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浙江省宁波市鄞州区2025学年第一学期九年级数学学科期末考
1．（2026九上·鄞州期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B．y=3x C．y=2x+1 D．
2．（2026九上·鄞州期末）已知⊙O的半径为4.若点P在⊙O外，则OP 的长可能是（　　）
A．3 B． C．4 D．5
3．（2026九上·鄞州期末）在一副除去大小王的扑克牌中，“任意抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
4．（2026九上·鄞州期末） 在△ABC中， ∠C=90°， AC=3， BC=4， 则cosA的值为（　　)
A． B． C． D．
5．（2026九上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若点A（1， 1) 的对应点为A'（3， 3) ， 当BC=1时， 则线段B'C'的长度是（　　)
A． B．2 C．3 D．4
6．（2026九上·鄞州期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（　　）
A．cos46° B．tan46° C．sin46° D．sin88°
7．（2026九上·鄞州期末）抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点（0，2026)，则a的值是（　　）
A．- 2023 B．2023 C．2026 D．2029
8．（2026九上·鄞州期末）如图，将直角三角板的30°角顶点A 放在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于点E，D，若 则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·鄞州期末）如图，菱形ABCD∽菱形 EAFC，且相似比为2，则下列说法错误的是（　　）
A．B， E， F， D四点共线 B．E为△ABC的重心
C． D．AE⊥BC
10．（2026九上·鄞州期末） 如图1， 在△ABC中， ∠C=90°， 点I为内心劫点D以1cm/s的速度从点C出发， 沿折线C→B→A→C运动. 线段ID的长y（单位： cm)与点D的运动时间x（单位： s)的关系如图2所示.其中，点P（8， )是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（　　）
A．图象最低点的纵坐标为3或5 B．图象上纵坐标为5 的点有3个
C．图象最高点的横坐标为25 D．△ABC的面积为120cm2
11．（2026九上·鄞州期末）如果，那么　 　.
12．（2026九上·鄞州期末）在浙BA 篮球赛的赛前训练中，运动员小张进行了大量投篮练习.统计结果如表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是 　 　.（精确到0.01)
投篮次数（单位：次) 10 50 100 150 200 500 1000 2000
命中次数（单位：次) 9 40 70 108 143 361 721 1440
命中率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72
13．（2026九上·鄞州期末）如果正多边形的一个内角为140°，那么这个正多边形的边数为　 　.
14．（2026九上·鄞州期末）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OC为半径，圆心角∠O=80°形成的扇面，若OA=2m，OC=1m，则图2中阴影部分的面积为　 　m2.（结果保留π)
15．（2026九上·鄞州期末）已知二次函数. ，当0≤x≤2时，函数的最大值为1，则a的取值范围为　 　.
16．（2026九上·鄞州期末）如图①，将矩形ABCD分割为三块，拼成如图②所示的矩形.若点M在图2矩形的一条对角线上，则 的值为　 　.
17．（2026九上·鄞州期末）
（1） 计算：
（2） 已知a、b满足 且a+2b=28， 求a的值.
18．（2026九上·鄞州期末）如图是由16个小正方形组成的4×4的方格纸，其中点A，B，C都在格点上.
（1）在图1中作出线段AB 绕着点 C逆时针旋转90°后的线段 DE；
（2） 在图2中作一个△CMN， 使△CMN与△ABC相似（非全等) ， 要求点M， N是格点.
19．（2026九上·鄞州期末）宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取：
项目序号 项目① 项目② 项目③ 项目④ 项目⑤ 项目⑥
项目名称 50米跑 立定跳远 跳绳 （60秒) 掷实心球 （2千克) 篮球运球投篮 男生引体向上 女生仰卧起坐（60秒)
抽签时，使用电动摇号机从项目编号①—⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目.
（1）若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率；
（2）在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，同时抽到“项目①和项目②”的概率.请画树状图或列表求解.
20．（2026九上·鄞州期末）某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量.为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向.现测得灯塔A位于点D 北偏西50°方向，灯塔B位于点C北偏东39°方向.已知CD=240m.
（参考据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8)
（1）分别求点C距离灯塔A 的距离和点D 距离灯塔B 的距离；
（2）求A，B两座灯塔间的距离.
21．（2026九上·鄞州期末） “如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线 ”.小明提出一种想法：如图，设点P为⊙O上一点，先作射线PO交⊙O 于点Q，再以⊙O上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合)，以AP长为半径画圆弧，交射线PQ于点B，交射线BA于点C，连结PC.
（1） 求证： PC为⊙O 的切线；
（2） 若 求⊙O的半径.
22．（2026九上·鄞州期末）如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着 对应的图象飞行.
（1）输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以（0，20)为起点，过点（10，40)的射线.你输入的值是：a=　 　；b=　 　；c=　 　.
