资源简介

四川省成都市成华区2025-2026学年度九年级上期数学期末初中学业水平阶段性监测
1．（2026九上·成华期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026九上·成华期末）如图所示的几何体是一个被切去一角的正方体，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·成华期末）要使如图所示的□ABCD 成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　）
A．AC=BD B．AB=CD C．AB∥CD D．∠ABC=∠ADC
4．（2026九上·成华期末）对于反比例函数 下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象分别位于第二、第四象限
B．点（2，2)在该函数的图象上
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．当x>0时，y随x的增大而减小
5．（2026九上·成华期末）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
6．（2026九上·成华期末）古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步 设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　）
A．x（60-x)=864 B．x（x-60)=864
C．x（60+x)=864 D．2[x+（x+60)]=864
7．（2026九上·成华期末） 如图， 正方形ABCD 的边长为5， AB边在y轴上， 点B （0， - 2) . 若将正方形ABCD绕原点O 逆时针旋转90°.得到正方形A'B'C'D'.则点D'的坐标为（　　）
A．（-3， 5) B．（5， - 3)
C．（-2， 5) D．（5， - 2)
8．（2026九上·成华期末）如图，四边形ABCD和四边形 A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为（2， 0) ， 点A'的坐标为（3， 0) . 若 CD 的长为3， 则C'D'的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
9．（2026九上·成华期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为　 　.
10．（2026九上·成华期末）某校为了解学生利用学校智慧教育平台辅助学习的情况，随机调查了100名学生，结果显示仅有3名学生从未使用过学校智慧教育平台辅助学习.已知该校共有2000名学生，则该校全体学生中从未使用过学校智慧教育平台辅助学习的学生估计共有　 　名.
11．（2026九上·成华期末）在功W（焦耳)一定的条件下，功率P （瓦特)与做功时间t（秒)是反比例函数关系.已知当t=20秒时，P=60瓦特，则功率P与做功时间t之间的函数表达式为　 　.
12．（2026九上·成华期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD 边上，连接并延长EO交BC于点F. 若AB=2， ∠BAD=60°， 则△DOE与△COF的面积之和为　 　.
13．（2026九上·成华期末） 如图， 在矩形ABCD中， AB=3， BC=6， 分别以B， D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，直线EF分别交AD， BC于点G， H， 则 GH的长为　 　.
14．（2026九上·成华期末）已知关于x的一元二次方程.
（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；
（2）若该方程的一个根是-1，求它的另一个根及m的值.
15．（2026九上·成华期末） “运动无限，气象万千”.2025年8月 7日—17日，第12届世运会在成都成功举行.某校学生积极报名参加志愿者.组委会为使志愿者队伍尽量整齐，将这批志愿者按身高h（单位： cm)分为A（160≤h<165)， B（165≤h<170)， C（170≤h<175)， D（175≤h<180)，E （180≤h<185)五组，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）这批志愿者共有　 　人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中 A 组对应的扇形圆心角度数；
（3）在B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率.
16．（2026九上·成华期末）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片.2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为 1800元.随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元.
（1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率；
（2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片
17．（2026九上·成华期末）如图， BD 为菱形ABCD 的对角线， 过点A作AE⊥BC， 垂足为点E， AE交BD 于点F，过点A 作AB 的垂线交 BD 于点 G，过点 G作 GH⊥AE，垂足为点H.
（1） 求证： AB=GH+BE；
（2） 若GH=2AH， 求 的值.
18．（2026九上·成华期末）如图，直线 与直线 交于点A（a，3)，与y轴交于点B，经过点A的反比例函数 的图象与直线 在第四象限交于点 C，连接并延长CB 与反比例函数 的图象在第二象限交于点 D.
（1） 求a， b及k的值；
（2）求点D 的坐标；
（3）在y轴上是否存在点 E，使以 B，C，E为顶点的三角形与△ACD 相似 若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（2026九上·成华期末）以一元二次方程x（x+2)-3=0的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第　 　象限.
20．（2026九上·成华期末） 已知 则 的值是　 　.
21．（2026九上·成华期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能同时点亮灯泡L1、L2的概率为　 　 .
22．（2026九上·成华期末） 如图， 点A的坐标为 （2， m) ， 其中m>2. 过点A 作AO的垂线交过点A 的反比例函数 的图象于点 B， 若AB=n·AO，则k的值为　 　（用含n的代数式表示).
23．（2026九上·成华期末） 如图， 在△ABC中，BC=3+3 ， ∠B=60°， ∠C=45°， 点D在AB上， AD=2， 点P为AC上一动点， 点Q为BC上一动点，满足 则，DQ+PQ的最小值为　 　.
24．（2026九上·成华期末）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象.对于函数 可列表如下：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
… -2 - a 0 2 b 2 …
（1） 表中a= ，b= ；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 的大致图象；
（2）观察函数图象，请写一条该函数的性质：　 　；
（3）结合函数图象，请直接写出不等式 的解集： 　 　.
