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广东省清远市第三中学教育集团2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（2025高一下·清远期中）不等式的解集为（　　）
A． B．
C．，或 D．，或
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
2．（2025高一下·清远期中）已知，则的定义域为 （　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
在中，，则，解得，
则的定义域为且.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域即可.
3．（2025高一下·清远期中）设，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，
则．
故答案为：C．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合中间值0和1，比较大小即可.
4．（2025高一下·清远期中）已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（　　）
A． B．[1，2] C．[-2，-1] D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 的解集是 ，可知 ，并且方程 的两个实数根是 和 ，
所以 ，得 ，代入 ，
得 ，即 ， ，解得： ，
所以不等式的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系再由韦达定理求出a、b、c的关系进而得到一元二次不等式求解出解集即可。
5．（2025高一下·清远期中）不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式变形可得，
则，即，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】原不等式通分，化为，再根据分式不等式以及一元二次不等式的解法求解即可.
6．（2025高一下·清远期中）已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在上单调递减，
则，即，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意可知函数在上单调递减，根据分段函数每段单调递减，以及分界点处函数值的大小关系列出不等式组，求解即可得实数a的取值范围.
7．（2025高一下·清远期中）设集合，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则有4个元素 D．若，则
【答案】D
【知识点】集合中元素的个数问题；并集及其运算；交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易知集合，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得结合N，再对a的取值a分情况讨论，求得集合M，再求判断即可.
8．（2025高一下·清远期中）已知，则“”成立的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】充要条件；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，令（），
在第一象限的大致图象，如图所示：
显然有，即时，即；
同理，当时，，即，即，
综上可知，“”成立的充要条件是.
故答案为：C.
【分析】当时，不等式成立；令（），作出函数的图象，，即求成立时，取值范围，根据幂函数图象特征求出满足即可.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·清远期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】A：取，，满足，但，A错误；
B：因为，根据不等式性质，两边同乘得.又因为，两边分别加上和，得，B正确；
C：取，，满足，但，，不成立，C错误；
D：由，可知（因为若，则），所以，两边同时除以，得，D正确.
故答案为：BD.
【分析】核心是对每个选项，通过举反例（ 选项A、C ）或利用不等式的基本性质（ 选项B、D ）进行分析判断.
10．（2025高一下·清远期中）已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（　　）
A．函数图象经过点
B．当时，函数的值域是
C．函数满足
D．函数的单调减区间为
【答案】A,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，即，
A、，则函数的图象过，故A正确；
B、由二次函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，，因为，所以，
则函数的值域为，故B错误；
C、由，故C错误；
D、易知函数开口向上，对称轴为，则函数在区间上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将代入解析式求得函数，求即可判断A；根据二次函数的性质求得函数的值域即可判断B；根据函数，求即可判断C；根据二次函数的性质求单调区间即可判断D.
11．（2025高一下·清远期中）已知，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为16 B．的最小值为9
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得，
则，
当且仅当时，即当时，的最小值取到16，故A正确；
因为，所以，
则，
当且仅当时，即当时，取到最小值为9，故B正确；
由，得，
所以，
因为，所以，故C错误；
因为，
令，
则上式可化为，
当时，上式取到最小值，
所以的最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由已知条件结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项B；结合不等式的基本性质判断出选项C；结合二次函数的性质判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．（2025高一下·清远期中）已知全集，集合，集合，则　 　．
【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：.
【分析】直接根据集合的并集运算求解即可.
13．（2025高一下·清远期中）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在这个生物链中，若能使获得10KJ的能量，则需提供的能量为　 　KJ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，
若能使获得10KJ的能量，则需要提供的能量，需要提供的能量，需要提供的能量.
故答案为：.
【分析】由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，依次计算需要，，提供的能量即可.
14．（2025高一下·清远期中）已知，且，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：设，
则，即，解得，即，
因为，
所以，即，
故的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设，由题意求得，即，再根据不等式的性质求解即可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·清远期中）已知函数
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）判断在上的单调性并加以证明.
