，国内生产总值为b.
（1）2005年二氧化碳排放量为_______（用含a，b的代数式表示）．
（2）若要实现2030年单位国内生产总值二氧化碳排放比2005年下降65%以上，
①2030年单位国内生产总值二氧化碳排放________（填“大于”“小于”或“等于”）0.35a；
②设2030年国内生产总值为c，那么2030年的二氧化碳排放量小于________（用含字母的式子表示）．
ab
小于
0.35ac
活动四　设计低碳生活行动方案
【任务驱动】每个人的生活都与全球命运共同体相关，选择低碳生活是我们每个人的责任与义务，从身边做起，请设计你们小组的低碳生活行动方案．
【活动过程】1.组建合作团队．组成5～8人一组的研究小组，每个小组确定一名负责人．
2．方案构思．小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
3．方案实施．按设计方案进行任务分工，根据规划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
4．展示交流．制作汇报文稿，选出代表展示本组成果，分享遇到的困难及其解决办法，反思不足．(共26张PPT)
第9课时　一元一次不等式组的实际应用
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
课堂讲练
分配问题
例1　（人教七下P141改编）某校买了若干本书奖励给在知识竞赛中获奖的学生．如果每人送4本，那么还余5本；如果前面的每人送6本，那么最后一人分到了书但不到3本．求该校在知识竞赛中获奖的学生人数．
解：设该校在知识竞赛中获奖的学生人数为x，则共有（4x＋5）本书．
∵x为正整数，∴x＝5.
答：该校在知识竞赛中获奖的学生人数为5.
训练　1.若干辆载重为16 t的货车运输一批货物，若每辆货车装8 t，则剩下40 t货物未装载；若前面的每辆货车装满16 t，则最后一辆货车不满也不空．共有多少辆货车？
解：设共有x辆货车，则有（8x＋40）t货物．
∵x为正整数，∴x＝6.
答：共有6辆货车．
方案问题
例2　某服装厂现有甲种布料42 m、乙种布料30 m，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的校服共40件．已知生产一件M型号的校服需要用甲种布料0.8 m、乙种布料1.1 m，生产一件N型号的校服需要用甲种布料1.2 m、乙种布料0.5 m．按要求生产M，N两种型号的校服，有哪几种生产方案？
解：设生产x件M型号的校服，则生产（40－x）件N型号的校服．
∵x为正整数，∴x的值可取15或16.
∴有两种生产方案．
方案一：生产15件M型号的校服，25件N型号的校服；
方案二：生产16件M型号的校服，24件N型号的校服．
训练　2.某学校计划购进电脑和电子白板共30台，购买资金不低于28万元且不超过30万元．已知每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．该校有几种购买方案？
解：设该校购进电脑a台，则购进电子白板（30－a）台．
∵a为正整数，∴a的值可取15，16，17.
∴该校有三种购买方案．
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
课堂检测
A
2.如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
①将300 mL的水倒进一个容量为500 mL的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a（cm3）的取值范围是____________．
40＜a＜50
3．某街道组织志愿活动，选派志愿者到小区服务，若每个小区安排4人，那么还剩下61人；若前面的每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．这个街道共有多少名志愿者？
解：设这个街道有x个小区，则这个街道共有（4x＋61）名志愿者．
∵x为正整数，∴x＝16.
∴4x＋61＝4×16＋61＝125.
答：这个街道共有125名志愿者．
4．某文具店欲购进甲、乙两种圆规共100个，其进价和计划售价如下表所示．
进价（元/个） 售价（元/个）
甲 10 15
乙 8 12
若该文具店希望销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，则这个文具店购进两种圆规的方案有几种？
解：设购进m个甲种圆规，则购进（100－m）个乙种圆规．
解得80≤m≤82.
∵m为正整数，∴m的值可取80，81，82.
∴这个文具店购进两种圆规的方案有3种．
（拔高： ）5.（2025遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价．
解：设A型号的新型垃圾桶的单价为x元，B型号的新型垃圾桶的单价为y元．
答：A型号的新型垃圾桶的单价为60元，B型号的新型垃圾桶的单价为100元．
任务二：有哪几种购买方案？
解：设购买A型号的新型垃圾桶a个，则购买B型号的新型垃圾桶（200－a）个．
解得117.5≤a≤120.
∵a为正整数，∴a的值可取118，119，120.
∴有三种购买方案：
①购买A型号的新型垃圾桶118个，B型号的新型垃圾桶82个；
②购买A型号的新型垃圾桶119个，B型号的新型垃圾桶81个；
③购买A型号的新型垃圾桶120个，B型号的新型垃圾桶80个．
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
解：方案①费用为60×118＋100×82＝15 280（元）；
方案②费用为60×119＋100×81＝15 240（元）；
方案③费用为60×120＋100×80＝15 200（元）.
