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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第七章 图形的变化
专题一 尺规作图与画图
命题点1按基本作图要求作图
1．（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法．
如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线．
这样作的理由是（ ）
①等腰三角形的三线合一
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
③两点确定一条直线
④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A．① B．②③ C．③④ D．④
2．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

3．（2024山西·中考真题）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为_____．
4．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为______．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
6．（2024·山西·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论．
7．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点．交边的延长线于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)猜想与证明：若，试猜想与的数量关系，并加以证明．8．（2025山西长治模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段向右平移1个单位长度，得到线段，此时点的对应点恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求该反比例函数的表达式．
(2)设是轴正半轴上的一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)连接并延长，与（2）中所作的角平分线相交于点．求证：．
9．（2025·山西长治·三模）如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，若，射线将的周长分为两部分，求的长．
10．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，点在边上，．
(1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
11．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
12．（2025·山西·模拟预测）阅读与思考
请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务．
邻等对余四边形
在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验可对不同的几何图形进行一定的研究．
图形定义：至少有一组邻边相等，且这两邻边的夹角与对角互余的四边形叫邻等对余四边形．
概念理解：如图①，在四边形中，，，则四边形是邻等对余四边形．

性质探究：如图②，在四边形中，连接对角线，，已知，小江通过在几何画板上演示图形，发现，，之间存在数量关系：，他想通过几何的方法进行推理证明．
研究思路：在研究四边形的时候，常将四边形的问题转化为三角形的问题来研究，从而简化问题的解决过程．
推理论证：以为边，在下方作等边，连接，
∵，均为等边三角形，
∴，，
∴，
…
任务：
(1)根据邻等对余四边形的定义，下面哪组图形可能拼成一个邻等对余四边形 (填序号)；
①两个等腰三角形②两个直角三角形③两个全等三角形
(2)完成报告中剩余的证明过程；
(3)如图③，在中，，在的右侧找一点，使四边形是有两组邻边相等的邻等对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

13．（2025·山西·三模）如图，在中，．
(1)实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)计算：若，，求线段的长．
14．（2025·山西太原·一模）如图，已知在中，，点分别是的中点，连接．
(1)实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明．
命题点2转化成基本作图完成作图
1．（2023·山西阳泉·一模）如图，在中，，分别是，的中点．

(1)实践与操作：利用尺规作，点在点的左侧，延长交于点；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
(2)猜想与证明：在（1）中所作图的基础上，猜想四边形的形状，并加以证明．
2．（2023·山西太原·一模）如图，已知，点为上一点．
(1)画，垂足为；
(2)画的平分线，交于；
(3)过点画，交于点．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
3．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.
六等分圆原理
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为
操作步骤：
分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点；
以点为圆心，的长为半径作圆；
以的长为半径，在上顺次截取；
顺次连接，，，，，得到正六边形
任务；
(1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)，
(2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标．
4．（2025·山西太原·一模）已知：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
5．（2025山西晋中模拟）学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明：
已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；
②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）；
③连接，直线即为的切线．
(1)利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）；
(2)求证：为的切线；
(3)连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长．
命题点3依据作图痕迹或作法判断或计算
1．（2025山西太原·二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·模拟预测）已知锐角中，O是的中点，小明、小英二人想在线段上找一点P，使得为直角，其作法如图．对于小明、小英二人的作法，正确的是（ ）
小明的作法过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 小英的作法以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求
A．只有小明正确 B．只有小英正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
3．（2024·山西晋中·三模）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
4．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025山西吕梁·二模）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线l和l外一点P．
求作：过点P的直线m，使得m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图2，
（1）在直线l上任取点A，连接PA；
（2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；
（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．
6．（2023山西大同模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P，连接交于点，点为线段上一点，连接，若，则当最小时，的面积为______．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________．
8．（2025·山西大同·二模）阅读与思考
下面是某数学兴趣小组探究过直线外一点作已知直线的平行线的方法，请仔细阅读，并完成相应的任务．
已知：直线l和直线l外一点P（如图1）求作：l的平行线，使它经过点P．作法1：如图2，①在直线l上任取一点B，作射线BP；②以B为圆心，BP长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点P，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于D，作射线BD；④以点P为圆心，PB长为半径画弧，交射线BD于点E；⑤作直线PE，直线PE即为所求．作法2：如图3，①在直线l上任取一点A，作直线PA；②分别以点A和点P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于B，C两点；③作直线BC，交AP于点O，交直线l于点D；④在射线OB上截取；⑤作直线PE，则直线PE就是所求作的平行线．
任务：
(1)下面是作法1的证明过程，请将空缺的依据补充完整．
证明：由作图可知，
∴∠PBE=∠PEB（依据1：___________________________________________________）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，
∴
∴
∴PE//l（依据2：___________________________________________）
(2)根据作法2的作图过程，证明PE//l；
(3)请你用与上述两种作法不同的方法，在图4中用尺规过点P作已知直线l的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
9．（2025山西运城模拟）已知：如图，在中，是边上一点．
求作：在边上作一点，使得．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点．
小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．．
(1)请判断小成作法是否正确，并给出理由．
(2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明．
10．（2025·山西吕梁·三模）初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出，使斜边，一条直角边．
(1)如图2是小亮所作的，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有____________；（填序号）
(2)请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个，使满足上述条件．（不写作法，但保留作图痕迹）
命题点4无刻度直尺作图或网格作图
1．（2025·山西·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
2．（2025·山西太原·一模）阅读与理解
下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题．类型一：构造特殊点问题1：求作线段的中点．思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点．思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点．问题2：求作线段的三等分点，使．．．．．．．类型二：构造特殊角问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得．．．．．．．
任务：
(1)思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________；
(2)请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）；
(3)请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）．
3．（2025山西晋中·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画的中线；
(2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使；
(3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使；
(4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使．
4．（2024·山西模拟预测）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、，，均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段．
(2)在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）．
5．（2025·山西·三模）如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．
(1)如图①，若连接，交于点，则的值为_____；
(2)如图②，在上找一点，使（仅用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
1．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
2．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线．
6．如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
7．已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
8．实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因为，
所以 ．
所以，
所以平分，
即点为所求点；
【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
9．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
10．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
2．如图，线段、相交于点．且，于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
3．如图，是菱形的对角线．

