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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第七章 图形的变化
专题三 轴对称与轴对称图形
命题点1 轴对称图形与轴对称的性质
1．（2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西临汾·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西临汾·二模）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．在下列山西剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山西太原·二模）如图，在三角形纸片ABC中，，，点E是AB上一点，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点落在CA的延长线上，展开铺平．过点A作于D．若，，则BE的长为______．
9．（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，）
10．（2025·山西太原·一模）【研学实践】
“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
【数据采集】
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，．
【数据应用】
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）；
(2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
命题点2 图形的折叠
1．[2025届·山西大同·二模]如图，在矩形中，，，点E是的中点，将矩形沿折叠，点C落在点P处，延长交于点F，则的长为________.
2．[2025届·山西·模拟考试]如图，将沿矩形中过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形的对角线上，与交于点O，连接.若，，则的长为__________________.
3．[2025届·山西忻州·二模]如图，在矩形中，，，点E是的中点，将矩形沿折叠，点C落在点P处，延长交于点F，则的长为______________.
4．[2025届·山西·模拟考试]如图,正方形的边长为6,点E为的中点,连接,将正方形沿折叠,点C的对应点为G,点D的对应点为M,延长,交于点H,与交于点F,则的长为______.
5．[2024届·山西·一模]如图1,有一张矩形纸片,已知,,现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠,使点A落在边上的点E处,点F在上(如图2)；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠,使点C落在第一次的折痕上的点G处,点H在上(如图3),则的长是______.
6．[2025届·山西吕梁·二模]如图，在中，，是的中位线，P为上一点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点落在线段上，若，则的长为_____.
7．[2025届·山西太原·模拟考试联考]阅读与思考
“算两次”原理富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系.例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式.例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高.现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，N分别在，上，高与交于点E，求加工成的正方形的边长是多少厘米.思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解.方式一：.方式二：.解析：设正方形的边长为，则.∵四边形是正方形，∴.∵，∴四边形是矩形.∴.∴.……
任务：
(1)例1中得到的乘法公式是__________（用含a，b的式子表示）.
(2)请将例2中的剩余过程补充完整.
(3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题.如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点E，连接.若，则点O到的距离为____________.
8．[2024届·山西忻州·模拟考试联考]综合与实践
【问题情境】
如图,在中,,.
(1)如图1,若点D在边上,.将沿所在直线折叠,点C的对应点为点E.试猜想四边形的形状并加以证明.
【数学思考】
(2)如图2,勤学小组受此问题启发,将沿过点A的直线折叠,点C的对应点为点N,且点N恰好落在边上.若,,求的长.
【问题解决】
(3)如图3,善思小组突发奇想,将沿过点A的直线折叠,若,,,直接写出的长.
9．[2025届·山西大同·二模]如图，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕﹐同时得到线段，.观察所得的线段，若，则的长为( )
A. B.1 C. D.2
10．[2025届·山西阳泉·一模]如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处.若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
1．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则__________.
2．如图，在矩形纸片中，，把该矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，则的值为________
3．如图，长方形纸片，，，将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处，点C落到点G处，折痕交边，于点E，F，若，则的长为________________.
4．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则________.
5．如图，平行四边形中以点D为圆心，适当长为半径作弧，交、于E、F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，与交于点G，若，，则的长为_____________.
6．如图，已知在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点B的对应点E落在矩形的边上，则折痕的长为________.
7．如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为__________.
8．如图，在正方形纸片中，，点E是边的中点.将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么__________.
9．如图，在边长为4的正方形中，P是上一动点（不含B，C两点），将沿直线翻折，点B落在点E处；在上有一点M.使得将沿直线翻折后，点C落在直线上的点F处，直线交于点N，连接，.则以下结论中错误的是( )
10．如图，在矩形中，点E、F分别在、上，将沿折叠，使点B落在上的点处，又将沿折叠，使点C落在射线与的交点处，则的值( )
A.2 B. C. D.
1．综合与探究
问题情境：如图,在纸片中,,点D在边上,.沿过点D的直线折叠该纸片,使的对应线段与平行,且折痕与边交于点E,得到,然后展平.
猜想证明：(1)判断四边的形状,并说明理由
拓展延伸：(2)如图,继续沿过点D的直线折叠该纸片,使点A的对应点落在射线上,且折痕与边交于点F,然后展平.连接交边于点G,连接.
