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湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·衡山月考）下列代数式是分式的是　　
A． B． C． D．
2．（2025八下·衡山月考）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为m，用科学记数法表示，则n为（　　）
A． B． C．5 D．6
3．（2025八下·衡山月考）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．缩小为原来的 D．不变
4．（2025八下·衡山月考）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·衡山月考）下列各式计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．（2025八下·衡山月考）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·衡山月考）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025八下·衡山月考）若关于的方程无解，则 （　　）
A． B．或 C． D．
9．（2025八下·衡山月考）小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·衡山月考）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点A的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八下·衡山月考）若分式 的值为0，则x的值是　 　．
12．（2025八下·衡山月考）在平面直角坐标中，点在第　 　象限．
13．（2025八下·衡山月考）若有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025八下·衡山月考）计算：　 　．
15．（2025八下·衡山月考）在平面直角坐标系内，已知点、关于y轴对称，则　 　．
16．（2025八下·衡山月考）已知，则的值是　 　．
17．（2025八下·衡山月考）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要天完成，若甲组单独完成需要天，乙组单独完成需　 　天．
18．（2025八下·衡山月考）有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中的水量在减少；③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，则需要24分钟可以将容器灌满．其中正确的有　 　(填序号)．
三、解答题（第19，20，23，24题每题8分；第21，22题每题6分，第25题10分，第26题12分，8小题共66分）
19．（2025八下·衡山月考）计算：
（1）；
（2）．
20．（2025八下·衡山月考）解下列方程：
（1）；
（2）．
21．（2025八下·衡山月考）先化简，再从，，中选出一适当的数代入求值．
22．（2025八下·衡山月考）在解分式方程时，小马虎同学的解法如下：
解：方程两边同乘以，得
移项，得
解得
你认为小马虎同学的解题过程对吗 如果不对，请你解这个方程．
23．（2025八下·衡山月考）长方形ABCD的长与宽分别是6和3，直接写出下列各图中A，B，C，D各个顶点的坐标．
24．（2025八下·衡山月考）某班级组织学生参加研学活动，计划租用一辆客车，租金为1000元，乘车费用进行均摊.出发前部分学生因有事不能参加，实际参加的人数是原计划的，结果每名学生比原计划多付5元车费，实际有多少名学生参加了研学活动？
25．（2025八下·衡山月考）周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s（千米）与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题：
（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？
（2）小李何时第一次休息？
（3）11时到12时，小李骑了多少千米？
（4）返回时，小李的平均车速是多少？
26．（2025八下·衡山月考）当点的坐标满足时，称点为“倒立点”．
（1）判断点______“倒立点”；点______“倒立点”；(填“是”或者“不是”)
（2）如果点是倒立点，那么点是倒立点吗？请说明理由．
（3）已知点是倒立点，，轴，且，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：只有分母中有字母，其他选项没有，所以只有是分式．
故选：D．
【分析】形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
∴n为；
故选B．
【分析】
本题需要将极小的正数转化为科学记数法形式，核心是遵循科学记数法的书写规则，通过移动小数点确定系数a与指数n的对应关系，进而求出n的值．
3．【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得，
即该分式的值不变，
故选：D．
【分析】利用分式的基本性质将所有的x和y都换成2x和2y，代入计算即可.
4．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；
而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个或多个交点，从而不能表示y是x的函数；
故选：C．
【分析】根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．
5．【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、=，故该选项错误；
D、==0， 故该选项正确.
故选D.
【分析】根据分式的运算法则对各选项逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：根据题意，建立如下直角坐标系∶
则点C的坐标为．
故选：B．
【分析】
由于A、B关于原点对称，则可以AB中点为坐标原点建立适当的坐标系，则点C在第四象限的角平分线上，且线段OC的中点恰好与点B关于x轴对称．
7．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，，
∴点在第四象限；
故选：D．
【分析】根据点在第二象限，得到，，再判断点在第几象限即可．
8．【答案】B
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：方程可化为，
方程两边同乘，得，
整理得，
当时，，
∵关于的方程无解，
∴或，
∴或，
故答案为：．
【分析】先求出，再根据方程无解求出或，最后计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故答案为：D．
【分析】
本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据速度、时间、路程三者之间的关系：速度=路程÷时间，再根据走路线B的全程比走路线A少用15分钟列出关于x的分式方程，即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：由中点坐标计算公式得：，
∴，，，，，，
即经过6次后，点与点P重合，显然后面的点继续重复上述规律，即每6次一循环；
而，
∴点的坐标与点的坐标相同，即为；
故选：A．
【分析】由中点坐标计算公式先分别计算出，，，，，，……，的横坐标，从中找到点的规律即经过6次后，点与点P重合，显然后面的点继续重复上述规律，即每6次一循环，进而即可求解.
