资源简介

广东省深圳市亚迪学校2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（每小题3分，共8小题）
1．（2025九下·深圳开学考）中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁、似象牙白又似羊脂玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品.如图是衢州莹荣白瓷的直口杯，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·深圳开学考）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　）
A．6 B．4.5 C．3.5 D．3
3．（2025九下·深圳开学考）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2025九下·深圳开学考）“给我一个支点，我就能撬起整个地球.”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了.在图2中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂OA与阻力臂OB满足（AB与CD相交于点），则AC的长为（　　）
A．2cm B．12cm C．18cm D．24cm
5．（2025九下·深圳开学考）兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·深圳开学考）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦AB的长为
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（2025九下·深圳开学考）如图，在菱形ABCD中，是一条对角线，是AC上一点，过点作，垂足为，连接DE.若，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·深圳开学考）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．或
二、填空题（每小题3分，共5小题）
9．（2025九下·深圳开学考）已知是关于的方程的一个根，则　 　.
10．（2025九下·深圳开学考）如图，在Rt中，.若，则的值是　 　.
11．（2025九下·深圳开学考）某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出　 　.
每天运输的吨数 250 100 50
运输的天数 2 10
12．（2025九下·深圳开学考）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为.弹跳球落到斜面上的点处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与相同，但最大高度只是拋物线最大高度的.若点与点的高度相同，且点在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线　 　.
13．（2025九下·深圳开学考）如图，在正方形ABCD中，是BC上的一点，将绕点逆时针旋转后得到，将沿AE折叠得到，连接HF，若，则HF的长=　 　.
三、解答题（14题8分，15题8分，16题8分，17题8分，18题9分，19题10分，20题10分）
14．（2025九下·深圳开学考）
（1）解方程：.
（2）小强用配方法求解一元二次方程的过程如下：
解：二次项系数化1，得……第一步
移项，得……第二步
配方，得……第三步
即……第四步
直接开平方，得……第五步
即……第六步
请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 ▲ 步开始出错了，并加以改正.
15．（2025九下·深圳开学考）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气.
A.高锰酸钾制取氧气：
B.碳酸钙制取二氧化碳：
C.电解水：
D.一氧化碳还原氧化铜：
（1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验.高锰酸钾制取氧气的概率为　 　；
（2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率.
16．（2025九下·深圳开学考）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段AB表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线CD是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段.根据图象回答下列问题：
（1）填空：的值为　 　；
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度.
17．（2025九下·深圳开学考）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
18．（2025九下·深圳开学考）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光……
已知，点D，E在AC上，，点在AB上，连接，作的外接圆.
（1）当时，
（I）如图①，若PE是的直径，则的半径为 ▲ ；
（II）如图②，若，求的半径.
（2）当时，如图③，若与AB相切于点，用直尺和圆规作出点的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
19．（2025九下·深圳开学考） 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
（1）【初步理解】现有以下两个函数：①；②，其中，　 　为函数的轴点函数.（填序号）
（2）【尝试应用】函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值.
（3）【拓展延伸】如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值.
20．（2025九下·深圳开学考）点是菱形ABCD边BC上一点，是等腰三角形，，交边CD于点，连接CF.
（1）如图1，当时，
①证明；
②若，请直接写出GH的长.
（2）如图2，当时，若，求的面积.
（3）当时，连接EG，若，当为等腰三角形时，求BE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看到的物体的图形，故答案为A
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看到的物体的图形可得答案。
2．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可知：在直角三角形ABC中，点D为AB的中点，AB=6
CD=3
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可。
3．【答案】A
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在Rt，，，，则BC=。
故答案为：A.
【分析】由题意可知在Rt，，，，则BC=。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得 ，则
AO=3BO
AC=18
AC的长为 18米。
故答案为：C.
【分析】由题意可得 ，则，，根据相似三角形的性质进行解答即可。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设关于x的一元二次方程为
兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4
b=-(3+4)=-7，c=-2x6=-12
原方程是
故答案为：B.
