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2025-2026学年九年级下学期第一次学情分析数学试题
一．选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作﹣1分，小亮的成绩记作+5分，则小亮的成绩是（　　）
A．75分 B．80分 C．84分 D．85分
2．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．四棱柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
3．微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为0.0000009mm2，数据0.0000009用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣6 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣6 D．9×10﹣7
4．下列说法正确的是（　　）
A．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
B．有两边相等的两个直角三角形全等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．五边形的内角和是720°
5．方程2x﹣x2﹣2＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
7．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．一个转盘分为白色（圆心角120°）和红色（圆心角240°）区域，自由转动两次，一次白色一次红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）
A． B．5 C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为（﹣4，0），（﹣2，0），（3，0）．给出下面四个结论：
①当y＞0时，﹣2＜x＜3；
②当时，y随x的增大而增大；
③若点M（m，m+2）在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；
④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温更稳定的是 　 　 ．
13．瑞士中学教师巴尔末成功的从光谱数据：，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门．请你根据以上光谱数据的规律写出它的第七个数据　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，过点E作EH⊥DA交DA延长线于点H，连接DE，若BC＝1，则DE的长是　 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACDE、正方形CBHP、正方形BAFG，其面积分别为S1、S2，S3，则S1、S2、S3之间的等量关系为 　 　 ；分别以GH、PD、EF为边向外作正方形，其面积分别为S4、S5、S6，则S4、S5、S6之间的等量关系为 　 　 ．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（9分）计算或解方程．
（1）；
（2）25x2﹣16＝0．
17．（9分）兴才中学为了解九年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校九年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图1、图2所示的两幅统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　 ，m的值为　 　 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为　 　 和　 　 ；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若兴才中学九年级共有学生900人，估计该校九年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数．
18．（9分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），点P在线段OA的延长线上．
（1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接AB并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足∠AQO＝∠ADO+∠OPC，求点Q的坐标．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中．
（1）尺规作图：以边BC上一点O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，使得⊙O与边AC相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，记⊙O与边BC的另一交点为E，CE＝3，CD＝6．求⊙O的半径．
20．（9分）王叔叔批发甲、乙两种水果到农贸市场去卖，已知甲、乙两种水果的批发价和零售价如表所示．
品名 甲水果 乙水果
批发价/（元/kg） 6.4 5.6
零售价/（元/kg） 8.8 7.2
（1）若王叔叔批发甲、乙两种水果共120kg，其中甲水果批发了xkg，两种水果共花费了y元，求y与x的函数关系式；
（2）在（1）的前提下，若王叔叔批发甲种水果的质量不超过乙种水果质量的3倍，且所批发的水果全部卖完（不计损耗），求他卖完全部水果后能获得的最大利润．
21．（9分）如图，某大厦“五 一”期间，在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告AB．小明进行实地测量时，从大厦底部的C处沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端点D，在D处测得条幅下端B的仰角为30°；接着他沿自动扶梯DE到达扶梯顶端点E，测得电梯DE的长是25米，且与地面的夹角为53.13°，然后他从点E处沿水平方向行走了45米到达点F处，在点F处测得条幅上端A的仰角为45°．
（1）填空：∠FAB＝　 　 °，BC＝　 　 （用含根号的式子表示）；
（2）求点E离地面的高度；
（3）求AB的长度（精确到个位）．
（参考数据：，，，）
22．（9分）已知在平面直角坐标系中，直线经过点A（6，1），与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+9a+4（a，b为常数，a≠0）的对称轴与直线交点的纵坐标为2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线经过点A（6，1），B，C（3，2），D（6，3）这四个点中的两个，求该二次函数的最大值或最小值；
（3）P为线段AB上一动点，过点P作平行于x轴的直线，若该直线与抛物线交于点M，N，且点P始终在线段MN上，求a的取值范围．
23．（12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD上一点（不与点C，D重合），连接AE，点D关于AE的对称点为F，连接DF并延长交边BC于点G，AE与DG相交于点H．
