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16.2 整式的乘法
16.2.3 整式的除法
第十六章 整式的乘法
人教版2024·八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
经历探究同底数幂的除法的运算性质的推导过程,掌握同底数幂的除法的运算性质,会用同底数幂的除法的性质进行计算,发展推理能力和有条理的表达能力；理解并掌握零指数幂的性质,并能将其应用到相关的计算中
经历单项式除以单项式的法则的探究过程,理解并掌握单项式除以单项式的法则,培养学生的运算能力和综合解题能力．
经历多项式除以单项式的法则的探究过程,理解并掌握多项式除以单项式的法则,培养学生的运算能力和抽象概括能力．
知识回顾
整式的乘法我们已经学了哪几类？
幂的乘法
1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，
2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，
3）积的乘方：把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘
（m，n都是整数）
整式的乘法
单项式乘单项式：把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式：单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式
利用乘法的分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式
转化
导入新课
我们知道有理数的除法是乘法的逆运算，整式的除法能不能利用整式乘法进行呢？
张大爷家一块长方形的田地,它的面积是６a２＋２ab,宽为２a,聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗
长方形的面积公式: 面积＝长×宽 ,
田地的长＝ 面积÷宽
列式:
(６a２＋２ab)÷２a
（1）28 ÷23=（ ）；
（2）x10÷x6=（ ）；
（3）2m+n ÷2n=（ ）
新知探究
探究点1
同底数幂的除法
填一填
(1) ( )( )×23=28
(2) x6·( )( )=x10
(3) ( )( )×2n=2m+n
利用同底数幂的乘法法则计算
2
5
25
x
m
2
x4
4
2m
同底数幂相乘，
底数不变，
指数相加
同底数幂相相除，底数（ ），
指数（ ）
同底数幂相相除
(1)28÷23=25　　　　　　
(2) x10÷x6=x4
(3) 2 m+n÷2n =2m
新知探究
探究点1
同底数幂的除法
议一议
观察下列式子，你能发现什么规律？
=28-3
=x10-6
=2m-n
8-3=5
10-6=4
m+n-n=m
同底数幂相相除，底数（ ），
指数（ ）
不变
相减
a m÷an =
∵am-n
an

= am-n+n
= am
∴a m÷an = am-n
am-n
新知探究
探究点1
同底数幂的除法
归一归
同底数幂的除法：底数不变，指数相减
同底数幂的除法法则
①同底数幂相除运算中，相同底数可以是不为0的数字或字母，或单项式、多项式．
②同底数幂相除运算中，也可以是两个或两个以上的同底数幂相除，幂的底数必须相同，相除时指数才能相减．
am ÷an=am–n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n).
注意
例1 计算：
(1) x8 ÷x2 ;
(2) (ab)5 ÷(ab)2.
解：(1) x8 ÷x2
=x8–2
=x6.
(2) (ab)5 ÷(ab)2
=(ab)5–2
=(ab)3
=a3b3.
典例分析
探究点1
同底数幂的除法
例2计算：
解：(1) 原式=
解：(2) 原式=
=
=
算式
新知探究
探究点1
同底数幂的除法
议一议
（1）同底数幂的相除当被除数的指数与除数的指数相同时，结果是多少呢？
按除法的意义计算
同底数幂的除法计算
（2）同底数幂的相除当被除数的指数与除数的指数相同时，由计算结果发现什么现象？
规定
注意：当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.
新知探究
探究点2
单项式除以单项式
议一议
计算：4a2x3·3ab2
计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2
4a2x3·3ab2
=4×3·a2·a·x3·b2
=12a3x3b2
12a3b2x3 ÷ 3ab2
=4a2x3
12÷3=4
a3÷a=a2
b2÷b2=1
想乘算除法
把系数和同底数的幂分别相除.
商式4a2x3的系数：4=12 ÷3；
a的指数：2=3–1，
b的指数：0=2–2，而b0=1，
x的指数：3=3–0.