①若,判断与的位置关系,并说明理由；
②若,,,当是以为腰的等腰三角形时,请直接写出的长.
2．综合与探究
问题情境：
在正方形中，E是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点B的对应点落在正方形内.
猜想证明：
（1）如图1，连接并延长，交边于点F.求证：.
（2）如图2，当E是边的中点时，连接并延长，交边于点H，将沿直线翻折，点D恰好落在直线上的点处，交于点M，交于点N试判断四边形的形状，并说明理由.
问题解决：
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积.
3．阅读与思考
下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务.
关于“勾股四边形”的研究报告善思小组研究对象：勾股四边形.研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究.定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形.证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形.【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形.证明：以为边作等边三角形，连接.……
任务：
(1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是__（从下列选项中选出两个即可）；
A.矩形；B.等腰梯形；C.直角梯形；D.平行四边形
(2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程；
(3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系.
1．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部），连接并延长交于点K.若，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
2．传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3．下列交通标志中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4．如图,在四边形中,,点E在四边形内,,于点F,将沿翻折,点B恰好与点E重合,延长交折痕的延长线于点H,,则点B到直线的距离为___________.
5．如图,正方形纸片中,E是上一点,将纸片沿过点E的直线折叠,使点A落在上的点G处,点B落在点H处,折痕交于点F.若,,则______.
6．如图,将三角形纸片折叠,使点A落在边上的点D处,折痕为.若的面积为8,的面积为5,则______.
7．如图，在矩形纸片中，，，E为边的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，点D的对应点为，连接.若，则______.
8．【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后,在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习.
【探究感悟】
如图①,小明在边上取点E(E不与A,B重合),连接,将沿翻折,使得点A的对应点恰好落到对角线上.则此时线段的长是____________；
【深入探究】
小明继续将沿翻折,发现：,B,C三点能构成等腰三角形.请求出此时线段的长；
【拓展延伸】
如图②,小明又在边上取点F(F不与C,D重合),并将四边形沿翻折,使得点A的对应点恰好落在边上.记(为D的对应点)与的交点为G,连接,小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值.请求出此时线段的长.
9．如图,点E是正方形的边的中点,连接,将沿所在直线折叠,点C落在点F处,连接并延长交于点G,连接.
(1)求证：；
(2)若,求的长.
10．宽与长的比是(约为)的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片,长.如图1,折叠纸片,点B落在上的点E处,折痕为,连接,然后将纸片展开.
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2,点G为的中点,连接,折叠纸片,点B落在上的点H处,折痕为,过点P作于点Q.四边形是否为黄金矩形？如果是,请证明：如果不是,请说明理由.
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第七章 图形的变化
专题三 轴对称与轴对称图形（解析版）
命题点1 轴对称图形与轴对称的性质
1．（2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念知，C选项中文字上方的图案是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，理解此概念是关键．
2．（2024·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
3．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
4．（2025·山西临汾·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．正确掌握相关定义是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
5．（2025·山西临汾·二模）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．在下列山西剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此解答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
6．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由反射性质可知，，
，
，则，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长与交于点，
由反射定理可得，
，，
，
，
，
，
即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是，
故选：D．
8．（2023·山西太原·二模）如图，在三角形纸片ABC中，，，点E是AB上一点，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点落在CA的延长线上，展开铺平．过点A作于D．若，，则BE的长为______．
【答案】
【分析】连接，过点B作于F；由题意易得，由折叠的性质可得平分，则可得，有，，设，则可分别表示，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，由勾股定理可求得，最后由勾股定理求得的长．
【详解】解：连接，过点B作于F，如图，
由折叠性质：，，，
∴，
∴，
即，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：；
∴，，
在中，由勾股定理可求得，
∵，，
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的难度，关键是构造辅助线及证明平分．
9．（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，以及轴对称的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
连接交于点，过点作于点，过点作于点．由轴对称的性质可得，求出，在Rt中，求出，在中，求出，根据求出，然后根据三点共线时，取得最小值即可求解．
【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点．
由题意可知四边形和四边形是矩形．
．
由轴对称的性质可得．
，
．
．
，
，
．
在Rt中，，
．
在中，，
．
，
．
解得．
．
当点运动到点处时，
即三点共线时，取得最小值，
即．
答：连杆的最小值是．
10．（2025·山西太原·一模）【研学实践】
“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
【数据采集】
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，．
【数据应用】
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）；
(2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由对称的性质可得，，，解直角三角形得出，即可得解；
（2）作于，四边形为矩形，得出，解直角三角形得出，分别求出和时的值，作差即可得解．
【详解】（1）解：由对称的性质可得，，，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：如图，作于，
，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
当时，，
当时，，
∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度为．
命题点2 图形的折叠
1．[2025届·山西大同·二模]如图，在矩形中，，，点E是的中点，将矩形沿折叠，点C落在点P处，延长交于点F，则的长为________.