（1）判断AE与DG的数量关系，并证明；
（2）当点F落在AC上时，求DE的长；
（3）当E为CD中点时，求的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D． A D C A D C B
二．填空题
11．x≤3且x≠2．
12．乙．
13．
14．．
15．S1+S2＝S3；S4+S6＝5S5．
三．解答题
16．解：（1）原式＝1+4﹣3﹣3＝﹣1；
（2）25x2﹣16＝0，
25x2＝16，
，
x＝±，
．
17．解：（1）用6小时的人数除以其人数占比可得3÷6%＝50名，
∴本次一共调查了50名学生，即a＝50，
∴，即m＝34；
把这50名学生参加科学教育的时间数据按照从低到高排列，中位数为第25名和第26名时间的平均数，
∵3+7＜25＜26＜3+7+17，
∴中位数为，
∵8h的人数最多，
∴众数为8h；
故答案为：50，34，8h，8h；
（2），
答：这组数据的平均数是8.36h．
（3）用900乘以样本中每周参加科学教育的时间是9h的人数占比可得：
900×30%＝270（人）．
答：估计该校九年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数为270人．
18．解：（1）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），将点A的坐标代入y＝x得：a＝2，
∴A（2，2），
将点A的坐标代入反比例函数得：
2，
解得：k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
设点B的坐标为，则P（m，m），C（m，0），
∴OC＝m，，
∵，
∴，
整理得：m2＝16，
∴m＝4或﹣4（不合题意，舍去），
∴点B的坐标为（4，1）；
（2）∵点P在直线y＝x图象上，PC∥y轴，由（1）可知P（4，4），
∴△POC是等腰直角三角形，
∴∠OPC＝45°，
∵∠AQO＝∠ADO+∠OPC，∠AQO＝∠ADO+∠QAD，
∴∠QAD＝∠OPC＝45°，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
当y＝0时，x＝6，
∴D（6，0），
∴，
∵∠AOD＝∠QAD＝45°，∠ADQ＝∠ODA，
∴△ADQ∽△ODA，
∴，即，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为．
19．解：（1）如图1，作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D；
（2）如图所示，设OB＝r，
由（1）可知：OD⊥AC，
∵CE＝3，CD＝6，
在Rt△ODC中，OC＝OE+EC＝3+r，DO＝r，
∴OD2+CD2＝OC2，
即r2+62＝（r+3）2，
解得：r，
∴⊙O的半径为．
20．解：（1）甲水果批发了xkg，则乙水果批发了（120﹣x）kg，
由题的y＝6.4x+5.6（120﹣x），
整理得：y＝0.8x+672，
∴y与x的函数关系式为：y＝0.8x+672；
（2）由题意得：
x≤3（120﹣x）
x≤90，
设王叔叔卖完全部水果后能获得的利润为w元，
w＝（8.8﹣6.4）x+（7.2﹣5.6）（120﹣x）
w＝2.4x+192﹣1.6x
w＝0.8x+192
∵0.8＞0，w随x增大而增大，
∴当x＝90时，
w最大值＝0.8×90+192＝264，
∴王叔叔卖完全部水果后能获得的最大利润为264元．
21．解：（1）延长FE交AC于点N，
由题意得：∠AFN＝45°，AC⊥CD，FN⊥AC，
∴∠ANF＝∠ACD＝90°，
∴∠FAN＝90°﹣∠AFN＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，CD＝30米，
∴BC＝CD tan30°＝3010（米），
故答案为：45；米；
（2）过点E作EH⊥CD于点H，
在Rt△DEH中，DE＝25米，∠EDH＝53.13°，
∴EH＝DE sin53.13°≈2520（米），
∴点E离地面的高度约为20米；
（3）过点F作FM⊥CD于点M，
由题意得：CN＝FM＝EH＝20米，CH＝NE，EF＝HM＝45米，
在Rt△DEH中，DE＝25米，∠EDH＝53.13°，
∴DH＝DE cos53.13°≈2515（米），
∴CH＝NE＝CD+DH＝30+15＝45（米），
∴NF＝NE+EF＝45+45＝90（米），
在Rt△AFN中，∠AFN＝45°，
∴AN＝NF tan45°＝90（米），
∴AB＝AN+CN﹣BC＝90+20﹣1093（米），
答：AB的长度约是93米．
22．解：（1）将点A（6，1）代入
得 ，
解得 m＝3，
∴，
当y＝2时，，
解得x＝3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3；
（2）当x＝0时，，
∴B（0，3），
∵抛物线 y＝ax2+bx+9a+4的对称轴为直线x＝3，
∴3，
∴b＝﹣6a，
∴y＝ax2﹣6ax+9a+4＝a（x﹣3）2+4，
∴抛物线不经过点C（3，2）．
∴抛物线不可能同时经过点A，D，
∴抛物线经过点A，B或点B，D．
若抛物线经过点A（6，1），则 a（6﹣3）2+4＝1，
解得，
∴，
当 x＝0时，y＝1≠3，即抛物线不经过点B．
∴该抛物线经过点B（0，3），D（6，3）．
将点B（0，3）代入y＝a（x﹣3）2+4，
解得 ，
∴．
∴该二次函数有最大值，最大值为4；
（3）由（2）知 y＝ax2+bx+9a+4＝a（x﹣3）2+4，
①当a＞0时，二次函数 y＝a（x﹣3）2+4 的最小值为4，
故过点P作平行于x轴的直线与抛物线没有交点，此时不成立；
②当a＜0时，若要满足点P始终在线段MN上，
则有，
解得．
综上所述，a的取值范围为 ．
23．解：（1）AE＝DG，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠1+∠3＝∠DCG＝90°
∵点D，F关于AE对称，
∴AE⊥DG，
∴∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴AE＝DG；
（2）解：如备用图1，连接EF，
，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，AC为其对角线，
∴
∵点D，F关于AE对称，且点F在AC上，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD＝2，DE＝EF
∴
∴，
（3）解：如备用图2，延长DG交AB的延长线于点M，
，
∵在正方形ABCD中，AB∥DC，CB＝CD＝AB＝AD，
∴∠1＝∠M，∠3＝∠C
由（1）可知∠1＝∠2，∠DHA＝90°，△ADE≌△DCG，
∴∠AHM＝90°，DE＝CG，
∵E为DC中点，
∴，
∴BG＝CG＝1
∴△CDG≌△BMG（AAS），
∴BM＝CD，
∴BM＝AB，
∴BH＝AB，
∴，
∵在Rt△DHA中，，
在Rt△ADE中，，
∴，
∵AD＝2，DE＝1，
∴，
∴．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/24 15:31:16；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353

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