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贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·关岭模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·关岭模拟）下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·关岭模拟）下列运算结果错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·关岭模拟）年全国普通高校毕业生规模预计达到万人．将数据“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·关岭模拟）下面的数轴表示的不等式是（　　）
A． B．
C． D．或
6．（2025·关岭模拟）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（　　）．
A．5 B．3 C．4 D．7
7．（2025·关岭模拟）小张进行投壶训练，经过大量重复的练习，他投中的概率为，下列说法正确的是（　　）
A．小张投壶次，一定投不中
B．小张投壶次，一定可以投中次
C．小张投壶次，至少可以投中次
D．小张投壶次，不一定能投中
8．（2025·关岭模拟）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·关岭模拟）如图，这是根据某早餐店月日至日每天的用水量（吨）绘制成的折线统计图．下列说法正确的是（　　）
A．平均数是吨 B．中位数是吨
C．众数是吨或吨 D．以上都不正确
10．（2025·关岭模拟）如图，这是某罐装柠檬茶饮料的实物图，瓶身是圆柱体，其横截面是直径为的圆，瓶身侧面贴有“柠檬茶”字样的广告．如图，广告贴的横截面是该圆的圆周角为所对应的弧，则带有“柠檬茶”字样的广告贴的横截面的弧长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·关岭模拟）周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话．
小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　）
A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适
B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适
C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样
D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适
12．（2025·关岭模拟）二次函数的部分图像如图所示，有以下说法：
①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．（2025·关岭模拟）方程的解为　 　．
14．（2025·关岭模拟）若一次函数y＝mx＋3的图象经过点（2，7），则m的值是　 　．
15．（2025·关岭模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则竿长　 　尺．
16．（2025·关岭模拟）如图，在矩形中，平分，，分别交于点．若，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·关岭模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·关岭模拟）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．
（1）求点的坐标．
（2）求该反比例函数的解析式．
19．（2025·关岭模拟）为加强学生的生活防火安全教育，某校从九年级学生中随机抽取了若干名学生进行问卷测试，并根据问卷测试结果，绘制成如下统计图表．
学生得分统计表
等级 E D C B A
得分t/分
人数 m 20 n 30 10
请根据相关信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______．
（2）计算A等级所对应的圆心角的度数．
（3）学校从得分最高的a，b，c三名学生中随机抽取两名学生上台对生活防火安全意识和生活防火安全措施两个方面进行演讲，请用画树状图或列表的方法，求a学生被抽中的概率．
20．（2025·关岭模拟）如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列条件：
①；②．
（1）请从以上①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形．
（2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积．
21．（2025·关岭模拟）汉字是中华文化的重要载体和鲜明标志，是中华民族的形成和发展重要的纽带，为进一步加强中小学规范汉字书写，九年级（1）班需要购买一部分字帖供同学们参考使用．班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供顾客选择．以下是两人的对话：
李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别是多少啊？
店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同．现店里推出答题优惠活动，答对即可享九折优惠．
（1）请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价．
（2）若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各多少本？
22．（2025·关岭模拟）综合与实践
【活动背景】青岩古镇位于贵阳市南郊，距市区约公里，是贵州四大古镇之一，其历史可以追溯到年前．古镇内能看到设计精巧、工艺精湛的明清古建筑错落有致、交错密布．凭借独特的风貌和深厚的文化底蕴，青岩古镇被人们誉为中国最具魅力小镇之一．某学校数学兴趣小组成员带着测量工具来到青岩古镇测量一城门楼（如图）的高度，为此他们设计了如量下方案．
【测量工具】测角仪、皮尺、标杆．
【测量数据】图纸设计：如图，
测量数据：标杆的高度米，，，测量点之间的距离米，，．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题．
（1）求青岩古镇城门楼的高度．（参考数据：，，）
（2）该小组组长在小组讨论决定测量方案时，对某一成员提出的“利用物体在阳光下的影子测量城门楼的高度”的方案给予拒绝，没有采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
23．（2025·关岭模拟）如图，为的直径，为上的一点，为延长线上的一点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）不添加辅助线，写出图中一个与相等的角：______．
（2）若平分，求证：为的切线．
（3）在（）的条件下，若，，求的半径．
24．（2025·关岭模拟）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米．
（1） ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示）
（2）若，求x的值．
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？
25．（2025·关岭模拟）综合与探究
如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到．
【操作判断】
（）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______．
【问题探究】
（）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想．
【拓展延伸】
（）当点与点都不重合时，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故选：．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，该选项正确，不合题意；
B、，该选项正确，不合题意；
C、，该选项错误，符合题意；
D、，该选项正确，不合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据完全平方公式，可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故选：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：数轴表示的不等式是，
故选：．
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并，
∴，
∴；
故选C．
【分析】
先把化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念得并求解即可．
7．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：由概率的意义可知，小张投壶次，不一定能投中，故选项错误，选项正确；
小张投壶次，不一定投中次，故选项错误；
小张投壶次，不一定可以投中次，故选项错误；
故选：．
【分析】根据概率的意义即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC，再根据直线平行性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由折线统计图可知，月日至日每天的用水量分别为，
∴平均数为吨，故选项错误；
数据按由小到大的顺序排列为
∴中位数为吨，故选项错误；
∵每个数都出现了次，
∴数据的每个数都是众数，故选项错误；
故选：．
