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7.3第1课时 平行线的判—数学北师大版八年级上册
1．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是（　　）
A．120° B．100° C．80° D．60°
2．我们可以用如图所示的两个相同的三角板作出直线a∥b，其中的道理是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
3．如图，直线a，b被直线c所截，则能使直线a∥b 的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠2＋∠3＝180° D．∠1＋∠2＝180°
4．（2023六下·牟平期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，E是BC延长线上一点，请添加一个你认为恰当的条件：　 　，使AD∥BC.
6．小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，则当∠ECB＝　 　时，DE∥BC.

7．阅读下面的解答过程，并填空.
如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.求证：CE∥DF.
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠　 　，
∠ECB＝∠　 　（角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）.
∴CE∥DF（　 　）.
8．如图，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC.求证：AD∥BC.
9．如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°.其中一定能得到AD∥BC的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
10．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后测得∠1＋∠2＝180°
11．（2024七下·东明月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A． B． C． D．
12．一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中点A位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB.
13．如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？为什么？
14．如图，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，∠CDE＝130°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】∵∠1与∠2是同位角，
∴要使a∥b，只需∠1=∠2即可，
∵ ∠1＝120°，
∴∠=120°.
故答案为：A.
【分析】根据图像判断两角的位置关系（如同位角、内错角或同旁内角），并应用相应的平行线判定定理。
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】
如图，∵三角板相同，
∴∠1=∠2，
∴ a∥b （ 内错角相等，两直线平行 ），
故答案为：B.
【分析】 根据三角板相同，可能构造出相等的角（如同位角、内错角或同旁内角），需根据选项判断具体对应定理。
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定；邻补角；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】
A选项，∵∠1=∠2，又∠1+∠2=180°，∴∠1=∠2=90°，但∠1与∠2为邻补角，故不能判断直线a∥b ；
B选项，∵∠2＝∠3，∴∠2+∠4=180°，∴∠3+∠4=180°，但∠2与∠3不是同旁内角，故不能判断直线a∥b ；
C选项，∵ ∠2＋∠3＝180° ，又∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4，∴a∥b （同位角相等，两直线平行）；
D选项， ∠1＋∠2＝180° ，但∠1与∠2为邻补角，故不能判断直线a∥b ；
故答案为：C.
【分析】 根据各选项中角的位置关系，判断是否能推出直线a与b平行。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
5．【答案】∠A＋∠B＝180°（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据同旁内角互补，两直线平行，可以添加∠A＋∠B＝180°或∠D＋∠BCD＝180°；
根据内错角相等，两直线平行，可以添加∠D=∠DCE.
故答案为：∠A＋∠B＝180°（∠D＋∠BCD＝180°或∠D=∠DCE）.（答案不唯一）
【分析】 根据平行线的判定定理（如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），需结合图形结构分析可能的条件。
6．【答案】30°
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】根据三角板特性知：∠E=30°，
又∠E与 ∠ECB 是内错角，
∴当 ∠ECB＝∠E=30°时，DE∥BC.
故答案为：30°.
【分析】 本题需要利用平行线的判定条件，结合三角板的角度特性求解。
7．【答案】ABC；ACB；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行
【知识点】角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ECB（等量代换）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠ECB＝∠F（等量代换）.
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行 ）.
故答案为：ABC；ACB；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行.
【分析】根据角平分线及等量代换得到∠ECB＝∠F，从而得到CE∥DF.
8．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABD＝∠D，
∴∠CBD＝∠D.
∴AD∥BC.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据角平分线的性质知∠ABD＝∠CBD，结合已知条件得∠CBD＝∠D，再根据“ 内错角相等，两直线平行 ”证明AD∥BC.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】 ∠1和∠2是直线AB与CD被某条截线所截形成的内错角，则∠1=∠2可推出AB∥CD。但题目要求的是AD∥BC，因此条件①无法直接推导出AD∥BC，排除① ； ∠3和∠4是直线AD与BC被截线所截形成的内错角，则∠3=∠4可直接推出AD∥BC（内错角相等，两直线平行），因此条件②成立； ∠C和∠5是直线AD与BC被截线（如DC）所截形成的内错角，则∠C=∠5可推出AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行），因此条件③成立； ∠A和∠ADC是直线AB与CD被截线AD所截形成的同旁内角，则它们的和为180°时，可推出AB∥CD。但题目要求的是AD∥BC，因此条件④无法直接推导出AD∥BC，排除④；
综上所述， ②③ 能得到AD∥BC .