25．（2026九上·成华期末）如图， 线段AB=6， AD=4， 点D在线段AB上方绕点A转动. 以AB， AD为邻边作平行四边形ABCD， E是CD的中点， F是AD 上一点， 连接BE， EF.
（1） 如图1， 当四边形ABCD为矩形， EF⊥BE时， 求DF 的长；
（2） 如图2， 当AF：EF：DF=2：2：1时， 求BE的长.
（3） 如图3， 当AF：DF=1：2时， 连接CF交BE于点G， 在点D 旋转过程中， 的值是否为定值 若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由.
26．（2026九上·成华期末）如图，直线 与反比例函数 的图象的左右交点分别是点A，B， 连接OA， OB. P 为反比例函数 图象上一点，且点 P在直线AB 的下方.
（1） 求△OAB 的面积；
（2） 若△PAB 面积等于△OAB 面积的 ， 求点 P 的坐标；
（3） 连接并延长OP交AB于M， 过P作PN∥OB交AB 于N， 试探究 是否存在最大值 若存在，请求出它的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，
∴选项A中方程有两个相等的实数根；
∵Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3<0，
∴选项B中方程没有实数根；
∵Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0，
∴选项C中方程有两个不相等的实数根；
∵Δ=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0，
∴选项D中方程没有实数根
故答案为：C.
【分析】计算每个方程根的判别式，利用根的判别式与0的关系可得结论.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的左视图是：
故答案为：B.
【分析】根据左视图的定义，从物体的左面观察该被切去一角的正方体，确定看到的图形形状，从而选出正确的左视图.
3．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、由AC=BD，能判定 ABCD是矩形，故符合题意；
B、由AB=CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、由AB//CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、由∠ABC=∠ADC，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、k=2>0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；
B、把点(2，2)代入反比例函数，1=2不成立，故不符合题意；
C、当x<0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x>0时，y随的增大而减小，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，k=2>0，函数位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小.
5．【答案】B
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为：x(60-x)=864
故答案为：A.
【分析】根据题意，设宽为x步，则长为(60-x)步，利用矩形面积公式即可列出方程.
7．【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，
∴AB=AD=5
∵点B的坐标为(0，-2)，
∴OB=2
∴OA=AB-OB=3
由旋转的性质得：OA'=OA=3，A'D'=AD=5.
∵点D'在第二象限
∴点D'的坐标为(-3，5).
故答案为：A.
【分析】根据正方形ABCD的边长为5得AB=AD=5，根据点B(0，-2)得OB=2，进而得OA=3，由旋转性质得OA'=OA=3，A'D'=AD=5，点D'在第二象限，据此即可得出点D'的坐标.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为
∴
∵CD的长为3，
∴
故答案为：C.
【分析】由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为，则，进而可得答案.
9．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得|m|=2且m-2≠0，
解得m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|=2且m-2≠0，即可求出m的值.
10．【答案】60
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有：(名)
故答案为：60.
【分析】用总人数乘样本中“未使用该平台辅助学习"的人数所占比例即可得.
11．【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵在功W(焦耳)一定的条件下，功率P(瓦特)与做功时间t(秒)是反比例函数关系
∴
∵t=20秒，P=60瓦特，
∴
∴W=1200
∴功率P与做功时间t之间的函数表达式为
故答案为：.
【分析】根据反比例函数的知识点进行解题即可.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴OD=OB， OA=OC， AD//CB， AC⊥BD，
∴△AOB和△AOD都是直角三角形，
∵∠BAD=60°
∴，
在Rt△AOB中，AB=2，∠BAO=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
∴OD=OB=1，
∴
∵AD//CB，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OCF中
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴S△OAE=S△OCF，
∴
即△DOE与△COF的面积之和为
故答案为：.
【分析】根据菱形性质得OD=OB，OA=OC，AD//CB，AC⊥BD，，在Rt△AOB中，根据∠BAO=30°得OD=OB=1，，进而得，再证明△OAE和△OCF全等得S△OAE=S△OCF，由此得S△DOE+S△COF=S△AOD，据此可得出答案.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：HG交BD于O点，连接BG，如图，
由作法得EF垂直平分BD，
∴GB=GD，OB=OD， ∠GOD=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6， AD//BC，
∴∠GDB=∠CBD
在△ODG和△OBH中，
∴△ODG≌△OBH(ASA)，
∴OG=OH
设DG=x，则BG=x，AG=6-x，
在Rt△ABG中，32+(6-x)2=x2，
解得
在Rt△ABD中，∵AB=3，AD=6，
∴，
∴
在Rt△ODG中，∵，，
∴
∴
故答案为：.
【分析】HG交BD于O点，连接BG，如图，利用基本作图得到EF垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到GB=GD，OB=OD，∠GOD=90°，再证明△ODG≌△OBH得到OG=OH，设DG=x，则BG=x，AG=6-x，在Rt△ABG中利用勾股定理得到32+(6-x)2=x2，解得，在Rt△ABD中计算出，则，接着计算出，从而即可求解.