（2）某次无人机按钮输入一组数，
①求无人机飞行的最大高度；
②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中.AB=CD=5，BC=10，AE=DF=27，BG=CH=30，建筑物一侧AE距离飞行起点的水平距离为10m，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于4m，竖直距离不少于5m，按钮设置的这条曲线符合条件吗 请通过计算作出判断并说明理由.
23．（2026九上·鄞州期末） 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， AB=CD=AD， 连结DO并延长交⊙O于点E， 交弦BC于点F.
（1） 若 求⊙O的半径；
（2） 求证： CF=CD；
（3） 若OF=FE=2， 求BF的长.
24．（2026九上·鄞州期末）【阅读理解】若抛物线 的顶点落在直线y=x上，称这样的抛物线为平衡抛物线.如 的顶点为（2，2)落在直线y=x上，是平衡抛物线.
备用图
【提出问题】
若抛物线 都是平衡抛物线，抛物线y1的对称轴为直线x=-3.抛物线y2的对称轴为直线x=n.点A （m，p)在抛物线y1上，点B（2n-m，q) 在抛物线y2上， 点C与点B关于直线x=n对称.设（
【解决问题】
（1）求抛物线y1的解析式；
（2） 若n=1.
①判断线段AC的中点M是否一定落在直线y=x上 请你作出判断并说明理由；
②当-4≤m≤4时， 求d的取值范围；
（3）【拓展思考】在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、属于二次函数，故A符合题意；
B、属于一次函数，故B不符合题意；
C、属于一次函数，故C不符合题意；
D、属于反比例函数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数”进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP>4
∴选项中A、B、C选项都不是大于4，不符合题意，符合的只有D选项5大于4，
故答案为：D.
【分析】根据点P在⊙O外，则OP的长应大于半径，选择符合的答案即可.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：根据随机事件的意义可知：“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件，
故答案为：C.
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来判断即可.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；余弦的概念
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解.
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C是以点为位似中心的位似图形，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，
∵BC=1.
∴B'C'=3.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，进而求出B'C'的长.
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos46°=sin(90°-46°)=sin44°，44°<46°<88°
∴0∵tan45°=1， 而tan46°>tan45°
∴tan46°>1
∴cos46°，tan46°，sin46°，sin88°中， tan46°的值最大，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性先得到0sin45°=1即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得到y=a(x+1)2-3，
∵经过点(0，2026)
∴2026=a-3
∴a=2029
故答案为：D.
【分析】利用平移的规律求得平移后的抛物线的解析式，然后代入点点(0，2026)求得a的值即可.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD、OE、DE，作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠AFE=90°，
∵∠A=30°，，
∴
∴，
∵AD=4，
∴DF= AF-AD=2，
∴，
∵∠DOE=2∠A=60°，OD=OE，
∴△DOE是等边三角形
∴OD=DE=4，
∴
故答案为：B.
【分析】连接OD、OE、DE，作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠AFE=90°，由∠A=30°，，求得，则AF=6，因为AD=4，所以DF=AF-AD=2，求得DE=4，由∠DOE=2∠A=60°，OD=OE，证明△DOE是等边三角形，则OD=DE=4，再根据弧长公式求出的长即得到问题的答案.
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分
∴点B、E、F、D在线段AC的垂直平分线上
∴B、E、F、D四点共线，故A选项不符合题意；
连接EF，
∵B、E、F、D四点共线
∴B、D在直线EF上
∵菱形ABCD~菱形EAFC.
∴△AEG~△BAG
∴
设EG=a，则AG=CG=2a，
∴， AC=4a，
∴
∴，故C选项不符合题意；
∵AG=2a，
∴BG=4a，
∴BE=BG-EG=4a-a=3a，
∴BE：EG=3：1，
∴E不是△ABC的重心，故B选项符合题意；
延长AE，交BC于点H，
∵∠AEG=∠BAG=∠BCG，∠EAG=∠CAH
∴△EAG~△CAH
∴∠AHC=∠AGE=90°，
∴AE⊥BC，故D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质以及重心的定义逐一分析判断即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点H作IM⊥BC于M，IN⊥AB于N，IQ⊥AC于Q，连接BI，AI，CI，
则四边形CMIQ是矩形
∵I是内心，
∴IM=IQ=IN，AN=AQ，BN=BM
∴矩形CMIQ是正方形
∴IM=CM=CQ，
由图2知，当点D运动8s时，点D和点B重合，此时，
∴BC=8cm
设IM=xcm，则CM=xcm，
在Rt△BIM中，BI2=BM2+IM2
∴，
解得x1=3，x2=5
当x=3时，IM=IN=IQ=CM=CQ=3cm， BN=BM=8-3=5cm，
∴AB=(5+AN)cm， AC=3+AQ=(3+AN)cm
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴(5+AN)2=(3+AN)2+82，
解得AN=12cm
当x=5时，IM=IN=IQ=CM=CQ=5cm，BN=BM=8-5=3cm
∴AB=(3+AN)cm，AC=5+AQ=(5+AN)cm，
在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2，
∴(3+AN)2=(5+AN)2+82，
解得AN=-20cm，不符合题意，舍去；
∴AN=12cm，
∴AB=17cm，AC=15cm，
∴，故选项D错误；
当点D和M或N或Q重合时，ID最小，最小值为3cm，故选项A错误；
∵，，，，，
∴在BC上存在一个位置，使ID=5；在AB上存在两个位置，使ID=5；在AC上存在一个位置，使ID=5；
∴一共存在四个位置使ID=5
∴图象上纵坐标为5的点有4个，故选项B错误；
当点D和A重合时，ID最大，此时x=(8+17)÷1=25，故选项C正确，
故答案为：C.
