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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第六章 圆
专题二 与圆有关的位置关系
命题点1 点与圆的位置关系
1．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是______．
2．（2024·山西大同·一模）如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为______________．
3．（2024·山西阳泉·模拟预测）综合与实践
项目背景：折纸几何学是现代几何学的一个分支，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究．数学课上老师给每位同学发了一张长为、宽为的矩形纸片，引导同学们探索矩形纸片中的几何问题，如图①，在矩形中，，，E为边上一点．

(1)实践探究一：如图①，沿折叠，使点B的对应点落在矩形内部的点G处，延长恰好经过点D，求的长；
(2)实践探究二：如图②，对折矩形，使点A与点B重合，点D与点C重合，得到折痕后展开；沿折叠，使点B的对应点落在上的点G处；延长交于点H，试判断的形状，并说明理由；
(3)实践探究三：如图③，当点E在边上运动时，沿折叠，使点B的对应点落在点G处；连接，取的中点P，连接，请直接写出的最小值：__________．
4．（2025·山西太原·一模）综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：；
(3)如图3，若，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
命题点2 直线与圆的位置关系
1．（2025·山西晋中·一模）如图，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以为端点作射线，在射线上截取线段，则射线上与点的距离为的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．（2025山西太原·二模）如图，点的坐标为，点的坐标为，⊙A与轴相切，点是⊙A上的动点，射线与轴交于点，则长的最大值等于_______．
3．（2024·山西运城·三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．

(1)求证：；
(2)当为何值时，以为直径的与直线相切？
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
4．（2025·山西吕梁模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是　 　．
命题点3 三角形的内切圆与外接圆
1．（2025·山西运城·二模）如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（ ）
A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定
2．（2025·山西阳泉·一模）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：
（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；
（3）连接BD、BC．
下列说法正确的是：_____（把所有正确的序号都写出来）
①∠CBD＝30°； ②S△BDC＝AB2；③点C是的外心；④sin2A+cos2D＝1
3．（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为_______．
4．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考
下面是小明同学的读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
每个平面图形都有自己的最小覆盖圆一本课外读物上看到下面的材料：最小覆盖圆的定义：将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：如图，以线段为直径的圆记为，则就是线段的最小覆盖圆，理由如下：在线段的垂直平分线上取除点O外的任意一点，以为半径作圆，则也是线段的覆盖圆，根据垂线段最短可得，，说明是线段的最小覆盖圆．根据上面的知识，我对三角形的最小覆盖圆进行探究、证明，并得出以下正确的结论：直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以它最长边为直径的圆．
利用小明的结论完成下面的任务：
(1)已知一个边长为的等边三角形，则它的最小覆盖圆的面积为______；（结果保留）
(2)如图，中，，，求最小覆盖圆的半径；
5．（2025·山西吕梁·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
6．（2025·山西运城·一模）阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
关于“三角形的内切圆”的研究报告【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有．
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
(2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．
(3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．
7．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务．
等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子．例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：．证明：连接，，过点作边上的高，则．，，．．
任务：
(1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______．
(2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：．
(3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______．
8．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径．思路分析：如图1．连接，则存，，设．于是有，∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半）用语言叙述：三角形的内切圆的半径．若已知的三边长，如何求的面积呢？我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若则秦九韶公式为．例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积．解：，……
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径．
(2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______．
1．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
6．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________．

7．如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是_____．
8．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
9．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
10．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______．
1．如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接，
(1)若，求的长；
(2)如图2，连接，若点是的中点，求证：；
(3)如图3，当的长度最小时，求的值．
2．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得．
(1)当点E为中点时，求的长；
(2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值．
1．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
2．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
3．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
5．如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．
8．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．

9．如图，⊙是的内切圆，，则_____．
10．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第六章 圆
专题二 与圆有关的位置关系（解析版）
命题点1 点与圆的位置关系
1．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键．
根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值．
【详解】解：∵点E是边的中点，
∴，
∵以为折痕将折叠得到，
∴，
∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上，
∵，
∴当F在上时，有最小值，最小值为；
如图，过点E作交于延长线点H，连接，
∵在边长为4的菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴的最小值．
故答案为：．
2．（2024·山西大同·一模）如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为______________．
【答案】/
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，求一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，进而可得在为直径的一段弧上运动，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：∵，，
即
∴
∴在为直径的一段弧上运动，
如图所示，设为的中点，连接，则,
∴当在上时，取得最小值，最小值为，
故答案为：．
3．（2024·山西阳泉·模拟预测）综合与实践
项目背景：折纸几何学是现代几何学的一个分支，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究．数学课上老师给每位同学发了一张长为、宽为的矩形纸片，引导同学们探索矩形纸片中的几何问题，如图①，在矩形中，，，E为边上一点．