【答案】解：（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则为奇函数；
（2），且，
则，
因为，所以，所以，，
又因为，所以，则在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数单调性定义判断即可.
16．（2025高一下·清远期中）设函数，为常数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）设，，为减函数，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）因为为偶函数，且，所以，
即，即，
对一切成立，则；
（2）因为，且，
所以，
任取，，
因为，所以且，
又因为在区间上为减函数，所以，所以，所以，
又因为，所以，则实数a的范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，满足，据此求解a的值即可；
（2）利用函数的单调性定义求实数a的范围即可.
17．（2025高一下·清远期中）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
（1）求的值及的解析式；
（2）若，求实数的值．
【答案】解：（1）由图可知，则，
当时，设，因为过点和点，代入可得，，即；
当时，，，因为过点，，，代入可得，
则；
（2）因为，所以或，解得或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】（1）根据图象求的值即可；当时，设，当时，，，利用待定系数法求解析式即可；
（2）由，可得或，求的值即可.
18．（2025高一下·清远期中）求下列函数的解析式
（1）；
（2）是一次函数，且满足
【答案】（1）解：令，解得，
则，
即；
（2）解：设，
则，
即，解得或，
故或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可；
（2）设代入，根据多项式相等列式求解即可.
（1）令，则，
所以，
可得；
（2）设，
所以，
可得，解得或，
所以或.
19．（2025高一下·清远期中）已知，，.
（1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
，解不等式，可得，即，
若有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解；
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
（2）解：若是的充分不必要条件，则是的真子集，
即，解得，
故的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入，求得，解不等式求得，根据复合命题的真假可得一真一假，分情况讨论，求出x的取值范围即可；
（2）由题意可得是的真子集，根据集合的包含关系列关于m的不等式组，求解即可.
（1）对于，解可得，
若，则，
若，有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解，
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则有，解可得，
即的取值范围为.
1 / 1广东省清远市第三中学教育集团2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（2025高一下·清远期中）不等式的解集为（　　）
A． B．
C．，或 D．，或
2．（2025高一下·清远期中）已知，则的定义域为 （　　）
A． B．
C．且 D．且
3．（2025高一下·清远期中）设，则
A． B． C． D．
4．（2025高一下·清远期中）已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（　　）
A． B．[1，2] C．[-2，-1] D．
5．（2025高一下·清远期中）不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一下·清远期中）已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·清远期中）设集合，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则有4个元素 D．若，则
8．（2025高一下·清远期中）已知，则“”成立的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·清远期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025高一下·清远期中）已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（　　）
A．函数图象经过点
B．当时，函数的值域是
C．函数满足
D．函数的单调减区间为
11．（2025高一下·清远期中）已知，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为16 B．的最小值为9
C．的最大值为2 D．的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．（2025高一下·清远期中）已知全集，集合，集合，则　 　．
13．（2025高一下·清远期中）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在这个生物链中，若能使获得10KJ的能量，则需提供的能量为　 　KJ．
14．（2025高一下·清远期中）已知，且，则的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·清远期中）已知函数
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）判断在上的单调性并加以证明.
16．（2025高一下·清远期中）设函数，为常数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）设，，为减函数，求实数的取值范围.
17．（2025高一下·清远期中）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
（1）求的值及的解析式；
（2）若，求实数的值．
18．（2025高一下·清远期中）求下列函数的解析式
（1）；
（2）是一次函数，且满足
19．（2025高一下·清远期中）已知，，.
（1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
在中，，则，解得，
则的定义域为且.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域即可.
3．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，
则．
故答案为：C．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合中间值0和1，比较大小即可.
4．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 的解集是 ，可知 ，并且方程 的两个实数根是 和 ，
所以 ，得 ，代入 ，
得 ，即 ， ，解得： ，
所以不等式的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系再由韦达定理求出a、b、c的关系进而得到一元二次不等式求解出解集即可。
5．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式变形可得，
则，即，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】原不等式通分，化为，再根据分式不等式以及一元二次不等式的解法求解即可.
