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广西柳州市柳州高级中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2025高一下·柳州开学考）已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·柳州开学考）命题“，”的否定为 （　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一下·柳州开学考）函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高一下·柳州开学考）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·柳州开学考）化简 （　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·柳州开学考）式子（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2025高一下·柳州开学考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·柳州开学考）记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（　　）
A．方程有三个根
B．的单调减区间为和
C．的最大值为
D．的最小值为
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的或未作答的得0分.
9．（2025高一下·柳州开学考）以下说法正确的有（　　）
A．化成角度为
B．化成的形式是
C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是
D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为
10．（2025高一下·柳州开学考）下列结论恒为零向量的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高一下·柳州开学考）在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．若，则
B．若，，则
C．已知，，则
D．已知，若，，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·柳州开学考）函数（且）恒过定点　 　．
13．（2025高一下·柳州开学考）函数的部分图象如图所示，则　 　.
14．（2025高一下·柳州开学考）已知函数在上恰有两个零点，则　 　，　 　.
四、解答题：第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.
15．（2025高一下·柳州开学考）已知，计算
（1）；
（2）；
（3）
16．（2025高一下·柳州开学考）已知为锐角，为钝角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．（2025高一下·柳州开学考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期，对称中心及单调递增区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，写出函数和的解析式；且当，求的最值.
18．（2025高一下·柳州开学考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
（1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
（2）求的函数解析式，并求报价的最小值；
（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
19．（2025高一下·柳州开学考）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
（1）证明：，并求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性（不需要用定义法证明），并解关于不等式：；
（3）设，对于，使得，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
，，
则，所以.
故答案为：B
【分析】先确定全集、化简已知集合，再通过 “并集” 和 “补集” 的定义逐步计算。
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则为奇函数，排除BD；
当时，因为，所以，排除C.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除BD，最后根据时函数值的正负排除C.
4．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知：幂函数为奇函数，
A、为非奇函数，故A不符合；
B、为偶函数，故B不符合；
C、为奇函数，但是，故C不符合；
D、为奇函数，且经过两点，故D符合.
故答案为：D.
【分析】由题意可知幂函数为奇函数，根据函数为奇函数排除AB；根据函数定义域排除C，即可得正确答案.
5．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式，同角的三角函数关系式化简即可.
6．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】根据对数的运算法则，结合换底公式化简求值即可.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数是增函数，
函数的图象开口向下，对称轴为，
要使函数在上单调递增，则，解得，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】要使函数在上单调递增，分段函数均为增函数，结合二次函数单调性以及分界点的函数值大小关系列不等式组求解即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数图象，如图所示：
由图象可知：
A、的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，故A正确；
B、的单调递减区间为和，故B错误；
C、，故C正确；
D、无最小值，故D错误.
故答案为：A.
【分析】作出函数图象，数形结合逐项判断即可.
9．【答案】A,D
【知识点】任意角；终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，即分针转过的角的弧度数为，故C错误；
D、由弧长公式可得半径为2，弧长为的弧所对圆心角为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】化弧度制为角度制即可判断A；化角度制位弧度制即可判断B；根据正负角的概念即可判断C；根据弧长公式求解即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量加、减法运算法则化简判断即可.
11．【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，则，故A错误；
B、若，则，因为，所以，
又因为，所以，所以，
则，故B错误，
C、易知，因为，，
所以，故C正确，
D、，，，
则，即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：指数函数恒过点，函数是指数函数项右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，则函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
【分析】根据指数函数图象的平移变换求解即可.
13．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可知：函数的最大值为2，即，
，化简可知，解得，
函数图象经过，代入可知，得，
因为，所以，则函数解析式为.
故答案为：.
【分析】由图可知函数的最大值即A得值，根据函数图象过点和求函数的周期，根据周期公式求，最后再根据函数图象经过，结合的范围求函数的解析式即可.
14．【答案】；
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为函数在上恰有两个零点，
所以方程在上恰有两个根，
所以函数与图象在上恰有两个交点，
当时，，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，若，则，所以，即；
令，
所以在上的对称轴为，
由函数的图象性质可知：，即.
故答案为：；.
【分析】先利用辅助角公式化简函数，将问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，通过判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合求解即可.
15．【答案】（1）解：，即，解得；
（2）解：；
（3）解：.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系化弦为切，求解即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系弦化为正切求解即可；
（3）利用正弦、余弦的二倍角公式，以及同角三角函数基本关系的商的关系求解即可.
（1）由题意有，所以，解得；
（2）
（3）
16．【答案】（1）解：由于为锐角，为钝角，且，则，
；
（2）解：，
因为为锐角，为钝角，所以，所以，
，，
则，即.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，结合两角和的余弦公式求值即可；
（2）由（1）利用两角差的余弦公式求得，确定的范围，再利用同角三角函数基本关系求，最后根据两角差的余弦公式求解即可.