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
1．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
2．如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________．
4．如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长____________．（结果保留）

5．如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

(1)在图①中，的面积为；
(2)在图②中，的面积为5
(3)在图③中，是面积为的钝角三角形．
7．如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
8．如图，四边形中，，，为对角线．

(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
9．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直．
(2)在图2中画一条线段平分．
10．已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以为对角线的一个菱形；
(2)在图2中作出以为边的一个菱形．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第七章 图形的变化
专题一 尺规作图与画图（解析版）
命题点1按基本作图要求作图
1．（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法．
如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线．
这样作的理由是（ ）
①等腰三角形的三线合一
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
③两点确定一条直线
④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A．① B．②③ C．③④ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
依题意，，
即都在的垂直平分线上，
∴两点所在直线即为的垂直平分线，
∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线
故选：C
2．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

【答案】
【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．
3．（2024山西·中考真题）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为_____．
【答案】2．
【分析】作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1，AG=，可得AF的长．
【详解】如图，作高线BG，
∵MN∥PQ，
∴∠NAB=∠ABP=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠ABP=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG=AB=1，
∴AG=，
∴AF=2AG=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
4．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，由作图可得是的角平分线，由垂线段最短可知当时，取最小值，进而根据角平分线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
由作图知，是的角平分线，
当时，取最小值，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了基本作图，作线段、作垂线，矩形的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2），理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（2024·山西·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为点O，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法、不写结论，但要保留作图痕迹，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)猜想：四边形是菱形，证明见解析
【分析】本题考查角平分线作法，垂线的作法，矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，平行四边形判定及性质等．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点，并延长交于点，即为的平分线，再以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点，并延长分别交于点，点，连接即可；
（2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵矩形中，，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
7．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，．
(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点．交边的延长线于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)猜想与证明：若，试猜想与的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、等角对等边等知识点，正确地作出图形是解题的关键．
（1）利用基本作图，作出的平分线交边于点．交边的延长线于点即可；
（2）由平行四边形的性质可得，由角平分线的性质和平行线的性质可得、，进一步可得，根据等角对等边可得，再由题意可得，继而可得，再由易求，可得即可解答．
【详解】（1）解：如图，射线为所求．
（2）解：．证明如下：
四边形是平行四边形，
．
平分，
．
，
，
，
．
，
，
，即．
，
，
，
．
8．（2025山西长治模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段向右平移1个单位长度，得到线段，此时点的对应点恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求该反比例函数的表达式．
(2)设是轴正半轴上的一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)连接并延长，与（2）中所作的角平分线相交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，求反比例函数解析式，角平分线的定义及其尺规作图，等角对等边等等，熟知相关知识是解题的关键。
（1）根据平移方式可得点C坐标，则可利用待定系数法求出对应的函数解析式；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（3）由平移可知，，且，则．再证明，得到，则．
【详解】（1）解：∵将线段向右平移1个单位长度，得到线段，，
∴点C的坐标为．
把点代入中，得，
∴该反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，射线OQ即为所求．
（3）证明：由平移可知，，且，
∴．
∵ON平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．（2025·山西长治·三模）如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，若，射线将的周长分为两部分，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，根据题意可得，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵射线将的周长分为两部分，
∴，
∴，
∴．
10．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，点在边上，．
(1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据相似三角形的判定作，即可满足题意；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）∵，
∴．
∵，，，
∴．
解得．
答：的长为3．
11．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握尺规作图的方法和题中相关几何性质与判定是解题的关键．
（1）利用尺规作图作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）利用正方形的性质证明，，再证明，得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：如答图所示即为所求．
（2）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，即，
，
，
．
12．（2025·山西·模拟预测）阅读与思考
请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务．
邻等对余四边形
在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验可对不同的几何图形进行一定的研究．
图形定义：至少有一组邻边相等，且这两邻边的夹角与对角互余的四边形叫邻等对余四边形．
概念理解：如图①，在四边形中，，，则四边形是邻等对余四边形．

