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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第六章 圆
专题三 与切线有关的证明与计算
命题点1切线的性质
1．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A． B． C． D．
3．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，，是上两点，过点作的切线，交的延长线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
6．（2025·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山西吕梁·三模）如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山西长治·一模）如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是______．
11．（2025·山西大同·三模）如图，是的直径，点C是上一点，过点C作的切线与的延长线交于点D，点E为上的一点，连接．若，则的度数为______．
12．（2025·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．
13．（2025·山西临汾·三模）阅读与思考
下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点．
任务：
(1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数．
(2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切，
判断是否为的“完美三角形”，并说明理由；
若，则的周长为________．
14．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，射线，，．与相切时，连接，求的长．
命题点2切线的判定
1．（2026·山西长治·一模）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线．
2．（2023·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
3．（2025·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．（2024·山西朔州·模拟预测）已知为的外接圆，，，过点A作于点D，的反向延长线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，内接于，是的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线交于点点．
(1)实践与操作：过点作的切线交直线于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
6．（2024·山西运城·模拟预测）如图，与相切于点，过点作的垂线，垂足为，交于点，连结，，的延长线交于点，与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，且，求的长．
7．（2024·山西太原·三模）自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）；②作直线，交于点C；③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）；④作直线．则直线即为所求．
(1)请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合图形；写出：是切线的理由；
(3)若半径为2，，交于点D．求四边形的周长．
8．（2024·山西晋城·三模）阅读与思考
请阅读以下材料，并完成相应的任务．
《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图1，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 李明所在数学小组经过思考与探索，给出了两种作法：作法一：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线．则直线即为所求．证明：∵，．∵，．又∵，．（依据）∴直线是的切线．作法二：①如图3，连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点F；③连接，交于点M；④作直线．则直线即为所求．证明：……．∵是的半径，∴直线是的切线．
任务：
(1)“作法一”中的依据是指______．
(2)请将“作法二”中的证明过程补充完整．
(3)在图3中，记交于点E．若的半径为3，，求的长．
9．（2024·山西晋中·一模）阅读与思考
在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题：
已知外一点P（图1），你能用尺规过点作的切线吗？你有几种方法？
小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务：
【题目分析】先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使．【作法展示】①连接并延长，交于，两点，（如图2）②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点．③连接，交于点．④作直线．直线就是所求作的的切线．【原理说明】证明：如图，连接，由作法可得，，，∴为等腰三角形，又∵，∴．∴（ ）（填写依据）又∵点在上，．直线是的切线．【总结反思】对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决：①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论．我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法．
任务：
(1)上述材料【原理说明】中的依据是________；
(2)如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数；
(3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
10．（2024·山西晋中·一模）是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．求证：是的切线．
11．（2023·山西·模拟预测）如图，在中，，，．延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
12．（2023·山西太原·模拟预测）已知在，，，，是上的点，以为圆心，为半径作．
(1)当时，交于点，求的长；
(2)当时，与有怎样的位置关系？并证明你的结论．
1．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
2．如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
3．如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．
(1)求证：平分；
(2)设，求的值；
(3)求的值．
4．如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径和的长．
6．如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知，在你所作的中，若，求的长．
7．如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
8．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
9．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
10．如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
1．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．

探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
2．如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．
3．如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
(1)若，且，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
4．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若，，求PA的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．
1．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　）
A．DE=DO B．AB=AC
C．CD=DB D．AC∥OD
4．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
6．如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
10．如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，①求的半径；②求线段的长．
11．如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第六章 圆
专题三 与切线有关的证明与计算（解析版）
命题点1切线的性质
1．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：D．
2．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
3．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
即圆的半径为．
故选：D．
4．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，，是上两点，过点作的切线，交的延长线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，连接，则，由切线的性质可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．连接，求出,得到，由，解得（负值已舍去），即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴,
∴，
∵，
∴
解得（负值已舍去）
∴，
∴
故选：B
6．（2025·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