14．【答案】（1）解：∵方程有实数根
∴Δ=(-3)2-4×1×(m+1)≥0，
∴
∴m的取值范围是
（2）解：∵方程的一个根为-1，
∴1+3+m+1=0
∴m=-5
∴原方程化为x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，
则m的值为-5，另一个根为4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)方程有实数根，则Δ≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
(2)把x=-1代入方程求得m的数值即可.
15．【答案】（1）40
（2）解：扇形统计图中A组对应的扇形圆心角度数为
（3）解：列表如下：
　 男 男 女 女
男 　 (男，男) (男，女) (男，女)
男 (男，男) 　 (男，女) (男，女)
女 (女，男) (女，男) 　 (女，女)
女 (女，男) (女，男) (女，女) 　
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种
∴刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)这批志愿者共有12÷30%=40(人)，
∴C组的人数为40×25%=10(人)，
∴A组的人数为40-4-10-12-9=5(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：40.
【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以所占的百分比可得这批志愿者共有的人数，即可解决问题；
(2)由360°乘以A组所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种，再由概率公式求解即可.
16．【答案】（1）解：设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x，
根据题意得：2000(1-x)2=1620
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
答：2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为10%.
（2）解：设购进m万颗甲种芯片，则购进(100-m)万颗乙种芯片
根据题意得：1620m+1300(100-m)≤142800
解得：m≤40
答：最多购进40万颗甲种芯片.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；不等式组和一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x，根据2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)设购进m万颗甲种芯片，则购进(100-m)万颗乙种芯片，根据某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可.
17．【答案】（1）证明：连接CG，如图所示，
∵BD为菱形的对称轴，
∴AG=CG，
在△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CBG(SSS)，
∴∠BCG=∠BAG=90°
∴四边形HGCE为矩形
∴GH=CE，
∴AB=BC=CE+BE=GH+BE
（2）解：∵∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠BAE=90°，
∴∠AGH=∠BAE
∴tan∠AGH=tan∠BAE，
∴
∴
又∵HG//BC，
∴△HFG~△EFB，
∴
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)连接CG，可证明△ABG≌△CBG(SSS)，从而得四边形HGCE为矩形，再利用等线段替换可证明结论；
(2)导角可得∠AGH=∠BAE，从而有tan∠AGH=tan∠BAE，即，可得，再证明△HFG~△EFB，根据可得结论.
18．【答案】（1）解：A(a，3)代入中，
∴
∴a=-4，
∴A(-4，3)，
将A(-4，3)代入中，
∴-2+b=3，
∴b=5，
∴
∴
∴k=-12
（2）解：设直线BC的解析式为y=k'x+5，
∴4k'+5=-3，
解得k'=-2，
∴y=-2x+5，
当时，解得x=4或
∴
（3）解：存在点E，使以B，C，E为顶点的三角形与△ACD相似，理由如下：
∵BO=5， CO=5，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠BCO，
∵A(-4，3)， C(4，-3)，，B(0，5)，
∴AC=10，，，
当△ACD~△CBE时，，即
解得BE=11，
∴E(0，-6)；
当△ACD~△EBC时，，即
解得
∴
综上所述：E点坐标为(0，-6)或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)将A点代入中，求出a的值，再将A(-4，3)代入中，求出b的值，再根据点A求出k的值即可；
(2)直线BC与反比例函数的交点即为D点；
(3)分两种情况讨论：当△ACD~△CBE时；当△ACD~△EBC时；根据对应边成比例求解即可.
19．【答案】三
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由方程x(x+2)-3=0，
得到x2+2x-3=0.
两根之和为-2，两根之积为-3.
∴以一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第三象限
故答案为：三.
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，从而得解.
20．【答案】6
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
由条件可得：原式=2+2+2=6.
故答案为：6.
【分析】将所求式子变形，，将已知条件代入求值即可.
21．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 S1 S2 S3
S1 　 (S1，S2) (S1，S3)
S2 (S2，S1) 　 (S2，S3)
S3 (S3，S1) (S3，S2) 　
共有6种等可能的结果，其中能同时点亮灯泡L1、L2的结果有：(S1，S3)，(S3，S1)，共2种，
∴能同时点亮灯泡L1、L2的概率为
故答案为：.
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能同时点亮灯泡L1、L2的结果数，再利用概率公式可得出答案.
22．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： 作AH⊥x轴于H，作BG⊥AH于G，
∵AO⊥AB，∠AGB=90°
∴∠OAH+∠BAG=90°，∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠OAH=∠ABG，
∵∠AHO=∠BGA=90°，
∴△AOH~△BAG
∴
∵A(2，m)在反比例函数的图象上，
∴k=2m， OH=2，
∴
又∵B在反比例函数的图象上，
∴可设
∴，BG=b-2，
∴
∴k2-4nk-16=0
∵k=2m>0，
∴
故答案为：.
【分析】依据题意，作AH⊥x轴于H，作BG⊥AH于G，先证明△AOH~△BAG，则，结合A(2，m)在反比例函数的图象上，可得k=2m，OH=2，故，又B在反比例函数的图象上，从而可设，则，BG=b-2，进而，最后计算可以得解.