【分析】设关于x的一元二次方程为，根据韦达定理可得b=-(3+4)=-7，c=-2x6=-12，则 原方程是。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意可知；OCAB
AC=BC=AB，
OA=OD=5cm，CD=2cm
OC=OD-CD=5-2=3cm
在RtOAC中，由勾股定理得：
AB=2AC=8cm
故答案为：B.
【分析】由垂径定理得AC=BC=AB，由勾股定理得：，则AB=2AC=8cm。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O
四边形ABCD是菱形
ACBD，ADC=ABC=，AB=BC=CD=AD=6
都是等边三角形
CAB=
EFAF
AFE=，AEF=
AE=2AF
CE=AF
AC=3EC
AE=4，EC=2
OA=OC=3，OD=AO=3
OE=AE-OA=4-3=1
DE=
故答案为：C.
【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质求出OD、OE，再利用勾股定理求解。
8．【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 点，点 两点纵坐标相等
抛物线的对称轴是直线
m=t+10，即t-1
抛物线的开口向上，ab3，且当x=0时，y=0
点B、C到抛物线对称轴的距离比点（0，3）近
1
当t-1时，此时13-t-1-t，无解；
当时，此时13-tt+1，
当时，1t-3t+1，t
综上所述，的取值范围为或t
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的对称性得到m=t+10，即t-1，根据抛物线的性质，点B、C到抛物线对称轴的距离比点（0，3）近，再分三种情况讨论得出的取值范围。
9．【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入可得：4-10+m=0，解得m=6
故答案为：6.
【分析】将代入可得：4-10+m=0，解得m=6。
10．【答案】
【知识点】已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：
设BC=3k，AB=4k
AC=
=
故答案为：.
【分析】由题意可知，设BC=3k，AB=4k，则AC=， =。
11．【答案】5
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系
250x2=100a
解得 a=5
故答案为：5.
【分析】根据反比例函数的性质可得方程250x2=100a，解得a=5。
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意得抛物线的顶点为（4，5）
设抛物线L为y=
将点代入可得 1=
解得 a=
抛物线L的解析式为y=
点在抛物线 L上
当y=1时，=1
解得
点A（8，1）
开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的
抛物线 顶点纵坐标为2
抛物线的解析式为y=
将点（8，1）代入可得 1=
解得 m=6或m=10（舍去）
抛物线的对称轴为直线 x=6
故答案为： 抛物线的对称轴为直线 .
【分析】由题意得抛物线的顶点为（4，5），设抛物线L为y=
将点代入可得 1=，解得 a=，抛物线L的解析式为y=， 再求出点A（8，1），根据抛物线 顶点纵坐标为2，设抛物线的解析式为y=，将点（8，1）代入可得 1=，解得 m=6或m=10（舍去），则抛物线的对称轴为直线 x=6。
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点逆时针旋转后得到，此时AB与AD重合
BE=DF=2
四边形ABCD是正方形
BC=CD=AD=6
CF=CD+DF=6+2=8
将绕点逆时针旋转后得到
将沿AE折叠得到
BE=HE=2
延长EH交CD于点G，连接AG
∴∠AHG=180°-∠AHE=90°
在Rt△AHG和Rt△ADG中
∴Rt△AHG≌Rt△ADG
∴HG=DG
设DG=x，则EG=x+2，CG=6-x
∵CE=BC-BE=4
在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2
即42+(6-x)2=(x+2)2，解得：x=3
∴HG=DG=3
∴GC=3，EG=5
作HM⊥CD于M，则HM∥CE，∠HMF=90°
∴△HMG∽△ECG
∴，即
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据旋转的性质可得，BE=DF=2，根据正方形的性质可得BC=CD=AD=6，CF=CD-DF=6-2=4，根据旋转的性质可得，根据折叠性质可得，BH=HE=2，延长EH交CD于点G，连接AG，根据全等三角形判定定理可得Rt△AHG≌Rt△ADG，则HG=DG，设DG=x，则EG=x+2，CG=6-x，根据边之间的关系可得CE=4，再根据勾股定理建立方程，解方程可得HG=DG=3，GC=3，EG=5，作HM⊥CD于M，则HM∥CE，∠HMF=90°，根据相似三角形判定定理可得△HMG∽△ECG，则，代值计算可得 ，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】（1）解：方程分解得：，
可得或，
解得：.