因为15 200＜15 240＜15 280，
所以购买A型号的新型垃圾桶120个，B型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15 200元．
随 堂 测
1.将一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余8件；若前面每人分5件，则最后一人能得到玩具但不足3件．共有多少个小朋友？
解：设共有x个小朋友，则共有(3x＋8)件玩具．
由x应为正整数，可得x的值为6.
答：共有6个小朋友．
2.某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表所示．
　 A种产品 B种产品
成本(万元/件) 2 5
利润(万元/件) 1 3
若工厂计划投入不多于44万元的资金进行生产，要使工厂获利多于20万元，则工厂有哪几种生产方案？
解：设生产m件A种产品，则生产(10－m)件B种产品．
∴工厂有3种生产方案．
方案1：生产2件A种产品，8件B种产品；
方案2：生产3件A种产品，7件B种产品；
方案3：生产4件A种产品，6件B种产品．
∵m为正整数，∴m的值可以为2，3，4.
－2 022(共7张PPT)
新趋势、新动向—— 教材母题溯源与衍生
第十一章　不等式与不等式组
教材母题溯源
例1　（人教七下P130阅读与思考改编）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题一般要进行一定的转化，“求差法”是常用的方法之一．两个数的大小可以通过它们的差的正负来判断，即要比较两个数a，b的大小，只要判断它们的差a－b的正负即可．
当a－b＞0时，一定有a＞b； 当a－b＝0时，一定有a＝b； 当a－b＜0时，一定有a＜b. 当a＞b时，一定有a－b＞0；
当a＝b时，一定有a－b＝0；
当a＜b时，一定有a－b＜0.
【初步理解】比较大小：
①x＋3________x＋5；②2x2＋1________x2－y2.
＜
＞
【思想运用】已知a＞b＞c，试比较图1和图2中两个矩形的周长M，N的大小．
解：由图可知，M＝2（a＋b＋b）＝2a＋4b；
N＝2（a－c＋b＋2c）＝2a＋2b＋2c.
∴M－N＝2a＋4b－（2a＋2b＋2c）＝2（b－c）.
∵b＞c，∴2（b－c）＞0，即M－N＞0.∴M＞N.
【拓展应用】制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．已知1块A型钢板的面积比1块B型钢板的面积大．从省料的角度看，应选用哪种方案？
解：设1块A型钢板的面积为x，1块B型钢板的面积为y.
由题意，得方案一的用料面积为4x＋8y；方案二的用料面积为3x＋9y.
∴（4x＋8y）－（3x＋9y）＝x－y.
由题意知x＞y，∴x－y＞0，即4x＋8y＞3x＋9y.
∴从省料的角度看，应选用方案二．
衍生1　若去掉条件“1块A型钢板的面积比1块B型钢板的面积大”，应选用哪种方案？
解：由【拓展应用】可知，方案一与方案二的用料面积差为x－y.
可分三种情况讨论：
①当1块A型钢板的面积比1块B型钢板的面积大，即x＞y时，x－y>0.此时应选用方案二；
②当1块A型钢板的面积比1块B型钢板的面积小，即x＜y时，x－y<0.此时应选用方案一；
③当1块A型钢板的面积与1块B型钢板的面积一样大，即x＝y时，x－y＝0.此时选用方案一和方案二都可以．(共36张PPT)
第十一章　章末复习
第十章　二元一次方程组
不等式与不等式组
＞
＞
＞
＜
＜
不等式与不等式组
不等式与不等式组
x≥b
x＜a
a≤x＜b
无解
不等式与不等式组
考点　 不等式及一元一次不等式的相关概念
1．下列式子是不等式的是（　　）
A．3x－1
B．2x＋3＝5
C．x＝2y
D．4x＞7
D
2．x＝1不是下列哪个不等式的解（　　）
A．2x＋1＞4
B．2x－1＞0
C．2x＋3≥5
D．－2x＋1＜1
A
3．不等式x＜3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
D
C
B
A
A
4．已知（m－4）x|m－3|＋6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　）
A．－2
B．4
C．2
D．－4
C
x＋y≥0
2m－n＜5
考点　 不等式的性质
B
7．下列不等式变形正确的是（　　）
A．若a＜b，则ax2＜bx2
B．若3m＞3n，则m－n＜0
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若a＜b，则1－2a＞1－2b
D
A
9．已知x＞7，且y＝1－2x，则y的取值范围是__________．
y＜－13
考点　 解一元一次不等式（组）
C
－1
x＜3
a＜6
解：解不等式①，得x＜4.