11．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式值为0，
∴，
∴x=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0，列出式子，解之即可得出答案.
12．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第四象限；
故答案为：四．
【分析】根据点的符号特征，进行判断即可．
13．【答案】且
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【分析】根据0指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x的不等式组且，求出x的取值范围即可．
14．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂的性质计算即可求解．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点、关于y轴对称，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平面直角坐标系内关于轴对称的两个点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用规律列方程，解方程即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
原式
．
故答案为：．
【分析】
本题属于分式化简求值类问题，解题思路是先对原式进行变形，将分子、分母都整理为含a-b的形式，再将已知条件a-b=4ab整体代入，约去公因式ab后即可求出结果.
17．【答案】
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得：甲的工作效率、两人一天的工作效率为，则乙的工作效率为：．
所以乙组单独完成需．
故答案为：．
【分析】由题意可得：甲的工作效率、两人一天的工作效率为，则乙的工作效率为：．然后再求出乙组单独完成需的天数即可．
18．【答案】①③④
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①每分钟进水=5升，则命题正确；
②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则命题错误；
③每分钟放水5-=5-1.25=3.75(升)，
则放完水需要=8（分钟），故命题正确；
④同时打开进水管和放水管，需要时间：=24（分钟），命题正确．
故答案为①③④
【分析】根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减可得；
（2）先通分，再根据同分母分式的加法计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
（2）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同乘以把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可；
（2）方程两边同乘以把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可；
（1）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
（2）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
21．【答案】解：
，
，，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内通分计算，将除法化为乘法化简得到原式为，再结合分式有意义的条件，将代入计算即可．
22．【答案】解：方程两边同乘以，得
移项得：
解得：
经检验：是原分式方程的解
所以小马虎同学的解题不对，正确的解是．

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先需判断小马虎同学的解法是否正确，重点检查他在去分母时是否对所有项都正确处理了分母，并特别注意分母(2 - x)与(x - 2)之间的关系（互为相反数）。其次，解出正确的解后必须进行检验，防止出现增根。原方程右边含有两个项，不能直接合并或忽略符号变化，小马虎可能在处理分母时未注意符号，导致错误。
23．【答案】解：∵长方形ABCD的长与宽分别是6和3，
∴CD=6，AD=BC=3，
又由图可得，C在x轴负半轴上，D在x轴正半轴上，点A在第一象限，点B在第二象限，
∴，，，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】根据长方形的长与宽的长度和长得到CD=6，AD=BC=3，结合图片即可求出四个点的坐标.
24．【答案】解：设计划有名学生参加研学活动，由题意得
.
解得，.
经检验，是原方程的解.
所以，.
答：实际有40名学生参加了研学活动.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考察分式方程在实际问题中的应用. 先设原计划参加人数为，分别表示出原计划人均车费与实际人均车费；根据“实际人均车费-原计划人均车费=5元”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合实际意义，最后计算实际参加人数.
25．【答案】（1）解：由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时；
（2）解：由函数图象可知，在第10小时-11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息，
∴小李10时第一次休息；
（3）解：由题意得：10时到13时，小李骑了千米；
（4）解：，
∴返回时，小李的平均车速是每小时15千米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据函数图象可知，小明在14时离家最远；
（2）由函数图象可知，在第10小时-11小时小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息；
（3）根据10时到13时，小李离家的距离由20千米变为25千米求解即可；
（4）根据返回时，2小时行驶30千米求解即可．
（1）解：由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时；
（2）解：由函数图象可知，在第10小时-11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息，
∴小李10时第一次休息；
（3）解：由题意得：10时到13时，小李骑了千米；
（4）解：，
∴返回时，小李的平均车速是每小时15千米．
26．【答案】（1）不是，是
（2）解：点是倒立点，理由如下，
∵点是倒立点，
∴
即
∴点是倒立点，
（3）解：∵点是倒立点，
∴
∵，轴，
∴，
∵，
∴
∴或
①当时，，
②当，时，
∴
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴点不是“倒立点”；
∵点，，
∴点是“倒立点”；
故答案为：不是，是．
【分析】（1）根据点A的坐标和点B的坐标，并结合倒立点的定义计算即可
（2）根据新定义可得，即可求解；
（3）根据新定义得到，并结合题意求出a和b的值，然后分两种情况讨论，①当时，②当，时，分别根据新定义进行取舍，即可求解．
（1）解：∵，
∴点不是“倒立点”；
∵点，，
∴点是“倒立点”；
故答案为：不是，是．
（2）解：点是倒立点，理由如下，
∵点是倒立点，
∴
即
∴点是倒立点，
（3）解：∵点是倒立点，
∴
∵，轴，
∴，
∵，
∴
∴或
当时，，
当，时，
∴
1 / 1湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·衡山月考）下列代数式是分式的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：只有分母中有字母，其他选项没有，所以只有是分式．
故选：D．
【分析】形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，据此即可求解.