答案：
解析：如图，过点P作于点G，
连接交于点H，则.
四边形是矩形，
，.
.
点E是的中点，
.
由折叠，可知，.
.
.
.
.
.
设，则
.
在中，由勾股定理，得，即.
解得，（不合题意，舍去）.
，.
，
.
.
，即.
.
2．[2025届·山西·模拟考试]如图，将沿矩形中过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形的对角线上，与交于点O，连接.若，，则的长为__________________.
答案：
解析：在矩形中，，，
，
由折叠的性质可知，，
，
.
，
，
，即，
，
.
故答案为：.
3．[2025届·山西忻州·二模]如图，在矩形中，，，点E是的中点，将矩形沿折叠，点C落在点P处，延长交于点F，则的长为______________.
答案：
解析：如图，过点P作于点G，连接交于点H，则.
四边形是矩形，
.
.
点是的中点，
.
由折叠，可知.
.
.
.
.
.
设，则
.
在中，由勾股定理，得，即.
解得（不合题意，舍去）.
.
，
.
.
，即.
.
4．[2025届·山西·模拟考试]如图,正方形的边长为6,点E为的中点,连接,将正方形沿折叠,点C的对应点为G,点D的对应点为M,延长,交于点H,与交于点F,则的长为______.
答案：
解析：如图：连接,
∵正方形的边长为6,点E为的中点,
∴,,,
由折叠的性质可得：,,,,
在和中,
,
∴,
∴,
设,则,,
由勾股定理可得：,
∴,
解得：,
∴,,,
∵,,
∴,
∴,即,
∴,
故答案为：.
5．[2024届·山西·一模]如图1,有一张矩形纸片,已知,,现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠,使点A落在边上的点E处,点F在上(如图2)；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠,使点C落在第一次的折痕上的点G处,点H在上(如图3),则的长是______.
答案：5
解析：如图,过点G作,分别交AD、BC于点M、N,
∵四边形ABCD为矩形,
∴,,
∵,,
∴四边形ABEF为正方形,
∴,
∵,
∴和为等腰直角三角形,且,
设,则,,,
又由折叠的可知,
在中,由勾股定理可得,
即,解得(舍去),
∴,,,
又,
∴,
∴,且,
∴,
∴,即,
∴,,
故答案为：5.
6．[2025届·山西吕梁·二模]如图，在中，，是的中位线，P为上一点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点落在线段上，若，则的长为_____.
答案：
解析：是的中位线，
，，
，，
∴，
，
，.
如图，过点A作，交的延长线于点M.
则，又，
∴，
，
.
由折叠的性质可知，，
在中，由勾股定理得
.
，
.
，
，
，
，
，即，
解得.
故答案为：.
7．[2025届·山西太原·模拟考试联考]阅读与思考
“算两次”原理富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系.例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式.例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高.现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，N分别在，上，高与交于点E，求加工成的正方形的边长是多少厘米.思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解.方式一：.方式二：.解析：设正方形的边长为，则.∵四边形是正方形，∴.∵，∴四边形是矩形.∴.∴.……
任务：
(1)例1中得到的乘法公式是__________（用含a，b的式子表示）.
(2)请将例2中的剩余过程补充完整.
(3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题.如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点E，连接.若，则点O到的距离为____________.
答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：将其看成一个大正方形则面积为，
将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为，
；
故答案为：.
(2)，
，
，
，
，
，
解得，
正方形的边长为.
(3)作于点H，作于点G，如图所示，
四边形是平行四边形，，，
，，
将纸片沿折叠，点C的对应点为点E，
，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
在中，，
，
，
又在中，，
，
，
又，，
，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
设点O到的距离为h，
，
.
故答案为：.