(1)实践探究一：如图①，沿折叠，使点B的对应点落在矩形内部的点G处，延长恰好经过点D，求的长；
(2)实践探究二：如图②，对折矩形，使点A与点B重合，点D与点C重合，得到折痕后展开；沿折叠，使点B的对应点落在上的点G处；延长交于点H，试判断的形状，并说明理由；
(3)实践探究三：如图③，当点E在边上运动时，沿折叠，使点B的对应点落在点G处；连接，取的中点P，连接，请直接写出的最小值：__________．
【答案】(1)
(2)为等边三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由折叠可知，，，，在中，根据勾股定理，得，证明，进而可求出的长；
（2）由折叠可知，，由平行线分线段成比例得，可证垂直平分EH，从而，然后证明得，进而可证为等边三角形；
（3）由可知点G在以点A为圆心，以为半径的圆上运动．延长至点F，使，可证，所以最小时，最小．连接，交圆于点G，则此时最小，由勾股定理求出，可得，从而．
【详解】（1）解： 四边形是矩形，
，．
由折叠可知，，，，
，
．
在中，根据勾股定理，得．
，
，
，
．
，
．
（2）为等边三角形．
理由：由折叠可知，，
，
．
又，
，
，
．
由折叠可知，．
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
为等边三角形．
（3）∵，
∴点G在以点A为圆心，以为半径的圆上运动．延长至点F，使，
∵点P是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴最小时，最小．
连接，交圆于点G，则此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，圆周角定理，到圆上某点的最小距离，三角形中位线等知识，正确作出辅助线构造三角形中位线求解是解答本题的关键．
4．（2025·山西太原·一模）综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：；
(3)如图3，若，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，；
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，可得，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（3）以为直径作，连接，，由题意可得点在以为直径的上，则当点在上时，有最小值，由勾股定理可求的长，可得，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
∵四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：法一：延长CD，BF交于点H，如图所示：
∵点E是AB的中点，
，
∵四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
法二：证明：过点D作于点H，如图所示：
则，
，
，
∵点E为AB中点，
在中，，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
；
（3）；．
理由如下：
以BC为直径作，连接AO，OG，如图所示：
，
，
∴点G在以BC为直径的上，
∵在中，，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时，如图所示：
，点O是BC中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可得，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
命题点2 直线与圆的位置关系
1．（2025·山西晋中·一模）如图，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以为端点作射线，在射线上截取线段，则射线上与点的距离为的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用含30°直角三角形的性质得出点M到OA的距离，然后根据直线和圆的位置关系求得答案．
【详解】解：过点M作ME⊥OA于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POA=×60°=30°，
∴ME=OM=3．
∵
∴以M为圆心，为半径的圆与射线OA相交，
∴则射线上与点的距离为的点有2个
故选：B．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线并掌握直线与圆的位置关系是解题关键．
2．（2025山西太原·二模）如图，点的坐标为，点的坐标为，⊙A与轴相切，点是⊙A上的动点，射线与轴交于点，则长的最大值等于_______．
【答案】
【分析】当射线与相切于点时，有最大值，的值最大，判断， ，进而可得长的最大值．
【详解】解：∵
∴
∵
∴当最大时，的值最大，
如图，当射线与相切于点时，有最大值，的值最大，
中，
由勾股定理得，
∴∠
∵，且
∴∠
∴∠
∴中，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了圆的切线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
3．（2024·山西运城·三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．

(1)求证：；
(2)当为何值时，以为直径的与直线相切？
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)当时，值最大，最大值是8
【分析】（1）欲证，可以通过应用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，得证；
（2）为直径的与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，列出函数关系式，求出的值；
（3）因为，与梯形重叠部分的面积分为两种情况：①等于，②等于，列出关于的函数表达式，求出当时，值最大，最大值是8．
【详解】（1）证明：点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，
设运动时间为，则，
，，
，
，
；
（2）解：过作于，如图所示：

在中，，
由（1）知，
，即，
，
的半径，
由（1）知，即，
，
，
于，
由等面积法可知；，
圆心到直线的距离，
与直线相切，
，解得，即当时，与直线相切；
（3）解：折叠如图所示：