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），逐一分析每个条件是否符合条件，进而确定正确选项。
10．【答案】C
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】 ∠1和∠2为内错角（位于AB两侧且在a、b之间），则∠1=∠2可判定a∥b，因此选项A能判断平行； ∠1和∠2为同位角，∠3和∠4为另一组同位角 ， 若折叠导致∠1=∠2=∠3=∠4=90°（直角），则a、b垂直于AB，故a，b平行。因此选项B可能判断平行；折叠后，∠1和∠2是同旁内角，其相等无法直接推导出a∥b； 折叠后，∠1和∠2为同旁内角，且和为180°，则根据定理可判定a∥b，因此选项D能判断平行 .
故答案为：C.
【分析】先识别角是否为内错角、同位角或同旁内角， 根据平行线的判定定理，分析各选项中角的位置关系，判断是否能确定边a、b平行.
11．【答案】C
【知识点】平行线的判定
12．【答案】30°或150°
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；分类讨论
【解析】【解答】解：
如图1，当∠BAD=∠D=30°时， CD∥AB （内错角相等，两直线平行）；
如图2，当∠BAD+∠D=180°时， CD∥AB （同旁内角互补，两直线平行），此时∠BAD=180°-∠D=150°；
故答案为：30°或150°.
【分析】 考虑不同角度的叠加情况 ， 分情况讨论平行条件下的角度关系 .
13．【答案】解：AB∥CD，BC∥DE.
理由如下：
∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1（对顶角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代换）.
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC＋∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
∵∠2＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质）.
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D（等量代换），
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】对顶角及其性质；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】 根据题目给出的角度，结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），分析各角之间的关系即可得出结论.
14．【答案】解：AB∥DE.
理由如下：
如图，过点C作FG∥AB，
则∠GCB＝∠ABC＝80°.
∵∠BCD＝30°，
∴∠DCG＝∠GCB－∠BCD＝80°－30°＝50°.
又∵∠CDE＝130°，
∴∠DCG＋∠CDE＝180°.
∴DE∥FG.
∴AB∥DE.
【知识点】平行线的判定；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【分析】构建平行线，根据平行线性质得∠GCB＝∠ABC，结合题意可得∠DCG＋∠CDE＝180°，从而得DE∥FG，再根据平行线的传递性知AB∥DE.
1 / 17.3第1课时 平行线的判—数学北师大版八年级上册
1．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是（　　）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【答案】A
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】∵∠1与∠2是同位角，
∴要使a∥b，只需∠1=∠2即可，
∵ ∠1＝120°，
∴∠=120°.
故答案为：A.
【分析】根据图像判断两角的位置关系（如同位角、内错角或同旁内角），并应用相应的平行线判定定理。
2．我们可以用如图所示的两个相同的三角板作出直线a∥b，其中的道理是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】
如图，∵三角板相同，
∴∠1=∠2，
∴ a∥b （ 内错角相等，两直线平行 ），
故答案为：B.
【分析】 根据三角板相同，可能构造出相等的角（如同位角、内错角或同旁内角），需根据选项判断具体对应定理。
3．如图，直线a，b被直线c所截，则能使直线a∥b 的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠2＋∠3＝180° D．∠1＋∠2＝180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定；邻补角；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】
A选项，∵∠1=∠2，又∠1+∠2=180°，∴∠1=∠2=90°，但∠1与∠2为邻补角，故不能判断直线a∥b ；
B选项，∵∠2＝∠3，∴∠2+∠4=180°，∴∠3+∠4=180°，但∠2与∠3不是同旁内角，故不能判断直线a∥b ；
C选项，∵ ∠2＋∠3＝180° ，又∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4，∴a∥b （同位角相等，两直线平行）；
D选项， ∠1＋∠2＝180° ，但∠1与∠2为邻补角，故不能判断直线a∥b ；
故答案为：C.
【分析】 根据各选项中角的位置关系，判断是否能推出直线a与b平行。
4．（2023六下·牟平期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
5．如图，E是BC延长线上一点，请添加一个你认为恰当的条件：　 　，使AD∥BC.
【答案】∠A＋∠B＝180°（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据同旁内角互补，两直线平行，可以添加∠A＋∠B＝180°或∠D＋∠BCD＝180°；
根据内错角相等，两直线平行，可以添加∠D=∠DCE.
故答案为：∠A＋∠B＝180°（∠D＋∠BCD＝180°或∠D=∠DCE）.（答案不唯一）
【分析】 根据平行线的判定定理（如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），需结合图形结构分析可能的条件。
6．小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，则当∠ECB＝　 　时，DE∥BC.