解不等式②，得x≥1.
所以不等式组的解集为1≤x＜4.
去分母，得x－8≥2x＋8.
移项、合并同类项，得－x≥16.
系数化为1，得x≤－16.
不等式的解集在数轴上的表示如答图所示．
第15题答图
考点 　 一元一次不等式（组）的应用
16．小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱．设经过n个月后小霞的存款超过小明，则可列不等式为（　　）
A．52＋15n＞70＋12n
B．52＋15n＜70＋12n
C．52＋12n＞70＋15n
D．52＋12n＜70＋15n
A
17．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若前面每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为________．
5或6
18．为了奖励在考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？
解得x≤31.5.由x应为正整数，可得x最多为31.
答：最多可以购买31支钢笔．
19．某科技公司训练AI模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据的每一个数据集包含800个字符，图片数据的每一个数据集包含200张图片，处理一个文本数据集需要3秒，处理一个图片数据集需要2秒．
（1）在某次训练任务中，总共处理了50个数据集，且处理的总字符数比总图片数多20 000，则文本数据集和图片数据集各处理了多少个？
解：设文本数据集处理了x个，图片数据集处理了y个．
答：文本数据集处理了30个，图片数据集处理了20个．
（2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理100个数据集，且总字符数不低于总图片数，总耗时不超过221秒．问有哪几种处理方案？
解：设文本数据集处理m个，则图片数据集处理（100－m）个．
∵m为正整数，∴m的值可取20，21.
∴共有两种处理方案．
方案一：文本数据集处理20个，图片数据集处理80个；
方案二：文本数据集处理21个，图片数据集处理79个．
20．（2025深圳期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为__________．
9≤x＜12
21．对于有理数a，b，我们可以用min{a，b}来表示其中较小的数，例如：min{2，3}＝2.若min{3x＋4，4－2x}≥2，则x的取值范围是____________．
（1）若该不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围为____________；
9＜m≤11
（2）若该不等式组的每一个解都是不等式x＋1＜6的解，求m的取值范围．
解不等式x＋1＜6，得x＜5.
∵该不等式组的每一个解都是不等式x＋1＜6的解，
23.某校七年级计划组织全体师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，若租用6辆大型客车和4辆中型客车花费4 400元；若租用4辆大型客车和8辆中型客车花费4 800元．
信息2 该校七年级师生共460人，租车费用的预算为4 900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
解：设一辆大型客车的租金为x元，一辆中型客车的租金为y元．
答：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将七年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
解：设租用m辆大型客车，则租用（10－m）辆中型客车．
∵m为正整数，∴m的值可取8，9.
∴共有两种租车方案．
方案一：租用8辆大型客车，2辆中型客车；
方案二：租用9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为8×500＋2×350＝4 700（元）；
方案二的费用为9×500＋1×350＝4 850（元）.
∵4 700<4 850，4 900－4 700＝200（元），
∴租用8辆大型客车，2辆中型客车的花费最少，比预算节省200元．
24．（2025珠海期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”，例如：已知方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0，当x＝2时，2×2－3＝1与
2＋3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x－3＝1和不等式x＋3＞0的“梦想解”．
③
∴x＋y＝2m－31.
∵方程组和不等式组－5＜x＋y＜1有“梦想解”，
∴－5＜2m－31＜1.∴13＜m＜16.
∵m为整数，∴m的值为14或15.
解：1＜b≤4.　
将x，y代入2x＋y≤b＋7，解得b≤4.
综上所述，b的取值范围为1＜b≤4.(共7张PPT)
新题型、新考向—— 活动探究
第十一章　不等式与不等式组
活动　 猜猜哪个数最大（素材来源：人教七下P142数学活动2）
【问题背景】在数学游艺会上，小华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.
游戏规则：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图）.这五张卡片分别记为A，B，C，D，E.小华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，
请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．
【提出问题】下表是小明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 54 66 59 71 48
小明经过思考，说他已经猜到了答案，你知道他是怎么猜出来的吗？
【解决问题】记卡片A，B，C，D，E上的数字分别为a，b，c，d，e.
由第1，2组数据可知，因为54＜66，所以a＋b＜b＋c，即a＜c.
同理，由第2，3组数据可知，b________d；由第3，4组数据可知，c________e；
由第4，5组数据可知，d________a；由第1，5组数据可知，e________b.
＞
＜
＞
＜
通过比较，请用连续的“＜”写出你发现的几组大小关系，并判断哪张卡片上的数最大．
解：大小关系：a＜c＜e＜b，a＜d＜b.
