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浙江省清华附中嘉兴实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（B）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（2025高一下·南湖期中）两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（　　）条件.
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；异面直线
【解析】【解答】解：两条直线为异面直线，则这两条直线没有公共点，即充分性成立，
反之，两条直线没有公共点，这两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，即必要性不成立，
则两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据异面直线的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
2．（2025高一下·南湖期中）已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝（　　）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数是纯虚数，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据复数的概念直接求解即可.
3．（2025高一下·南湖期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（　　）
A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45°
【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理，，
可得，
又因为，所以，则角为135°或45°.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角即可.
4．（2025高一下·南湖期中）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（　　）
A．； B．； C．； D．．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量，且与的夹角为钝角，
则，且与不共线，即，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：，且与不共线，列出关于的不等式组，求解实数的取值范围即可.
5．（2025高一下·南湖期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则直线与平行，相交或异面，故A错误；
B、若，则平面与平行或相交，故B错误；
C、 若， 由线面平行的性质定理可得，故C正确；
D、若，则与可能平行或异面，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐项判断即可．
6．（2025高一下·南湖期中）中，，，为的中点，，则（　　）
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，依题意，
，
.
故答案为：A.
【分析】由题意，以向量为基底分别表示和，再根据向量数量积运算化简求解即可.
7．（2025高一下·南湖期中）在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（　　）
A． B．
C． D． 的大小关系不定
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：易知过球心的截面为一个圆环，外半径为2，内半径为1，
其面积为；
设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为，
则该截面的面积，即.
故答案为：A.
【分析】易知过球心的截面为一个外半径为2，内半径为1的圆环，利用圆面积公式求出过球心的截面面积，设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为，再求出不过球心的任意非圆面的截面的面积，判断即可.
8．（2025高一下·南湖期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，，所以，，，
设，，
则，，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算表示，再根据二次函数的性质期求解即可.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高一下·南湖期中）已知向量，则（　　）
A．
B．
C．
D．与向量同向的单位向量是
【答案】A,D
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，故A正确；
B、因为，所以不存在实数使，所以向量与不平行，故B不正确；
C、因为，所以，故C不正确；
D、向量的模为，与向量同向的单位向量为，即，故D正确.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的坐标运算结合向量垂直的坐标表示求解即可判断A；根据平面向量的坐标运算结合共线向量定理求解即可判断B；由A选项，结合平面向量模的坐标表示求解即可判断C；根据向量同向的单位向量的求解公式求解即可判断D.
10．（2025高一下·南湖期中）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、易知三点在平面内，M点不在直线上，
而A点不在平面内，则直线与是异面直线，故A错误；
B、三点在平面内，不在直线上，
M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；
C、取的中点E，连接，如图所示：
因为N为的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，，则与不平行，故C错误；
D、连接，因为M，N分别为棱的中点，
所以， 由正方体的性质可知：，所以，则有四点共面，所以直线与共面，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质即可判断AB；根据直线的平行的判定即可判断C；利用四点共面即可判断D.
11．（2025高一下·南湖期中）设棱长为 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四面体的棱长为，过作面，显然为面的中心，连接，如图所示：
在中，易知，；
不妨设内切球球心为，连接，
正四面体的表面积，
由等体积法可得，解得；
在棱长为的正方体中，其外接球即为正四面体的外接球，
故；
A、，故A正确；
B、，故B正确；
CD、显然错误.
故答案为：AB.
【分析】设正四面体的棱长为，过作面，显然为面的中心，连接，在中，求得，利用等体积法求正四面体的内切求半径，根据正四面体的外接球即为正方体的外接球，求得外接球半径，再逐一判断即可.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·南湖期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图面积为　 　．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：易知直观图面积：，
根据，可得原图面积为：.
故答案为：.
【分析】由图，先求直观图的面积，根据直观图和原图的面积关系求原图的面积即可.
13．（2025高一下·南湖期中）已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为　 　.
【答案】4
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
正四棱锥，高，底面边长，
过点作于，易知是的中点，连接，则斜高，
正四棱锥的表面积.
故答案为：4.
【分析】过点作于，易知是的中点，连接，求出正四棱锥的斜高，再利用棱锥的表面积公式求解即可.
14．（2025高一下·南湖期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度　 　米.
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
故塔的高度为米.
故答案为：.
【分析】设，分别在，，用表示，再在中，根据，利用余弦定理列式求解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·南湖期中）已知，，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）与的夹角．
【答案】（1）解：因为，，且与的夹角为，
所以，
，
则；
（2）解：因为，
，
则，即与的夹角为.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由题意，根据向量的数量积结合向量模的定义求解即可；
（2）根据向量数量积的运算，结合向量的模运算先分别求得和的值，再根据向量的夹角公式计算即可.
（1）因为，，且与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，
，
所以，
所以与的夹角为.