23．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于点M，则∠AMB=∠AMC=90°，
设BM=x，
∵∠B=60°，
∴，
∵∠C=45°，
∴，
∵，
∴x=3，
即BM=3，
∴AB=6，
∴，
∵AD=2，
∴BD=4，
作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，则BE=2，，
设BQ长a，则，
∴，EQ=a-2，
∴，
∴，
当PQ和QD在同一条直线上时，PQ+QF的值最小，作DG⊥Q'F于点G，则，DG=EF，
∴，
∵EQ=a-2，，
∴，
∴，
∴，
∴DQ+PQ的最小值为，
故答案为：.
【分析】作AM⊥BC于点M，根据所给的特殊角求得△ABC各边的长度，设BQ长a，则，作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，分别求得DQ，BQ所在的直角三角形的两条直角边的长度，两条线段的和最小，则这两条线段应在同一条直线上，合理把两个直角三角形进行组合，再构造直角三角形，求得两条直角边的长度，根据勾股定理可得构造的直角三角形的斜边长，即为DQ+PQ的最小值.
24．【答案】（1）解：-2；，
（2）y随x的增大而增大
（3）x>2或-2【知识点】反比例函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)把x=-1，y=a代入得
把x=2，y=b代入得
函数的大致图象如图所示，
故答案为：-2，.
(2)由函数图象可知，当-2故答案为：y随x的增大而增大.
(3)如图所示：
由图象可知，函数与函数的交点坐标为、
∵，且不论x为何值时，x2+4为正数
∴当x>2时，，即
当0当x<-2时，，即，
当-2综上，不等式的解集为：x>2或-2故答案为：x>2或-2【分析】(1)利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
(2)观察图象可知当x<0时，y随x值的增大而增大；
(3)利用图象即可解决问题.
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形
∴∠D=∠C=90°，AB=BC=4，CD=AB=6，
∵E是CD的中点
∴
∵EF⊥BE
∴∠FEB=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠CBE=90°
∴∠DEF=∠CBE，
∴△DEF~△CBE，
∴
∴
∴
（2）解：延长FE，交BC的延长线于点G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=BC=4，CD=AB=6， AD//BC
∵E是CD的中点，
∴
∵AF：EF：DF=2：2：1，
∴设AF=2k，则FE=2k，DF=k，
∵AD=AF+DF，
∴2k+k=4，
∴
∴
∵AD//BC，
∴∠DFE=∠G，
在△DEF和△CEG中，
∴△DEF≌△CEG(AAS)
∴，
∴
∴，，
∴
∵∠G=∠G，
∴△EGC~△BGE，
∴
∴
∴BE=6；
（3）解：
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：(3)在点D旋转过程中，的值为定值，这个定值为，
理由如下：
延长EF，交BA的延长线于点H，延长CF，交BA的延长线于点K，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=BC=4，CD=AB=6，AB//DC，
∵E是CD的中点，
∴
∵AB//DC，
∴△AHF~△DEF
∴，，
∴，设S△AHF=k，则S△DEF=4k，
∴
∴S△ABF=4S△AHF=4k，
∴S△BHF=S△AHF+S△ABF=5k，
∵
∴S△BEF=10k
设△BCE的面积为x，
∵
∴
∴x=6k
∴△BCE的面积为6k，
∵AB//DC，
∴△KHF~△CEF，
∴
∴
∴
∴S△KHF=S△AHF=k，BK=AK+AB=9，
∵AB//DC，
∴△ECG~△BKG
∴
∴
∴，
∴
∴在点D旋转过程中，的值为定值，这个定值为：
故答案为：.
【分析】(1)利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)延长FE，交BC的延长线于点G，设AF=2k，则FE=2k，DF=k，利用全等三角形的判定与性质得到，，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；
(3)延长EF，交BA的延长线于点H，延长CF，交BA的延长线于点K，利用平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质得到，设S△AHF=k，则S△DEF=4k，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得S△ABF=4S△AHF=4k，S△BHF=S△AHF+S△ABF=5k，S△BEF=10k，设△BCE的面积为x，利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式得到，求得△BCE的面积为6k，利用相似三角形的判定与性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得△ECG的面积，则结论可得.
26．【答案】（1）解：联立，
解得或
如图，记直线与y轴交于点C，
令x=0，得
∴
∴S△AOB=S△BOC-S△AOC
（2）解：过P作PQ//y轴交AB于点Q，
设，(2∴
∵
∴
即
整理得3t2-35t+72=0，
解得t=9或
∴P(9，2)或
（3）解：如图，过P作PE⊥x轴于点E，过M作MF⊥x轴于点F，
设，则直线OP：，
联立直线AB得：
∵PN//OB，
∴△MPN~△MOB，
∴
∵PE//MF，
∴△POE~△MOF，
∴
∴
当且仅当取等号，
此时7a2=14×12
∴a2=24，
∴，
∴时，最大值为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)联立解析式易得A、B坐标，进而利用割补法求出△OAB的面积；
(2)过P作PQ//y轴交AB于点Q，设参，利用求解即可；
(3)过P作PE⊥x轴于点E，过M作MF⊥x轴于点F，易得，进而转化为坐标之间的关系，据此求解即可.
