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广东省佛山市顺德区镇街学校等2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·顺德期中）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算求解即可.
2．（2025高一下·顺德期中）已知向量，若，则（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，由，可得，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线的坐标表示列式求解即可.
3．（2025高一下·顺德期中）已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，
因为扇形的周长为，面积为，
可得且，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形面积公式，再利用已知条件列出方程组，从而求解得出扇形的圆心角.
4．（2025高一下·顺德期中）已知是关于的方程的一个根，则（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为是关于的方程的一个根，
所以为方程的另一个根，
由韦达定理，可得，
解得.
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理和共轭复数的运算法则，从而得出m的值.
5．（2025高一下·顺德期中）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
所以，
若，可得，
联立方程组，
可得，
则，所以，充分性成立；
若，可得，
联立方程组，可得，
则，所以，必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】由结合同角三角函数基本关系式，从而得出，再结合和差角公式和充分条件、必要条件的定义可得.
6．（2025高一下·顺德期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，得，
因为，可得，
代入上式，整理得，则，
所以，则，
所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据题意和余弦定理得到，再与联立得，进而得到可得答案.
7．（2025高一下·顺德期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于直线对称
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 由函数，
对于A中，由，令，
则，
所以不是奇函数，所以A不正确；
对于B中，由，可得，
由正弦函数在为单调递减函数，
可得函数在上为单调递减函数，所以B正确；
对于C中，若，可得，
即函数关于点中心对称，
因为，所以不是函数的对称中心，
结合函数不满足，所以C错误；
对于D中，由不是的最值，
所以函数的图象不关于直线对称，所以D错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角恒等变换公式，从而化简函数为，再结合换元法和正弦函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数解析式代入法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
8．（2025高一下·顺德期中）如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，作，交于点，
则.
因为，
所以，，，，.
又因为，且，
由正弦定理，得，则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，根据平面向量基本定理结合正弦定理可得出的值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·顺德期中）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由角的终边经过点，
可得.
对于A，由，故A错误；
对于B，由，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，由，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和三角函数的定义，从而得出的值，再根据诱导公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2025高一下·顺德期中）已知，是复数，则下列命题错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、设复数，
若，则，即，解得且，
，则，故A正确；
B、，满足，但复数和不能比较大小，故B错误；
C、取，，此时，故C错误；
D、若，可得，满足，但且，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】设复数，根据复数的加法运算，结合复数相等的定义，以及复数模的计算公式求解即可判断A；取特殊复数求解即可判断BCD.
11．（2025高一下·顺德期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（　　）
A．角的取值范围是
B．的取值范围是
C．周长的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，且，则，利用正弦定理可得，
即，因为是锐角三角形，，所以，
，则解得，所以，故A正确；
B、因为，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故B正确；
C、.设，
则在上单调递增，所以，
即，
因为，所以周长的取值范围是，故C错误；
D、因为，所以，
在单调递增，，
则，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，将变形为，再利用正弦定理，根据是锐角三角形建立关于角A的不等式组，解不等式组求得角的范围即可判断A；利用正弦定理将转化为角的函数，再结合A选项的角A的范围求范围即可判断B；利用已知条件和选项B的结论，得出，再结合A选项的角A的范围，再求得的范围，从而求得周长的范围即可判断C；利用已知条件和选项B的结论，得出，根据的单调性，结合A选项的角A的范围，求的取值范围，即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·顺德期中）函数图象的对称中心的坐标是　 　．
【答案】.
【知识点】含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数，
令，解得
所以函数图象的对称中心的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合正切型函数的对称性计算可得.
13．（2025高一下·顺德期中）某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是　 　千米.
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
在中，由题意，可知，，千米，
由正弦定理，可得，
则千米.
在中，由题意，可知，，千米，
由正弦定理，可得，
则千米.
在中，，千米，
则千米.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件画图，然后在与中分别由正弦定理求出，的长，再根据等边三角形的性质，从而得出AB的长.