性质探究：如图②，在四边形中，连接对角线，，已知，小江通过在几何画板上演示图形，发现，，之间存在数量关系：，他想通过几何的方法进行推理证明．
研究思路：在研究四边形的时候，常将四边形的问题转化为三角形的问题来研究，从而简化问题的解决过程．
推理论证：以为边，在下方作等边，连接，
∵，均为等边三角形，
∴，，
∴，
…
任务：
(1)根据邻等对余四边形的定义，下面哪组图形可能拼成一个邻等对余四边形 (填序号)；
①两个等腰三角形②两个直角三角形③两个全等三角形
(2)完成报告中剩余的证明过程；
(3)如图③，在中，，在的右侧找一点，使四边形是有两组邻边相等的邻等对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】(1)①③
(2)补充证明见解析
(3)图见解析
【分析】（1）根据邻等对余四边形的定义，进行判断，即可求解；
（2）根据全等三角形的判定与性质得出，，推得，，根据勾股定理即可证明；
（3）先作的平分线，交与点，然后做等腰直角，在的右侧作，结合三角形的外角性质可得，结合全等三角形的判定即可得出，即，即可求解．
【详解】（1）解：①当两个等腰三角形的底边相等，顶角互余时，就可以拼成一个邻等对余四边形，如图：

当，时，四边形是邻等对余四边形；故①符合题意；
②若两个直角三角形的其中一个直角边相等时，只能满足对角互余，即不能拼成一个邻等对余四边形，
若两个直角三角形的其中一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等时，只能满足邻边相等，即不能拼成一个邻等对余四边形，
故②不符合题意；
③当两个全等三角形的两组对应角之和是时，就可以拼成一个邻等对余四边形，如图：

当，时，四边形是邻等对余四边形；故③符合题意；
故答案为：①③．
（2）解：补充剩余证明过程如下：
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴．
（3）解：如图：点及四边形即为所求．

作法：如图：

①作的平分线，交与点；
②以点为圆心，的长度为半径，画弧，交的平分线于点，连接；
③在的右侧作，交的延长线于点；
④连接，则点及四边形即为所求．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，尺规作图——角平分线，作一个角等于已知角等．正确作出辅助线是解题的关键．
13．（2025·山西·三模）如图，在中，．
(1)实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)计算：若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线或尺规作角等于已知角，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键．
（1）根据尺规作线段垂直平分线或尺规作角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据题意，在中，，由勾股定理得到，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：如答图，即为所求（答案不唯一）．
作法一：尺规作线段的垂直平分线交于点，
∴，
∴；
作法二：尺规作角等于已知角；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得．
14．（2025·山西太原·一模）如图，已知在中，，点分别是的中点，连接．
(1)实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，见解析
【分析】本题考查了尺规作图----作一个角等于已知角，矩形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
（1）由作一个角等于已知角步骤即可作图；
（2）先根据得到，可得是的中位线，那么，继而可得四边形是平行四边形，再根据即可求证．
【详解】（1）解：如图，、射线、点即为所求.
（2）解：四边形是矩形.
证明：，
，
分别是的中点，
是的中位线，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形．
命题点2转化成基本作图完成作图
1．（2023·山西阳泉·一模）如图，在中，，分别是，的中点．

