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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第六章 圆
专题四 与圆有关的计算
命题点1弧长及扇形面积计算
1．（2025·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西临汾·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西吕梁·三模）如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西太原·二模）在力学里，典型的滑轮是可以绕着中心轴旋转的圆轮，在圆轮的圆周面具有凹槽，将绳索缠绕于凹槽，用力牵拉绳索两端的任一端，则绳索与圆轮之间的摩擦力会促使圆轮绕着中心轴旋转，滑轮主要的功能是牵拉负载、改变施力方向、传输功率等．如图，半径为的定滑轮边缘上一点P绕滑轮中心O顺时针转动了，则物体上升的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山西晋城·三模）动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山西太原·二模）如图，线段是的直径，点C是上一点，连接，以点C为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点B．若的半径为2，则图中阴影部分的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·山西长治·二模）扇子起源于商周时期，主要用于遮阳或礼仪场合，同时也是驱暑的工具．小乐制作了一个扇子模型（如图2），扇形外侧两竹条的夹角为，长，扇面的边的长为，则扇面面积为_____．（结果保留）
9．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 __________ ．
10．（2025·山西运城·二模）下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“相似扇形”的研究报告先锋小组研究对象：相似扇形研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究．研究内容：【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为．【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下：关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______；关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______．……【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论：半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下：如图2，已知扇形与扇形，，只要说明，即可判断扇形与扇形是相似扇形．……
任务：
(1)补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______；
(2)根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程；
(3)如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，则的长为______．（用含l的代数式表示）
命题点2 圆与正多边形的相关计算
1．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
2．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西临汾·二模）如图，正六边形的边长为4，以点为圆心，以长为半径作弧，连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·山西长治·模拟预测）如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
8．（2025山西吕梁中考模拟）如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______．
9．（2025·山西太原·一模）如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为______．
命题点3与圆有关的不规则图形面积计算
1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·模拟预测）如图，在半圆中，为其直径，点，是半圆的三等分点．已知弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（）
A． B． C． D．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
6．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山西大同·三模）如图，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西吕梁·二模）如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·山西大同·三模）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
1．如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
2．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________．
4．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．
5．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
6．如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
7．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
8．如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积．
9．如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
10．如图，点A，B，C在上，，以，为边作．
(1)当经过圆心O时（如图1），求的度数；
(2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
1．如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求扇形的面积．
2．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
3．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
1．如图，在边长为2的正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（ ）
A． B． C．12 D．13
2．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
4．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．

6．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）．
7．如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
8．如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
9．如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
10．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第六章 圆
专题四 与圆有关的计算（解析版）
命题点1弧长及扇形面积计算
1．（2025·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
2．（2024·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
3．（2025·山西临汾·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
连接，判定是等边三角形，得到，推出，求出的周长，即可得到阴影部分的周长．
【详解】解：连接，
由题意得到：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵的周长，
∴阴影部分的周长．
故选：D．
4．（2025·山西吕梁·三模）如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，解直角三角形求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
∵是的切线，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的长为：，
故选：B．
5．（2025·山西太原·二模）在力学里，典型的滑轮是可以绕着中心轴旋转的圆轮，在圆轮的圆周面具有凹槽，将绳索缠绕于凹槽，用力牵拉绳索两端的任一端，则绳索与圆轮之间的摩擦力会促使圆轮绕着中心轴旋转，滑轮主要的功能是牵拉负载、改变施力方向、传输功率等．如图，半径为的定滑轮边缘上一点P绕滑轮中心O顺时针转动了，则物体上升的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长公式，根据题意可得物体上升的高度为以的半径，圆心角为的弧长，根据弧长公式代入数据计算即可．