8．[2024届·山西忻州·模拟考试联考]综合与实践
【问题情境】
如图,在中,,.
(1)如图1,若点D在边上,.将沿所在直线折叠,点C的对应点为点E.试猜想四边形的形状并加以证明.
【数学思考】
(2)如图2,勤学小组受此问题启发,将沿过点A的直线折叠,点C的对应点为点N,且点N恰好落在边上.若,,求的长.
【问题解决】
(3)如图3,善思小组突发奇想,将沿过点A的直线折叠,若,,,直接写出的长.
答案：(1)正方形,理由见解析;
(2)的长为;
(3)50
解析：(1)四边形是正方形.
证明:,,
,
即,.
由折叠的性质知,,
,
四边形是菱形.
,
菱形是正方形.
(2)在中,,,,
由勾股定理得,
由折叠可知,,,
设,则,
在中,,
,
即,解得,
的长为.
(3)在,,,,
.
如图,过点M作于点N,则,
在中,,
.
,,
,
,
.
在中,由勾股定理得,
即,
解得,(不合题意,舍去),
的长为50.
9．[2025届·山西大同·二模]如图，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕﹐同时得到线段，.观察所得的线段，若，则的长为( )
A. B.1 C. D.2
答案：C
解析：根据折叠的性质可知：，，，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C.
10．[2025届·山西阳泉·一模]如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处.若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵四边形为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确.
故选：C.
1．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则__________.
答案：
解析：过点F作于点G，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：.
2．如图，在矩形纸片中，，把该矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，则的值为________
答案：
解析：过点D作于点F，过点E作于点H，如图，
∵在矩形纸片中，，
∴设，则，
∴，
由折叠，得，，，
∵，
∴，解得，
∴ ，
同理可得：，从而得；
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
故答案为：.
3．如图，长方形纸片，，，将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处，点C落到点G处，折痕交边，于点E，F，若，则的长为________________.
答案：3.5
解析：如图，过点E作于点P，则，，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴.
故答案为：3.5
4．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则________.
答案：
解析：四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴，，，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即.
故答案为：.
5．如图，平行四边形中以点D为圆心，适当长为半径作弧，交、于E、F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，与交于点G，若，，则的长为_____________.
答案：2
解析：由作图过程可知，平分，
，
四边形为平行四边形， ，，
，，，
，
，
，
.
故答案为：2.
6．如图，已知在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点B的对应点E落在矩形的边上，则折痕的长为________.
答案：或
解析：(1)如图1，沿将折叠，使点B的对应点E落在矩形的边上的点，
由折叠得：是正方形，此时：，
(2)如图2，沿，将折叠，使点B的对应点E落在矩形的边上的点，
由折叠得：，
在中，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
在中，由勾股定理得：，
折痕长为：或.
7．如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为__________.
答案：
解析：如图所示，连接交于G，过点F作于点H，
则四边形，四边形是矩形，
∴，，，
∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为，即四边形与四边形的面积比为，
∴，
设，则，则，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴
在中，，
即
解得：，即，
故答案为：.
8．如图，在正方形纸片中，，点E是边的中点.将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么__________.
答案：
解析：∵是正方形，，
∴，，
又∵点E是边的中点，
∴，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
9．如图，在边长为4的正方形中，P是上一动点（不含B，C两点），将沿直线翻折，点B落在点E处；在上有一点M.使得将沿直线翻折后，点C落在直线上的点F处，直线交于点N，连接，.则以下结论中错误的是( )
A.线段长度的最小值为5
B.四边形的面积最大值为10
C.当时，
D.当P为中点时，是线段的垂直平分线
答案：D
解析：∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，
由翻折的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，，
∴当时，最大，最大值为1，此时最小，最小值为3，
由勾股定理得，，
∴线段长度的最小值为5，A正确，故不符合题意；
∵，
∴当最大时，四边形的面积最大，最大值为，B正确，故不符合题意；
由折叠的性质可知，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，C正确，故不符合题意；
当P为中点时，则，
由③可知，，，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，即E不是的中点，
∴不是线段的垂直平分线，D错误，故符合题意；
故选：D.
10．如图，在矩形中，点E、F分别在、上，将沿折叠，使点B落在上的点处，又将沿折叠，使点C落在射线与的交点处，则的值( )
A.2 B. C. D.
答案：D
解析：连接
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
在中，.