所以卡片B上的数最大．
变式　下表是小星抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 45 39 63 51 42
根据上述方法，他很快就得知了卡片________上的数最大．
D
【深入探究】小青说：“根据上面的探究，好像不能直接比较出这五个数所有的大小顺序”，于是，他们又对小明抽取的卡片上的数进行了如下探究：
由第1，2组数据可知，因为66－54＝12，所以（b＋c）－（a＋b）＝12，即c－a＝12.
同理，b－d＝________，c－e＝________，d－a＝________．
设a＝x，则b＝_________，c＝_________，d＝_________，e＝_________．
∴________＜c＜________＜________＜________．
7
－12
23
x＋30
x＋12
x＋23
x＋24
a
d
e
b(共29张PPT)
第6课时　一元一次不等式的实际应用（2）
课堂讲练
第十一章　不等式与不等式组
课堂检测
随堂测
课堂讲练
方案选择问题
例1　（人教七下P134改编）甲、乙两超市以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．某顾客预计购物费用至少为70元，到哪家超市购物花费较少？
解：设累计购物花费x元．
分为以下两种情况讨论：
（1）当70≤x＜________时，在乙超市购物花费较少．
100
（2）当x＞100时，在甲超市购物需花费______________元，在乙超市购物需要花费______________元．
①若到甲超市购物花费较少，则可列不等式_____________________，
解得________；
②若到乙超市购物花费较少，则可列不等式_____________________，
解得________；
③若到两超市购物花费相同，则可列方程_____________________，
解得________．
（0.9x＋10）
（0.95x＋2.5）
0.9x＋10＜0.95x＋2.5
x＞150
0.9x＋10＞0.95x＋2.5
x＜150
0.9x＋10＝0.95x＋2.5
x＝150
训练　1.甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格均一致，每张课桌300元，每把椅子80元．甲、乙两厂家推出各自的优惠方案如下表所示．

现某学校要购买100张课桌和x（x≥100）把椅子．
（1）分别用含x的式子表示在甲、乙两厂家购买桌椅所需的费用；
甲厂家 买一张课桌送一把椅子
乙厂家 课桌和椅子全部按原价的九折销售
解：甲：80x＋22 000；乙：72x＋27 000.
（2）该学校选择哪个厂家购买更合算？
解：当80x＋22 000＝72x＋27 000时，解得x＝625.
当80x＋22 000＞72x＋27 000时，解得x＞625.
当80x＋22 000＜72x＋27 000时，解得x＜625.
答：当购买的椅子为625把时，选择甲、乙厂家购买一样合算；当购买的椅子超过625把时，选择乙厂家购买更合算；当购买的椅子超过100把且少于625把时，选择甲厂家购买更合算．
方案设计问题
例2　小明打算购买画笔与画板，已知购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元．若小明计划购买画笔和画板的总数为10（画笔和画板都购买），且购买的总费用不超过157元，则有多少种购买方案？哪种购买方案更省钱？

解：设购买m盒画笔，则购买（10－m）个画板．
∵m为正整数，∴m的值可以为1，2，3.
∴共有3种购买方案．
方案1：购买1盒画笔，9个画板，
所需费用为17×1＋15×9＝152（元）；
方案2：购买2盒画笔，8个画板，
所需费用为17×2＋15×8＝154（元）；
方案3：购买3盒画笔，7个画板，
所需费用为17×3＋15×7＝156（元）.
∵152<154<156，∴购买1盒画笔，9个画板的方案更省钱．
例3　为了保障某段道路通畅、行车安全，相关部门计划购买7台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选择．已知甲设备的有效监控距离为150 m，价格为850元；乙设备的有效监控距离为100 m，价格为700元．若要求该段道路的有效监控总距离不少于1 000 m，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．

解：设购买x台甲设备，则购买（7－x）台乙设备．
根据题意，得150x＋100（7－x）≥1 000.解得x≥6.
∵x为整数，x≥0，7－x≥0，∴x的值可以为6，7.
∴共有2种购买方案．
方案1：购买6台甲设备，1台乙设备，
所需费用为850×6＋700×1＝5 800（元）.
方案2：购买7台甲设备，不购买乙设备，
所需费用为850×7＝5 950（元）.
∵5 800<5 950，
∴为了节约资金，应购买6台甲设备和1台乙设备．
课堂检测
1．已知甲、乙两家商店出售同一款运动服，其单价相同，但甲店规定：若一次买两套，则其中一套可享受七折优惠；乙店规定：若一次买两套，则按总价的80%收费．若小明要为自己和弟弟各买一套该款运动服，则下列判断正确的是（　　）
A．甲店比乙店优惠
B．乙店比甲店优惠
C．甲、乙两店收费相同
D．以上都有可能
B
2．为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台．若治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，则该治污公司有哪几种购买方案？
解：设购买m台A型设备，则购买（10－m）台B型设备．
根据题意，得12m＋10（10－m）≤105.