14．（2025高一下·顺德期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由函数在上单调递增，
可得，则，所以，可得，
由，可得，
则满足，
解得，
当时，可得；
当时，可得；
当时，不合题意，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意得到，再利用余弦型函数的最小正周期公式，从而得出的范围，再由结合余弦型函数的单调性，建立的不等式组，进而求解得出的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·顺德期中）已知复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：复数，
因为复数是纯虚数，所以，解得或（舍去），
故实数的值为；
（2）解：复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）先化简复数，再根据复数是纯虚数，列方程组求解即可；
（2）由（1）可得复数，根据复数在复平面内所对应的点在第四象限，列出不等式组求解即可.
（1）由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），
所以实数的值为.
（2）由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
16．（2025高一下·顺德期中）已知向量，满足，，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由向量，满足，，且．
可得，
则，
设向量与的夹角为，
可得，
因为，所以，
则向量与的夹角为.
（2）解：因为，
可得，
则，
解得或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据得出，结合数量积求向量的夹角公式，再利用两向量夹角的取值范围，从而得出向量，的夹角.
（2）根据建立方程，从而列出方程求解得出t的值.
（1）解：由向量，满足，，且．
可得，可得，
设向量与的夹角为，可得，
因为，所以，即向量与的夹角为.
（2）解：因为，可得，
即，解得或.
17．（2025高一下·顺德期中）在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
（1）已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，因为是线段的中点，所以，
又因为，所以，
因为，，，所以，
则；
（2）解：设，则，，
因为，所以，
由（1）知，，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又因为，所以，解得，则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）在中，由是线段的中点，可得，利用向量的线性运算得，再利用平面向量数量积的运算性质求即可；
（2）设，则，根据，可得，由（1）知，，再利用三点共线，利用向量线性运算得，最后根据平面向量的基本定理求的值，即可得的结论.
（1）因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以.
（2）设，则，所以，又，所以，
由（1）知，所以，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又，所以，解得，
所以.
18．（2025高一下·顺德期中）如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地.
（1）已知.
①求道路的长度；
②求的面积.
（2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.
【答案】（1）解：①、由正弦定理，可得千米；
②、因为，，所以，
所以，
则的面积平方千米；
（2）解：设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米，
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元，因为，所以，所以，
所以，所以，
则该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①、在中，直接利用正弦定理计算即可；
②、由题意可得，利用两角和的正弦公式求的正弦值，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，利用正弦定理用表示，再表示的面积，以及改造项目获得的利润，结合三角函数值域求解即可.
（1）①由正弦定理可得，
则千米.
②因为，，所以，
所以
则的面积平方千米.
（2）设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米.
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元.
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.
19．（2025高一下·顺德期中）已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
可得，解得，
所以，则，
由，可得，
因为，所以，
则，
将的向右平移个单位长度，
可得函数，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知：，
因为不等式，所以，
可得，
解得，
所以不等式的解集为.
（3）解：由（1）知：，
当，可得，
当时，，
因为对任意的 ，，都有，
则当时，恒成立，
所以恒成立，
所以，当时，恒成立，
设，可得恒成立，
令，
当时，即当时，
则当时，，
所以，则，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据 两条相邻对称轴之间的距离是 得出的值，进而得出函数，再由得出的值，进而得到函数，利用三角型函数的图象变换，从而得出函数的解析式.
（2）利用正弦型函数的图象解不等式即可.
（3）求出的值，再根据题意，转化为恒成立，设，令，结合二次函数求最值的方法结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
可得，解得，所以，即，
又由，可得，
因为，所以，所以，
将的向右平移个单位长度，可得函数，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知：，不等式，即为，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
（3）解：由（1）知：，
当，可得，当时，，
因为对任意的 ，，都有，
即当时，恒成立，即恒成立，
即当时，恒成立，
设，可得恒成立，
令，
当时，即时，即时，，
所以，即，即实数的取值范围为.