1 / 1四川省成都市成华区2025-2026学年度九年级上期数学期末初中学业水平阶段性监测
1．（2026九上·成华期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，
∴选项A中方程有两个相等的实数根；
∵Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3<0，
∴选项B中方程没有实数根；
∵Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0，
∴选项C中方程有两个不相等的实数根；
∵Δ=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0，
∴选项D中方程没有实数根
故答案为：C.
【分析】计算每个方程根的判别式，利用根的判别式与0的关系可得结论.
2．（2026九上·成华期末）如图所示的几何体是一个被切去一角的正方体，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的左视图是：
故答案为：B.
【分析】根据左视图的定义，从物体的左面观察该被切去一角的正方体，确定看到的图形形状，从而选出正确的左视图.
3．（2026九上·成华期末）要使如图所示的□ABCD 成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　）
A．AC=BD B．AB=CD C．AB∥CD D．∠ABC=∠ADC
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、由AC=BD，能判定 ABCD是矩形，故符合题意；
B、由AB=CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、由AB//CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、由∠ABC=∠ADC，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.
4．（2026九上·成华期末）对于反比例函数 下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象分别位于第二、第四象限
B．点（2，2)在该函数的图象上
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．当x>0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、k=2>0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；
B、把点(2，2)代入反比例函数，1=2不成立，故不符合题意；
C、当x<0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x>0时，y随的增大而减小，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，k=2>0，函数位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小.
5．（2026九上·成华期末）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
【答案】B
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
6．（2026九上·成华期末）古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步 设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　）
A．x（60-x)=864 B．x（x-60)=864
C．x（60+x)=864 D．2[x+（x+60)]=864
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为：x(60-x)=864
故答案为：A.
【分析】根据题意，设宽为x步，则长为(60-x)步，利用矩形面积公式即可列出方程.
7．（2026九上·成华期末） 如图， 正方形ABCD 的边长为5， AB边在y轴上， 点B （0， - 2) . 若将正方形ABCD绕原点O 逆时针旋转90°.得到正方形A'B'C'D'.则点D'的坐标为（　　）
A．（-3， 5) B．（5， - 3)
C．（-2， 5) D．（5， - 2)
【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，
∴AB=AD=5
∵点B的坐标为(0，-2)，
∴OB=2
∴OA=AB-OB=3
由旋转的性质得：OA'=OA=3，A'D'=AD=5.
∵点D'在第二象限
∴点D'的坐标为(-3，5).
故答案为：A.
【分析】根据正方形ABCD的边长为5得AB=AD=5，根据点B(0，-2)得OB=2，进而得OA=3，由旋转性质得OA'=OA=3，A'D'=AD=5，点D'在第二象限，据此即可得出点D'的坐标.
8．（2026九上·成华期末）如图，四边形ABCD和四边形 A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为（2， 0) ， 点A'的坐标为（3， 0) . 若 CD 的长为3， 则C'D'的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为
∴
∵CD的长为3，
∴
故答案为：C.
【分析】由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为，则，进而可得答案.
9．（2026九上·成华期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得|m|=2且m-2≠0，
解得m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|=2且m-2≠0，即可求出m的值.
10．（2026九上·成华期末）某校为了解学生利用学校智慧教育平台辅助学习的情况，随机调查了100名学生，结果显示仅有3名学生从未使用过学校智慧教育平台辅助学习.已知该校共有2000名学生，则该校全体学生中从未使用过学校智慧教育平台辅助学习的学生估计共有　 　名.
【答案】60
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有：(名)
故答案为：60.
【分析】用总人数乘样本中“未使用该平台辅助学习"的人数所占比例即可得.
11．（2026九上·成华期末）在功W（焦耳)一定的条件下，功率P （瓦特)与做功时间t（秒)是反比例函数关系.已知当t=20秒时，P=60瓦特，则功率P与做功时间t之间的函数表达式为　 　.
【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵在功W(焦耳)一定的条件下，功率P(瓦特)与做功时间t(秒)是反比例函数关系
∴
∵t=20秒，P=60瓦特，
∴
∴W=1200
∴功率P与做功时间t之间的函数表达式为
故答案为：.
【分析】根据反比例函数的知识点进行解题即可.
12．（2026九上·成华期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD 边上，连接并延长EO交BC于点F. 若AB=2， ∠BAD=60°， 则△DOE与△COF的面积之和为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴OD=OB， OA=OC， AD//CB， AC⊥BD，
∴△AOB和△AOD都是直角三角形，
∵∠BAD=60°
∴，
在Rt△AOB中，AB=2，∠BAO=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
∴OD=OB=1，
∴
∵AD//CB，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OCF中
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴S△OAE=S△OCF，
∴
即△DOE与△COF的面积之和为
故答案为：.
【分析】根据菱形性质得OD=OB，OA=OC，AD//CB，AC⊥BD，，在Rt△AOB中，根据∠BAO=30°得OD=OB=1，，进而得，再证明△OAE和△OCF全等得S△OAE=S△OCF，由此得S△DOE+S△COF=S△AOD，据此可得出答案.