【详解】解：点为的中点，
，
，
，
∵直线与相切，
，
，
故选：．
7．（2025·山西吕梁·三模）如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，解直角三角形求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
∵是的切线，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的长为：，
故选：B．
8．（2025·山西·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理等知识，根据切线的性质得到即可得到根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：如图，连接．
与的边相切于点，
，
，
，
，
；
故选：B．
9．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，由切线的性质得到，则可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．（2025·山西长治·一模）如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是______．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质等知识点，连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】解：连接，
∵是的切线，是的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·山西大同·三模）如图，是的直径，点C是上一点，过点C作的切线与的延长线交于点D，点E为上的一点，连接．若，则的度数为______．
【答案】40
【分析】本题考查了园内接四边形，圆周角定理，切线的性质，连接，可求得，利用切线的性质可得，利用三角形内角和即可解答，熟知相关性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，四边形为圆内接四边形，，
，
，
，
是的切线，
，
，
故答案为：．
12．（2025·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．
【答案】45°，22.5°
【分析】连接OB,即可得,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．
【详解】
解：连接．
与相切于点，
．．
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
．
【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换．
13．（2025·山西临汾·三模）阅读与思考
下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点．
任务：
(1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数．
(2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切，
判断是否为的“完美三角形”，并说明理由；
若，则的周长为________．
【答案】(1)；
(2)是完美三角形，见解析；．
【分析】根据等边三角形和等腰直角三角形的性质，可知，，根据圆周角定理可知，根据一周角可以计算出；
根据是等边三角形，且与相切，可以求出，根据，可知，根据等边三角形的性质可知，从而可知，又因为是的直径，从而可证与相切；
根据锐角三角函数求出，根据等边三角形三边都相等，可得的周长为．
【详解】（1）解：以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，
是等边三角形，是以为底边的等腰直角三角形，
，，
为半圆的直径，
，
；
（2）解：是“完美三角形”，理由如下：
如下图所示，连接，
是的“沉毅三角形”，
是等边三角形，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
与相切，
又与相切，
是的“完美三角形”；
②，
由可知，，
为半圆的直径，且，
在中，，
的周长为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、角直角三角形、等边三角形的性质，解决本题的关键是读懂“朴实三角形”、“沉毅三角形”、“完美三角形”，根据这三个定义找图形中边、角之间的关系．
14．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，射线，，．与相切时，连接，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．连接，，，得到，根据勾股定理求出，根据切线长定理可得，，推出垂直平分，证明，得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，
是的直径，
，
，
，
为的切线．
与相切，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
，即．
．
命题点2切线的判定
1．（2026·山西长治·一模）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角这一性质，得到直角三角形，再根据三角形内角和定理求出的度数．
（2）先通过同弧所对的圆周角相等得到，再结合已知条件，推出的度数，最后证明，从而判定是的切线．
【详解】（1）解：∵是的直径，
，
又，
．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
∴是的切线．
2．（2023·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)15
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∵为的斜边上的中线，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为的斜边上的中线，
．
3．（2025·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，先根据等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理及等量代换得到，然后根据切线的判定定理可得结论；
（2）先根据垂径定理推导 是的中位线，则，，证明，利用相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，又为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，又，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴．
4．（2024·山西朔州·模拟预测）已知为的外接圆，，，过点A作于点D，的反向延长线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，得，进而可以解决问题；
（2）勾股定理求出，然后证明，对应边成比例即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，内接于，是的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线交于点点．
(1)实践与操作：过点作的切线交直线于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；
(2)，见解析
【分析】（1）连接，过点作于点胶直线于点即可；
（2）由，得，由，，得，，从而，根据等腰三角形的判定即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两锐角互余，切线的判定，尺规作垂线，同角的余角相等，熟练掌握直角三角形的两锐角互余，切线的判定及尺规作垂线是解题的关键．
6．（2024·山西运城·模拟预测）如图，与相切于点，过点作的垂线，垂足为，交于点，连结，，的延长线交于点，与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形成为解题的关键．
（1）如图：连接，由证明得出，再根据切线的判定定理即可解答；
（2）如图：连接，证明，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）解：如图1：连接，则．
，
，
是的垂直平分线，
．
在和中，
，
，
．
为的切线，为切点，
，
，即，
是的切线．
（2）解：如图2：连接．
在中，，且，
，则．在中，
，
，
，解得，
．
在中，由勾股定理，得，
，，即为的中位线．
，，
．
∵，
，
，即，解得．
7．（2024·山西太原·三模）自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）；②作直线，交于点C；③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）；④作直线．则直线即为所求．
(1)请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合图形；写出：是切线的理由；
(3)若半径为2，，交于点D．求四边形的周长．
【答案】(1)作图见解答过程
(2)证明见解答过程
(3)
【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质．
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接，先根据圆周角定理的推论得到，然后根据切线的判定定理得到直线为切线；
（3）由勾股定理求出，设，则，由勾股定理可得．由，得到，求得，然后利用四边形的周长解答即可．
【详解】（1）解：按照步骤完成作图如下．
（2）证明：由题意得：为的直径，
∴(直径所对的圆周角为)，
∴，
∵为的半径，
∴直线为的切线．
（3）解：连接．
，
，
在中，，
由图知为的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，即，
，
∴四边形的周长为：．
8．（2024·山西晋城·三模）阅读与思考
请阅读以下材料，并完成相应的任务．
《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图1，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 李明所在数学小组经过思考与探索，给出了两种作法：作法一：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线．则直线即为所求．证明：∵，．∵，．又∵，．（依据）∴直线是的切线．作法二：①如图3，连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点F；③连接，交于点M；④作直线．则直线即为所求．证明：……．∵是的半径，∴直线是的切线．
任务：
(1)“作法一”中的依据是指______．
