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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第七章 图形的变化
专题二 立体图形的三视图、展开与折叠
命题点1 立体图形的三视图
1．（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·山西·中考真题）如图所示的工件的主视图是【 】
A． B． C． D．
3．（2025·山西·一模）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西临汾·模拟预测）如图，空心圆柱体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西朔州·二模）太原市涌现出一批娇小可爱且绿意盎然的“口袋公园”，它们或散落、或隐藏在城市结构中，为市民服务．无论是清晨傍晚的锻炼，还是茶余饭后的散步，口袋公园都是一个好的去处．在某一个公园放置了如图所示的凳子供大家休息，它是由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山西长治·二模）如图1所示，为清代铜胎掐丝珐琅蚺龙纹镇纸（立体图），其主体为长方体底座，顶部浮雕盘曲的螭龙纹．可以近似的抽象为图2中的几何体，上半部分是空心圆柱的一半．以下四幅视图中，能正确反映该镇纸左视图的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·山西临汾·三模）如图，这种几何体古代叫“斗”，是官仓、粮栈、米行、家里必备的粮食度量用具，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西·模拟预测）如图1是一款平遥推光漆器的首饰盒，它打开后如图2所示，则图1中首饰盒的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·山西大同·三模）如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变，左视图、俯视图改变
B．左视图、俯视图不变，主视图改变
C．主视图、俯视图不变，左视图改变
D．主视图、俯视图、左视图都发生改变
10．（2025·山西长治·三模）一个长方体模具去掉一角后的图形如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·山西吕梁·二模）中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·山西吕梁·一模）如图，某数学小组的同学为了测量直立在水平面上的旗杆AB的高度，把标杆CD直立在同一水平地面上，在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为已知在同一直线上，则________．
命题点2 立体图形的展开与折叠
1．（2025·山西太原·二模）素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（ ）
A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体
2．（2025·河北张家口·模拟预测）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·广东清远·期末）郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看到的图形与从左面看到的图形相同
B．从正面看到的图形与从上面看到的图形相同
C．从左面看到的图形与从上面看到的图形相同
D．从正面、从左面、从上面看到的图形都相同
4．（2021·山西·模拟预测）如图是由六块大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，则该几何体从左面看到的形状图不可能为（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·山西忻州·模拟预测）下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·山西运城·一模）下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·山西大同·三模）在研究几何体的左视图时，某数学小组用相同的小正方体拼成如图所示的4种不相同的几何体，其中只有一个几何体的左视图与其他左视图不相同，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·山西·中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“青”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．青 B．春 C．梦 D．想
9．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是正方体的表面展开图，每一个面标有一个汉字，则与“成”相对的面上的字是（ ）
A．竖 B．持 C．卓 D．越
10．（2025·山西·三模）如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·山西长治·三模）传承千年智慧，守护非遗瑰宝，是我们每个人的责任．将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上．如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．非 B．遗 C．瑰 D．宝
12．（2025·山西忻州·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·山西晋中·二模）如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为________．
1．下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示的几何体的左视图是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________．
8．如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块．
9．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______．
10．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
1．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
2．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由．
(2)求纪念碑的高度．
(3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．3．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
1．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
9．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为_______．
10．如图，楼房和旗杆在路灯下的影子如图所示．
（1）试确定路灯灯泡的位置；
（2）再作出小树在路灯下的影子．（用线段表示，不写作法，保留作图痕迹）
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第七章 图形的变化
专题二 立体图形的三视图、展开与折叠（解析版）
命题点1 立体图形的三视图
1．（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故选：C．
2．（2025·山西·中考真题）如图所示的工件的主视图是【 】
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错选其它选项，难度适中．
3．（2025·山西·一模）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三视图的识别，左视图就是从左边看到的视图，其中能看到的边用实线表示，不能看到的用虚线表示．
【详解】解：是完整的长方形，未体现中间凹陷，错误，故选项不符合题意；
是三个小长方形的组合，不符合左视图形状，错误，故选项不符合题意；
这是主视图，故选项不符合题意；
是长方形且中间有两条水平虚线，符合左视图的特征，正确，故选项符合题意．