（2）第五步
正确步骤为：，
①当时，
，
即；
②当时，原方程无实数根.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2） 小强的求解过程有错误，从第五步开始出错了。按照配方法解一元二次方程的步骤写出正确的解题过程即可。
15．【答案】（1）
（2）树状图如下：
由上可得，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种，
两个实验均能制取氧气的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）共有4个实验，其中利用高锰酸钾制取氧气的实验只有1个，能根据概率公式进行求解即可；
（2）画出树状图，由图可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种，两个实验均能制取氧气的概率为。
16．【答案】（1）21
（2）设线段AB对应的函数解析式为，把代入得：
，
解得，
线段AB对应的函数解析式为；
（3）由得，
由得，
，
可进行零件加工的时间长度为30分钟.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将y=100代入y=得：x=21，则的值为21；
（2）利用待定系数法可得线段AB对应的函数解析式为；
（3）由得，由得，则可进行零件加工的时间长度为30分钟.
17．【答案】（1）解：根据题意可知，PQ⊥AE，m，m，，，
∴∠PEC=90°，
CE=AE-AC=1m，
PE=PQ-EQ=1m，
∴CE=PE，
∴∠CPE=β=45°，
tanα==.
（2）解：由（1）可知，∠PEC=90°，CE=PE=1m，，
∴在Rt△PEC中，CP==m，
过作于，如图所示：
则，
设CH=a，则AH=4a，
∴在Rt△ACH中，由勾股定理可得：，
即
解得：，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意可得PQ⊥AE，m，m，，，进而得出∠PEC=90°，CE=PE，由此即可得出答案；
（2）由（1）可知，∠PEC=90°，CE=PE=1m，，由勾股定理可得m，过作于，则，设CH=a，则AH=4a，根据勾股定理可得，进而即可得出答案.
（1）解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
18．【答案】（1）①，若PE是的直径，则的半径为；
②如图，过点作AC的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，
，
，
，
在中，，
，
，
四边形OGFH为矩形，
.
设，则，
在Rt和Rt中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，
即.
（2）如图，作AE的垂直平分线交AB于点，则点即为所求；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】(1) （I） 先证ADP是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出PE，则的半径为PE；
（II） 过点作AC的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，根据垂径定理可得，根据矩形的性质可得，设，则，根据勾股定理和圆的半径相等可得方程，解之可得，根据勾股定理可得
，即；
（2）利用等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆的切线判定定理，过点D作AE的垂直平分线交AB于点，则点即为所求。
19．【答案】（1）解：①
（2）令y=0， 得x+c=0，
解得： x=-c，
∴A(-c，0)，
令x= 0， 得y = c，
∴函数y=x+c(c为常数， c>0)的图象与y轴交于点(0，c)，
∵其轴点函数 经过点A(-c，0)，
且c>0，
∴ac-b+1=0，即b= ac+1，
设B(x，0)，则
或-3；
（3）解：由题意得：，，，
四边形是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点
与点重合，即，如图，
，，且，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，消去、，得，
解得：，，
函数的对称轴在轴左侧，
与同号，即，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，，
综上所述，的值为1或或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： (1)∵函数y=x-1与x轴的交点坐标为(1，0)， 与y轴的交点坐标为(0，-1)，
函数 与x轴的交点坐标为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，-1)，
函数 与x轴的交点坐标为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，0)，∴函数 为函数y =x-1的轴点函数，函数 不是函数y=x-1的轴点函数，
故答案为：①；
【分析】(1)根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
(2)由题意得 即b=a c+1，得出 设B(x1，0)，则 得出 再由 OA， 可得 即ac=±4，即可求得b的值；
(3)由题意得： M(-2t，0)， C(0，t)， N(t，0)， D(t，2t)，E(-2t，2t)，分两种情况：当m>0时，轴点函数 的顶点P与点M重合，即P(-2t，0)，可得 求出n的值即可；当m<0时，轴点函数 nx+t的顶点P在DE边上， 即P(x，2t)， 可得 消去m、t， 求出n的值即可.