【分析】过点作IM⊥BC于M，IN⊥AB于N，IQ⊥AC于Q，连接BI，AI，CI，根据内心的性质可证明四边形CMIQ是正方形，得出IM=CM=CQ，由函数图象可知，点P表示点D和点B重合，则可求出BC=8cm， 设IM=xcm， 则CM=xcm， 在Rt△BIM中，根据勾股定理得出，解得x1=3，x2=5，当x=3时，在Rt△ABC中，根据勾股定理得出(5+AN)2=(3+AN)2+82，解得AN=12cm；当x=5时，在Rt△ABC中，根据勾股定理得出在Rt△ABC中，(3+AN)2=(5+AN)2+82，解得AN=-20cm，不符合题意，舍去；则AN=12cm，然后逐项分析即可.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ∵，∴
故答案为：.
【分析】根据比例的基本性质，将等积式化成比例式即可解答.
12．【答案】0.72
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72，
故答案为：0.72.
【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确.
13．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是140°
∴这个多边形的每个外角都是180°-140°=40°
∴这个多边形的边数为：360°÷40°=9.
故答案为：9.
【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是40°，然后根据n边形的外角和为360°，即可得到其边数.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可知：，
故答案为：.
【分析】阴影部分的面积是两个扇形面积的差，根据扇形面积公式即可求解.
15．【答案】a≥1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=a且开口向上.
∵抛物线经过点(0，1)，且当0≤x≤2时，函数的最大值为1，
∴抛物线的对称轴在直线x=1的右侧(包含直线x=1).
∴a≥1.
故答案为：a≥1.
【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x=a且开口向上，再结合当0≤x≤2时，函数的最大值为1得出对称轴的位置即可解决问题.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图②，连接对角线QT，
则点M在QT上
设BE=x，CE=y，AB=CD=h，
∴BE=QL=HT=DF=x， PQ=TS=h，
∴MS=AF=AD-DF=x+y-x=y，
∵MS//QL，
∴△TMS∽△TQL，
∴
∴
∴
∵AF//BE，
∴∠FAG=∠BEA，
∵∠AFG=∠EBA=90°，
∴△AFG∽△EBA，
∴
∴
∵SL=FG，
∴
∵h≠0，
∴方程可整理为
解得或(舍去)
即
故答案为：.
【分析】连接对角线QT，则点M在QT上，设BE=x，CE=y，AB=CD=h，先证明△TMS~△TQL，列方程求得，然后证明△AFG~△EBA，求得，再结合SL=FG列方程求解即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：设 则a=3k，b=2k.
由题意得a+2b=3k+4k=28， 解得k=4.
所以a=3k=12.
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
(2)先根据已知比例关系设出未知数，再代入另一个方程求解未知数的值，进而求出a的值.
18．【答案】（1）解：如图1 所示， 线段DE 即为所求；
（2）解：如图2所示， △CMN或△CMN'均可.
【知识点】图形的相似；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)结合相似三角形的判定与性质按要求作图即可.
19．【答案】（1）解：∵抽签时，使用电动摇号机从项目编号①-⑥的球中随机抽取，
∴仅抽取一次，抽到“项目⑤”的概率为
（2）解：从剩余5个项目中，随机抽取两项的所有可能结果是：
① ② ③ ④ ⑤
① 　 ①② ①③ ①④ ①⑤
② ②① 　 ②③ ②④ ②⑤
③ ③① ③② 　 ③④ ③⑤
④ ④① ④② ④③ 　 ④⑤
⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ 　
由上表可知，随机抽取两项的所有可能有20种情况，并且出现的可能性相等，其中同时抽到项目①和项目②的情况有2种，所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)列表，共有20种等可能的情况，其中同时抽到“项目①和项目②"的情况有2种，再由概率公式求解即可.
20．【答案】（1）解：如图， 由AC∥BD得， ∠CAD=∠ADB=50°， ∠CBD=∠ACB=39°.
所以
因为 CD=240m，
所以AC=200m， BD=300m.
（2）解：如图， 连结AB， 过点A作AE⊥BD于点 E，
因为DE=AC=200m，
所以BE=BD-DE=100m.
而AE=CD=240m.