【分析】根据平均数，中位数，众数的定义逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接，
则，
∵圆的直径为，
∴，
∴横截面的弧长，
故选：．
【分析】设圆心为O，连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，根据弧长公式即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，
当时，，
当时，
当时，
∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样，
故选：A．
【分析】设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，然后建立不等式求出办会员卡时的费用小于，大于或等于不办会员卡时x的取值范围即可得到结论．
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，
即，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，故④正确；
综上，正确的说法有①③④，
故选：.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
14．【答案】2
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，7），
即当x＝2时，y＝7，可得：7＝2m+3，
解得：m＝2.
故答案为：2.
【分析】将（2，7）代入y=mx+3中进行计算可得m的值.
15．【答案】15
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，
依题意，得：．
解得：，
所以杆长15尺，
故答案为：15．
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据矩形性质可得，，，，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DF，再根据勾股定理可得CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据乘方，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：把代入，得，
∴；
（2）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入正比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入反比例解析式即可求出答案.
（1）解：把代入，得，
∴；
（2）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
19．【答案】（1）10；30
（2）解：，
∴A等级所对应的圆心角的度数为；
（3）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵有6种等可能的结果数，其中a学生被抽中的有4种情况数，
∴a学生被抽中的概率为：．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：总人数为：（人），
，
；
故答案为：10；30
【分析】（1）根据B等级的人数与占比可得总人数，再根据总人数乘以C等级圆心角可得n，用总人数减去其他等级的人数可得m.
（2）根据360°乘以A等级的占比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出a学生被抽中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：总人数为：（人），
，
；
（2）解：，
∴A等级所对应的圆心角的度数为；
（3）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵有6种等可能的结果数，其中a学生被抽中的有4种情况数，
∴a学生被抽中的概率为：．
20．【答案】（1）解：选择①作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
选择②作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据勾股定理可得OB，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：选择①作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
选择②作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴（元）
∴B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元；
（2）解：设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本
根据题意得，
解得
∵y是正整数
∴y的最大值为9
∴他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴（元）
∴B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元；
（2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本
根据题意得，
解得
∵y是正整数
∴y的最大值为9
∴他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本．
22．【答案】（1）解：由题意得，米，米，，
设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
答：青岩古镇城门楼的高度为米；
（2）解：原因可能是：城门楼的底部不能到达，无法测量出影子顶端到城门楼的底部的距离．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意得，米，米，，设米，解直角三角形可得EG，FG，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（1）解：由题意得，米，米，，
设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
答：青岩古镇城门楼的高度为米；
（2）解：原因可能是：城门楼的底部不能到达，无法测量出影子顶端到城门楼的底部的距离．
23．【答案】（1）
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据角之间的关系可得，根据垂直可得，根据三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，则，根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得BE，再根据角平分线定义可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AB，即可求出答案.
（1）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
24．【答案】（1），
（2）解：当时，则，
∴，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，米，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，米，
∴矩形菜园的面积为平方米；
【分析】（1）根据总长，结合矩形性质建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意，米，
∴矩形菜园的面积为平方米；
（2）解：当时，则，
∴，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，米，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
25．【答案】（）平行四边形；
（）解：，证明如下：
如图，过点作交于点，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当点在点右侧时，如图，
由（）可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，如图，
同理可得，
∴，
∴；
综上，的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（）解：如图，
由旋转得，，，
∵，，
∴， ，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点作交于点，连接，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据等角对等边可得，根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，分情况讨论：当点在点右侧时，当点在点的左侧时，根据矩形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
1 / 1贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·关岭模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故选：．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·关岭模拟）下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．（2025·关岭模拟）下列运算结果错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，该选项正确，不合题意；
B、，该选项正确，不合题意；
C、，该选项错误，符合题意；
D、，该选项正确，不合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据完全平方公式，可判断D选项.