新知探究
探究点2
单项式除以单项式
归一归
单项式除以单项式法则：
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
计算：12a3b2x3 ÷ 4a2x3
解：原式=12÷4·（a3÷a2）·（x3÷ x3 ） ·b2
=3·a·1 ·b2
=3ab2
试一试
把系数和同底数的幂分别相除.
商式 ＝ 系数 同底数的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减
保留在商里作为因式
被除式的系数
除式的系数
典例分析
探究点2
单项式除以单项式
(1)6a3÷2a2；
(2)24a2b3÷3ab；
(3)–21a2b3c÷3ab;
解：(1) 6a3÷2a2
=(6÷2)(a3÷a2)
=3a.
(2) 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2–1b3–1
=8ab2.
(3)–21a2b3c÷3ab
=(–21÷3)a2–1b3–1c
= –7ab2c;
例3.计算：
单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.
例4.下列计算错在哪里？怎样改正？
(1)4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( )
(2)10a3 ÷5a2=5a ( )
(3)(–9x5) ÷(–3x) = –3x4 ( )
(4)12a3b ÷4a2=3a ( )
2a6
2a
3x4
3ab
×
×
×
×
系数相除
同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
求商的系数，应注意符号.
典例分析
探究点2
单项式除以单项式
新知探究
探究点3
多项式除以单项式
试一试
（1）计算：(am + bm)÷m = ___________.
∵ (a + b)m = am + bm ，
∴ (am + bm)÷m = (______).
∵ am÷ (___) + bm÷ (___) = a + b，
∴ (am + bm)÷m = (__________________)
a + b
m
m
am÷m + bm÷m
a + b
单项式÷单项式
转化
多项式÷单项式
多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.
（2）你有什么发现？
（2）根据计算你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？
新知探究
探究点3
多项式除以单项式
（1）计算下列各式：
试一试
(4a2b－3ab+ ab2c)÷2ab；
(ax＋bx)÷x;
原式=
ax ÷x ＋bx÷x
=a ＋b
原式=
4a2b ÷2ab－3ab÷2ab+ ab2c ÷2ab
= 2a－＋bc
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
多项式除以单项式的法则:
典例分析
探究点3
多项式除以单项式
例4　计算：　
(1) (28x4y2) ÷ (7x3y)；
(28÷7)x4–3y2–1
(2) (–5a5b3c) ÷ (15a4b).
= 4xy
[(–5)÷15]a5–4b3–1c
(3) (12a3 – 6a2 + 3a) ÷ (3a).
(12a3) ÷ (3a) – (6a2) ÷ (3a) + (3a) ÷ (3a)
= 4a2 – 2a + 1
解：(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
拓展提升
1. （1）若32 92x+1÷27x+1=81，求x的值;
（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;
（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．
解：(1) ∵32 92x+1÷27x+1=81
∴32 34x+2÷33x+3=81，
即 3x+1=34，
解得x=3；
(2)∵52y=(5y)2=4，
∴ 5x–2y=5x÷52y
=36÷4=9．
(3)∵2x–5y–4=0，
移项，得2x–5y=4．
∵4=22，32=25
∴4x÷32y=22x÷25y
=22x–5y
=24=16．
2.已知 ：a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
∴ a÷9＝4，
3m－4＝2，
12－2n＝2，
解得：a＝36，m＝2，n＝5.
拓展提升
3. 先化简，再求值：
(2x＋y)(x–2y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.
解：原式＝2x2–4xy+xy－2y2–（ 4x3y ÷2xy–8xy3 ÷2xy ）
＝2x2–3xy－2y2－（2x2－4y2）
＝2x2–3xy－2y2－2x2＋4y2
＝–3xy＋2y2
当x＝1，y＝–3时，
原式＝－3×1×(–3)＋2 ×(–3)2 ＝27.