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得：AC//BD，从而可得∠ACB=∠CBD=39°，∠CAD=∠ADB=50°，然后分别在Rt△ACD和Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BD的长，即可解答；
(2)连接AB，过点A作AE⊥BD，垂足为E，根据题意可得：AE=CD=240米，AC=DE=200米，从而可得BE=100米，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理进行计算即可解答.
21．【答案】（1）证明：∵AB=AP=AC，
∴∠ABP=∠APB， ∠APC=∠ACP，
∴
∴BP⊥PC
∵OP是⊙O的半径
∴PC为⊙O的切线
（2）解：∵，PA=15，
∴
∵BC=2AP=30
∴PB=25
连结AQ，
∵PQ是⊙O的直径
∴∠PAQ=90°
∵∠ABP=∠APB
∴△APQ∽△PBC
∴
∴
∴PQ=18
∴OP=9
即⊙O的半径为9.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由作图知，AB=AP=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABP=∠APB，∠APC=∠ACP，求得BP⊥PC，根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线；
(2)根据三角函数的定义得到，求得BC=2AP=30，得到PB=25，连接AQ，根据圆周角定理得到∠PAQ=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论.
22．【答案】（1）0；2；20
（2）解：①当 时，
当x=20时，无人机飞行的最大高度为36m.
②由题可得， 在平面直角坐标系中， 点E (10， 27) ， G(15， 30)，
而点E与点 F，点G 与点 H 均关于抛物线的对称轴直线x=20对称.
所以只需验证点E，G即可.
当x=10时， y=32， 32-27=5≥5，
当y=27时，x1=5， x2=35，10-5=5≥4，
当x=15时， y=35， 35-30=5≥5，
而点 G到抛物线的水平距离大于AB长，即大于5.
所以按钮设置的这条曲线符合条件.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)∵无人机飞行的轨迹是一条射线，
∴a=0，则解析式为y=bx+c，
∵以(0，20)为起点，且过点(10，40)，
∴
解得
故答案为：0，2，20.
【分析】(1)根据题意a=0，再利用待定系数法求解即可；
(2)①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线x=20对称，只需验证点E，G即可.
23．【答案】（1）解：如图， 连结AE，
∵在Rt△DAE中，
∴
解得，
∴⊙O的半径为
（2）证明：连接CE，如图，
∵AB=CD=AD
∴∠DAE=90°
∴，
∴，
∴∠B=∠BCD，
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC+∠ADC=180°
∴AD//BC
∴∠CFD=∠ADE
∵DE为直径
∴∠DCE=90°.
∵∠AED=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CFD
∴CF=CD
（3）解：AE交BC于G点，如图，
∵AD//CF， AD=CD=CF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AD=CD
∴四边形ADCF为菱形
∴AG=AD，
∵AD=AB.
∴AB=AG
∵∠DAE=90°， AD//BC
∴∠AGF=90°
∴BG=FG.
设BG=FG=x，
∵GF//AD
∴
∴AD=4x，
∴CF=AD=4x
∵BF·CF=EG·DG
∴2x·4x=2×6，
解得
∴
【知识点】相交弦定理；圆与四边形的综合
【解析】【分析】(1)连接AE，如图，根据圆周角定理的推论得到∠DAE=90°，然后利用余弦的定义求出DE，从而得到⊙O的半径；
(2)连接CE，如图，先证明∠B=∠BCD，AD//BC，则∠CFD=∠ADE，然后利用∠AED=∠CED得到∠ADE=∠CDE，所以∠CDE=∠CFD从而得到结论；
(3)AE交BC于G点，如图，先证明四边形ADCF为菱形得到AG=AD，则AB=AG，再利用AD//BC和等腰三角形的性质得到BG=FG，设BG=FG=x，根据平行线分线段成比例定理，由GF//AD得到，则AD=4x，所以CF=AD=4x，然后根据相交弦定理得到BF·CF=EG·DG，则可求出x，从而得到BF的长.
24．【答案】（1）解：∵抛物线y1的对称轴为直线x=-3，
∴，
∵抛物线y1是平衡抛物线，
∴
∴
∴抛物线y1的解析式
（2）解：①线段AC的中点M一定落在直线y=x上，
理由如下：
∵n=1，
∴2b2=1，
解得
∵抛物线y2是平衡抛物线
∴，
∴
∴抛物线y2的解析式
∵点C与点B关于直线x=n对称
∴C(m， q)
∴，
∴p+q=2m
∵AC的中点为，即(m，m)，
∴线段AC的中点M一定落在直线y=x上；
②
∵-4≤m≤4，
∴
（3）解：当 时，
∵d的最小值大于或等于6，
∴n≥9或n≤-7.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据定义求解即可；
(2)①求出抛物线y2的解析式，分别求出，，可求AC的中点为(m，m)，即可判断；
②根据题意求出，结合m的取值范围即可求d的范围；
(3)根据题意求出，当时，d的最小值为，再由d的范围求出n的范围即可.