13．（2026九上·成华期末） 如图， 在矩形ABCD中， AB=3， BC=6， 分别以B， D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，直线EF分别交AD， BC于点G， H， 则 GH的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：HG交BD于O点，连接BG，如图，
由作法得EF垂直平分BD，
∴GB=GD，OB=OD， ∠GOD=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6， AD//BC，
∴∠GDB=∠CBD
在△ODG和△OBH中，
∴△ODG≌△OBH(ASA)，
∴OG=OH
设DG=x，则BG=x，AG=6-x，
在Rt△ABG中，32+(6-x)2=x2，
解得
在Rt△ABD中，∵AB=3，AD=6，
∴，
∴
在Rt△ODG中，∵，，
∴
∴
故答案为：.
【分析】HG交BD于O点，连接BG，如图，利用基本作图得到EF垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到GB=GD，OB=OD，∠GOD=90°，再证明△ODG≌△OBH得到OG=OH，设DG=x，则BG=x，AG=6-x，在Rt△ABG中利用勾股定理得到32+(6-x)2=x2，解得，在Rt△ABD中计算出，则，接着计算出，从而即可求解.
14．（2026九上·成华期末）已知关于x的一元二次方程.
（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；
（2）若该方程的一个根是-1，求它的另一个根及m的值.
【答案】（1）解：∵方程有实数根
∴Δ=(-3)2-4×1×(m+1)≥0，
∴
∴m的取值范围是
（2）解：∵方程的一个根为-1，
∴1+3+m+1=0
∴m=-5
∴原方程化为x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，
则m的值为-5，另一个根为4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)方程有实数根，则Δ≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
(2)把x=-1代入方程求得m的数值即可.
15．（2026九上·成华期末） “运动无限，气象万千”.2025年8月 7日—17日，第12届世运会在成都成功举行.某校学生积极报名参加志愿者.组委会为使志愿者队伍尽量整齐，将这批志愿者按身高h（单位： cm)分为A（160≤h<165)， B（165≤h<170)， C（170≤h<175)， D（175≤h<180)，E （180≤h<185)五组，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）这批志愿者共有　 　人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中 A 组对应的扇形圆心角度数；
（3）在B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率.
【答案】（1）40
（2）解：扇形统计图中A组对应的扇形圆心角度数为
（3）解：列表如下：
　 男 男 女 女
男 　 (男，男) (男，女) (男，女)
男 (男，男) 　 (男，女) (男，女)
女 (女，男) (女，男) 　 (女，女)
女 (女，男) (女，男) (女，女) 　
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种
∴刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)这批志愿者共有12÷30%=40(人)，
∴C组的人数为40×25%=10(人)，
∴A组的人数为40-4-10-12-9=5(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：40.
【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以所占的百分比可得这批志愿者共有的人数，即可解决问题；
(2)由360°乘以A组所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种，再由概率公式求解即可.
16．（2026九上·成华期末）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片.2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为 1800元.随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元.
（1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率；
（2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片
【答案】（1）解：设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x，
根据题意得：2000(1-x)2=1620
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
答：2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为10%.
（2）解：设购进m万颗甲种芯片，则购进(100-m)万颗乙种芯片
根据题意得：1620m+1300(100-m)≤142800
解得：m≤40
答：最多购进40万颗甲种芯片.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；不等式组和一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x，根据2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)设购进m万颗甲种芯片，则购进(100-m)万颗乙种芯片，根据某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可.
17．（2026九上·成华期末）如图， BD 为菱形ABCD 的对角线， 过点A作AE⊥BC， 垂足为点E， AE交BD 于点F，过点A 作AB 的垂线交 BD 于点 G，过点 G作 GH⊥AE，垂足为点H.
（1） 求证： AB=GH+BE；
（2） 若GH=2AH， 求 的值.
【答案】（1）证明：连接CG，如图所示，
∵BD为菱形的对称轴，
∴AG=CG，
在△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CBG(SSS)，
∴∠BCG=∠BAG=90°
∴四边形HGCE为矩形
∴GH=CE，
∴AB=BC=CE+BE=GH+BE
（2）解：∵∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠BAE=90°，
∴∠AGH=∠BAE
∴tan∠AGH=tan∠BAE，
∴
∴
又∵HG//BC，
∴△HFG~△EFB，
∴
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)连接CG，可证明△ABG≌△CBG(SSS)，从而得四边形HGCE为矩形，再利用等线段替换可证明结论；
(2)导角可得∠AGH=∠BAE，从而有tan∠AGH=tan∠BAE，即，可得，再证明△HFG~△EFB，根据可得结论.
18．（2026九上·成华期末）如图，直线 与直线 交于点A（a，3)，与y轴交于点B，经过点A的反比例函数 的图象与直线 在第四象限交于点 C，连接并延长CB 与反比例函数 的图象在第二象限交于点 D.