(2)请将“作法二”中的证明过程补充完整．
(3)在图3中，记交于点E．若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)等腰三角形三线合一
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质作答即可；
（2）利用证明，即可证明，根据切线的判定定理即可得解；
（3）根据勾股定理求得，由，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
．
∵，
．
又∵，
．（等腰三角形三线合一）
∴直线是的切线．
故答案为：等腰三角形三线合一；
（2）证明：由作图知，==+
∵，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的作法，切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（2024·山西晋中·一模）阅读与思考
在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题：
已知外一点P（图1），你能用尺规过点作的切线吗？你有几种方法？
小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务：
【题目分析】先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使．【作法展示】①连接并延长，交于，两点，（如图2）②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点．③连接，交于点．④作直线．直线就是所求作的的切线．【原理说明】证明：如图，连接，由作法可得，，，∴为等腰三角形，又∵，∴．∴（ ）（填写依据）又∵点在上，．直线是的切线．【总结反思】对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决：①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论．我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法．
任务：
(1)上述材料【原理说明】中的依据是________；
(2)如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数；
(3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)等腰三角形的“三线合一”
(2)
(3)作图见解析
【分析】（1）根据作图得出，，再根据等腰三角形的“三线合一”即可得证；
（2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，得出，再由圆周角定理即可得出结论；
（3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，即可得出结论．
【详解】（1）解：上述材料【原理说明】中的依据是：等腰三角形的“三线合一”，
故答案为：等腰三角形的“三线合一”；
（2）由（1）知：，，，
∴，，
∴，
∴；
（3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，连接，
由作图可知，为的直径，
∴，
∵点在上，
∴直线是的切线，
则直线即为所作．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了作线段的垂直平分线，等腰三角形三线合一性质，切线的判定，直角三角形两锐角互余，圆周角定理，直径所对圆周角是直角等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合思想解决问题．
10．（2024·山西晋中·一模）是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．求证：是的切线．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了圆周角定理，等边对等角，切线的判定，先由直径所对的圆周角是90度，再结合等边对等角，得，再进行角的等量代换，即可作答．
【详解】解：是的直径，
，
．
又，
，
又，
，即，
是的切线．
11．（2023·山西·模拟预测）如图，在中，，，．延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得，，由此推出，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明是的切线；
（2）过点作于点，根据题意可证明，以此得到平分，则，，再根据，即可求出最后结果．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
为半径，
是的切线；
（2）如图，过点作于点，如图所示，
，，弦，
，
，
，
，
，即为等腰三角形，
，，
，，
，
在中，，
在中，，
，
．
【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题是解题关键．
12．（2023·山西太原·模拟预测）已知在，，，，是上的点，以为圆心，为半径作．
(1)当时，交于点，求的长；
(2)当时，与有怎样的位置关系？并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)相切，证明见解析
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再根据相似三角形求出的长；
（2）过O点作于点M，根据，利用相似三角形的性质求出的长，根据切线的判定定理即可证明．
【详解】（1）解：在中，
∵，
连接，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
（2）解：当时，是的切线；证明如下：
∵，，
∴，
过O点作于点M，
∵，，
则，
∴，
∴，
即O到的距离等于的半径，
∴当的半径为时，是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉的掌握切线的判定和性质．
1．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径．
根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可．
【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接，
因为圆与相切于点，所以，
则，即，
解得，，
又，
所以．
故选：B．
2．如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
【答案】1
【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，
则，，，
∵，
∴四边形是正方形，
设半径为r，，
，，，
，
，，
，
，
的内切圆的半径为1；
故答案为：1．
3．如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．
(1)求证：平分；
(2)设，求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键．
（1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可；
（2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可；
（3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由题意，得与相切于点E，
∴，
又，
∴，
∴，
∵和都是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1），得，
∵点F在上，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，即，
设，则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴；
（3）解：由圆周角定理，得，
如图，过点O作平分，交于点M，连接
由（2），得，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴在中，，
∴，
∴．
4．如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行；
（2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
；
（2）解：如图，设的半径为，连接，
切于点，
．
在中，，
解得，
，
，
．
为的直径，
．
在中，，
．
，
．
在中，．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键．
5．如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的半径长为5，的长为
【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分．
（2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：作于点，，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径长为5，的长为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
6．如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知，在你所作的中，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证；
（2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得；
（3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得．
【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，满足的即为所作．
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵是的两条切线，切点是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∵在等腰中，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键．
7．如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键．
（1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明；
（2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，即，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
设，则，，
，即，
解得或（舍去），
．