(1)实践与操作：利用尺规作，点在点的左侧，延长交于点；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
(2)猜想与证明：在（1）中所作图的基础上，猜想四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，作出图即可得到答案；
（2）根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理进行证明即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，为所作；
，
以为圆心，适当长为半径作弧交于，以点为圆心，以同样的长为半径画弧交于，以为圆心为半径，与后画的弧交于点，作射线，延长交于；
（2）解：四边形为平行四边形，
理由如下：
，分别是，的中点，
为的中位线，
，
，
四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，尺规作图—复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定，三角形中位线的性质，以及简单作图的相关性质，是解题的关键．
2．（2023·山西太原·一模）如图，已知，点为上一点．
(1)画，垂足为；
(2)画的平分线，交于；
(3)过点画，交于点．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）以点M为圆心适当长度为半径画弧，交于两点，作这两点间线段的垂直平分线交于点C即可；
（2）按照作角平分线的方法作的平分线，交于即可；
（3）以点D顶点，为一边作一个角等于，这个角的另一边交于点E，根据同位角相等两直线平行，得到，满足题意．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）如图，为所作．
【点睛】此题考查了角平分线、垂线、平行线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
3．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.
六等分圆原理
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为
操作步骤：
分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点；
以点为圆心，的长为半径作圆；
以的长为半径，在上顺次截取；
顺次连接，，，，，得到正六边形
任务；
(1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)，
(2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）由作图可知，可知，利用勾股定理可求，根据正六边形的性质可知是等边三角形，并且，所以可得点坐标为．
【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求；
（2）将正六边形绕点顺时针旋转，如下图所示，连接，
由作图可知，
则，
，
点的坐标为，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，，
，
正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为．
4．（2025·山西太原·一模）已知：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，
∴，
∴，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
5．（2025山西晋中模拟）学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明：
已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；
②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）；
③连接，直线即为的切线．
(1)利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）；
(2)求证：为的切线；
(3)连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理及相似三角形判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）根据题意作图即可；
（2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论；
（3）先证明，得出，再证明求出，进而求出，即可求出结论．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为圆的切线；
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴ ．
∴ ，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（3）解：设与交于点H，
由题意得即为的切线，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，即，
，
在中，，
，
，
，
．
命题点3依据作图痕迹或作法判断或计算
1．（2025山西太原·二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
根据作图痕迹可知：
选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意；
选项中，是的垂线，故选项符合题意；
选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意；
选项中，不与垂直，故选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键．
2．（2024·山西·模拟预测）已知锐角中，O是的中点，小明、小英二人想在线段上找一点P，使得为直角，其作法如图．对于小明、小英二人的作法，正确的是（ ）
小明的作法过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 小英的作法以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求
A．只有小明正确 B．只有小英正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】C
【分析】本题考查了作垂线以及圆周角定理，因为过点B作与垂直的直线，交于点P，则，结合以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则（直径所对的圆周角是直角），即可作答．
【详解】解：∵过点B作与垂直的直线，交于点P，
∴，
则小明的作法是正确的；
∵以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，
∴是的直径
则（直径所对的圆周角是直角）
∴两人都正确
故选：C
3．（2024·山西晋中·三模）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理等知识，根据作图判断，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出即可．
【详解】由作图可知垂直平分．
．
∵，
．
∵点D，E分别为，的中点，
为的中位线．
．
4．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据作图过程和线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用四边形的内角和为得到，进而求解即可．
【详解】解：由作图过程可得，直线分别是线段、的垂直平分线，且直线与交于点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，
则，
故选：D．
5．（2025山西吕梁·二模）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线l和l外一点P．
求作：过点P的直线m，使得m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图2，
（1）在直线l上任取点A，连接PA；
（2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；
（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【详解】∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
6．（2023山西大同模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P，连接交于点，点为线段上一点，连接，若，则当最小时，的面积为______．
【答案】30
【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质．根据点为线段上的一个动点，最短，则，由基本尺规作图可知，是的角平分线，根据角平分线的性质可得，证明可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：点为线段上的一个动点，最短，
，如图，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，
，
，，平分，
，
又，，
，
，
当最小时，，
故答案为：30．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】本题考查的是菱形的性质，作垂线，先证明，，可得，再结合，从而可得答案．
【详解】解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
由作图可得：，
∴，
故答案为：
8．（2025·山西大同·二模）阅读与思考
下面是某数学兴趣小组探究过直线外一点作已知直线的平行线的方法，请仔细阅读，并完成相应的任务．
已知：直线l和直线l外一点P（如图1）求作：l的平行线，使它经过点P．作法1：如图2，①在直线l上任取一点B，作射线BP；②以B为圆心，BP长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点P，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于D，作射线BD；④以点P为圆心，PB长为半径画弧，交射线BD于点E；⑤作直线PE，直线PE即为所求．作法2：如图3，①在直线l上任取一点A，作直线PA；②分别以点A和点P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于B，C两点；③作直线BC，交AP于点O，交直线l于点D；④在射线OB上截取；⑤作直线PE，则直线PE就是所求作的平行线．
任务：
(1)下面是作法1的证明过程，请将空缺的依据补充完整．
证明：由作图可知，
∴∠PBE=∠PEB（依据1：___________________________________________________）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，
∴
∴
∴PE//l（依据2：___________________________________________）
(2)根据作法2的作图过程，证明PE//l；
(3)请你用与上述两种作法不同的方法，在图4中用尺规过点P作已知直线l的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)等边对等角；内错角相等，两直线平行
(2)证明见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，等量代换可得，从而得证PE//l；
（2）连接PD，EA，证明四边形PDAE是平行四边形
（3）作过点的射线，根据同位角相等，两直线平行，作一个角等于已知角即可求解．
【详解】（1）证明：由作图可知，
∴∠PBE=∠PEB（依据1：等边对等角）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，
∴
∴
∴PE//l（依据2：内错角相等，两直线平行）
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行
（2）连接PD，EA
由作图知：BC是线段AP的垂直平分线
∴
又∵
∴四边形PDAE是平行四边形
∴PE//l
（3）作过点的射线，根据同位角相等，两直线平行，作一个角等于已知角即可求解．
如图所示，直线AP即为所求．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了作平行线，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
9．（2025山西运城模拟）已知：如图，在中，是边上一点．
求作：在边上作一点，使得．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点．
小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．．
(1)请判断小成作法是否正确，并给出理由．
(2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明．
【答案】(1)小成正确，理由见分析
(2)补全图形见详解，证明见解析
【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题．