（1） 求a， b及k的值；
（2）求点D 的坐标；
（3）在y轴上是否存在点 E，使以 B，C，E为顶点的三角形与△ACD 相似 若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：A(a，3)代入中，
∴
∴a=-4，
∴A(-4，3)，
将A(-4，3)代入中，
∴-2+b=3，
∴b=5，
∴
∴
∴k=-12
（2）解：设直线BC的解析式为y=k'x+5，
∴4k'+5=-3，
解得k'=-2，
∴y=-2x+5，
当时，解得x=4或
∴
（3）解：存在点E，使以B，C，E为顶点的三角形与△ACD相似，理由如下：
∵BO=5， CO=5，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠BCO，
∵A(-4，3)， C(4，-3)，，B(0，5)，
∴AC=10，，，
当△ACD~△CBE时，，即
解得BE=11，
∴E(0，-6)；
当△ACD~△EBC时，，即
解得
∴
综上所述：E点坐标为(0，-6)或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)将A点代入中，求出a的值，再将A(-4，3)代入中，求出b的值，再根据点A求出k的值即可；
(2)直线BC与反比例函数的交点即为D点；
(3)分两种情况讨论：当△ACD~△CBE时；当△ACD~△EBC时；根据对应边成比例求解即可.
19．（2026九上·成华期末）以一元二次方程x（x+2)-3=0的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第　 　象限.
【答案】三
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由方程x(x+2)-3=0，
得到x2+2x-3=0.
两根之和为-2，两根之积为-3.
∴以一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第三象限
故答案为：三.
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，从而得解.
20．（2026九上·成华期末） 已知 则 的值是　 　.
【答案】6
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
由条件可得：原式=2+2+2=6.
故答案为：6.
【分析】将所求式子变形，，将已知条件代入求值即可.
21．（2026九上·成华期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能同时点亮灯泡L1、L2的概率为　 　 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 S1 S2 S3
S1 　 (S1，S2) (S1，S3)
S2 (S2，S1) 　 (S2，S3)
S3 (S3，S1) (S3，S2) 　
共有6种等可能的结果，其中能同时点亮灯泡L1、L2的结果有：(S1，S3)，(S3，S1)，共2种，
∴能同时点亮灯泡L1、L2的概率为
故答案为：.
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能同时点亮灯泡L1、L2的结果数，再利用概率公式可得出答案.
22．（2026九上·成华期末） 如图， 点A的坐标为 （2， m) ， 其中m>2. 过点A 作AO的垂线交过点A 的反比例函数 的图象于点 B， 若AB=n·AO，则k的值为　 　（用含n的代数式表示).
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： 作AH⊥x轴于H，作BG⊥AH于G，
∵AO⊥AB，∠AGB=90°
∴∠OAH+∠BAG=90°，∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠OAH=∠ABG，
∵∠AHO=∠BGA=90°，
∴△AOH~△BAG
∴
∵A(2，m)在反比例函数的图象上，
∴k=2m， OH=2，
∴
又∵B在反比例函数的图象上，
∴可设
∴，BG=b-2，
∴
∴k2-4nk-16=0
∵k=2m>0，
∴
故答案为：.
【分析】依据题意，作AH⊥x轴于H，作BG⊥AH于G，先证明△AOH~△BAG，则，结合A(2，m)在反比例函数的图象上，可得k=2m，OH=2，故，又B在反比例函数的图象上，从而可设，则，BG=b-2，进而，最后计算可以得解.
23．（2026九上·成华期末） 如图， 在△ABC中，BC=3+3 ， ∠B=60°， ∠C=45°， 点D在AB上， AD=2， 点P为AC上一动点， 点Q为BC上一动点，满足 则，DQ+PQ的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于点M，则∠AMB=∠AMC=90°，
设BM=x，
∵∠B=60°，
∴，
∵∠C=45°，
∴，
∵，
∴x=3，
即BM=3，
∴AB=6，
∴，
∵AD=2，
∴BD=4，
作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，则BE=2，，
设BQ长a，则，
∴，EQ=a-2，
∴，
∴，
当PQ和QD在同一条直线上时，PQ+QF的值最小，作DG⊥Q'F于点G，则，DG=EF，
∴，
∵EQ=a-2，，
∴，
∴，
∴，
∴DQ+PQ的最小值为，
故答案为：.
【分析】作AM⊥BC于点M，根据所给的特殊角求得△ABC各边的长度，设BQ长a，则，作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，分别求得DQ，BQ所在的直角三角形的两条直角边的长度，两条线段的和最小，则这两条线段应在同一条直线上，合理把两个直角三角形进行组合，再构造直角三角形，求得两条直角边的长度，根据勾股定理可得构造的直角三角形的斜边长，即为DQ+PQ的最小值.
24．（2026九上·成华期末）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象.对于函数 可列表如下：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
… -2 - a 0 2 b 2 …
（1） 表中a= ，b= ；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 的大致图象；
（2）观察函数图象，请写一条该函数的性质：　 　；
（3）结合函数图象，请直接写出不等式 的解集： 　 　.