故选D.
1．综合与探究
问题情境：如图,在纸片中,,点D在边上,.沿过点D的直线折叠该纸片,使的对应线段与平行,且折痕与边交于点E,得到,然后展平.
猜想证明：(1)判断四边的形状,并说明理由
拓展延伸：(2)如图,继续沿过点D的直线折叠该纸片,使点A的对应点落在射线上,且折痕与边交于点F,然后展平.连接交边于点G,连接.
①若,判断与的位置关系,并说明理由；
②若,,,当是以为腰的等腰三角形时,请直接写出的长.
答案：(1)四边形是菱形,理由见解析
(2)①.理由见解析；②5或
解析：(1)四边形是菱形,理由如下：
由折叠的性质可得,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是菱形；
(2)证明：①,理由如下：
由(1)知四边形是菱形,
∴,
由折叠的性质得到,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴；
②∵,,,
∴,
当是以为腰为底的等腰三角形时,如图,延长交于点H,设,交点为M,则,
∵,,
∴,
∴,
由折叠的性质得,,,
∴,
∴；
∵,
∴；
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,,
设,,,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得：,
∴；
当是以为腰为底的等腰三角形时,如图,则,
同理得,,,,
设,,,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
∵是以为腰为底的等腰三角形,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得：,
∴；
综上,的长为5或.
2．综合与探究
问题情境：
在正方形中，E是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点B的对应点落在正方形内.
猜想证明：
（1）如图1，连接并延长，交边于点F.求证：.
（2）如图2，当E是边的中点时，连接并延长，交边于点H，将沿直线翻折，点D恰好落在直线上的点处，交于点M，交于点N试判断四边形的形状，并说明理由.
问题解决：
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积.
答案：（1）见解析；
（2）四边形是矩形；理由见解析；
（3）
解析：（1）证明：如图，设和相交于点O，
四边形是正方形，
，，
，
由折叠可知，垂直平分，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）四边形是矩形；理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
E是边的中点，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（3）连接交于点G，如图2，
四边形是正方形，
，
E是边的中点，
，
由（2）得，，，
，，
，
，
由折叠可知：，
，
，
在和中，
，
，
同理可证，，
，
，，
，
，
，
，
由折叠可知：，，
，，
、，
、，
解得、，
、，
，
四边形的面积为.
3．阅读与思考
下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务.
关于“勾股四边形”的研究报告善思小组研究对象：勾股四边形.研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究.定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形.证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形.【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形.证明：以为边作等边三角形，连接.……
任务：
(1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是__（从下列选项中选出两个即可）；
A.矩形；B.等腰梯形；C.直角梯形；D.平行四边形
(2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程；
(3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系.
答案：(1)
(2)补全一般研究中的探究过程见解析
(3)
解析：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
A、如图所示：
，
矩形是勾股四边形，符合题意；
B、如图所示：
等腰梯形的任意两条邻边都不垂直，
等腰梯形不是勾股四边形，不符合题意；
C、如图所示：
，
直角梯形是勾股四边形，符合题意；
D、如图所示：
平行四边形的任意两条邻边都不垂直，
平行四边形不是勾股四边形，不符合题意；
故选：；
(2)补全一般研究中的探究过程如下：
证明：以为边作等边三角形，连接，如图所示：
，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
在和中，
，
，
，
由勾股四边形定义可知，邻边平方和等于对角线的平方，故四边形为勾股四边形；
(3)以点B为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示：
，，
，由勾股定理可得，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，，
，则，
，
在和中，
，
，
,
，即，
故线段的关系是.
1．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部），连接并延长交于点K.若，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：连接，设交于点H，正方形边长为，
由作图知，，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
2．传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B.
3．下列交通标志中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A.不是轴对称图形,不合题意；
B.不是轴对称图形,不合题意；
C.是轴对称图形,符合题意；
D.不是轴对称图形,不合题意；
故选：C.
4．如图,在四边形中,,点E在四边形内,,于点F,将沿翻折,点B恰好与点E重合,延长交折痕的延长线于点H,,则点B到直线的距离为___________.
答案：/
解析：过点C作,交的延长线于K,过点B作于Q,如图,
将沿翻折,点B恰好与点E重合,
,
,
四边形是矩形,
,
,
即,
,
,
,
,
,
四边形是正方形,
,
,
在中,,
,
,
,
即,
,
,
,
,
,
,
,
则点B到直线的距离为.