当点落在直线上时，则点为的中点，根据题意，以点在直线上为分界线分两种情况讨论：
①当时（当点落在直线上方），，
当时，；
②当时（当点落在直线下方），设交于，交于，，，
，
，
当时，，
综上所述，当时，值最大，最大值是8．
【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理求线段长，等面积法求线段长，切线的性质，折叠，三角形的性质及二次函数的综合应用，难度较大，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
4．（2025·山西吕梁模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是　 　．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
命题点3 三角形的内切圆与外接圆
1．（2025·山西运城·二模）如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（ ）
A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，连接AO，
∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
∵∠BOC=96°，
∴∠BAC=48°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与外心，熟练掌握三角形的垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2025·山西阳泉·一模）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：
（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；
（3）连接BD、BC．
下列说法正确的是：_____（把所有正确的序号都写出来）
①∠CBD＝30°； ②S△BDC＝AB2；③点C是的外心；④sin2A+cos2D＝1
【答案】①②③
【分析】①根据尺规作图的过程即可得结论；
②根据①和勾股定理即可得结论；
③根据直角三角形的外接圆的性质即可得结论；
④根据锐角三角函数即可得结论．
【详解】解：①根据题意的作图过程，可知
是等边三角形，∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝30°．
故①正确．
②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°．
∴2AB＝AD，
根据勾股定理，得
∵BC是的中线，
∴S△ABC＝S△BCD＝
故②正确．
③∵点C是直角三角形ABD斜边AD的中点，
∴点C是的外心．
故③正确．
④在Rt中，
∴sin2A+cos2D＝≠1．
故④不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了尺规作图、三角形的外接圆、直角三角形、勾股定理、三角形的面积、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
3．（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为_______．
【答案】
【分析】连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G，根据角平分线性质，证明点E到四边形各边的距离相等，进而确定出圆最大半径时的位置，再利用相似三角形的性质求出半径即可．
【详解】解：如图，连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G，
则由角平分线性质知，，
又∵，
∴，
∴，
∴同理，由角平分线性质知，点E到四边形各边的距离相等，
∴当以点为圆心，以为半径作圆时，可知与四边形各边相切，此时圆的半径最大，其面积也最大，设圆的半径为r，如下图：
，
∵为直角，，，
∴四边形为正方形，
∴，
由为直角，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查内切圆的求法，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，切线的判定，正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定最大圆的圆心及半径，在求解线段长度时，注意相似三角形的应用．
4．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考
下面是小明同学的读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
每个平面图形都有自己的最小覆盖圆一本课外读物上看到下面的材料：最小覆盖圆的定义：将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：如图，以线段为直径的圆记为，则就是线段的最小覆盖圆，理由如下：在线段的垂直平分线上取除点O外的任意一点，以为半径作圆，则也是线段的覆盖圆，根据垂线段最短可得，，说明是线段的最小覆盖圆．根据上面的知识，我对三角形的最小覆盖圆进行探究、证明，并得出以下正确的结论：直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以它最长边为直径的圆．
利用小明的结论完成下面的任务：
(1)已知一个边长为的等边三角形，则它的最小覆盖圆的面积为______；（结果保留）
(2)如图，中，，，求最小覆盖圆的半径；
【答案】(1)；
(2)最小覆盖圆的半径为．
【分析】本题考查了外接圆，解直角三角形，勾股定理，圆的面积，三角形内角和定理，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意得，锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，如图，过作于点，过作于点，交于点，则即为最小覆盖圆，半径为，由是等边三角形，则，，然后求出长即可求解；
（）由三角形内角和定理可得是钝角三角形， 则最小覆盖圆为以为直径的圆，过点作交的延长线于点，得出，所以，，设，则，，故有，求得，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，如图，过作于点，过作于点，交于点，
则即为最小覆盖圆，半径为，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴覆盖圆的面积为，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴是钝角三角形，
∴最小覆盖圆为以为直径的圆，
过点作交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴最小覆盖圆的半径为．
5．（2025·山西吕梁·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
【答案】（1）见解析；（2）B；（3）80°
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一以及中垂线的性质，即可得到结论；
（2）根据三角形外心的定义，即可得到答案；
（3）构造△MNQ的外接圆，根据平行四边形的性质和圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）∵BE⊥AC，
∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．
∴PN=PQ．
∴PM=PQ．
∴PC⊥MQ，
∴∠CFB=∠FCM=90°．
∴CF⊥AB．
（2）∵PM=PQ=PN，
∴点P是△MNQ的外心，
故选B．
（3）∵四边形ABQC都是平行四边形，
∴∠BQC=∠CAB=40°，
∵点P是△MNQ的外心，
∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，
故答案是：80°．
【点睛】本题主要考查三角形的垂心，外心，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，添加合适的辅助线构造平行四边形和三角形的外接圆，是解题的关键．
6．（2025·山西运城·一模）阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
关于“三角形的内切圆”的研究报告【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有．
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
(2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．
(3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得出，则可得出答案；
（2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案；
（3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案．
【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，，
，，，
设，，，则有，
三式相加可得，
，
如果设，那么有．
故答案为：，；
（2）解：的周长为，
由题意得，
如图，设切点分别为，，，则，
，，
，
三角形纸片的周长，
；
（3）解：设，依题意得，，
，，
，
根据勾股定理可得，整理得，
解得或不合题意，合去，
，
，，
．
【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理．
7．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务．
等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子．例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：．证明：连接，，过点作边上的高，则．，，．．
任务：
(1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______．
(2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：．
(3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的内切圆，矩形的判定与性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键．
（1）设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，利用即可求解；
（2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决；
（3）先证明，结合菱形性质得出，再分别利用三角形的同高面积求出，，，最后利用即可求解．
【详解】（1）解：如图，设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，
∴于，于，于，
∵的半径为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，
∴，
，
，
．
；
（3）解：∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
8．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径．思路分析：如图1．连接，则存，，设．于是有，∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半）用语言叙述：三角形的内切圆的半径．若已知的三边长，如何求的面积呢？我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若则秦九韶公式为．例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积．解：，……
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径．
(2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______．
【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为
(2)1
【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键．
（1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径；
（2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：
，
又的周长的一半，
的内切圆的半径．
（2）解：如图，连接和，
在中，，
，
设，p为的周长的一半，
则，，
的内切圆的半径．
；
又为的内切圆，
，，
，
四边形是正方形，
．
故答案为：1．
1．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
2．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
3．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作⊙O的切线条数即可解答.
【详解】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故选C.
【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.
4．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AM×BC=AC×AB，
∴AM==4.8．
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=5．
∴AN=MN=AM=2.4．
∴以DE为直径的圆半径为2.5．
∵r=2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
故选A．
5．如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________．