2．（2025八下·衡山月考）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为m，用科学记数法表示，则n为（　　）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
∴n为；
故选B．
【分析】
本题需要将极小的正数转化为科学记数法形式，核心是遵循科学记数法的书写规则，通过移动小数点确定系数a与指数n的对应关系，进而求出n的值．
3．（2025八下·衡山月考）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得，
即该分式的值不变，
故选：D．
【分析】利用分式的基本性质将所有的x和y都换成2x和2y，代入计算即可.
4．（2025八下·衡山月考）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；
而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个或多个交点，从而不能表示y是x的函数；
故选：C．
【分析】根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．
5．（2025八下·衡山月考）下列各式计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、=，故该选项错误；
D、==0， 故该选项正确.
故选D.
【分析】根据分式的运算法则对各选项逐一判断即可.
6．（2025八下·衡山月考）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：根据题意，建立如下直角坐标系∶
则点C的坐标为．
故选：B．
【分析】
由于A、B关于原点对称，则可以AB中点为坐标原点建立适当的坐标系，则点C在第四象限的角平分线上，且线段OC的中点恰好与点B关于x轴对称．
7．（2025八下·衡山月考）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，，
∴点在第四象限；
故选：D．
【分析】根据点在第二象限，得到，，再判断点在第几象限即可．
8．（2025八下·衡山月考）若关于的方程无解，则 （　　）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：方程可化为，
方程两边同乘，得，
整理得，
当时，，
∵关于的方程无解，
∴或，
∴或，
故答案为：．
【分析】先求出，再根据方程无解求出或，最后计算求解即可。
9．（2025八下·衡山月考）小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故答案为：D．
【分析】
本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据速度、时间、路程三者之间的关系：速度=路程÷时间，再根据走路线B的全程比走路线A少用15分钟列出关于x的分式方程，即可得出答案．
10．（2025八下·衡山月考）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点A的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：由中点坐标计算公式得：，
∴，，，，，，
即经过6次后，点与点P重合，显然后面的点继续重复上述规律，即每6次一循环；
而，
∴点的坐标与点的坐标相同，即为；
故选：A．
【分析】由中点坐标计算公式先分别计算出，，，，，，……，的横坐标，从中找到点的规律即经过6次后，点与点P重合，显然后面的点继续重复上述规律，即每6次一循环，进而即可求解.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八下·衡山月考）若分式 的值为0，则x的值是　 　．
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式值为0，
∴，
∴x=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0，列出式子，解之即可得出答案.
12．（2025八下·衡山月考）在平面直角坐标中，点在第　 　象限．
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第四象限；
故答案为：四．
【分析】根据点的符号特征，进行判断即可．
13．（2025八下·衡山月考）若有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【分析】根据0指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x的不等式组且，求出x的取值范围即可．
14．（2025八下·衡山月考）计算：　 　．
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂的性质计算即可求解．
15．（2025八下·衡山月考）在平面直角坐标系内，已知点、关于y轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点、关于y轴对称，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平面直角坐标系内关于轴对称的两个点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用规律列方程，解方程即可得到答案．
16．（2025八下·衡山月考）已知，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
原式
．
故答案为：．
【分析】
本题属于分式化简求值类问题，解题思路是先对原式进行变形，将分子、分母都整理为含a-b的形式，再将已知条件a-b=4ab整体代入，约去公因式ab后即可求出结果.