1 / 1浙江省宁波市鄞州区2025学年第一学期九年级数学学科期末考
1．（2026九上·鄞州期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B．y=3x C．y=2x+1 D．
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、属于二次函数，故A符合题意；
B、属于一次函数，故B不符合题意；
C、属于一次函数，故C不符合题意；
D、属于反比例函数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数”进行判断即可.
2．（2026九上·鄞州期末）已知⊙O的半径为4.若点P在⊙O外，则OP 的长可能是（　　）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP>4
∴选项中A、B、C选项都不是大于4，不符合题意，符合的只有D选项5大于4，
故答案为：D.
【分析】根据点P在⊙O外，则OP的长应大于半径，选择符合的答案即可.
3．（2026九上·鄞州期末）在一副除去大小王的扑克牌中，“任意抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：根据随机事件的意义可知：“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件，
故答案为：C.
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来判断即可.
4．（2026九上·鄞州期末） 在△ABC中， ∠C=90°， AC=3， BC=4， 则cosA的值为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；余弦的概念
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解.
5．（2026九上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若点A（1， 1) 的对应点为A'（3， 3) ， 当BC=1时， 则线段B'C'的长度是（　　)
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C是以点为位似中心的位似图形，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，
∵BC=1.
∴B'C'=3.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，进而求出B'C'的长.
6．（2026九上·鄞州期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（　　）
A．cos46° B．tan46° C．sin46° D．sin88°
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos46°=sin(90°-46°)=sin44°，44°<46°<88°
∴0∵tan45°=1， 而tan46°>tan45°
∴tan46°>1
∴cos46°，tan46°，sin46°，sin88°中， tan46°的值最大，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性先得到0sin45°=1即可.
7．（2026九上·鄞州期末）抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点（0，2026)，则a的值是（　　）
A．- 2023 B．2023 C．2026 D．2029
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得到y=a(x+1)2-3，
∵经过点(0，2026)
∴2026=a-3
∴a=2029
故答案为：D.
【分析】利用平移的规律求得平移后的抛物线的解析式，然后代入点点(0，2026)求得a的值即可.
8．（2026九上·鄞州期末）如图，将直角三角板的30°角顶点A 放在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于点E，D，若 则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD、OE、DE，作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠AFE=90°，
∵∠A=30°，，
∴
∴，
∵AD=4，
∴DF= AF-AD=2，
∴，
∵∠DOE=2∠A=60°，OD=OE，
∴△DOE是等边三角形
∴OD=DE=4，
∴
故答案为：B.
【分析】连接OD、OE、DE，作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠AFE=90°，由∠A=30°，，求得，则AF=6，因为AD=4，所以DF=AF-AD=2，求得DE=4，由∠DOE=2∠A=60°，OD=OE，证明△DOE是等边三角形，则OD=DE=4，再根据弧长公式求出的长即得到问题的答案.
9．（2026九上·鄞州期末）如图，菱形ABCD∽菱形 EAFC，且相似比为2，则下列说法错误的是（　　）
A．B， E， F， D四点共线 B．E为△ABC的重心
C． D．AE⊥BC
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分
∴点B、E、F、D在线段AC的垂直平分线上
∴B、E、F、D四点共线，故A选项不符合题意；
连接EF，
∵B、E、F、D四点共线
∴B、D在直线EF上
∵菱形ABCD~菱形EAFC.
∴△AEG~△BAG
∴
设EG=a，则AG=CG=2a，
∴， AC=4a，
∴
∴，故C选项不符合题意；
∵AG=2a，
∴BG=4a，
∴BE=BG-EG=4a-a=3a，
∴BE：EG=3：1，
∴E不是△ABC的重心，故B选项符合题意；
延长AE，交BC于点H，
∵∠AEG=∠BAG=∠BCG，∠EAG=∠CAH
∴△EAG~△CAH
∴∠AHC=∠AGE=90°，
∴AE⊥BC，故D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质以及重心的定义逐一分析判断即可.