【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
7．如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是_____．
【答案】
【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．
【详解】解：过点作交延长线于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值
∴长度的最小值
故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，确定A'C长度有最小值时，点A'的位置是本题的关键．
8．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
【答案】4或2.56．
【分析】根据勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的长，当是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP长有2种情况.
【详解】解：连接BC
过点的切线交的延长线于点，
，
，
当时，，
经过圆心，
；
当时，则，
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD ＝∠ABD，∠D是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴
，
，
，
，
，
．
综上的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点睛】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
9．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
【答案】1
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
10．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______．
【答案】48
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形是的外切四边形，
∴，
∴
∴，
∴四边形的周长为
．
故答案为：48．
1．如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接，
(1)若，求的长；
(2)如图2，连接，若点是的中点，求证：；
(3)如图3，当的长度最小时，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，推出，即可求解；
（2）分别过点作的垂线，垂足分别为，设，求出，，证明是等腰直角三角形，求出，，，进而求出，，，证明，得到，再求出，，，推出，即可证明结论；
（3）取中点，连接，易证点在以点为圆心，为直径的圆弧上运动，则当三点共线时，，此时，的长度有最小值，设，则，此时，的最小值为，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，再证明，求出，，，证明，求出，进而求出，，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接，
∵，即，
∴点在以点为圆心，为直径的圆弧上运动，
∵，即，
∴当三点共线时，，此时，的长度有最小值，
设，则，
∵，
∴，，
此时，的最小值为，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理得，是等腰直角三角形，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了点到圆上的距离问题，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的运用，准确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
2．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得．
(1)当点E为中点时，求的长；
(2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，的最大值为
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质，
对于（1），设，则，可得，再根据勾股定理列出方程求出解即可；
对于（2），连接，作，，再根据“角角边”证明，可得，然后证明，可得，最后根据角平分线性质的逆定理得出答案；
过C作的平行线，可得，作，可得四边形为矩形，进而得出，再说明，然后根据圆心O到直线的距离半径，即，，可知当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，此时的最大值为，最后根据等腰直角三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：设，则，
，
为直径，
，
，
即，
解得，
；
（2）证明：连接，作，垂足为H，，交延长线于点I，
，
．
又，，
，
．
为直径，
．
，，
，
，
，
平分
；
过C作的平行线，交延长线于M，则，
作于N，交于P，
则，四边形为矩形，
，为中点，
，
．
∵直线与必有交点C，
∴圆心O到直线的距离半径，即，，
∴当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，
的最大值为．
，
∴在等腰直角三角形中，，
的最大值为．
1．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，
，即的半径为4，
，
点在外，
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
3．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可．
【详解】解：∵AC与BC是圆的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm,
∴=cm．
故选择B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键．
4．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
5．如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．
6．如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形ABCD，
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：或，
，，
令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，
内切于，
，
，
，
，
解得：，即的内切圆半径为2，
故选：B．
7．如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．
【答案】/
【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，则，
∵E为边的中点，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，
过C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键．
8．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．

【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．如图，⊙是的内切圆，，则_____．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．
根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
10．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)30
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长为
．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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