20．【答案】（1）证明①如图，在BA上截取BJ，使得.
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
②
（2）在AB上截取AN，使，连接NE.则，
，
.
，
.
，
，
.
，
，
，
，
，
过点作，则，
，
，
，
同理可得，
，
的面积
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：②过点作于点，
由①可知，
，
，
由①知，，
，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
；
（3）连接BD交AC于点O，过点F作BC的平行线CD于M
AB=AC，AE=EF
在菱形ABCD中，AB=AC，，AC、BD互相垂直平分
AB=2OB，则OA=
AC=AB
MF=2CM，则CF=CM
CF=BE
BE=CM
BC=CD
CE=MD
当为等腰三角形时由两种情况
①中，GE=GF
，AC=
AF=EF
EF=FG
AF=3GF
AG=2GF
AB=AC=6
BE=
②FG=FE，AF=FE
AG=AF-FG=(-1)EF
，AB=AC=6
BE=
【分析】（1）①在BA上截取BJ，使得.根据正方形的性质证明，，求出，则；
②过点作于点，由①可知，证明，，，根据可得
，；
（2）在AB上截取AN，使，连接NE.则，先证.求出，过点作，则，可得，，同理可得，，则
；
（3）连接BD交AC于点O，过点F作BC的平行线CD于M，先证，根据菱形的性质可得AB=AC，，AC、BD互相垂直平分，再证，则，可得CE=MD，当为等腰三角形时由两种情况
①中，GE=GF，可证，则EF=FG，AF=3GF，，根据AB=AC=6可得BE=
②根据FG=FE，AF=FE可得AG=AF-FG=(-1)EF，因，AB=AC=6则BE=。
1 / 1广东省深圳市亚迪学校2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（每小题3分，共8小题）
1．（2025九下·深圳开学考）中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁、似象牙白又似羊脂玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品.如图是衢州莹荣白瓷的直口杯，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看到的物体的图形，故答案为A
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看到的物体的图形可得答案。
2．（2025九下·深圳开学考）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　）
A．6 B．4.5 C．3.5 D．3
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可知：在直角三角形ABC中，点D为AB的中点，AB=6
CD=3
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可。
3．（2025九下·深圳开学考）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在Rt，，，，则BC=。
故答案为：A.
【分析】由题意可知在Rt，，，，则BC=。
4．（2025九下·深圳开学考）“给我一个支点，我就能撬起整个地球.”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了.在图2中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂OA与阻力臂OB满足（AB与CD相交于点），则AC的长为（　　）
A．2cm B．12cm C．18cm D．24cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得 ，则
AO=3BO
AC=18
AC的长为 18米。
故答案为：C.
【分析】由题意可得 ，则，，根据相似三角形的性质进行解答即可。
5．（2025九下·深圳开学考）兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设关于x的一元二次方程为
兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4
b=-(3+4)=-7，c=-2x6=-12
原方程是
故答案为：B.
【分析】设关于x的一元二次方程为，根据韦达定理可得b=-(3+4)=-7，c=-2x6=-12，则 原方程是。
6．（2025九下·深圳开学考）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦AB的长为
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意可知；OCAB
AC=BC=AB，
OA=OD=5cm，CD=2cm
OC=OD-CD=5-2=3cm
在RtOAC中，由勾股定理得：
AB=2AC=8cm
故答案为：B.