4．（2025·关岭模拟）年全国普通高校毕业生规模预计达到万人．将数据“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故选：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
5．（2025·关岭模拟）下面的数轴表示的不等式是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：数轴表示的不等式是，
故选：．
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示即可求出答案.
6．（2025·关岭模拟）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（　　）．
A．5 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并，
∴，
∴；
故选C．
【分析】
先把化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念得并求解即可．
7．（2025·关岭模拟）小张进行投壶训练，经过大量重复的练习，他投中的概率为，下列说法正确的是（　　）
A．小张投壶次，一定投不中
B．小张投壶次，一定可以投中次
C．小张投壶次，至少可以投中次
D．小张投壶次，不一定能投中
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：由概率的意义可知，小张投壶次，不一定能投中，故选项错误，选项正确；
小张投壶次，不一定投中次，故选项错误；
小张投壶次，不一定可以投中次，故选项错误；
故选：．
【分析】根据概率的意义即可求出答案.
8．（2025·关岭模拟）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC，再根据直线平行性质即可求出答案.
9．（2025·关岭模拟）如图，这是根据某早餐店月日至日每天的用水量（吨）绘制成的折线统计图．下列说法正确的是（　　）
A．平均数是吨 B．中位数是吨
C．众数是吨或吨 D．以上都不正确
【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由折线统计图可知，月日至日每天的用水量分别为，
∴平均数为吨，故选项错误；
数据按由小到大的顺序排列为
∴中位数为吨，故选项错误；
∵每个数都出现了次，
∴数据的每个数都是众数，故选项错误；
故选：．
【分析】根据平均数，中位数，众数的定义逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025·关岭模拟）如图，这是某罐装柠檬茶饮料的实物图，瓶身是圆柱体，其横截面是直径为的圆，瓶身侧面贴有“柠檬茶”字样的广告．如图，广告贴的横截面是该圆的圆周角为所对应的弧，则带有“柠檬茶”字样的广告贴的横截面的弧长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接，
则，
∵圆的直径为，
∴，
∴横截面的弧长，
故选：．
【分析】设圆心为O，连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，根据弧长公式即可求出答案.
11．（2025·关岭模拟）周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话．
小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　）
A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适
B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适
C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样
D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，
当时，，
当时，
当时，
∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样，
故选：A．
【分析】设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，然后建立不等式求出办会员卡时的费用小于，大于或等于不办会员卡时x的取值范围即可得到结论．
12．（2025·关岭模拟）二次函数的部分图像如图所示，有以下说法：
①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，
即，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，故④正确；
综上，正确的说法有①③④，
故选：.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．（2025·关岭模拟）方程的解为　 　．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
14．（2025·关岭模拟）若一次函数y＝mx＋3的图象经过点（2，7），则m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，7），
即当x＝2时，y＝7，可得：7＝2m+3，
解得：m＝2.
故答案为：2.
【分析】将（2，7）代入y=mx+3中进行计算可得m的值.
15．（2025·关岭模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则竿长　 　尺．
【答案】15
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，
依题意，得：．
解得：，
所以杆长15尺，
故答案为：15．
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2025·关岭模拟）如图，在矩形中，平分，，分别交于点．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据矩形性质可得，，，，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DF，再根据勾股定理可得CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·关岭模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据乘方，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
18．（2025·关岭模拟）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．
（1）求点的坐标．
（2）求该反比例函数的解析式．
【答案】（1）解：把代入，得，
∴；
（2）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入正比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入反比例解析式即可求出答案.
（1）解：把代入，得，
∴；
（2）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
19．（2025·关岭模拟）为加强学生的生活防火安全教育，某校从九年级学生中随机抽取了若干名学生进行问卷测试，并根据问卷测试结果，绘制成如下统计图表．
学生得分统计表
等级 E D C B A
得分t/分
人数 m 20 n 30 10
请根据相关信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______．
（2）计算A等级所对应的圆心角的度数．
（3）学校从得分最高的a，b，c三名学生中随机抽取两名学生上台对生活防火安全意识和生活防火安全措施两个方面进行演讲，请用画树状图或列表的方法，求a学生被抽中的概率．
【答案】（1）10；30
（2）解：，
∴A等级所对应的圆心角的度数为；
（3）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵有6种等可能的结果数，其中a学生被抽中的有4种情况数，
∴a学生被抽中的概率为：．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：总人数为：（人），
，
；
故答案为：10；30
【分析】（1）根据B等级的人数与占比可得总人数，再根据总人数乘以C等级圆心角可得n，用总人数减去其他等级的人数可得m.