故答案为：.
5．如图,正方形纸片中,E是上一点,将纸片沿过点E的直线折叠,使点A落在上的点G处,点B落在点H处,折痕交于点F.若,,则______.
答案：/
解析：如图,连接交于点M,过点F作,垂足为N,
则,
∵正方形,
∴,,
∴四边形是矩形,
∴,
由折叠可知,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵
∴,
设正方形边长为x,则,
∵,
∴,
在中,,即
解得：或(不合题意舍去)
∴.
故答案为：.
6．如图,将三角形纸片折叠,使点A落在边上的点D处,折痕为.若的面积为8,的面积为5,则______.
答案：
解析：∵的面积为8,的面积为5,
∴的面积为,
由折叠可得：的面积为3,
∴的面积为,
∴,
故答案为：
7．如图，在矩形纸片中，，，E为边的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，点D的对应点为，连接.若，则______.
答案：/
解析：如图：连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，，E为边的中点，，
∴，，
∵将沿翻折，点D的对应点为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，
设，则，，
∴，，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
8．【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后,在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习.
【探究感悟】
如图①,小明在边上取点E(E不与A,B重合),连接,将沿翻折,使得点A的对应点恰好落到对角线上.则此时线段的长是____________；
【深入探究】
小明继续将沿翻折,发现：,B,C三点能构成等腰三角形.请求出此时线段的长；
【拓展延伸】
如图②,小明又在边上取点F(F不与C,D重合),并将四边形沿翻折,使得点A的对应点恰好落在边上.记(为D的对应点)与的交点为G,连接,小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值.请求出此时线段的长.
答案：(1)
(2)或
(3)
解析：(1)∵正方形,边长为4,
∴,,,
∴,
∵翻折,
∴,,
∴,,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴；
(2)当时,如图,作于点F,延长交于点G,
则：四边形为矩形,
∴,,
∵,
∴,
又∵折叠,
∴,,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∵,
∴,,
∴,,
∴,
在中,,
∵,
∴,
∴；
②当时,如图：作于点F,延长交于点G,作于点H,则：,四边形为矩形,四边形为矩形,
∴,,,
∴,
在中,,
∴,
∴,,
∴,,
在中,,
∴；
综上：或；
(3)连接,,交于点O,作,则：四边形为矩形,
∴,,
∵折叠,
∴,,,,,
∴,,
∴,
又∵,,
∴,
∴,
∴,
作点A关于的对称点,连接,连接交于点M,则：,,
∴,
∴当点在上时,即点与点M重合时,,值最小；
如图：
∵,,,
∴,
∴,
∴为的中点,
∴,
设,则：,
在中,由勾股定理,得：,
解得,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,即：,
∴.
9．如图,点E是正方形的边的中点,连接,将沿所在直线折叠,点C落在点F处,连接并延长交于点G,连接.
(1)求证：；
(2)若,求的长.
答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵四边形是正方形
∴,,
由折叠可得,,
∴,,
∴在和中
∴；
(2)∵,点E是的中点,
∴,
由折叠得到,
∵,
∴
设,则,
∵在中,,
∴
解得
∴.
10．宽与长的比是(约为)的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片,长.如图1,折叠纸片,点B落在上的点E处,折痕为,连接,然后将纸片展开.
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2,点G为的中点,连接,折叠纸片,点B落在上的点H处,折痕为,过点P作于点Q.四边形是否为黄金矩形？如果是,请证明：如果不是,请说明理由.
答案：(1)2
(2)证明见解析
(3)四边形是黄金矩形.证明见解析
解析：(1)∵,矩形是黄金矩形,
∴,
∴；
(2)证明：∵折叠黄金矩形纸片,点B落在上的点E处,
∴,,
又∵四边形是矩形,
∴,,,
∴,
∴四边形是矩形,
∵,
∴四边形是正方形；
∴,
由(1)可知,,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,
∴,
∴四边形是黄金矩形.
(3)四边形是黄金矩形,证明如下：
∵,四边形是正方形,
∴,
∴四边形是矩形；
由(2)可知,,
∵G为的中点,
∴,
∴,
如图,连接,由对折可得：,,,
设,则,
∵
∴,
解得：,
∴,
∴,
∴四边形是黄金矩形.
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