（1）利用平行四边形的判定和性质求解；
（2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求．
【详解】（1）解：小成作法正确．
理由：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：如下图，直线即为所求．
理由：由作图可知平分，，
，，
，
．
10．（2025·山西吕梁·三模）初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出，使斜边，一条直角边．
(1)如图2是小亮所作的，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有____________；（填序号）
(2)请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个，使满足上述条件．（不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】(1)①⑤
(2)见解析
【分析】（1）如图可知，先作直线的垂线MC，垂足为C，以C为圆心以n为半径作弧，交CM于点B，再以B为圆心，以m为半径画弧，交直线于点A，△ABC即为求作的三角形；
（2）①作射线AM，②以A为圆心以m为半径画弧，交AM于点B，③分别以AB为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，并连接两交点，交AB与点O，④以O为圆心，OA为半径画圆，⑤以B为圆心，n为半径画弧，交于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求做的三角形．
【详解】（1）根据作图过程，可知用到的基本作图有过一点作已知直线的垂线．作一条线段等于已知线段，
故答案为①⑤；
（2）如图，即为所求．（作图不唯一）
【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握尺规作图基本技巧是解题的关键，另外要注意保留作图痕迹．
命题点4无刻度直尺作图或网格作图
1．（2025·山西·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
【详解】解：连接的对角线交于点，连接的对角线交于点，连接与的交点即为的中点．
点即为求作的点；
理由：中，，
，
四边形是平行四边形，
，同理，
是的中位线，
，
，
，
，
即点为的中点．
2．（2025·山西太原·一模）阅读与理解
下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题．类型一：构造特殊点问题1：求作线段的中点．思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点．思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点．问题2：求作线段的三等分点，使．．．．．．．类型二：构造特殊角问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得．．．．．．．
任务：
(1)思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________；
(2)请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）；
(3)请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）．
【答案】(1)平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案；
（2）思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求；
思路2：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求；
（3）如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求；
【详解】（1）解：思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是：
平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；
（2）解：思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求；
理由：∵，
∴，而，，
∴，
∴；
思路2：如图，取格点，且，连接，将向左平移4个单位长度至，则，此时与的交点即为，满足；
理由：由平移可得：，，，
∴，
∴；
（3）解：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求；
理由：由平移可得：，，
而，，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
【点睛】本题考查的是格点作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键.
3．（2025山西晋中·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画的中线；
(2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使；
(3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使；
(4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点；
（2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点；
（3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点；
（4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求；
∵四边形为矩形，
∴为的中点，
连接即为△ABC的中线；
（2）解：如图，连接与交于点，点即为所求；
为中点，
∴为边中线，
则与的交点为三角形的重心，
根据重心性质可知，
∴点即为所求；
（3）解：如图，连接交于，即为所求；
，
∴四边形为平行四边形，
∴，
则与交点即为点，
故即为所求；
（4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求；
∵，
∴四边形为平行四边形，
，
，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点即为所求．
【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
4．（2024·山西模拟预测）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、，，均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段．
(2)在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查了旋转作图，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）作出线段绕点顺时针旋转，得到线段，即可求解；
（2）作出线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接与交于点，即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段，即为所求；
（2）解：如图，点，即为所求；
作法：将线段绕点顺时针旋转，得到线段；连接与交于点．
理由：∵，，
∴，
即．
5．（2025·山西·三模）如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．
(1)如图①，若连接，交于点，则的值为_____；
(2)如图②，在上找一点，使（仅用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）如图，连接，证明，由相似三角形的性质可得结论；
（2）如图，取格点M，N，连接交于点Q即可，
【详解】（1）解：如图，连接，
∵如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为，
故答案为：；
（2）如图，取格点M，N，连接交于点Q，连接，
∵如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则点Q即为所作．
1．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解．
【详解】解：由作图知，平分，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：A．
2．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．
【详解】解：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明的大小关系，
∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误；
故选：D
4．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且，
∴，，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、由作图知，是的平分线，且，
∴，，不能说明与相等，
∴与不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，，
∴四边形是菱形，
∴，故本选项不符合题意；
D、由作图知，，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可．
【详解】解：如图，直线即为所求．
作，利用同位角相等，两直线平行可知．
6．如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键：
（1）根据作图可知，结合，即可得证；
（2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：由作图可知，．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得．
∴．
∴，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
∵且，
∴．
∴．
∵，设，则，即．
解得或（舍去）．
∴的长为．
7．已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求；
（2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
8．实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因为，
所以 ．
所以，
所以平分，
即点为所求点；
【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析．
【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键．
[任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证；
[实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证．
【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，，
又因为，
所以，
所以，
所以平分，
即点为所求点，
故答案为：；
[实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；
理由：连接,
由作图可知，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点为所求．
9．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段．
（1）可证，则，因，，，即．
（2）可证，则，又，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段．
如图，则，因，
∴，
∴，即．
（2）如图，即为所求作的平行线．
如图，，则，又，
∴，
∴．
10．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可．
（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可．
（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可．
【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求；
（不唯一）．
（2）解：如图②：四边形即为所求；
（不唯一）．
（3）解：如图③：四边形即为所求；
（不唯一）．
2．如图，线段、相交于点．且，于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：
（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可；
（2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
3．如图，是菱形的对角线．