解得m≤2.5.
∵m为非负整数，∴m的值可以为0，1，2.
∴该治污公司有3种购买方案．
方案1：购买10台B型设备；
方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；
方案3：购买2台A型设备，8台B型设备．
3．某羽毛球馆有两种计费方式（如下表），钟老师打算和朋友们周末去该羽毛球馆连续打球4小时，经球馆管理员测算后，告知他们包场计费会比人数计费便宜，则钟老师一行至少有多少人？
包场计费 每场每小时50元，每人需另付入场费5元
人数计费 每人每小时10元
解：设钟老师一行有x人．
∵x为正整数，∴x的最小值为6.
答：钟老师一行至少有6人．
4．（人教七下P137）某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型 A型 B型
载客量/人 40 56
租金/元 1 000 1 200
学校计划租用11辆客车，那么
（1）最多可以租用多少辆A型客车？
解：设租用x辆A型客车，则租用（11－x）辆B型客车．
根据题意，列得不等式40x＋56（11－x）≥560＋11.
由x应为非负整数，可得x最大为2.
答：最多可以租用2辆A型客车．
（2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
解：共有三种租车方案．
方案一：租用2辆A型客车和9辆B型客车，租金为1 000×2＋ 1 200×9＝12 800（元）.
方案二：租用1辆A型客车和10辆B型客车，租金为1 000×1＋1 200×10＝13 000（元）.
方案三：租用11辆B型客车，租金为1 200×11＝13 200（元）.
因为12 800＜13 000＜13 200，
所以租用2辆A型客车和9辆B型客车租金最低．
（拔高： ）5.有两种手机通话计费方式如下表所示．
（月使用费固定；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
月使用费 （元） 主叫限定 时间（分钟） 超时费
（元/分钟）
方式一 50 150 0.20
方式二 80 350 0.25
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需________元，按方式二计费需________元．
60
80
（2）已知某同学的月主叫通话时间大于350分钟，则月主叫通话时间为多少时，按方式一和方式二的计费相等？
解：设月主叫通话时间为t分钟时，按方式一和方式二的计费相等．
根据题意，得50＋0.20（t－150）＝80＋0.25（t－350）.
解得t＝550.
所以月主叫通话时间为550分钟时，按方式一和方式二的计费相等．
（3）当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱？
解：当t≤150时，选择方式一省钱．
当150＜t≤350时，若选择方案一更省钱，则50＋0.20（t－150）＜80.解得t＜300.
当t＞350时，若选择方案一更省钱，则50＋0.20（t－150）＜80＋0.25（t－350）.解得t＞550.
综上所述，当每月通话时间少于300分钟或大于550分钟时，选择方式一比选择方式二省钱．
随 堂 测
1．一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．
方式一：每次游泳付费30元；
方式二：先办理实名制会员证，每张会员证150元，仅限本人当年使用，凭会员证入馆游泳，每次需再付费18元．
(1)若小宁计划暑期游泳8次，选哪种付费方式更划算？并说明理由．
解：选择方式一更划算．理由如下：
方式一需付款8×30＝240(元)；
方式二需付款150＋8×18＝294(元).
∵240＜294，∴选择方式一更划算．
(2)小宁暑期累计游泳至少多少次时，选方式二比方式一更划算？
解：设小宁暑期累计游泳x次．
根据题意，得150＋18x＜30x.解得x＞12.5.
由x应为正整数，可得x至少为13.
答：小宁暑期累计游泳至少13次时，选方式二比方式一更划算．
2.某市政府致力于建设“智慧城市”，以此来优化旅游环境，并在景区步行街内投放了26台“智能机器人导游”，它们可以讲解、互动和带路，赢得了游客们的喜爱．已知甲型机器人每台的价格是6万元，乙型机器人每台的价格是4万元，该市政府计划用不超过39万元的资金再次购买这两种型号的机器人共8台(两种都购买)，则共有哪几种购买方案？
解：设购买m台甲型机器人，则购买(8－m)台乙型机器人．
∵m为正整数，∴m的值可以为1，2，3.
∴共有3种购买方案．
方案1：购买1台甲型机器人，7台乙型机器人；
方案2：购买2台甲型机器人，6台乙型机器人；
方案3：购买3台甲型机器人，5台乙型机器人．

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