10．（2026九上·鄞州期末） 如图1， 在△ABC中， ∠C=90°， 点I为内心劫点D以1cm/s的速度从点C出发， 沿折线C→B→A→C运动. 线段ID的长y（单位： cm)与点D的运动时间x（单位： s)的关系如图2所示.其中，点P（8， )是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（　　）
A．图象最低点的纵坐标为3或5 B．图象上纵坐标为5 的点有3个
C．图象最高点的横坐标为25 D．△ABC的面积为120cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点H作IM⊥BC于M，IN⊥AB于N，IQ⊥AC于Q，连接BI，AI，CI，
则四边形CMIQ是矩形
∵I是内心，
∴IM=IQ=IN，AN=AQ，BN=BM
∴矩形CMIQ是正方形
∴IM=CM=CQ，
由图2知，当点D运动8s时，点D和点B重合，此时，
∴BC=8cm
设IM=xcm，则CM=xcm，
在Rt△BIM中，BI2=BM2+IM2
∴，
解得x1=3，x2=5
当x=3时，IM=IN=IQ=CM=CQ=3cm， BN=BM=8-3=5cm，
∴AB=(5+AN)cm， AC=3+AQ=(3+AN)cm
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴(5+AN)2=(3+AN)2+82，
解得AN=12cm
当x=5时，IM=IN=IQ=CM=CQ=5cm，BN=BM=8-5=3cm
∴AB=(3+AN)cm，AC=5+AQ=(5+AN)cm，
在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2，
∴(3+AN)2=(5+AN)2+82，
解得AN=-20cm，不符合题意，舍去；
∴AN=12cm，
∴AB=17cm，AC=15cm，
∴，故选项D错误；
当点D和M或N或Q重合时，ID最小，最小值为3cm，故选项A错误；
∵，，，，，
∴在BC上存在一个位置，使ID=5；在AB上存在两个位置，使ID=5；在AC上存在一个位置，使ID=5；
∴一共存在四个位置使ID=5
∴图象上纵坐标为5的点有4个，故选项B错误；
当点D和A重合时，ID最大，此时x=(8+17)÷1=25，故选项C正确，
故答案为：C.
【分析】过点作IM⊥BC于M，IN⊥AB于N，IQ⊥AC于Q，连接BI，AI，CI，根据内心的性质可证明四边形CMIQ是正方形，得出IM=CM=CQ，由函数图象可知，点P表示点D和点B重合，则可求出BC=8cm， 设IM=xcm， 则CM=xcm， 在Rt△BIM中，根据勾股定理得出，解得x1=3，x2=5，当x=3时，在Rt△ABC中，根据勾股定理得出(5+AN)2=(3+AN)2+82，解得AN=12cm；当x=5时，在Rt△ABC中，根据勾股定理得出在Rt△ABC中，(3+AN)2=(5+AN)2+82，解得AN=-20cm，不符合题意，舍去；则AN=12cm，然后逐项分析即可.
11．（2026九上·鄞州期末）如果，那么　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ∵，∴
故答案为：.
【分析】根据比例的基本性质，将等积式化成比例式即可解答.
12．（2026九上·鄞州期末）在浙BA 篮球赛的赛前训练中，运动员小张进行了大量投篮练习.统计结果如表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是 　 　.（精确到0.01)
投篮次数（单位：次) 10 50 100 150 200 500 1000 2000
命中次数（单位：次) 9 40 70 108 143 361 721 1440
命中率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72
【答案】0.72
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72，
故答案为：0.72.
【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确.
13．（2026九上·鄞州期末）如果正多边形的一个内角为140°，那么这个正多边形的边数为　 　.
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是140°
∴这个多边形的每个外角都是180°-140°=40°
∴这个多边形的边数为：360°÷40°=9.
故答案为：9.
【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是40°，然后根据n边形的外角和为360°，即可得到其边数.
14．（2026九上·鄞州期末）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OC为半径，圆心角∠O=80°形成的扇面，若OA=2m，OC=1m，则图2中阴影部分的面积为　 　m2.（结果保留π)
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可知：，
故答案为：.
【分析】阴影部分的面积是两个扇形面积的差，根据扇形面积公式即可求解.
15．（2026九上·鄞州期末）已知二次函数. ，当0≤x≤2时，函数的最大值为1，则a的取值范围为　 　.
【答案】a≥1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=a且开口向上.
∵抛物线经过点(0，1)，且当0≤x≤2时，函数的最大值为1，
∴抛物线的对称轴在直线x=1的右侧(包含直线x=1).
∴a≥1.
故答案为：a≥1.
【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x=a且开口向上，再结合当0≤x≤2时，函数的最大值为1得出对称轴的位置即可解决问题.
16．（2026九上·鄞州期末）如图①，将矩形ABCD分割为三块，拼成如图②所示的矩形.若点M在图2矩形的一条对角线上，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图②，连接对角线QT，
则点M在QT上
设BE=x，CE=y，AB=CD=h，
∴BE=QL=HT=DF=x， PQ=TS=h，
∴MS=AF=AD-DF=x+y-x=y，
∵MS//QL，
∴△TMS∽△TQL，
∴
∴
∴
∵AF//BE，
∴∠FAG=∠BEA，
∵∠AFG=∠EBA=90°，
∴△AFG∽△EBA，
∴
∴
∵SL=FG，
∴
∵h≠0，
∴方程可整理为
解得或(舍去)
即
故答案为：.
【分析】连接对角线QT，则点M在QT上，设BE=x，CE=y，AB=CD=h，先证明△TMS~△TQL，列方程求得，然后证明△AFG~△EBA，求得，再结合SL=FG列方程求解即可.