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可；
（2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则．
【详解】（1）解：

（2）解：连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键．
1．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解．
【详解】解：由作图知，平分，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：A．
2．如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得．
【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意；
∴，，故B、C结论都正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
3．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________．
【答案】
【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根据勾股定理得：．
故答案为：．
4．如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长____________．（结果保留）

【答案】/
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算．
【详解】解：由作图知∶垂直平分，
扇形的半径是2，
故答案为∶．
5．如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

(1)在图①中，的面积为；
(2)在图②中，的面积为5
(3)在图③中，是面积为的钝角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点；
（3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可．
【详解】（1）解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
（3）如图所示，
作，过点作，交于格点，

由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
7．如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
8．如图，四边形中，，，为对角线．

(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，再证明，即，从而可得结论；
（2）作对角线的垂直平分线交于，交于，从而可得菱形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）如图，

四边形就是所求作的菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键．
9．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直．
(2)在图2中画一条线段平分．
【答案】(1)图见解析，（答案不唯一）
(2)图见解析，平分（答案不唯一）
【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得；
（2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得．
【详解】（1）解：如图1，线段即为所求，满足．
（2）解：如图2，线段即为所求，满足平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质画图、矩形的判定与性质画图，熟练掌握全等三角形和矩形的性质是解题关键．
10．已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以为对角线的一个菱形；
(2)在图2中作出以为边的一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形．
（2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：


（2）解：如图，菱形即为所求．
是菱形，且要求为边，
①当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，

②当为上底边的时候，作，且，向左下偏移如图所示，

③当为下底边的时候，作，且，向左上偏移如图所示，

④当为下底边的时候，作，且，向右上偏移如图所示，

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．
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