（1）由于为锐角，为钝角，且，
所以，
所以，
（2），
由于为锐角，为钝角，所以，
因此，故，
所以，
故
17．【答案】（1）解：已知，
由，可得，则的最小正周期；
令，，解得，，则的对称中心为，；
令，，解不等式，得，
即，，再解不等式，得，即，，
则的单调递增区间为，；
（2）解：将函数的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，
得到. 将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），根据“横坐标伸缩”的原则，的系数变为原来的倍，得到，
当时，，则，
当，即时，取得最大值，此时取得最大值，
当，即时，取得最小值，此时取得最小值.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再根据三角函数的性质求最小正周期、对称中心和单调递增区间即可；
（2）根据三角函数图象的平移和伸缩求得函数和的解析式，最后根据的取值范围求的最值.
（1）已知.
根据二倍角公式，则.
所以.
进一步整理得.
再根据辅助角公式，所以.
对于，，所以最小正周期.
令，，解得，.
所以的对称中心为，.
令，.
先解不等式，得，即，.
再解不等式，得，即，.
所以的单调递增区间为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.
将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），根据“横坐标伸缩”的原则，的系数变为原来的倍，得到.
当时，，则.
当，即时，取得最大值，此时取得最大值.
当，即时，取得最小值，此时取得最小值.
18．【答案】（1）解：由题意可知：当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，则，解得，
故的值为18；
（2）解：设底面长为，，
墙面面积为，
，，当时等号成立，
则，最小值为；
（3）解：对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，整理得，
，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，，
又因为，所以，
故方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据方案二的整体报价函数，直接代值求解即可；
（2）设底面长为，根据题意求出长方体侧面积，再求函数，利用基本不等式求最值即可；
（3）对任意的时，恒成立，分离参数，令，利用换元法，结合对勾函数的性质求解即可.
（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
所以的值为18.
（2）设底面长为，，
所以墙面面积为，
，，当时取等，
所以，最小值为.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：因为①，所以，
又因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以②，
由①-②得到，即
由①+②得到，即；
（2）解：在上单调递增，
因为，所以，
所以，，所以或，
则不等式的解集为；
（3）解：，
因为，所以，所以，
因为对任意的，总存在，使得，所以，
，
令，，
因为令在单调递增，故，
则，，
故当时，，综上，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，利用好函数的奇偶性，求函数的解析式；
（2）易知在上单调递增，利用函数的单调性，结合一元二次不等式得解法求解即可；
（3）由单调性求出在，通过与的关系，分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组，求实数的取值范围即可.
（1）因为①，则，
又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②，
由①-②得到，所以
由①+②得到，所以.
（2）在上单调递增.
因为，所以，
所以，，所以或，
所以解集为；
（3），
因为，所以，所以，
因为对任意的，总存在，使得，
所以，
，
令，，
因为令在单调递增，故，
则，，
所以当时，，
故.
1 / 1广西柳州市柳州高级中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2025高一下·柳州开学考）已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
，，
则，所以.
故答案为：B
【分析】先确定全集、化简已知集合，再通过 “并集” 和 “补集” 的定义逐步计算。
2．（2025高一下·柳州开学考）命题“，”的否定为 （　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2025高一下·柳州开学考）函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则为奇函数，排除BD；
当时，因为，所以，排除C.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除BD，最后根据时函数值的正负排除C.
4．（2025高一下·柳州开学考）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知：幂函数为奇函数，
A、为非奇函数，故A不符合；
B、为偶函数，故B不符合；
C、为奇函数，但是，故C不符合；
D、为奇函数，且经过两点，故D符合.
故答案为：D.
【分析】由题意可知幂函数为奇函数，根据函数为奇函数排除AB；根据函数定义域排除C，即可得正确答案.
5．（2025高一下·柳州开学考）化简 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式，同角的三角函数关系式化简即可.
6．（2025高一下·柳州开学考）式子（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】根据对数的运算法则，结合换底公式化简求值即可.
7．（2025高一下·柳州开学考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数是增函数，
函数的图象开口向下，对称轴为，
要使函数在上单调递增，则，解得，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】要使函数在上单调递增，分段函数均为增函数，结合二次函数单调性以及分界点的函数值大小关系列不等式组求解即可.
8．（2025高一下·柳州开学考）记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（　　）
A．方程有三个根
B．的单调减区间为和
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数图象，如图所示：
由图象可知：
A、的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，故A正确；
B、的单调递减区间为和，故B错误；
C、，故C正确；
D、无最小值，故D错误.
故答案为：A.
【分析】作出函数图象，数形结合逐项判断即可.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的或未作答的得0分.
9．（2025高一下·柳州开学考）以下说法正确的有（　　）
A．化成角度为
B．化成的形式是
C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是
D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为
【答案】A,D
【知识点】任意角；终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，即分针转过的角的弧度数为，故C错误；
D、由弧长公式可得半径为2，弧长为的弧所对圆心角为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】化弧度制为角度制即可判断A；化角度制位弧度制即可判断B；根据正负角的概念即可判断C；根据弧长公式求解即可判断D.
10．（2025高一下·柳州开学考）下列结论恒为零向量的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量加、减法运算法则化简判断即可.