17．（2026九上·鄞州期末）
（1） 计算：
（2） 已知a、b满足 且a+2b=28， 求a的值.
【答案】（1）解：
（2）解：设 则a=3k，b=2k.
由题意得a+2b=3k+4k=28， 解得k=4.
所以a=3k=12.
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
(2)先根据已知比例关系设出未知数，再代入另一个方程求解未知数的值，进而求出a的值.
18．（2026九上·鄞州期末）如图是由16个小正方形组成的4×4的方格纸，其中点A，B，C都在格点上.
（1）在图1中作出线段AB 绕着点 C逆时针旋转90°后的线段 DE；
（2） 在图2中作一个△CMN， 使△CMN与△ABC相似（非全等) ， 要求点M， N是格点.
【答案】（1）解：如图1 所示， 线段DE 即为所求；
（2）解：如图2所示， △CMN或△CMN'均可.
【知识点】图形的相似；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)结合相似三角形的判定与性质按要求作图即可.
19．（2026九上·鄞州期末）宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取：
项目序号 项目① 项目② 项目③ 项目④ 项目⑤ 项目⑥
项目名称 50米跑 立定跳远 跳绳 （60秒) 掷实心球 （2千克) 篮球运球投篮 男生引体向上 女生仰卧起坐（60秒)
抽签时，使用电动摇号机从项目编号①—⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目.
（1）若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率；
（2）在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，同时抽到“项目①和项目②”的概率.请画树状图或列表求解.
【答案】（1）解：∵抽签时，使用电动摇号机从项目编号①-⑥的球中随机抽取，
∴仅抽取一次，抽到“项目⑤”的概率为
（2）解：从剩余5个项目中，随机抽取两项的所有可能结果是：
① ② ③ ④ ⑤
① 　 ①② ①③ ①④ ①⑤
② ②① 　 ②③ ②④ ②⑤
③ ③① ③② 　 ③④ ③⑤
④ ④① ④② ④③ 　 ④⑤
⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ 　
由上表可知，随机抽取两项的所有可能有20种情况，并且出现的可能性相等，其中同时抽到项目①和项目②的情况有2种，所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)列表，共有20种等可能的情况，其中同时抽到“项目①和项目②"的情况有2种，再由概率公式求解即可.
20．（2026九上·鄞州期末）某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量.为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向.现测得灯塔A位于点D 北偏西50°方向，灯塔B位于点C北偏东39°方向.已知CD=240m.
（参考据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8)
（1）分别求点C距离灯塔A 的距离和点D 距离灯塔B 的距离；
（2）求A，B两座灯塔间的距离.
【答案】（1）解：如图， 由AC∥BD得， ∠CAD=∠ADB=50°， ∠CBD=∠ACB=39°.
所以
因为 CD=240m，
所以AC=200m， BD=300m.
（2）解：如图， 连结AB， 过点A作AE⊥BD于点 E，
因为DE=AC=200m，
所以BE=BD-DE=100m.
而AE=CD=240m.
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得：AC//BD，从而可得∠ACB=∠CBD=39°，∠CAD=∠ADB=50°，然后分别在Rt△ACD和Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BD的长，即可解答；
(2)连接AB，过点A作AE⊥BD，垂足为E，根据题意可得：AE=CD=240米，AC=DE=200米，从而可得BE=100米，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理进行计算即可解答.
21．（2026九上·鄞州期末） “如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线 ”.小明提出一种想法：如图，设点P为⊙O上一点，先作射线PO交⊙O 于点Q，再以⊙O上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合)，以AP长为半径画圆弧，交射线PQ于点B，交射线BA于点C，连结PC.
（1） 求证： PC为⊙O 的切线；
（2） 若 求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵AB=AP=AC，
∴∠ABP=∠APB， ∠APC=∠ACP，
∴
∴BP⊥PC
∵OP是⊙O的半径
∴PC为⊙O的切线
（2）解：∵，PA=15，
∴
∵BC=2AP=30
∴PB=25
连结AQ，
∵PQ是⊙O的直径
∴∠PAQ=90°
∵∠ABP=∠APB
∴△APQ∽△PBC
∴
∴
∴PQ=18
∴OP=9
即⊙O的半径为9.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由作图知，AB=AP=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABP=∠APB，∠APC=∠ACP，求得BP⊥PC，根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线；
(2)根据三角函数的定义得到，求得BC=2AP=30，得到PB=25，连接AQ，根据圆周角定理得到∠PAQ=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论.
22．（2026九上·鄞州期末）如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着 对应的图象飞行.
（1）输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以（0，20)为起点，过点（10，40)的射线.你输入的值是：a=　 　；b=　 　；c=　 　.
（2）某次无人机按钮输入一组数，
①求无人机飞行的最大高度；
②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中.AB=CD=5，BC=10，AE=DF=27，BG=CH=30，建筑物一侧AE距离飞行起点的水平距离为10m，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于4m，竖直距离不少于5m，按钮设置的这条曲线符合条件吗 请通过计算作出判断并说明理由.