【详解】解：根据题意物体上升的高度为以的半径，圆心角为的弧长，
则物体上升的高度为，
故选：C．
6．（2025·山西晋城·三模）动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了的路径，即半径为12厘米圆心角为的弧长，然后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可．
【详解】解：点的路径长为（厘米），
重物上升的高度为（厘米）．
故选：B．
7．（2025·山西太原·二模）如图，线段是的直径，点C是上一点，连接，以点C为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点B．若的半径为2，则图中阴影部分的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，余弦，弧长，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
分别求出扇形中的长，扇形中的长，即可求解．
【详解】解：由题意知，扇形中的长为周长的一半，即，
∵线段是的直径，点C是上一点，的半径为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形中的长为，
∴图中阴影部分的周长为．
故选：D．
8．（2025·山西长治·二模）扇子起源于商周时期，主要用于遮阳或礼仪场合，同时也是驱暑的工具．小乐制作了一个扇子模型（如图2），扇形外侧两竹条的夹角为，长，扇面的边的长为，则扇面面积为_____．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇面的面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，进行计算即可．
【详解】解：由题意，，
∴，
∴扇面面积为；
故答案为：．
9．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 __________ ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，弧长的有关计算．
连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据弧长公式求出结论．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的半径为1，
∴劣弧的长．
即劣弧的长为，
故答案为：．
10．（2025·山西运城·二模）下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“相似扇形”的研究报告先锋小组研究对象：相似扇形研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究．研究内容：【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为．【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下：关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______；关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______．……【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论：半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下：如图2，已知扇形与扇形，，只要说明，即可判断扇形与扇形是相似扇形．……
任务：
(1)补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______；
(2)根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程；
(3)如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，则的长为______．（用含l的代数式表示）
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据两个相似扇形的性质可得答案；
（2）由，再代入弧长公式即可得到结论；
（3）先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可.
【详解】（1）解：类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下：
关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为；
关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为．
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∴扇形与扇形是相似扇形．
（3）解：∵扇形与扇形相似，
∴，
∵，，
∴，
∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∵的长为l，
∴,
∴；
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，一元二次方程的解法，理解题意是关键.
命题点2 圆与正多边形的相关计算
1．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)240
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．
（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为；
（2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出；
（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为，
故答案为：240；
（2）解：．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与中，
，
．
；
（3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）．
作法一：
作法二：
．
2．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形为正六边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
则，
故选：A．
3．（2025·山西临汾·二模）如图，正六边形的边长为4，以点为圆心，以长为半径作弧，连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接、交于点，根据正多边形的性质，证明是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，，利用锐角三角函数，求得，，，再根据图中阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，
正六边形的边长为4，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，
垂直平分，
，，
在中，，
，，
在中，，
，
图中阴影部分的面积
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，求不规则图形面积，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，掌握扇形面积公式是解题关键．
4．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形与圆，求解扇形面积，三角形的中线等分三角形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，连接，交于点，连接，，可得过圆心，，进一步求解，结合可得答案．
【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，
∵正八边形内接于，
∴过圆心，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
5．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，坐标与图形，设中间正六边形的中心为，连接根据的坐标分别为，得出，求出，即可求出，得出结果．
【详解】解：如图，设中间正六边形的中心为，连接．
点的坐标分别为，
，
．
，
，
点的坐标为．
故选：B．
6．（2025·山西长治·模拟预测）如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接，在上任意取一点Q，连接，，根据正六边形的性质求出，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，然后求出结果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 ，是解决问题的关键．
【详解】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图：
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：B．
7．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
【答案】/
【分析】本题考查了正多边形的性质及解直角三角形，过点作轴，垂足为，通过正六边形的性质和解直角三角形求出点的横坐标，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为
∵正六边形，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴
在中，
∵在第二象限
∴
故答案为：.