11．（2025高一下·柳州开学考）在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．若，则
B．若，，则
C．已知，，则
D．已知，若，，则
【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，则，故A错误；
B、若，则，因为，所以，
又因为，所以，所以，
则，故B错误，
C、易知，因为，，
所以，故C正确，
D、，，，
则，即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法求解即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·柳州开学考）函数（且）恒过定点　 　．
【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：指数函数恒过点，函数是指数函数项右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，则函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
【分析】根据指数函数图象的平移变换求解即可.
13．（2025高一下·柳州开学考）函数的部分图象如图所示，则　 　.
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可知：函数的最大值为2，即，
，化简可知，解得，
函数图象经过，代入可知，得，
因为，所以，则函数解析式为.
故答案为：.
【分析】由图可知函数的最大值即A得值，根据函数图象过点和求函数的周期，根据周期公式求，最后再根据函数图象经过，结合的范围求函数的解析式即可.
14．（2025高一下·柳州开学考）已知函数在上恰有两个零点，则　 　，　 　.
【答案】；
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为函数在上恰有两个零点，
所以方程在上恰有两个根，
所以函数与图象在上恰有两个交点，
当时，，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，若，则，所以，即；
令，
所以在上的对称轴为，
由函数的图象性质可知：，即.
故答案为：；.
【分析】先利用辅助角公式化简函数，将问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，通过判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合求解即可.
四、解答题：第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.
15．（2025高一下·柳州开学考）已知，计算
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：，即，解得；
（2）解：；
（3）解：.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系化弦为切，求解即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系弦化为正切求解即可；
（3）利用正弦、余弦的二倍角公式，以及同角三角函数基本关系的商的关系求解即可.
（1）由题意有，所以，解得；
（2）
（3）
16．（2025高一下·柳州开学考）已知为锐角，为钝角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由于为锐角，为钝角，且，则，
；
（2）解：，
因为为锐角，为钝角，所以，所以，
，，
则，即.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，结合两角和的余弦公式求值即可；
（2）由（1）利用两角差的余弦公式求得，确定的范围，再利用同角三角函数基本关系求，最后根据两角差的余弦公式求解即可.
（1）由于为锐角，为钝角，且，
所以，
所以，
（2），
由于为锐角，为钝角，所以，
因此，故，
所以，
故
17．（2025高一下·柳州开学考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期，对称中心及单调递增区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，写出函数和的解析式；且当，求的最值.
【答案】（1）解：已知，
由，可得，则的最小正周期；
令，，解得，，则的对称中心为，；
令，，解不等式，得，
即，，再解不等式，得，即，，
则的单调递增区间为，；
（2）解：将函数的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，
得到. 将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），根据“横坐标伸缩”的原则，的系数变为原来的倍，得到，
当时，，则，
当，即时，取得最大值，此时取得最大值，
当，即时，取得最小值，此时取得最小值.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再根据三角函数的性质求最小正周期、对称中心和单调递增区间即可；
（2）根据三角函数图象的平移和伸缩求得函数和的解析式，最后根据的取值范围求的最值.
（1）已知.
根据二倍角公式，则.
所以.
进一步整理得.
再根据辅助角公式，所以.
对于，，所以最小正周期.
令，，解得，.
所以的对称中心为，.
令，.
先解不等式，得，即，.
再解不等式，得，即，.
所以的单调递增区间为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.
将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），根据“横坐标伸缩”的原则，的系数变为原来的倍，得到.
当时，，则.
当，即时，取得最大值，此时取得最大值.
当，即时，取得最小值，此时取得最小值.
18．（2025高一下·柳州开学考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
（1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
（2）求的函数解析式，并求报价的最小值；
（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知：当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，则，解得，
故的值为18；
（2）解：设底面长为，，
墙面面积为，
，，当时等号成立，
则，最小值为；
（3）解：对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，整理得，
，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，，
又因为，所以，
故方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据方案二的整体报价函数，直接代值求解即可；
（2）设底面长为，根据题意求出长方体侧面积，再求函数，利用基本不等式求最值即可；
（3）对任意的时，恒成立，分离参数，令，利用换元法，结合对勾函数的性质求解即可.
（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
所以的值为18.
（2）设底面长为，，
所以墙面面积为，
，，当时取等，
所以，最小值为.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
19．（2025高一下·柳州开学考）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
（1）证明：，并求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性（不需要用定义法证明），并解关于不等式：；
（3）设，对于，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：因为①，所以，
又因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以②，
由①-②得到，即
由①+②得到，即；
（2）解：在上单调递增，
因为，所以，
所以，，所以或，
则不等式的解集为；
（3）解：，
因为，所以，所以，
因为对任意的，总存在，使得，所以，
，
令，，
因为令在单调递增，故，
则，，
故当时，，综上，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，利用好函数的奇偶性，求函数的解析式；
（2）易知在上单调递增，利用函数的单调性，结合一元二次不等式得解法求解即可；
（3）由单调性求出在，通过与的关系，分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组，求实数的取值范围即可.
（1）因为①，则，
又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②，
由①-②得到，所以
由①+②得到，所以.
（2）在上单调递增.
因为，所以，
所以，，所以或，
所以解集为；
（3），
因为，所以，所以，
因为对任意的，总存在，使得，
所以，
，
令，，
因为令在单调递增，故，
则，，
所以当时，，
故.
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