【答案】（1）0；2；20
（2）解：①当 时，
当x=20时，无人机飞行的最大高度为36m.
②由题可得， 在平面直角坐标系中， 点E (10， 27) ， G(15， 30)，
而点E与点 F，点G 与点 H 均关于抛物线的对称轴直线x=20对称.
所以只需验证点E，G即可.
当x=10时， y=32， 32-27=5≥5，
当y=27时，x1=5， x2=35，10-5=5≥4，
当x=15时， y=35， 35-30=5≥5，
而点 G到抛物线的水平距离大于AB长，即大于5.
所以按钮设置的这条曲线符合条件.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)∵无人机飞行的轨迹是一条射线，
∴a=0，则解析式为y=bx+c，
∵以(0，20)为起点，且过点(10，40)，
∴
解得
故答案为：0，2，20.
【分析】(1)根据题意a=0，再利用待定系数法求解即可；
(2)①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线x=20对称，只需验证点E，G即可.
23．（2026九上·鄞州期末） 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， AB=CD=AD， 连结DO并延长交⊙O于点E， 交弦BC于点F.
（1） 若 求⊙O的半径；
（2） 求证： CF=CD；
（3） 若OF=FE=2， 求BF的长.
【答案】（1）解：如图， 连结AE，
∵在Rt△DAE中，
∴
解得，
∴⊙O的半径为
（2）证明：连接CE，如图，
∵AB=CD=AD
∴∠DAE=90°
∴，
∴，
∴∠B=∠BCD，
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC+∠ADC=180°
∴AD//BC
∴∠CFD=∠ADE
∵DE为直径
∴∠DCE=90°.
∵∠AED=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CFD
∴CF=CD
（3）解：AE交BC于G点，如图，
∵AD//CF， AD=CD=CF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AD=CD
∴四边形ADCF为菱形
∴AG=AD，
∵AD=AB.
∴AB=AG
∵∠DAE=90°， AD//BC
∴∠AGF=90°
∴BG=FG.
设BG=FG=x，
∵GF//AD
∴
∴AD=4x，
∴CF=AD=4x
∵BF·CF=EG·DG
∴2x·4x=2×6，
解得
∴
【知识点】相交弦定理；圆与四边形的综合
【解析】【分析】(1)连接AE，如图，根据圆周角定理的推论得到∠DAE=90°，然后利用余弦的定义求出DE，从而得到⊙O的半径；
(2)连接CE，如图，先证明∠B=∠BCD，AD//BC，则∠CFD=∠ADE，然后利用∠AED=∠CED得到∠ADE=∠CDE，所以∠CDE=∠CFD从而得到结论；
(3)AE交BC于G点，如图，先证明四边形ADCF为菱形得到AG=AD，则AB=AG，再利用AD//BC和等腰三角形的性质得到BG=FG，设BG=FG=x，根据平行线分线段成比例定理，由GF//AD得到，则AD=4x，所以CF=AD=4x，然后根据相交弦定理得到BF·CF=EG·DG，则可求出x，从而得到BF的长.
24．（2026九上·鄞州期末）【阅读理解】若抛物线 的顶点落在直线y=x上，称这样的抛物线为平衡抛物线.如 的顶点为（2，2)落在直线y=x上，是平衡抛物线.
备用图
【提出问题】
若抛物线 都是平衡抛物线，抛物线y1的对称轴为直线x=-3.抛物线y2的对称轴为直线x=n.点A （m，p)在抛物线y1上，点B（2n-m，q) 在抛物线y2上， 点C与点B关于直线x=n对称.设（
【解决问题】
（1）求抛物线y1的解析式；
（2） 若n=1.
①判断线段AC的中点M是否一定落在直线y=x上 请你作出判断并说明理由；
②当-4≤m≤4时， 求d的取值范围；
（3）【拓展思考】在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线y1的对称轴为直线x=-3，
∴，
∵抛物线y1是平衡抛物线，
∴
∴
∴抛物线y1的解析式
（2）解：①线段AC的中点M一定落在直线y=x上，
理由如下：
∵n=1，
∴2b2=1，
解得
∵抛物线y2是平衡抛物线
∴，
∴
∴抛物线y2的解析式
∵点C与点B关于直线x=n对称
∴C(m， q)
∴，
∴p+q=2m
∵AC的中点为，即(m，m)，
∴线段AC的中点M一定落在直线y=x上；
②
∵-4≤m≤4，
∴
（3）解：当 时，
∵d的最小值大于或等于6，
∴n≥9或n≤-7.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据定义求解即可；
(2)①求出抛物线y2的解析式，分别求出，，可求AC的中点为(m，m)，即可判断；
②根据题意求出，结合m的取值范围即可求d的范围；
(3)根据题意求出，当时，d的最小值为，再由d的范围求出n的范围即可.
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