16．（2025高一下·南湖期中）设的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：因为，所以，
由余弦定理得，
又因为，所以，即；
（2）解：由（1）知，因为，所以，
所以，
所以，
所以，
即，所以，
因为，所以，所以或，
即或，故或．
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】（1）原式展开化简，结合余弦定理求角即可；
（2）由（1）知，根据，可得，再利用两角差的正弦公式，结合二倍角公式以及的取值范围化简求解即可.
（1）因为，所以，
由余弦定理得，
又，所以，即；
（2）由（1）知，
因为，所以，
所，
所以，
所以，
即，所以，
∵，所以，∴或，
即或，∴或．
17．（2025高一下·南湖期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.
（1）计算该模型的体积.（结果精确到）
（2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元）
【答案】（1）解：设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，则，
；
（2）解：圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为，
，
故总费用为（元）.
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设圆锥的高为，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积公式求该模型的表面积，再计算总费用即可.
（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，
则，
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
，
故总费用为（元）.
18．（2025高一下·南湖期中）如图，在三棱柱中，D在线段AC上．
（1）若D是AC中点，求证：平面；
（2）若M为BC的中点，直线平面，求．
【答案】（1）证明：连接交于点O，连接OD，如图所示：
∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点，
又∵D为AC的中点，∴
∴平面，平面，∴平面；
（2）解：设交于点E，连接DE，如图所示：
∵平面，平面，平面平面，
∴，∴，
又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点，
∴，∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接OD，根据三棱柱的性质以及中位线定理先证明，再利用线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）设交于点E，连接DE，根据线面平行的性质证明，再利用平行即可求解.
（1）连接交于点O，连接OD，
∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点，
又∵D为AC的中点，∴
∴平面，平面，∴平面
（2）设交于点E，连接DE，
∵平面，平面，平面平面
∴，∴
又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点
∴，∴
19．（2025高一下·南湖期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）
（1）若，求A，B之间的余弦距离；
（2）已知，若，求M、P之间的曼哈顿距离；
（3）若点，求的最大值．
【答案】（1）解：依题意，，则，
因为，
所以A，B之间的余弦距离；
（2）解：，
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以M、P之间的曼哈顿距离
；
（3）解：设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图所示：
当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及向量的模长公式、夹角公式，结合余弦距离的定义求解即可；
（2）利用向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，正余弦的两角和、差公式求出点的坐标，再利用曼哈顿距离定义求解即可；
（3）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形，结合求出余弦距离的最大值.
（1）依题意，，则，
因此，
所以A，B之间的余弦距离.
（2），
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以M、P之间的曼哈顿距离
.
（3）设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图，
当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为.
1 / 1浙江省清华附中嘉兴实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（B）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（2025高一下·南湖期中）两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（　　）条件.
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
2．（2025高一下·南湖期中）已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝（　　）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
3．（2025高一下·南湖期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（　　）
A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45°
4．（2025高一下·南湖期中）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（　　）
A．； B．； C．； D．．
5．（2025高一下·南湖期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（2025高一下·南湖期中）中，，，为的中点，，则（　　）
A．0 B．2 C． D．
7．（2025高一下·南湖期中）在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（　　）
A． B．
C． D． 的大小关系不定
8．（2025高一下·南湖期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高一下·南湖期中）已知向量，则（　　）
A．
B．
C．
D．与向量同向的单位向量是
10．（2025高一下·南湖期中）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
11．（2025高一下·南湖期中）设棱长为 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·南湖期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图面积为　 　．
13．（2025高一下·南湖期中）已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为　 　.
14．（2025高一下·南湖期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度　 　米.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·南湖期中）已知，，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）与的夹角．
16．（2025高一下·南湖期中）设的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
17．（2025高一下·南湖期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.
（1）计算该模型的体积.（结果精确到）
（2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元）
18．（2025高一下·南湖期中）如图，在三棱柱中，D在线段AC上．
（1）若D是AC中点，求证：平面；
（2）若M为BC的中点，直线平面，求．
19．（2025高一下·南湖期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）
（1）若，求A，B之间的余弦距离；
（2）已知，若，求M、P之间的曼哈顿距离；
（3）若点，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；异面直线
【解析】【解答】解：两条直线为异面直线，则这两条直线没有公共点，即充分性成立，
反之，两条直线没有公共点，这两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，即必要性不成立，
则两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据异面直线的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数是纯虚数，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据复数的概念直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理，，
可得，
又因为，所以，则角为135°或45°.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量，且与的夹角为钝角，
则，且与不共线，即，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：，且与不共线，列出关于的不等式组，求解实数的取值范围即可.
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则直线与平行，相交或异面，故A错误；
B、若，则平面与平行或相交，故B错误；
C、 若， 由线面平行的性质定理可得，故C正确；
D、若，则与可能平行或异面，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐项判断即可．
6．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，依题意，
，
.
故答案为：A.
【分析】由题意，以向量为基底分别表示和，再根据向量数量积运算化简求解即可.
7．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：易知过球心的截面为一个圆环，外半径为2，内半径为1，
其面积为；
设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为，
则该截面的面积，即.
