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浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2025高一下·浙江月考）已知复数z满足，则复数z对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
则复数在复平面内对应点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的除法运算法则，求得，再结合复数的几何意义判断即可.
2．（2025高一下·浙江月考）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据数量积求投影向量公式，从而得出在上的投影向量.
3．（2025高一下·浙江月考）在中，下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，，
，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式和三角形的内角和定理，从而逐项判断找出等式一定成立的选项.
4．（2025高一下·浙江月考）设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，
若，则，
即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由可以推出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则化简，若，根据复数求模公式求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的判断方法找出正确的选项.
5．（2025高一下·浙江月考）定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又因为，
所以是偶函数，
又因为函数在上单调递增，
则，
因为在上单调递增，
则，
，
则，
.
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性、单调性结合对数的运算法则和三角函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
6．（2025高一下·浙江月考）设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
设
则点
因为
所以.
故答案为：A.
【分析】先由三角函数的定义得到，再利用两角差的正弦公式和余弦公式，从而得出点A的坐标.
7．（2025高一下·浙江月考）如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，，
则，
分别是边的点，线段的中点分别为，
∴，，
∴，
∴两边平方得：
，
∵，
∴，
又∵，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系可得，，再根据结合且，从而可得关于的二次函数，由二次函数的开口方向和单调性得出的最小值.
8．（2025高一下·浙江月考）锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，
利用正弦定理可得，
则，
又因为，可得；
又因为，
所以，因此，
则，可得，
因为为锐角三角形，则，
所以，解得，
因为
，
又因为，则，
由二次函数性质可得，若存在最大值，
则，
解得．
故答案为：C．
【分析】利用正弦定理和二倍角的正弦公式、诱导公式可得，由锐角三角形中角的取值范围和三角形内角和定理可得，将化简再，再利用二次函数的图象的开口方向和单调性，从而得出二次函数的最值，进而可得当时，可取最大值，则得出此时的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9．（2025高一下·浙江月考）已知，为复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】A,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确；
对于选项B，取，
此时，，满足，
但，故选项B错误；
对于选项C，若，则，
所以或，可得或，故选项C正确；
对于选项D，取，，可得，故选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用复数的性质判断选项A；通过向量的模的运算判断出选项B；取特殊复数判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高一下·浙江月考）通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（　　）
A．
B．，
C．若，且m，n均不等于1，，则
D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0
【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意知，则.
对于A，因为，故A正确；
对于B，，，
不妨取，则，故B错误；
对于C，因为，且m，n均不等于1，
由，得，即，
结合，可知，
则，故，
当且仅当时，即当时等号成立，故C正确；
对于D，当时，，
则由恒成立，得恒成立，即恒成立，
令，则，
设，由于在上单调递减，故，
则，故；
当时，，
结合题意可知得恒成立，即恒成立，
此时令，同理可得，
因为在上单调递增，在上单调递减，
故，则，所以，
综上可知m的值为0，故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】先根据题意得出的解析式，再根据代入法得出函数的值，则判断出选项A；利用已知条件和特殊值法以及不等式恒成立问题求解方法，则判断出选项B；根据已知条件推出，再结合基本不等式求最值的方法判断出选项C；利用已知条件等价转化，运用参变分离法，从而分区间讨论得出m的取值范围，进而得出满足要求的m的值，则判断出选项D，从而找出叙述正确的选项.
11．（2025高一下·浙江月考）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（　　）
A．为定值
B．当时，为定值
C．当时，面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，过作直径，依题意，
为定值，A正确；
若，则，
则，
又，则，
同理可得，故，B正确；
如图，当时，若为等边三角形，
则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，
则在中，，则，
又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为等边三角形，可判断C；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.
三、填空题：本题共3小题，共15分.
12．（2025高一下·浙江月考）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上，
又因为可理解为圆上的点到点的距离，
作直线，交圆于点，如图所示：
显然，当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用复数的几何意义作出复数对应的点的轨迹，再利用所求为轨迹上的点到点的距离，结合图形得出两点距离的最大值和最小值，从而得出的取值范围.
13．（2025高一下·浙江月考）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度　 　米.
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
故塔的高度为米.
故答案为：.
【分析】设，分别在，，用表示，再在中，根据，利用余弦定理列式求解即可.
14．（2025高一下·浙江月考）设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若，则m的值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：作出函数的大致图象，如图，
令，，解得，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，且，
则点，关于直线对称，且，所以，
所以点的横坐标为，
.