【分析】由垂径定理得AC=BC=AB，由勾股定理得：，则AB=2AC=8cm。
7．（2025九下·深圳开学考）如图，在菱形ABCD中，是一条对角线，是AC上一点，过点作，垂足为，连接DE.若，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O
四边形ABCD是菱形
ACBD，ADC=ABC=，AB=BC=CD=AD=6
都是等边三角形
CAB=
EFAF
AFE=，AEF=
AE=2AF
CE=AF
AC=3EC
AE=4，EC=2
OA=OC=3，OD=AO=3
OE=AE-OA=4-3=1
DE=
故答案为：C.
【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质求出OD、OE，再利用勾股定理求解。
8．（2025九下·深圳开学考）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 点，点 两点纵坐标相等
抛物线的对称轴是直线
m=t+10，即t-1
抛物线的开口向上，ab3，且当x=0时，y=0
点B、C到抛物线对称轴的距离比点（0，3）近
1
当t-1时，此时13-t-1-t，无解；
当时，此时13-tt+1，
当时，1t-3t+1，t
综上所述，的取值范围为或t
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的对称性得到m=t+10，即t-1，根据抛物线的性质，点B、C到抛物线对称轴的距离比点（0，3）近，再分三种情况讨论得出的取值范围。
二、填空题（每小题3分，共5小题）
9．（2025九下·深圳开学考）已知是关于的方程的一个根，则　 　.
【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入可得：4-10+m=0，解得m=6
故答案为：6.
【分析】将代入可得：4-10+m=0，解得m=6。
10．（2025九下·深圳开学考）如图，在Rt中，.若，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：
设BC=3k，AB=4k
AC=
=
故答案为：.
【分析】由题意可知，设BC=3k，AB=4k，则AC=， =。
11．（2025九下·深圳开学考）某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出　 　.
每天运输的吨数 250 100 50
运输的天数 2 10
【答案】5
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系
250x2=100a
解得 a=5
故答案为：5.
【分析】根据反比例函数的性质可得方程250x2=100a，解得a=5。
12．（2025九下·深圳开学考）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为.弹跳球落到斜面上的点处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与相同，但最大高度只是拋物线最大高度的.若点与点的高度相同，且点在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意得抛物线的顶点为（4，5）
设抛物线L为y=
将点代入可得 1=
解得 a=
抛物线L的解析式为y=
点在抛物线 L上
当y=1时，=1
解得
点A（8，1）
开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的
抛物线 顶点纵坐标为2
抛物线的解析式为y=
将点（8，1）代入可得 1=
解得 m=6或m=10（舍去）
抛物线的对称轴为直线 x=6
故答案为： 抛物线的对称轴为直线 .
【分析】由题意得抛物线的顶点为（4，5），设抛物线L为y=
将点代入可得 1=，解得 a=，抛物线L的解析式为y=， 再求出点A（8，1），根据抛物线 顶点纵坐标为2，设抛物线的解析式为y=，将点（8，1）代入可得 1=，解得 m=6或m=10（舍去），则抛物线的对称轴为直线 x=6。
13．（2025九下·深圳开学考）如图，在正方形ABCD中，是BC上的一点，将绕点逆时针旋转后得到，将沿AE折叠得到，连接HF，若，则HF的长=　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点逆时针旋转后得到，此时AB与AD重合
BE=DF=2
四边形ABCD是正方形
BC=CD=AD=6
CF=CD+DF=6+2=8
将绕点逆时针旋转后得到
将沿AE折叠得到
BE=HE=2
延长EH交CD于点G，连接AG
∴∠AHG=180°-∠AHE=90°
在Rt△AHG和Rt△ADG中
∴Rt△AHG≌Rt△ADG
∴HG=DG
设DG=x，则EG=x+2，CG=6-x
∵CE=BC-BE=4
在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2
即42+(6-x)2=(x+2)2，解得：x=3
∴HG=DG=3
∴GC=3，EG=5
作HM⊥CD于M，则HM∥CE，∠HMF=90°
∴△HMG∽△ECG
∴，即
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据旋转的性质可得，BE=DF=2，根据正方形的性质可得BC=CD=AD=6，CF=CD-DF=6-2=4，根据旋转的性质可得，根据折叠性质可得，BH=HE=2，延长EH交CD于点G，连接AG，根据全等三角形判定定理可得Rt△AHG≌Rt△ADG，则HG=DG，设DG=x，则EG=x+2，CG=6-x，根据边之间的关系可得CE=4，再根据勾股定理建立方程，解方程可得HG=DG=3，GC=3，EG=5，作HM⊥CD于M，则HM∥CE，∠HMF=90°，根据相似三角形判定定理可得△HMG∽△ECG，则，代值计算可得 ，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（14题8分，15题8分，16题8分，17题8分，18题9分，19题10分，20题10分）
14．（2025九下·深圳开学考）
（1）解方程：.