故答案为：A.
【分析】易知过球心的截面为一个外半径为2，内半径为1的圆环，利用圆面积公式求出过球心的截面面积，设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为，再求出不过球心的任意非圆面的截面的面积，判断即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，，所以，，，
设，，
则，，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算表示，再根据二次函数的性质期求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，故A正确；
B、因为，所以不存在实数使，所以向量与不平行，故B不正确；
C、因为，所以，故C不正确；
D、向量的模为，与向量同向的单位向量为，即，故D正确.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的坐标运算结合向量垂直的坐标表示求解即可判断A；根据平面向量的坐标运算结合共线向量定理求解即可判断B；由A选项，结合平面向量模的坐标表示求解即可判断C；根据向量同向的单位向量的求解公式求解即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、易知三点在平面内，M点不在直线上，
而A点不在平面内，则直线与是异面直线，故A错误；
B、三点在平面内，不在直线上，
M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；
C、取的中点E，连接，如图所示：
因为N为的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，，则与不平行，故C错误；
D、连接，因为M，N分别为棱的中点，
所以， 由正方体的性质可知：，所以，则有四点共面，所以直线与共面，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质即可判断AB；根据直线的平行的判定即可判断C；利用四点共面即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四面体的棱长为，过作面，显然为面的中心，连接，如图所示：
在中，易知，；
不妨设内切球球心为，连接，
正四面体的表面积，
由等体积法可得，解得；
在棱长为的正方体中，其外接球即为正四面体的外接球，
故；
A、，故A正确；
B、，故B正确；
CD、显然错误.
故答案为：AB.
【分析】设正四面体的棱长为，过作面，显然为面的中心，连接，在中，求得，利用等体积法求正四面体的内切求半径，根据正四面体的外接球即为正方体的外接球，求得外接球半径，再逐一判断即可.
12．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：易知直观图面积：，
根据，可得原图面积为：.
故答案为：.
【分析】由图，先求直观图的面积，根据直观图和原图的面积关系求原图的面积即可.
13．【答案】4
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
正四棱锥，高，底面边长，
过点作于，易知是的中点，连接，则斜高，
正四棱锥的表面积.
故答案为：4.
【分析】过点作于，易知是的中点，连接，求出正四棱锥的斜高，再利用棱锥的表面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
故塔的高度为米.
故答案为：.
【分析】设，分别在，，用表示，再在中，根据，利用余弦定理列式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，，且与的夹角为，
所以，
，
则；
（2）解：因为，
，
则，即与的夹角为.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由题意，根据向量的数量积结合向量模的定义求解即可；
（2）根据向量数量积的运算，结合向量的模运算先分别求得和的值，再根据向量的夹角公式计算即可.
（1）因为，，且与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，
，
所以，
所以与的夹角为.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
由余弦定理得，
又因为，所以，即；
（2）解：由（1）知，因为，所以，
所以，
所以，
所以，
即，所以，
因为，所以，所以或，
即或，故或．
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】（1）原式展开化简，结合余弦定理求角即可；
（2）由（1）知，根据，可得，再利用两角差的正弦公式，结合二倍角公式以及的取值范围化简求解即可.
（1）因为，所以，
由余弦定理得，
又，所以，即；
（2）由（1）知，
因为，所以，
所，
所以，
所以，
即，所以，
∵，所以，∴或，
即或，∴或．
17．【答案】（1）解：设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，则，
；
（2）解：圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为，
，
故总费用为（元）.
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设圆锥的高为，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积公式求该模型的表面积，再计算总费用即可.
（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，
则，
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
，
故总费用为（元）.
18．【答案】（1）证明：连接交于点O，连接OD，如图所示：
∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点，
又∵D为AC的中点，∴
∴平面，平面，∴平面；
（2）解：设交于点E，连接DE，如图所示：
∵平面，平面，平面平面，
∴，∴，
又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点，
∴，∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接OD，根据三棱柱的性质以及中位线定理先证明，再利用线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）设交于点E，连接DE，根据线面平行的性质证明，再利用平行即可求解.
（1）连接交于点O，连接OD，
∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点，
又∵D为AC的中点，∴
∴平面，平面，∴平面
（2）设交于点E，连接DE，
∵平面，平面，平面平面
∴，∴
又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点
∴，∴
19．【答案】（1）解：依题意，，则，
因为，
所以A，B之间的余弦距离；
（2）解：，
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以M、P之间的曼哈顿距离
；
（3）解：设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图所示：
当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及向量的模长公式、夹角公式，结合余弦距离的定义求解即可；
（2）利用向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，正余弦的两角和、差公式求出点的坐标，再利用曼哈顿距离定义求解即可；
（3）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形，结合求出余弦距离的最大值.
（1）依题意，，则，
因此，
所以A，B之间的余弦距离.
（2），
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以M、P之间的曼哈顿距离
.
（3）设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图，
当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为.
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