故答案为：.
【分析】先作出正弦型三角函数的图象，再利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算得出m的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·浙江月考）已知，，.
（1）若，求；
（2）设，若，求，的夹角.
【答案】（1）解：因为，，
所以，，
又因为
所以.
（2）解：因为，且，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
则，即，
所以，，
所以，所以，的夹角.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据和数量积的运算律，从而求出的值.
（2）依题意可得，，将两式两边平方结合两角差的余弦公式和向量夹角定义，从而得出，的夹角.
（1）因为，，
所以，，
又因为
所以.
（2）因为，且，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
即，即，
所以，，所以，
所以，的夹角.
16．（2025高一下·浙江月考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，.
（1）求角B的大小；
（2）若的角平分线与边相交于点，，，求的周长.
【答案】（1）解：因为的面积为，
则，即，
又因为，则，所以，
则，
又因为，.
（2）解：因为的角平分线与边相交于点，
所以，即，
所以，所以，
由余弦定理，
得，
所以，
解得或（舍去），
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式与的面积为建立等量关系，从而得出的值，结合同角三角函数基本关系式，代入，从而得出，再结合三角形内角和定理和两角和的余弦公式，从而求出的值即可求出角B的值.
（2）根据和三角形的面积公式得到，由余弦定理得到，从而求出的值，再利用三角形的周长公式求出的周长.
（1）解：的面积为，则，即，
又，即，所以，
则，
，.
（2）因为的角平分线与边相交于点，
所以，即，
所以，所以，
又由余弦定理，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
17．（2025高一下·浙江月考）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：，
且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，，
则，
为锐角三角形，，则，
，，
，
，，，
，，
的取值范围为，则，
所以的范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示、三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理和锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由（1）知，代入化简可转化为，先求出，再化边为角，再利用三角形内角和定理、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，从而将转化为关于角的三角函数式，再利用锐角三角形中角的取值范围得出的取值范围，从而得出的取值范围.
（1），且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，．
（2）由（1）知，，则，
为锐角三角形，，则，
，．
．
，，，
，，
的取值范围为，则，
所以的范围为.
18．（2025高一下·浙江月考）已知函数，满足，且在区间上单调递增.
（1）求的值；
（2）设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为
，
由，
则函数关于点中心对称，
所以，即，解得，
，
又因为在区间上单调递增，则，即，
，则，
所以当时，.
（2）解：由（1），
当时，，
当时，函数取得最大值，最大值为2，
因为函数与存在相同的最大值，
故当时，在上取得最大值2，
可得，，
当时，得，则，解得；
当时，得，则，解得，
当时，，
此时，
当时，，
此时，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由得，再利用在区间上单调递增可得，由正弦型函数的最小正周期公式得出的取值范围，进而赋值得出满足要求的的值.
（2）先求出函数在区间上的最大值，可知当时，函数在内取得最大值，则得出，然后对整数的取值进行分类讨论，从而可得关于实数的不等式组，进而解方程组得出实数的取值范围.
（1），
由，则函数关于点中心对称，
所以，即，解得，
，
又在区间上单调递增，则，即，
，即，
所以当时，.
（2）由（1），
当时，，
当时，函数取得最大值，最大值为2，
而函数与存在相同的最大值，
故当时，在上取得最大值2，
可得，，
当时，得，则，解得，
当时，得，则，解得，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的取值范围为.
19．（2025高一下·浙江月考）定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数.
（）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值.
（）若为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点.
（）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围.
【答案】(1)解：由题设，当时，，
∴．
∵函数为二阶伸缩函数，
∴对任意，都有．
∴．
(2)证明：当时，．
由为三阶伸缩函数，则，
∵时，，
∴
令，解得x=0或x=3m，
因为它们均不在内，
∴函数在上无零点．
（3）解：由题设，若函数为k阶伸缩函数，
则，
且当时，的取值范围是[0，1），
∴当时，，
∵，所以，
∴当时，，
当x∈（0，1]时，则使，
∴，即，∴，
因为，
∴，即．
∵k≥2，
∴在上的取值范围是．
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用阶伸缩函数定义和恒成立问题求解方法，从而代入函数解析式得出的值.（2）利用阶伸缩函数定义和函数零点求解方法，从而证出函数在上无零点.
（3）利用阶伸缩函数定义和分类讨论的方法以及函数求值域的方法，从而得出在上的取值范围.