1 / 1广东省佛山市顺德区镇街学校等2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·顺德期中）（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·顺德期中）已知向量，若，则（　　）
A．6 B． C． D．
3．（2025高一下·顺德期中）已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（　　）
A． B．2 C． D．3
4．（2025高一下·顺德期中）已知是关于的方程的一个根，则（　　）
A．4 B． C．2 D．
5．（2025高一下·顺德期中）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高一下·顺德期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的
7．（2025高一下·顺德期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于直线对称
8．（2025高一下·顺德期中）如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·顺德期中）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高一下·顺德期中）已知，是复数，则下列命题错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025高一下·顺德期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（　　）
A．角的取值范围是
B．的取值范围是
C．周长的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·顺德期中）函数图象的对称中心的坐标是　 　．
13．（2025高一下·顺德期中）某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是　 　千米.
14．（2025高一下·顺德期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·顺德期中）已知复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．（2025高一下·顺德期中）已知向量，满足，，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）若，求的值．
17．（2025高一下·顺德期中）在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
（1）已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
（2）若，求的值．
18．（2025高一下·顺德期中）如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地.
（1）已知.
①求道路的长度；
②求的面积.
（2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.
19．（2025高一下·顺德期中）已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，由，可得，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线的坐标表示列式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，
因为扇形的周长为，面积为，
可得且，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形面积公式，再利用已知条件列出方程组，从而求解得出扇形的圆心角.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为是关于的方程的一个根，
所以为方程的另一个根，
由韦达定理，可得，
解得.
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理和共轭复数的运算法则，从而得出m的值.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
所以，
若，可得，
联立方程组，
可得，
则，所以，充分性成立；
若，可得，
联立方程组，可得，
则，所以，必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】由结合同角三角函数基本关系式，从而得出，再结合和差角公式和充分条件、必要条件的定义可得.
6．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，得，
因为，可得，
代入上式，整理得，则，
所以，则，
所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据题意和余弦定理得到，再与联立得，进而得到可得答案.
7．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 由函数，
对于A中，由，令，
则，
所以不是奇函数，所以A不正确；
对于B中，由，可得，
由正弦函数在为单调递减函数，
可得函数在上为单调递减函数，所以B正确；
对于C中，若，可得，
即函数关于点中心对称，
因为，所以不是函数的对称中心，
结合函数不满足，所以C错误；
对于D中，由不是的最值，
所以函数的图象不关于直线对称，所以D错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角恒等变换公式，从而化简函数为，再结合换元法和正弦函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数解析式代入法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，作，交于点，
则.
因为，
所以，，，，.
又因为，且，
由正弦定理，得，则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，根据平面向量基本定理结合正弦定理可得出的值.
9．【答案】B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由角的终边经过点，
可得.
对于A，由，故A错误；
对于B，由，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，由，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和三角函数的定义，从而得出的值，再根据诱导公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、设复数，
若，则，即，解得且，
，则，故A正确；
B、，满足，但复数和不能比较大小，故B错误；
C、取，，此时，故C错误；
D、若，可得，满足，但且，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】设复数，根据复数的加法运算，结合复数相等的定义，以及复数模的计算公式求解即可判断A；取特殊复数求解即可判断BCD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，且，则，利用正弦定理可得，
即，因为是锐角三角形，，所以，
，则解得，所以，故A正确；
B、因为，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故B正确；
C、.设，
则在上单调递增，所以，
即，
因为，所以周长的取值范围是，故C错误；
D、因为，所以，
在单调递增，，
则，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，将变形为，再利用正弦定理，根据是锐角三角形建立关于角A的不等式组，解不等式组求得角的范围即可判断A；利用正弦定理将转化为角的函数，再结合A选项的角A的范围求范围即可判断B；利用已知条件和选项B的结论，得出，再结合A选项的角A的范围，再求得的范围，从而求得周长的范围即可判断C；利用已知条件和选项B的结论，得出，根据的单调性，结合A选项的角A的范围，求的取值范围，即可判断D.
12．【答案】.
【知识点】含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数，
令，解得
所以函数图象的对称中心的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合正切型函数的对称性计算可得.