故选：．
4．（2025·山西临汾·模拟预测）如图，空心圆柱体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了简单组合体的三视图，检验了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
确定出几何体的主视图即可．
【详解】
解：空心圆柱体的主视图是
故选：C．
5．（2025·山西朔州·二模）太原市涌现出一批娇小可爱且绿意盎然的“口袋公园”，它们或散落、或隐藏在城市结构中，为市民服务．无论是清晨傍晚的锻炼，还是茶余饭后的散步，口袋公园都是一个好的去处．在某一个公园放置了如图所示的凳子供大家休息，它是由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上到下看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的用虚线表示．
【详解】解：由图可知，俯视图为：
故选D．
6．（2025·山西长治·二模）如图1所示，为清代铜胎掐丝珐琅蚺龙纹镇纸（立体图），其主体为长方体底座，顶部浮雕盘曲的螭龙纹．可以近似的抽象为图2中的几何体，上半部分是空心圆柱的一半．以下四幅视图中，能正确反映该镇纸左视图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左面看到的图形，据此即可得出答案．
【详解】解：由题意得，该镇纸左视图的是
故选：D．
7．（2025·山西临汾·三模）如图，这种几何体古代叫“斗”，是官仓、粮栈、米行、家里必备的粮食度量用具，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图的意义，判断解答即可．
【详解】解：“斗”的主视图的是：
故选D．
8．（2025·山西·模拟预测）如图1是一款平遥推光漆器的首饰盒，它打开后如图2所示，则图1中首饰盒的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三视图的识别，正确识别三视图是解题的关键．根据三视图的识别方法判断即可．
【详解】解：俯视图外部为正六边形，因为盒子内部有边框，所以C选项符合题意．
故选：C．
9．（2025·山西大同·三模）如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变，左视图、俯视图改变
B．左视图、俯视图不变，主视图改变
C．主视图、俯视图不变，左视图改变
D．主视图、俯视图、左视图都发生改变
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：根据图形可知，将小立方体①放到小立方体②的正上方，左视图、俯视图不变，主视图改变．
故选：B．
10．（2025·山西长治·三模）一个长方体模具去掉一角后的图形如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题关键是理解三视图的概念．
根据俯视图的概念求解．
【详解】解：俯视图是从上面看到的图形，从上面看到的图形如图所示：
，
故选：B．
11．（2025·山西吕梁·二模）中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
根据主视图定义即可求解．
【详解】
解：其主视图为：，
故选：C．
12．（2023·山西吕梁·一模）如图，某数学小组的同学为了测量直立在水平面上的旗杆AB的高度，把标杆CD直立在同一水平地面上，在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为已知在同一直线上，则________．
【答案】
【分析】根据平行投影得可得可证然后利用相似三角形的性质可得代入即可求解．
【详解】解：∵在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，证明是解题的关键．
命题点2 立体图形的展开与折叠
1．（2025·山西太原·二模）素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（ ）
A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的认识，根据常见几何体的特征结合选项，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，该作品中由几何体：棱锥，四棱柱，球体，圆柱，
则该作品中不存在的几何体是圆锥．
故选：B．
2．（2025·河北张家口·模拟预测）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据题意，分别从正面和左面看各选项中的几何体，进行判断即可．
【详解】解：A选项：从正面看到的和从左面看到的图形形状相同，故A选项符合题意；
B选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故B选项不符合题意；
C选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故C选项不符合题意；
D选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故D选项不符合题意；
故选：A．
3．（24-25七年级上·广东清远·期末）郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看到的图形与从左面看到的图形相同
B．从正面看到的图形与从上面看到的图形相同
C．从左面看到的图形与从上面看到的图形相同
D．从正面、从左面、从上面看到的图形都相同
【答案】A
【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从不同方向看到的图形解答即可．
【详解】解：由题意可知，该几何体从正面和左面看到的形状图相同．
故A符合题意，B，C，D不符合题意；
故选：A．
4．（2021·山西·模拟预测）如图是由六块大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，则该几何体从左面看到的形状图不可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用从上面看到的图形，在相应位置上摆不同的小立方体的个数，然后再画出从左面看到的图，做出选择即可．
【详解】解：用从上面看的图形，数字表示该位置上小立方体个数，
当所摆的情况如图1、图2、图3所示时，相应的左视图分别为A选项、B选项、C选项的图形，

从左视图上看，没有两列摆2层的，因此不可能是D．
故选∶ D．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，利用好从上面看的图形，在相应的位置上摆个数不同的小立方体是解题的关键．
5．（2023·山西忻州·模拟预测）下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据立体图形的特点及张开图的特点即可求解．
【详解】解：、是棱锥的侧面展开图，不符合题意；
、是圆锥的侧面展开图，符合题意；
、是圆台的侧面展开图，不符合题意；
、是圆柱的侧面展开图，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查立体图形的展开图的识别，掌握圆锥、棱锥、圆柱，圆台的特点及张开图的特点是解题的关键．
6．（2020·山西运城·一模）下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据各个选项中的主视图解答即可．
【详解】A：主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
B：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
C：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
D：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
综上所述，A选项的主视图与其余选项不同，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
7．（2025·山西大同·三模）在研究几何体的左视图时，某数学小组用相同的小正方体拼成如图所示的4种不相同的几何体，其中只有一个几何体的左视图与其他左视图不相同，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，A、B、D三个选项的左视图是一致的，只有C的左视图不一样，故可得到答案；
【详解】解：由各个选项的左视图可判定出，A、B、D的左视图都是
，
C选项的左视图是
，
故选C.