拓展提升
巩固练习
教材P109练习
1. 计算：
（1）x7÷x5； （2）m8÷m8；
（3）(–a)10 ÷(–a)7； （4）(xy)5÷(xy)3.
解：(1) x7 ÷ x5
= x7 – 5
(2) m8 ÷ m8
= m0
= x2
= 1
(3) (–a)10 ÷ (–a)7
= (–a)10 – 7
= (–a)3
= –a3
(4) (xy)5 ÷ (xy)3
= (xy)2
= x2y2
巩固练习
教材P109练习
2. 计算：
（1）(10ab3)÷(–5ab) ；
（2）(–8a2b3)÷(6ab2)；
（3）(–21x2y4)÷(–3x2y3)；
（4）(6×108)÷(3×105).
解：(1) 原式=
[10÷(–5)]a1 – 1b3 – 1
= –2b2
[(–8)÷6]a2–1b3–2
(2) 原式=
(3) 原式=
(4) 原式=
[(–21)÷(–3)]x2–2y4–3
= 7y
(6÷3)×108–5
= 2×103
巩固练习
教材P109练习
3. 计算：
（1）(6ab + 5a)÷a；（2）(15x2y – 10xy2)÷(5xy).
(6ab)÷a + (5a)÷a
= 6b + 5
(15x2y)÷(5xy) – (10xy2)÷(5xy)
= 3x – 2y
解：(1) 原式=
(2) 原式=
真题感知
1.（2025·甘肃张掖·三模）计算：
解：
2.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习 ）
若 ， ， 的值为_______．
解: ∵，,
∴
3.（ 24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习 ）
已知，A，B均为整式，A=(xy+1)(xy-1)-2x2y2-xy+1，小马在计算时，误把“÷”抄成了“-”这样，他计算的正确结果为－x2y2．
(1)求A÷B的正确结果；
(2)当xy=2时，求A÷B的值．
真题感知
解: A=(xy+1)(xy-1)-2x2y2-xy+1
=x2y2-1-2x2y2+1-xy
=x2y2-2x2y2+1-1-xy
=-x2y2-xy,
∴A÷B
=（-x2y2-xy）÷(-xy)
= x2y2 ÷xy+xy÷xy
=xy+1;
(2) 当xy=2时，
A÷B=xy+1=2+1
∵A-B= - x2y2
∴-x2y2-xy-B= - x2y2,
∴B= -x2y2-xy+x2y2=-xy,
课堂小结
整式的除法
同底数幂的除法
单项式除以单项式
底数不变，指数相减
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式
多项式除以单项式
转化为单项式除以单项式的问题
0指数幂的性质
任何不等于0的数的0次幂都等于1
课后练习
教材P110
习题16.2
4. 计算：
（1）(a3)2÷(a2)3；
（2）(ab2)3÷(–ab)2；
（3）(25a3b2) ÷(5ab)2；
解：(1) 原式 = a6÷a6
= a0
= 1
(2) 原式 = a3b6÷[(–1)2·a2·b2]
= a3 – 2 b6 – 2
= ab4
(3) 原式 = (25a3b2)÷(25a2b2)
= (25÷25)a3 – 2 b2 – 2
= a
课后练习
教材P110
习题16.2
6. 计算：
（1）[5a4·a2 – (3a3)2]÷(2a2)2；
解：(1) 原式 = (5a6 – 9a6)÷(4a4)
= (–4a6)÷(4a4)
（2）[(ab + 1)(ab – 1) – 2a2b2 + 1]÷(–ab)2 .
(2) 原式 = (a2b2 – ab + ab – 1 – 2a2b2 + 1)÷(a2b2)
= (–a2b2)÷(a2b2)
= –1
= –a2
课后练习
教材P111
习题16.2
8. 已知 3x – 4y = 3 (x，y为正整数)，求 27x÷92y .
解： 27x÷92y
= (33)x÷(32)2y
= (33x)÷(34y)
= 33x – 4y
= 33
= 27
感谢聆听!

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