【答案】30°
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】根据三角板特性知：∠E=30°，
又∠E与 ∠ECB 是内错角，
∴当 ∠ECB＝∠E=30°时，DE∥BC.
故答案为：30°.
【分析】 本题需要利用平行线的判定条件，结合三角板的角度特性求解。
7．阅读下面的解答过程，并填空.
如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.求证：CE∥DF.
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠　 　，
∠ECB＝∠　 　（角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）.
∴CE∥DF（　 　）.
【答案】ABC；ACB；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行
【知识点】角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ECB（等量代换）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠ECB＝∠F（等量代换）.
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行 ）.
故答案为：ABC；ACB；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行.
【分析】根据角平分线及等量代换得到∠ECB＝∠F，从而得到CE∥DF.
8．如图，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC.求证：AD∥BC.
【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABD＝∠D，
∴∠CBD＝∠D.
∴AD∥BC.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据角平分线的性质知∠ABD＝∠CBD，结合已知条件得∠CBD＝∠D，再根据“ 内错角相等，两直线平行 ”证明AD∥BC.
9．如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°.其中一定能得到AD∥BC的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】 ∠1和∠2是直线AB与CD被某条截线所截形成的内错角，则∠1=∠2可推出AB∥CD。但题目要求的是AD∥BC，因此条件①无法直接推导出AD∥BC，排除① ； ∠3和∠4是直线AD与BC被截线所截形成的内错角，则∠3=∠4可直接推出AD∥BC（内错角相等，两直线平行），因此条件②成立； ∠C和∠5是直线AD与BC被截线（如DC）所截形成的内错角，则∠C=∠5可推出AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行），因此条件③成立； ∠A和∠ADC是直线AB与CD被截线AD所截形成的同旁内角，则它们的和为180°时，可推出AB∥CD。但题目要求的是AD∥BC，因此条件④无法直接推导出AD∥BC，排除④；
综上所述， ②③ 能得到AD∥BC .
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），逐一分析每个条件是否符合条件，进而确定正确选项。
10．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后测得∠1＋∠2＝180°
【答案】C
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】 ∠1和∠2为内错角（位于AB两侧且在a、b之间），则∠1=∠2可判定a∥b，因此选项A能判断平行； ∠1和∠2为同位角，∠3和∠4为另一组同位角 ， 若折叠导致∠1=∠2=∠3=∠4=90°（直角），则a、b垂直于AB，故a，b平行。因此选项B可能判断平行；折叠后，∠1和∠2是同旁内角，其相等无法直接推导出a∥b； 折叠后，∠1和∠2为同旁内角，且和为180°，则根据定理可判定a∥b，因此选项D能判断平行 .
故答案为：C.
【分析】先识别角是否为内错角、同位角或同旁内角， 根据平行线的判定定理，分析各选项中角的位置关系，判断是否能确定边a、b平行.
11．（2024七下·东明月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
12．一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中点A位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB.
【答案】30°或150°
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；分类讨论
【解析】【解答】解：
如图1，当∠BAD=∠D=30°时， CD∥AB （内错角相等，两直线平行）；
如图2，当∠BAD+∠D=180°时， CD∥AB （同旁内角互补，两直线平行），此时∠BAD=180°-∠D=150°；
故答案为：30°或150°.
【分析】 考虑不同角度的叠加情况 ， 分情况讨论平行条件下的角度关系 .
13．如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？为什么？
【答案】解：AB∥CD，BC∥DE.
理由如下：
∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1（对顶角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代换）.
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC＋∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
∵∠2＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质）.
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D（等量代换），
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】对顶角及其性质；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】 根据题目给出的角度，结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），分析各角之间的关系即可得出结论.
14．如图，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，∠CDE＝130°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AB∥DE.
理由如下：
如图，过点C作FG∥AB，
则∠GCB＝∠ABC＝80°.
∵∠BCD＝30°，
∴∠DCG＝∠GCB－∠BCD＝80°－30°＝50°.
又∵∠CDE＝130°，
∴∠DCG＋∠CDE＝180°.
∴DE∥FG.
∴AB∥DE.
【知识点】平行线的判定；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【分析】构建平行线，根据平行线性质得∠GCB＝∠ABC，结合题意可得∠DCG＋∠CDE＝180°，从而得DE∥FG，再根据平行线的传递性知AB∥DE.
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