【答案】（1）解：-2；，
（2）y随x的增大而增大
（3）x>2或-2【知识点】反比例函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)把x=-1，y=a代入得
把x=2，y=b代入得
函数的大致图象如图所示，
故答案为：-2，.
(2)由函数图象可知，当-2故答案为：y随x的增大而增大.
(3)如图所示：
由图象可知，函数与函数的交点坐标为、
∵，且不论x为何值时，x2+4为正数
∴当x>2时，，即
当0当x<-2时，，即，
当-2综上，不等式的解集为：x>2或-2故答案为：x>2或-2【分析】(1)利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
(2)观察图象可知当x<0时，y随x值的增大而增大；
(3)利用图象即可解决问题.
25．（2026九上·成华期末）如图， 线段AB=6， AD=4， 点D在线段AB上方绕点A转动. 以AB， AD为邻边作平行四边形ABCD， E是CD的中点， F是AD 上一点， 连接BE， EF.
（1） 如图1， 当四边形ABCD为矩形， EF⊥BE时， 求DF 的长；
（2） 如图2， 当AF：EF：DF=2：2：1时， 求BE的长.
（3） 如图3， 当AF：DF=1：2时， 连接CF交BE于点G， 在点D 旋转过程中， 的值是否为定值 若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形
∴∠D=∠C=90°，AB=BC=4，CD=AB=6，
∵E是CD的中点
∴
∵EF⊥BE
∴∠FEB=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠CBE=90°
∴∠DEF=∠CBE，
∴△DEF~△CBE，
∴
∴
∴
（2）解：延长FE，交BC的延长线于点G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=BC=4，CD=AB=6， AD//BC
∵E是CD的中点，
∴
∵AF：EF：DF=2：2：1，
∴设AF=2k，则FE=2k，DF=k，
∵AD=AF+DF，
∴2k+k=4，
∴
∴
∵AD//BC，
∴∠DFE=∠G，
在△DEF和△CEG中，
∴△DEF≌△CEG(AAS)
∴，
∴
∴，，
∴
∵∠G=∠G，
∴△EGC~△BGE，
∴
∴
∴BE=6；
（3）解：
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：(3)在点D旋转过程中，的值为定值，这个定值为，
理由如下：
延长EF，交BA的延长线于点H，延长CF，交BA的延长线于点K，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=BC=4，CD=AB=6，AB//DC，
∵E是CD的中点，
∴
∵AB//DC，
∴△AHF~△DEF
∴，，
∴，设S△AHF=k，则S△DEF=4k，
∴
∴S△ABF=4S△AHF=4k，
∴S△BHF=S△AHF+S△ABF=5k，
∵
∴S△BEF=10k
设△BCE的面积为x，
∵
∴
∴x=6k
∴△BCE的面积为6k，
∵AB//DC，
∴△KHF~△CEF，
∴
∴
∴
∴S△KHF=S△AHF=k，BK=AK+AB=9，
∵AB//DC，
∴△ECG~△BKG
∴
∴
∴，
∴
∴在点D旋转过程中，的值为定值，这个定值为：
故答案为：.
【分析】(1)利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)延长FE，交BC的延长线于点G，设AF=2k，则FE=2k，DF=k，利用全等三角形的判定与性质得到，，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；
(3)延长EF，交BA的延长线于点H，延长CF，交BA的延长线于点K，利用平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质得到，设S△AHF=k，则S△DEF=4k，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得S△ABF=4S△AHF=4k，S△BHF=S△AHF+S△ABF=5k，S△BEF=10k，设△BCE的面积为x，利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式得到，求得△BCE的面积为6k，利用相似三角形的判定与性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得△ECG的面积，则结论可得.
26．（2026九上·成华期末）如图，直线 与反比例函数 的图象的左右交点分别是点A，B， 连接OA， OB. P 为反比例函数 图象上一点，且点 P在直线AB 的下方.
（1） 求△OAB 的面积；
（2） 若△PAB 面积等于△OAB 面积的 ， 求点 P 的坐标；
（3） 连接并延长OP交AB于M， 过P作PN∥OB交AB 于N， 试探究 是否存在最大值 若存在，请求出它的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：联立，
解得或
如图，记直线与y轴交于点C，
令x=0，得
∴
∴S△AOB=S△BOC-S△AOC
（2）解：过P作PQ//y轴交AB于点Q，
设，(2∴
∵
∴
即
整理得3t2-35t+72=0，
解得t=9或
∴P(9，2)或
（3）解：如图，过P作PE⊥x轴于点E，过M作MF⊥x轴于点F，
设，则直线OP：，
联立直线AB得：
∵PN//OB，
∴△MPN~△MOB，
∴
∵PE//MF，
∴△POE~△MOF，
∴
∴
当且仅当取等号，
此时7a2=14×12
∴a2=24，
∴，
∴时，最大值为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)联立解析式易得A、B坐标，进而利用割补法求出△OAB的面积；
(2)过P作PQ//y轴交AB于点Q，设参，利用求解即可；
(3)过P作PE⊥x轴于点E，过M作MF⊥x轴于点F，易得，进而转化为坐标之间的关系，据此求解即可.
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