17．（2025八下·衡山月考）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要天完成，若甲组单独完成需要天，乙组单独完成需　 　天．
【答案】
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得：甲的工作效率、两人一天的工作效率为，则乙的工作效率为：．
所以乙组单独完成需．
故答案为：．
【分析】由题意可得：甲的工作效率、两人一天的工作效率为，则乙的工作效率为：．然后再求出乙组单独完成需的天数即可．
18．（2025八下·衡山月考）有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中的水量在减少；③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，则需要24分钟可以将容器灌满．其中正确的有　 　(填序号)．
【答案】①③④
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①每分钟进水=5升，则命题正确；
②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则命题错误；
③每分钟放水5-=5-1.25=3.75(升)，
则放完水需要=8（分钟），故命题正确；
④同时打开进水管和放水管，需要时间：=24（分钟），命题正确．
故答案为①③④
【分析】根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．
三、解答题（第19，20，23，24题每题8分；第21，22题每题6分，第25题10分，第26题12分，8小题共66分）
19．（2025八下·衡山月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减可得；
（2）先通分，再根据同分母分式的加法计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025八下·衡山月考）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
（2）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同乘以把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可；
（2）方程两边同乘以把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可；
（1）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
（2）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
21．（2025八下·衡山月考）先化简，再从，，中选出一适当的数代入求值．
【答案】解：
，
，，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内通分计算，将除法化为乘法化简得到原式为，再结合分式有意义的条件，将代入计算即可．
22．（2025八下·衡山月考）在解分式方程时，小马虎同学的解法如下：
解：方程两边同乘以，得
移项，得
解得
你认为小马虎同学的解题过程对吗 如果不对，请你解这个方程．
【答案】解：方程两边同乘以，得
移项得：
解得：
经检验：是原分式方程的解
所以小马虎同学的解题不对，正确的解是．

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先需判断小马虎同学的解法是否正确，重点检查他在去分母时是否对所有项都正确处理了分母，并特别注意分母(2 - x)与(x - 2)之间的关系（互为相反数）。其次，解出正确的解后必须进行检验，防止出现增根。原方程右边含有两个项，不能直接合并或忽略符号变化，小马虎可能在处理分母时未注意符号，导致错误。
23．（2025八下·衡山月考）长方形ABCD的长与宽分别是6和3，直接写出下列各图中A，B，C，D各个顶点的坐标．
【答案】解：∵长方形ABCD的长与宽分别是6和3，
∴CD=6，AD=BC=3，
又由图可得，C在x轴负半轴上，D在x轴正半轴上，点A在第一象限，点B在第二象限，
∴，，，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】根据长方形的长与宽的长度和长得到CD=6，AD=BC=3，结合图片即可求出四个点的坐标.
24．（2025八下·衡山月考）某班级组织学生参加研学活动，计划租用一辆客车，租金为1000元，乘车费用进行均摊.出发前部分学生因有事不能参加，实际参加的人数是原计划的，结果每名学生比原计划多付5元车费，实际有多少名学生参加了研学活动？
【答案】解：设计划有名学生参加研学活动，由题意得
.
解得，.
经检验，是原方程的解.
所以，.
答：实际有40名学生参加了研学活动.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考察分式方程在实际问题中的应用. 先设原计划参加人数为，分别表示出原计划人均车费与实际人均车费；根据“实际人均车费-原计划人均车费=5元”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合实际意义，最后计算实际参加人数.
25．（2025八下·衡山月考）周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s（千米）与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题：
（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？
（2）小李何时第一次休息？
（3）11时到12时，小李骑了多少千米？
（4）返回时，小李的平均车速是多少？
【答案】（1）解：由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时；
（2）解：由函数图象可知，在第10小时-11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息，
∴小李10时第一次休息；
（3）解：由题意得：10时到13时，小李骑了千米；
（4）解：，
∴返回时，小李的平均车速是每小时15千米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据函数图象可知，小明在14时离家最远；
（2）由函数图象可知，在第10小时-11小时小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息；
（3）根据10时到13时，小李离家的距离由20千米变为25千米求解即可；
（4）根据返回时，2小时行驶30千米求解即可．
（1）解：由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时；
（2）解：由函数图象可知，在第10小时-11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息，
∴小李10时第一次休息；
（3）解：由题意得：10时到13时，小李骑了千米；
（4）解：，
∴返回时，小李的平均车速是每小时15千米．
26．（2025八下·衡山月考）当点的坐标满足时，称点为“倒立点”．
（1）判断点______“倒立点”；点______“倒立点”；(填“是”或者“不是”)
（2）如果点是倒立点，那么点是倒立点吗？请说明理由．
（3）已知点是倒立点，，轴，且，求点的坐标．
【答案】（1）不是，是
（2）解：点是倒立点，理由如下，
∵点是倒立点，
∴
即
∴点是倒立点，
（3）解：∵点是倒立点，
∴
∵，轴，
∴，
∵，
∴
∴或
①当时，，
②当，时，
∴
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴点不是“倒立点”；
∵点，，
∴点是“倒立点”；
故答案为：不是，是．
【分析】（1）根据点A的坐标和点B的坐标，并结合倒立点的定义计算即可
（2）根据新定义可得，即可求解；
（3）根据新定义得到，并结合题意求出a和b的值，然后分两种情况讨论，①当时，②当，时，分别根据新定义进行取舍，即可求解．
（1）解：∵，
∴点不是“倒立点”；
∵点，，
∴点是“倒立点”；
故答案为：不是，是．
（2）解：点是倒立点，理由如下，
∵点是倒立点，
∴
即
∴点是倒立点，
（3）解：∵点是倒立点，
∴
∵，轴，
∴，
∵，
∴
∴或
当时，，
当，时，
∴
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