（2）根据360°乘以A等级的占比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出a学生被抽中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：总人数为：（人），
，
；
（2）解：，
∴A等级所对应的圆心角的度数为；
（3）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵有6种等可能的结果数，其中a学生被抽中的有4种情况数，
∴a学生被抽中的概率为：．
20．（2025·关岭模拟）如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列条件：
①；②．
（1）请从以上①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形．
（2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：选择①作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
选择②作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据勾股定理可得OB，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：选择①作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
选择②作为条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
21．（2025·关岭模拟）汉字是中华文化的重要载体和鲜明标志，是中华民族的形成和发展重要的纽带，为进一步加强中小学规范汉字书写，九年级（1）班需要购买一部分字帖供同学们参考使用．班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供顾客选择．以下是两人的对话：
李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别是多少啊？
店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同．现店里推出答题优惠活动，答对即可享九折优惠．
（1）请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价．
（2）若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各多少本？
【答案】（1）解：设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴（元）
∴B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元；
（2）解：设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本
根据题意得，
解得
∵y是正整数
∴y的最大值为9
∴他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解
∴（元）
∴B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元；
（2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本
根据题意得，
解得
∵y是正整数
∴y的最大值为9
∴他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本．
22．（2025·关岭模拟）综合与实践
【活动背景】青岩古镇位于贵阳市南郊，距市区约公里，是贵州四大古镇之一，其历史可以追溯到年前．古镇内能看到设计精巧、工艺精湛的明清古建筑错落有致、交错密布．凭借独特的风貌和深厚的文化底蕴，青岩古镇被人们誉为中国最具魅力小镇之一．某学校数学兴趣小组成员带着测量工具来到青岩古镇测量一城门楼（如图）的高度，为此他们设计了如量下方案．
【测量工具】测角仪、皮尺、标杆．
【测量数据】图纸设计：如图，
测量数据：标杆的高度米，，，测量点之间的距离米，，．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题．
（1）求青岩古镇城门楼的高度．（参考数据：，，）
（2）该小组组长在小组讨论决定测量方案时，对某一成员提出的“利用物体在阳光下的影子测量城门楼的高度”的方案给予拒绝，没有采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】（1）解：由题意得，米，米，，
设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
答：青岩古镇城门楼的高度为米；
（2）解：原因可能是：城门楼的底部不能到达，无法测量出影子顶端到城门楼的底部的距离．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意得，米，米，，设米，解直角三角形可得EG，FG，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（1）解：由题意得，米，米，，
设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
答：青岩古镇城门楼的高度为米；
（2）解：原因可能是：城门楼的底部不能到达，无法测量出影子顶端到城门楼的底部的距离．
23．（2025·关岭模拟）如图，为的直径，为上的一点，为延长线上的一点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）不添加辅助线，写出图中一个与相等的角：______．
（2）若平分，求证：为的切线．
（3）在（）的条件下，若，，求的半径．
【答案】（1）
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据角之间的关系可得，根据垂直可得，根据三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，则，根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得BE，再根据角平分线定义可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AB，即可求出答案.
（1）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
24．（2025·关岭模拟）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米．
（1） ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示）
（2）若，求x的值．
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？
【答案】（1），
（2）解：当时，则，
∴，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，米，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，米，
∴矩形菜园的面积为平方米；
【分析】（1）根据总长，结合矩形性质建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意，米，
∴矩形菜园的面积为平方米；
（2）解：当时，则，
∴，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，米，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
25．（2025·关岭模拟）综合与探究
如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到．
【操作判断】
（）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______．
【问题探究】
（）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想．
【拓展延伸】
（）当点与点都不重合时，若，，求的长．
【答案】（）平行四边形；
（）解：，证明如下：
如图，过点作交于点，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当点在点右侧时，如图，
由（）可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，如图，
同理可得，
∴，
∴；
综上，的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（）解：如图，
由旋转得，，，
∵，，
∴， ，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点作交于点，连接，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据等角对等边可得，根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，分情况讨论：当点在点右侧时，当点在点的左侧时，根据矩形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
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