13．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
在中，由题意，可知，，千米，
由正弦定理，可得，
则千米.
在中，由题意，可知，，千米，
由正弦定理，可得，
则千米.
在中，，千米，
则千米.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件画图，然后在与中分别由正弦定理求出，的长，再根据等边三角形的性质，从而得出AB的长.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由函数在上单调递增，
可得，则，所以，可得，
由，可得，
则满足，
解得，
当时，可得；
当时，可得；
当时，不合题意，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意得到，再利用余弦型函数的最小正周期公式，从而得出的范围，再由结合余弦型函数的单调性，建立的不等式组，进而求解得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：复数，
因为复数是纯虚数，所以，解得或（舍去），
故实数的值为；
（2）解：复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）先化简复数，再根据复数是纯虚数，列方程组求解即可；
（2）由（1）可得复数，根据复数在复平面内所对应的点在第四象限，列出不等式组求解即可.
（1）由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），
所以实数的值为.
（2）由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由向量，满足，，且．
可得，
则，
设向量与的夹角为，
可得，
因为，所以，
则向量与的夹角为.
（2）解：因为，
可得，
则，
解得或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据得出，结合数量积求向量的夹角公式，再利用两向量夹角的取值范围，从而得出向量，的夹角.
（2）根据建立方程，从而列出方程求解得出t的值.
（1）解：由向量，满足，，且．
可得，可得，
设向量与的夹角为，可得，
因为，所以，即向量与的夹角为.
（2）解：因为，可得，
即，解得或.
17．【答案】（1）解：在中，因为是线段的中点，所以，
又因为，所以，
因为，，，所以，
则；
（2）解：设，则，，
因为，所以，
由（1）知，，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又因为，所以，解得，则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）在中，由是线段的中点，可得，利用向量的线性运算得，再利用平面向量数量积的运算性质求即可；
（2）设，则，根据，可得，由（1）知，，再利用三点共线，利用向量线性运算得，最后根据平面向量的基本定理求的值，即可得的结论.
（1）因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以.
（2）设，则，所以，又，所以，
由（1）知，所以，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又，所以，解得，
所以.
18．【答案】（1）解：①、由正弦定理，可得千米；
②、因为，，所以，
所以，
则的面积平方千米；
（2）解：设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米，
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元，因为，所以，所以，
所以，所以，
则该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①、在中，直接利用正弦定理计算即可；
②、由题意可得，利用两角和的正弦公式求的正弦值，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，利用正弦定理用表示，再表示的面积，以及改造项目获得的利润，结合三角函数值域求解即可.
（1）①由正弦定理可得，
则千米.
②因为，，所以，
所以
则的面积平方千米.
（2）设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米.
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元.
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.
19．【答案】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
可得，解得，
所以，则，
由，可得，
因为，所以，
则，
将的向右平移个单位长度，
可得函数，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知：，
因为不等式，所以，
可得，
解得，
所以不等式的解集为.
（3）解：由（1）知：，
当，可得，
当时，，
因为对任意的 ，，都有，
则当时，恒成立，
所以恒成立，
所以，当时，恒成立，
设，可得恒成立，
令，
当时，即当时，
则当时，，
所以，则，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据 两条相邻对称轴之间的距离是 得出的值，进而得出函数，再由得出的值，进而得到函数，利用三角型函数的图象变换，从而得出函数的解析式.
（2）利用正弦型函数的图象解不等式即可.
（3）求出的值，再根据题意，转化为恒成立，设，令，结合二次函数求最值的方法结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
可得，解得，所以，即，
又由，可得，
因为，所以，所以，
将的向右平移个单位长度，可得函数，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知：，不等式，即为，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
（3）解：由（1）知：，
当，可得，当时，，
因为对任意的 ，，都有，
即当时，恒成立，即恒成立，
即当时，恒成立，
设，可得恒成立，
令，
当时，即时，即时，，
所以，即，即实数的取值范围为.
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