（2）小强用配方法求解一元二次方程的过程如下：
解：二次项系数化1，得……第一步
移项，得……第二步
配方，得……第三步
即……第四步
直接开平方，得……第五步
即……第六步
请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 ▲ 步开始出错了，并加以改正.
【答案】（1）解：方程分解得：，
可得或，
解得：.
（2）第五步
正确步骤为：，
①当时，
，
即；
②当时，原方程无实数根.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2） 小强的求解过程有错误，从第五步开始出错了。按照配方法解一元二次方程的步骤写出正确的解题过程即可。
15．（2025九下·深圳开学考）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气.
A.高锰酸钾制取氧气：
B.碳酸钙制取二氧化碳：
C.电解水：
D.一氧化碳还原氧化铜：
（1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验.高锰酸钾制取氧气的概率为　 　；
（2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率.
【答案】（1）
（2）树状图如下：
由上可得，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种，
两个实验均能制取氧气的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）共有4个实验，其中利用高锰酸钾制取氧气的实验只有1个，能根据概率公式进行求解即可；
（2）画出树状图，由图可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种，两个实验均能制取氧气的概率为。
16．（2025九下·深圳开学考）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段AB表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线CD是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段.根据图象回答下列问题：
（1）填空：的值为　 　；
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度.
【答案】（1）21
（2）设线段AB对应的函数解析式为，把代入得：
，
解得，
线段AB对应的函数解析式为；
（3）由得，
由得，
，
可进行零件加工的时间长度为30分钟.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将y=100代入y=得：x=21，则的值为21；
（2）利用待定系数法可得线段AB对应的函数解析式为；
（3）由得，由得，则可进行零件加工的时间长度为30分钟.
17．（2025九下·深圳开学考）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
【答案】（1）解：根据题意可知，PQ⊥AE，m，m，，，
∴∠PEC=90°，
CE=AE-AC=1m，
PE=PQ-EQ=1m，
∴CE=PE，
∴∠CPE=β=45°，
tanα==.
（2）解：由（1）可知，∠PEC=90°，CE=PE=1m，，
∴在Rt△PEC中，CP==m，
过作于，如图所示：
则，
设CH=a，则AH=4a，
∴在Rt△ACH中，由勾股定理可得：，
即
解得：，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意可得PQ⊥AE，m，m，，，进而得出∠PEC=90°，CE=PE，由此即可得出答案；
（2）由（1）可知，∠PEC=90°，CE=PE=1m，，由勾股定理可得m，过作于，则，设CH=a，则AH=4a，根据勾股定理可得，进而即可得出答案.
（1）解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
18．（2025九下·深圳开学考）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光……
已知，点D，E在AC上，，点在AB上，连接，作的外接圆.
（1）当时，
（I）如图①，若PE是的直径，则的半径为 ▲ ；
（II）如图②，若，求的半径.
（2）当时，如图③，若与AB相切于点，用直尺和圆规作出点的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【答案】（1）①，若PE是的直径，则的半径为；
②如图，过点作AC的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，
，
，
，
在中，，
，
，
四边形OGFH为矩形，
.
设，则，
在Rt和Rt中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，
即.