6．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在上单调递减，
则，即，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意可知函数在上单调递减，根据分段函数每段单调递减，以及分界点处函数值的大小关系列出不等式组，求解即可得实数a的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】集合中元素的个数问题；并集及其运算；交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易知集合，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得结合N，再对a的取值a分情况讨论，求得集合M，再求判断即可.
8．【答案】C
【知识点】充要条件；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，令（），
在第一象限的大致图象，如图所示：
显然有，即时，即；
同理，当时，，即，即，
综上可知，“”成立的充要条件是.
故答案为：C.
【分析】当时，不等式成立；令（），作出函数的图象，，即求成立时，取值范围，根据幂函数图象特征求出满足即可.
9．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】A：取，，满足，但，A错误；
B：因为，根据不等式性质，两边同乘得.又因为，两边分别加上和，得，B正确；
C：取，，满足，但，，不成立，C错误；
D：由，可知（因为若，则），所以，两边同时除以，得，D正确.
故答案为：BD.
【分析】核心是对每个选项，通过举反例（ 选项A、C ）或利用不等式的基本性质（ 选项B、D ）进行分析判断.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，即，
A、，则函数的图象过，故A正确；
B、由二次函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，，因为，所以，
则函数的值域为，故B错误；
C、由，故C错误；
D、易知函数开口向上，对称轴为，则函数在区间上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将代入解析式求得函数，求即可判断A；根据二次函数的性质求得函数的值域即可判断B；根据函数，求即可判断C；根据二次函数的性质求单调区间即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得，
则，
当且仅当时，即当时，的最小值取到16，故A正确；
因为，所以，
则，
当且仅当时，即当时，取到最小值为9，故B正确；
由，得，
所以，
因为，所以，故C错误；
因为，
令，
则上式可化为，
当时，上式取到最小值，
所以的最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由已知条件结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项B；结合不等式的基本性质判断出选项C；结合二次函数的性质判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：.
【分析】直接根据集合的并集运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，
若能使获得10KJ的能量，则需要提供的能量，需要提供的能量，需要提供的能量.
故答案为：.
【分析】由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，依次计算需要，，提供的能量即可.
14．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：设，
则，即，解得，即，
因为，
所以，即，
故的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设，由题意求得，即，再根据不等式的性质求解即可.
15．【答案】解：（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则为奇函数；
（2），且，
则，
因为，所以，所以，，
又因为，所以，则在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数单调性定义判断即可.
16．【答案】解：（1）因为为偶函数，且，所以，
即，即，
对一切成立，则；
（2）因为，且，
所以，
任取，，
因为，所以且，
又因为在区间上为减函数，所以，所以，所以，
又因为，所以，则实数a的范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，满足，据此求解a的值即可；
（2）利用函数的单调性定义求实数a的范围即可.
17．【答案】解：（1）由图可知，则，
当时，设，因为过点和点，代入可得，，即；
当时，，，因为过点，，，代入可得，
则；
（2）因为，所以或，解得或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】（1）根据图象求的值即可；当时，设，当时，，，利用待定系数法求解析式即可；
（2）由，可得或，求的值即可.
18．【答案】（1）解：令，解得，
则，
即；
（2）解：设，
则，
即，解得或，
故或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可；
（2）设代入，根据多项式相等列式求解即可.
（1）令，则，
所以，
可得；
（2）设，
所以，
可得，解得或，
所以或.
19．【答案】（1）解：当时，，
，解不等式，可得，即，
若有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解；
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
（2）解：若是的充分不必要条件，则是的真子集，
即，解得，
故的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入，求得，解不等式求得，根据复合命题的真假可得一真一假，分情况讨论，求出x的取值范围即可；
（2）由题意可得是的真子集，根据集合的包含关系列关于m的不等式组，求解即可.
（1）对于，解可得，
若，则，
若，有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解，
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则有，解可得，
即的取值范围为.
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