1 / 1浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2025高一下·浙江月考）已知复数z满足，则复数z对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高一下·浙江月考）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·浙江月考）在中，下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高一下·浙江月考）设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一下·浙江月考）定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·浙江月考）设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高一下·浙江月考）如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·浙江月考）锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9．（2025高一下·浙江月考）已知，为复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
10．（2025高一下·浙江月考）通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（　　）
A．
B．，
C．若，且m，n均不等于1，，则
D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0
11．（2025高一下·浙江月考）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（　　）
A．为定值
B．当时，为定值
C．当时，面积的最大值为
D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，共15分.
12．（2025高一下·浙江月考）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是　 　.
13．（2025高一下·浙江月考）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度　 　米.
14．（2025高一下·浙江月考）设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若，则m的值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·浙江月考）已知，，.
（1）若，求；
（2）设，若，求，的夹角.
16．（2025高一下·浙江月考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，.
（1）求角B的大小；
（2）若的角平分线与边相交于点，，，求的周长.
17．（2025高一下·浙江月考）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，.
（1）求；
（2）求的取值范围.
18．（2025高一下·浙江月考）已知函数，满足，且在区间上单调递增.
（1）求的值；
（2）设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
19．（2025高一下·浙江月考）定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数.
（）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值.
（）若为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点.
（）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
则复数在复平面内对应点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的除法运算法则，求得，再结合复数的几何意义判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据数量积求投影向量公式，从而得出在上的投影向量.
3．【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，，
，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式和三角形的内角和定理，从而逐项判断找出等式一定成立的选项.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，
若，则，
即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由可以推出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则化简，若，根据复数求模公式求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的判断方法找出正确的选项.
5．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又因为，
所以是偶函数，
又因为函数在上单调递增，
则，
因为在上单调递增，
则，
，
则，
.
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性、单调性结合对数的运算法则和三角函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
设
则点
因为
所以.
故答案为：A.
【分析】先由三角函数的定义得到，再利用两角差的正弦公式和余弦公式，从而得出点A的坐标.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，，
则，
分别是边的点，线段的中点分别为，
∴，，
∴，
∴两边平方得：
，
∵，
∴，
又∵，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系可得，，再根据结合且，从而可得关于的二次函数，由二次函数的开口方向和单调性得出的最小值.
8．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，
利用正弦定理可得，
则，
又因为，可得；
又因为，
所以，因此，
则，可得，
因为为锐角三角形，则，
所以，解得，
因为
，
又因为，则，
由二次函数性质可得，若存在最大值，
则，
解得．
故答案为：C．
【分析】利用正弦定理和二倍角的正弦公式、诱导公式可得，由锐角三角形中角的取值范围和三角形内角和定理可得，将化简再，再利用二次函数的图象的开口方向和单调性，从而得出二次函数的最值，进而可得当时，可取最大值，则得出此时的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确；
对于选项B，取，
此时，，满足，
但，故选项B错误；
对于选项C，若，则，
所以或，可得或，故选项C正确；
对于选项D，取，，可得，故选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用复数的性质判断选项A；通过向量的模的运算判断出选项B；取特殊复数判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意知，则.
对于A，因为，故A正确；
对于B，，，
不妨取，则，故B错误；
对于C，因为，且m，n均不等于1，
由，得，即，
结合，可知，
则，故，
当且仅当时，即当时等号成立，故C正确；
对于D，当时，，
则由恒成立，得恒成立，即恒成立，
令，则，
设，由于在上单调递减，故，
则，故；
当时，，
结合题意可知得恒成立，即恒成立，
此时令，同理可得，
因为在上单调递增，在上单调递减，
故，则，所以，
综上可知m的值为0，故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】先根据题意得出的解析式，再根据代入法得出函数的值，则判断出选项A；利用已知条件和特殊值法以及不等式恒成立问题求解方法，则判断出选项B；根据已知条件推出，再结合基本不等式求最值的方法判断出选项C；利用已知条件等价转化，运用参变分离法，从而分区间讨论得出m的取值范围，进而得出满足要求的m的值，则判断出选项D，从而找出叙述正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，过作直径，依题意，
为定值，A正确；
若，则，
则，
又，则，
同理可得，故，B正确；
如图，当时，若为等边三角形，
则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，
则在中，，则，
又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为等边三角形，可判断C；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.