8．（2025山西吕梁中考模拟）如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，
先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵正五边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是正五边形的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（2025·山西太原·一模）如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，，先求得，利用等边对等角求得，利用切线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
命题点3与圆有关的不规则图形面积计算
1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．（2025·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形
3．（2024·山西·模拟预测）如图，在半圆中，为其直径，点，是半圆的三等分点．已知弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过弧长公式求出半圆的半径，再利用等边三角形的性质和三角形、扇形的面积公式，通过三角形面积减去扇形面积来计算阴影部分面积．
【详解】解：连接、、，过作于，交于，
∵点，是半圆的三等分点，
∴．，，
设半圆的半径为，则，
解得．
∵，，
∴是等边三角形，，
∴
∴，
∴．
∵
∴，，，扇形的面积为．
∴，，，
∴，
∴，
∴
∴．
∴阴影部分面积为扇形．
故选：．
【点睛】本题主要考查弧长公式、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是解题的关键．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形为正六边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
则，
故选：A．
5．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图，
空白①的面积为，
空白部分②的面积，
所以阴影部分的面积
，
故选：A．
6．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，，，．证明，得出，结合切线的性质求出，解直角三角形得出，最后再由计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，，，，．
四边形是菱形，
，．
在和中，
，
∴，
，
点在菱形的对角线上，
．
是的切线，
．
，
即，
解得，
，
，，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
7．（2025·山西大同·三模）如图，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，连接，，过点P作交于点A，得到，证明出是等边三角形，求出，解直角三角形求出，然后根据阴影部分的面积代数求解即可．
【详解】如图所示，连接，，过点P作交于点A，
根据题意得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：A．
【点睛】此题考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．（2025·山西吕梁·二模）如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积公式，含30度角的直角三角形.
分别求出扇形的面积=扇形的面积=，，半圆的面积=，再根据阴影部分的面积计算即可.
【详解】由题意可知：扇形的面积=扇形的面积=，
∵，
∴，，
∴，半圆的面积=，
∴阴影部分的面积
，
故选：A.
9．（2025·山西大同·三模）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差，转化为求矩形面积和扇形面积的差，通过对图形进行合理的组合与拆分来找到面积关系即可得解．本题主要考查矩形面积公式、扇形面积公式以及图形面积的转化思想．解题的关键在于通过设空白部分面积为辅助量，将阴影部分面积差转化为矩形面积与两个扇形面积的差，灵活运用面积公式进行计算．
【详解】解：设矩形中除阴影部分Ⅱ外的部分面积为．
∵，，
∴．
∵以、为圆心，长为半径画弧，，且，
∴一个扇形面积，两个扇形面积．
阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差可转化为，即．
∵，
∴．
故选：C．
10．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可．
【详解】解：如图：
∵在扇形中，，点为的三等分点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
．
故选A．
1．如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．
根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．
【详解】解：设半径为，由题意得，，
解得，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
∴弦所对应的弦心距为，
∴．
故选：B．
2．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解．
【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键．
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】
如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作，
在正八边形中，
∴
∵，，解得：
∴
∴正八边形为
∴
∴
∴的估计值为
故答案为：．
4．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；
故答案为：．
5．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键．
（1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可．
【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，，
∵是正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
6．如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键．
（1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明；
（2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键．
8．如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证；
（2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，作于点，
由（1）知：，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
9．如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解；
（2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的弧长为：，
答：的弧长为．
10．如图，点A，B，C在上，，以，为边作．
(1)当经过圆心O时（如图1），求的度数；
(2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出；
（2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出，
说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵经过圆心O，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴；
（2）解：连接、，如图所示：
∵与相切，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
1．如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，推出，得到，得出，即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，求出的半径，得到．
【详解】（1）证明：是的切线，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，是的直径，
的半径，
．
2．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
3．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键．
1．如图，在边长为2的正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（ ）
A． B． C．12 D．13
【答案】B
【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及轴对称最短路线问题，得出点位置是解题关键．要使△的周长最小时，最小，利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，那么有，最小，再根据正六边形的性质和勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，
要使的周长的最小，即最小，
利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，作，垂足为，
那么有，最小，
，，，
，
∴，，
，，
，
故当的周长最小时，．
故选：B．
2．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，设与相交于点，
∵正四边形和正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为(r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：则所需铁皮面积
故选B
4．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
5．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．

【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
故答案为：10．
6．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可．
【详解】解：过A作，
∵，，
，
∵，
∴，
，
，
，
设长度为，则，在中，由勾股定理得：
解得：，
，
，
则，，
，
．
故答案为：．
7．如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
8．如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析；
(2)．
【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
9．如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设，
∴，
解得，
∵，
∴的长为：．
10．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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