9．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论；
（2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，即点D为中点，
，即点O为中点，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：由（1）知，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴．
10．如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得，，整理得出，进而即可得证；
（2）由勾股定理得出，然后再证，得出，进而代入求值即可得解．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：在中，，，，
由勾股定理得，，
，
为的直径，
是的直径，
，，
由勾股定理得，，
由（1）知，
，
又为公共角，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论，切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质解决此题的关键．
1．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．

探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可；
（2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可；
（3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可．
【详解】解：（1）连接，
∵为圆心，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．

（2）∵与半圆的切点为，
∴
∵
∴于点，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）∵于点，
∴，
∵半圆的中点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．
2．如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．
【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC．∴∠OCG+∠PCG=90°．
∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°．
∵OB=OC，∴∠B=∠OCG．∴∠PCG=∠BGF．
又∵∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG．
∴PC=PG．
（2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO BF．理由如下：
如图，连接OG，
∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG．∴∠OGB=90°．
∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF．∴BG：BF=BO：BG．
∴BG2=BO BF．∴CG2=BO BF．
（3）如图，连接OE，
由（2）得BG⊥BC，∴OG=．
在Rt△OBG中，OB=5，∴．
由（2）得BG2=BO BF，∴．∴OF=1．
在Rt△OEF中，．
∵AB⊥ED，∴EF=DF．
∴DE=2EF=．
【详解】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG．
（2）连接OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BO BF，把BG用CG代换得到CG2=BO BF．
（3）连接OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BO BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4．
3．如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
(1)若，且，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)存在常数，，理由见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明是等边三角形即可；
（）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证；
（）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：存在常数，，使等式成立；
理由如下：
如图，设与交于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
得：，
∵，
∴，
∴，．
4．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若，，求PA的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．理由见解析.
【分析】（1）连接OD，证明∠ODP=90°即可；
（2）由tanB=，可得，可求出AC，BC；再求出CE，OE，由△OCE∽△OPC，可求出OP，PA；
（3）由△OCE∽△OPC得OC2=OE OP，再将代入即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵PC是⊙O的切线，
∴，即，
∵
∴
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴PD是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
设，，则由勾股定理得：，解得：，
，，
∵，即，
∴，，
在中，，，
∴，
∵
∴，即，
∴，．
（3）
如图2，∵PC切⊙O于C，
∴，
∴
∴，即
∵
∴
即．
【点睛】本题是一道圆的综合题，考查了圆的性质-垂径定理，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答本题，形成数学解题能力．
1．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题解析：连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC=，
∴cos∠A=cos∠BOC=．
又∵cos∠A=，AB=4，
∴AD=．
故选B．
考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．
2．如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】试题分析：根据BT是的切线，可知∠ABT=90°，则△ABT是等腰直角三角形，然后根据直径做对圆周角是直角，可利用割补法可知阴影部分的面积为△ABT面积的一半，因此可知阴影部分的面积为.
故选C
考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形
3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　）
A．DE=DO B．AB=AC
C．CD=DB D．AC∥OD
【答案】A
【详解】：根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．故选A.
4．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解．
【详解】解：连接，，，如图，
∵，，
∴，
∵，四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵直线为的切线，
∴，
∴．
故选：C ．
5．如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】D
【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答．
【详解】解：连接，作于点，
则，
，分别与扇形相切于点，，，，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键．
6．如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．
【详解】解：，
，
又是的切线，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键．
7．如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，由圆周角定理的推论得，再由切线长定理得，从而得，进而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，分别切于点B、C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵是的内心，
∴，
设，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
9．如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论；
（2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，过点作于点，
，是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
点为的圆心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
10．如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，①求的半径；②求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①3；②2
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径；
②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．
11．如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明，即可得证；
（2）根据，即可得证；
（3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴
如图所示，连接

在与中，
∴
∵为上的一点．
∴是的切线；
（2）∵是的切线；
∴，
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
∴
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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