12．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上，
又因为可理解为圆上的点到点的距离，
作直线，交圆于点，如图所示：
显然，当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用复数的几何意义作出复数对应的点的轨迹，再利用所求为轨迹上的点到点的距离，结合图形得出两点距离的最大值和最小值，从而得出的取值范围.
13．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
故塔的高度为米.
故答案为：.
【分析】设，分别在，，用表示，再在中，根据，利用余弦定理列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：作出函数的大致图象，如图，
令，，解得，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，且，
则点，关于直线对称，且，所以，
所以点的横坐标为，
.
故答案为：.
【分析】先作出正弦型三角函数的图象，再利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算得出m的值.
15．【答案】（1）解：因为，，
所以，，
又因为
所以.
（2）解：因为，且，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
则，即，
所以，，
所以，所以，的夹角.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据和数量积的运算律，从而求出的值.
（2）依题意可得，，将两式两边平方结合两角差的余弦公式和向量夹角定义，从而得出，的夹角.
（1）因为，，
所以，，
又因为
所以.
（2）因为，且，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
即，即，
所以，，所以，
所以，的夹角.
16．【答案】（1）解：因为的面积为，
则，即，
又因为，则，所以，
则，
又因为，.
（2）解：因为的角平分线与边相交于点，
所以，即，
所以，所以，
由余弦定理，
得，
所以，
解得或（舍去），
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式与的面积为建立等量关系，从而得出的值，结合同角三角函数基本关系式，代入，从而得出，再结合三角形内角和定理和两角和的余弦公式，从而求出的值即可求出角B的值.
（2）根据和三角形的面积公式得到，由余弦定理得到，从而求出的值，再利用三角形的周长公式求出的周长.
（1）解：的面积为，则，即，
又，即，所以，
则，
，.
（2）因为的角平分线与边相交于点，
所以，即，
所以，所以，
又由余弦定理，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
17．【答案】（1）解：，
且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，，
则，
为锐角三角形，，则，
，，
，
，，，
，，
的取值范围为，则，
所以的范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示、三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理和锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由（1）知，代入化简可转化为，先求出，再化边为角，再利用三角形内角和定理、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，从而将转化为关于角的三角函数式，再利用锐角三角形中角的取值范围得出的取值范围，从而得出的取值范围.
（1），且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，．
（2）由（1）知，，则，
为锐角三角形，，则，
，．
．
，，，
，，
的取值范围为，则，
所以的范围为.
18．【答案】（1）解：因为
，
由，
则函数关于点中心对称，
所以，即，解得，
，
又因为在区间上单调递增，则，即，
，则，
所以当时，.
（2）解：由（1），
当时，，
当时，函数取得最大值，最大值为2，
因为函数与存在相同的最大值，
故当时，在上取得最大值2，
可得，，
当时，得，则，解得；
当时，得，则，解得，
当时，，
此时，
当时，，
此时，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由得，再利用在区间上单调递增可得，由正弦型函数的最小正周期公式得出的取值范围，进而赋值得出满足要求的的值.
（2）先求出函数在区间上的最大值，可知当时，函数在内取得最大值，则得出，然后对整数的取值进行分类讨论，从而可得关于实数的不等式组，进而解方程组得出实数的取值范围.
（1），
由，则函数关于点中心对称，
所以，即，解得，
，
又在区间上单调递增，则，即，
，即，
所以当时，.
（2）由（1），
当时，，
当时，函数取得最大值，最大值为2，
而函数与存在相同的最大值，
故当时，在上取得最大值2，
可得，，
当时，得，则，解得，
当时，得，则，解得，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的取值范围为.
19．【答案】(1)解：由题设，当时，，
∴．
∵函数为二阶伸缩函数，
∴对任意，都有．
∴．
(2)证明：当时，．
由为三阶伸缩函数，则，
∵时，，
∴
令，解得x=0或x=3m，
因为它们均不在内，
∴函数在上无零点．
（3）解：由题设，若函数为k阶伸缩函数，
则，
且当时，的取值范围是[0，1），
∴当时，，
∵，所以，
∴当时，，
当x∈（0，1]时，则使，
∴，即，∴，
因为，
∴，即．
∵k≥2，
∴在上的取值范围是．
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用阶伸缩函数定义和恒成立问题求解方法，从而代入函数解析式得出的值.（2）利用阶伸缩函数定义和函数零点求解方法，从而证出函数在上无零点.
（3）利用阶伸缩函数定义和分类讨论的方法以及函数求值域的方法，从而得出在上的取值范围.
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