（2）如图，作AE的垂直平分线交AB于点，则点即为所求；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】(1) （I） 先证ADP是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出PE，则的半径为PE；
（II） 过点作AC的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，根据垂径定理可得，根据矩形的性质可得，设，则，根据勾股定理和圆的半径相等可得方程，解之可得，根据勾股定理可得
，即；
（2）利用等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆的切线判定定理，过点D作AE的垂直平分线交AB于点，则点即为所求。
19．（2025九下·深圳开学考） 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
（1）【初步理解】现有以下两个函数：①；②，其中，　 　为函数的轴点函数.（填序号）
（2）【尝试应用】函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值.
（3）【拓展延伸】如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值.
【答案】（1）解：①
（2）令y=0， 得x+c=0，
解得： x=-c，
∴A(-c，0)，
令x= 0， 得y = c，
∴函数y=x+c(c为常数， c>0)的图象与y轴交于点(0，c)，
∵其轴点函数 经过点A(-c，0)，
且c>0，
∴ac-b+1=0，即b= ac+1，
设B(x，0)，则
或-3；
（3）解：由题意得：，，，
四边形是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点
与点重合，即，如图，
，，且，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，消去、，得，
解得：，，
函数的对称轴在轴左侧，
与同号，即，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，，
综上所述，的值为1或或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： (1)∵函数y=x-1与x轴的交点坐标为(1，0)， 与y轴的交点坐标为(0，-1)，
函数 与x轴的交点坐标为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，-1)，
函数 与x轴的交点坐标为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，0)，∴函数 为函数y =x-1的轴点函数，函数 不是函数y=x-1的轴点函数，
故答案为：①；
【分析】(1)根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
(2)由题意得 即b=a c+1，得出 设B(x1，0)，则 得出 再由 OA， 可得 即ac=±4，即可求得b的值；
(3)由题意得： M(-2t，0)， C(0，t)， N(t，0)， D(t，2t)，E(-2t，2t)，分两种情况：当m>0时，轴点函数 的顶点P与点M重合，即P(-2t，0)，可得 求出n的值即可；当m<0时，轴点函数 nx+t的顶点P在DE边上， 即P(x，2t)， 可得 消去m、t， 求出n的值即可.
20．（2025九下·深圳开学考）点是菱形ABCD边BC上一点，是等腰三角形，，交边CD于点，连接CF.
（1）如图1，当时，
①证明；
②若，请直接写出GH的长.
（2）如图2，当时，若，求的面积.
（3）当时，连接EG，若，当为等腰三角形时，求BE的长.
【答案】（1）证明①如图，在BA上截取BJ，使得.
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
②
（2）在AB上截取AN，使，连接NE.则，
，
.
，
.
，
，
.
，
，
，
，
，
过点作，则，
，
，
，
同理可得，
，
的面积
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：②过点作于点，
由①可知，
，
，
由①知，，
，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
；
（3）连接BD交AC于点O，过点F作BC的平行线CD于M
AB=AC，AE=EF
在菱形ABCD中，AB=AC，，AC、BD互相垂直平分
AB=2OB，则OA=
AC=AB
MF=2CM，则CF=CM
CF=BE
BE=CM
BC=CD
CE=MD
当为等腰三角形时由两种情况
①中，GE=GF
，AC=
AF=EF
EF=FG
AF=3GF
AG=2GF
AB=AC=6
BE=
②FG=FE，AF=FE
AG=AF-FG=(-1)EF
，AB=AC=6
BE=
【分析】（1）①在BA上截取BJ，使得.根据正方形的性质证明，，求出，则；
②过点作于点，由①可知，证明，，，根据可得
，；
（2）在AB上截取AN，使，连接NE.则，先证.求出，过点作，则，可得，，同理可得，，则
；
（3）连接BD交AC于点O，过点F作BC的平行线CD于M，先证，根据菱形的性质可得AB=AC，，AC、BD互相垂直平分，再证，则，可得CE=MD，当为等腰三角形时由两种情况
①中，GE=GF，可证，则EF=FG，AF=3GF，，根据AB=AC=6可得BE=
②根据FG=FE，AF=FE可得AG=AF-FG=(-1)EF，因，AB=AC=6则BE=。
1 / 1

展开更多......

收起↑