【点睛】本题考查左视图的画法，熟练掌握左视图的画法是解决本题的关键．
8．（2024·山西·中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“青”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．青 B．春 C．梦 D．想
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图可直接进行求解．
【详解】解：由正方体的展开图可得：与“青”字所在面相对的面上的汉字是梦；
故选C．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
9．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是正方体的表面展开图，每一个面标有一个汉字，则与“成”相对的面上的字是（ ）
A．竖 B．持 C．卓 D．越
【答案】D
【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法求解即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键．
【详解】解：根据正方体的表面展开图找相对面的方法可得：与“成”相对的面上的字是“越”，
故选：D．
10．（2025·山西·三模）如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥．
【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形，
∴该几何体是四棱锥，
故选：A．
11．（2025·山西长治·三模）传承千年智慧，守护非遗瑰宝，是我们每个人的责任．将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上．如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．非 B．遗 C．瑰 D．宝
【答案】A
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方形的平面展开图，还原成正方体，由空间想象能力求解即可得到答案．
熟记正方体的平面展开图，并会根据展开图还原成正方体是解决问题的关键．
【详解】解：将平面展开图还原，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是“非”，
故选A．
12．（2025·山西忻州·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”、几何体的展开图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义可得这个几何体是五棱柱，由此即可得．
【详解】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个五棱柱，
五棱柱的展开图是
故选：C．
13．（2025·山西晋中·二模）如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用，
根据剪裁方法和长方形纸板的边长可得无盖长方体纸盒的边长，从而由其体积为列方程即可求解．
【详解】解：由图可知：中间的一个正方形的边长为，
∴无盖长方体纸盒的底面一边长为：，
另一边长为，
∴
解得：，
故答案为．
1．下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意；
故选：C．
2．下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
3．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】
解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
5．下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．
【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，
因此选项A不符合题意；
B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，
因此选项B不符合题意；
C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，
因此选项C不符合题意；
D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，
因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
6．如图所示的几何体的左视图是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先观察几何体，从左边看可以发现是一个右上角有凹陷的正方体，接下来，将观察的结果与各选项对比即可选出答案．
【详解】解:从几何体的左侧看过去，有缺口的位置在右上方，
∵选项A没有表现出凹陷的部分，选项B、D凹陷部分位置不对，
∴左视图如选项C所示．
故选：C．
【点睛】本题是一道关于简单组合体的三视图的问题，解决本题的关键是正确理解视图的意义．
7．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________．
【答案】/
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设，则，
则在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴正方体的棱长为cm，
故答案为：．
8．如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块．
【答案】 12 144
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答．
【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，
的最小公倍数是6，
如图，
6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，
需图②的个数：（个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体，
用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，
此时需要：（个）．
故答案为：12；144．
9．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长，交直线于点，
由题意得：，
设，则，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和，
∴，
解得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵，
∴点H是CD的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：，
∴，解得，
∴点O、M之间的距离等于，
∵BI⊥OJ，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于，
故答案为：10，．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
1．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．
【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
2．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由．
(2)求纪念碑的高度．
(3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
【答案】(1)见解析；
(2)纪念碑的高度为．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；
（2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，
，
标杆的影子的长和标杆的长相等，即，
；
（2）解：如图，令与的交点为，
则四边形和是矩形，
，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
答：纪念碑的高度为．
（3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果．
3．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)旗杆高度为；
(3)雕塑高度为．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
1．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的体积计算，明确侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的对应关系是解题关键．
侧面展开图的宽为圆柱B的底面周长，侧面展开图的长为圆柱B的高，再根据圆的面积公式、圆柱的体积公式列式求解．
【详解】解：根据题意，
圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为，
圆柱B的底面积为，
圆柱B的体积为．
故选：C．
2．如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案．
【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻，
∴A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选：B
3．下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图．
根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择．
【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形，
故选：D．
4．下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形由此可得：
只有A是三棱柱的展开图．
故选A．
5．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得．
【详解】
解：这个几何体的主视图是，
故选：D．
6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体．
由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
由图中数据可知，圆锥的底面半径为,
∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长
故选：．
7．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解．
【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，
故选：A．
8．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意．
故选：C．
9．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为_______．
【答案】24．
【详解】挖去一个棱长为1cm的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24．
10．如图，楼房和旗杆在路灯下的影子如图所示．
（1）试确定路灯灯泡的位置；
（2）再作出小树在路灯下的影子．（用线段表示，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析
【分析】（1）根据楼和旗杆的物高与影子得到光源所在；
（2）根据光源和树的物高得影子长．
【详解】解：（1）如图所示，
（2）如图所示．
【点睛】本题考查中心投影的特点与应用，解决本题的关键是得到点光源的位置．
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