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浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·温州期中）复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：易知复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】直接复数的概念判断即可.
2．（2025高二下·温州期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集，并集和补集运算求解即可.
3．（2025高二下·温州期中）已知非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为为非零向量，所以.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积的运算结合充分条件，必要条件的定义，可得答案。
4．（2025高二下·温州期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（　　）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题，是无理数，但是有理数，则命题是假命题，是真命题；
命题由，因为和是两个连续的整数，所以必是偶数，则命题是假命题，为真命题.
故答案为：D.
【分析】举特例即可判断命题正误；分解因式，推理判断命题的正误，结合原命题和命题否定真假关系判断即可.
5．（2025高二下·温州期中）在的展开式中项的系数为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：易知展开式的通项为，
则的展开式中的系数是.
故答案为：B.
【分析】易知展开式的通项为，根据通项分别求每部分含的系数，再利用组合数求解即可.
6．（2025高二下·温州期中）已知，则的最小值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
，
令，可得 ，易知对称轴为，则当时，取到最小值0，
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式化简函数，令，利用换元法，原式转化为，根据二次函数的性质求解即可.
7．（2025高二下·温州期中）某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（　　）
A．560种 B．616种 C．672种 D．728种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：”“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，
选2名经理和4名员工，选法有：种；
选3名经理和3名员工，选法有：种；
选4名经理和2名员工，选法有：种；
则不同的选择方案共有：.
故答案为：C.
【分析】分有2名经理，有3名经理，有4名经理，根据分类加法，分步乘法原理求解即可.
8．（2025高二下·温州期中）已知满足，且当时， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由，可得函数图象关于对称，
因为，由累加法可得：，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由可得函数的对称轴，再根据，利用累加法求函数值即可.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·温州期中）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为
B．若，则
C．，则
D．若，则的最大值为2
【答案】A,B,C
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，
则，
当且仅当时取等号，故A正确；
B、，则，
当且仅当时取等号，故B正确；
C、由，可得当时，显然；
当时，，
因为，所以，，所以，即，故C正确；
D、由题意可得，则，
当时，，不符合题意取不到最大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】两次利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式结合对数的运算性质求解即可判断B；由题意，分和两种情况讨论，当时，作差求解即可判断C；双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求解即可判断D.
10．（2025高二下·温州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量满足：，则相互独立
B．已知随机变量，若，则.
C．若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项
D．一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为1
【答案】A,B,D
【知识点】回归分析；相互独立事件；正态密度曲线的特点；二项式系数
【解析】【解答】解：A、，，则，即，
则相互独立，故A正确；
B、随机变量，若，则和关于对称，
且，故B正确；
C、由题意得，解得，
展开式的通项公式为，，，
令，解得，
因为，所以，则系数最大的项为第5项，故C错误；
D、易知，，
数据的样本中心点为，
将代入中，得，解得，
则经验回归方程为，当时，，残差为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据条件概率公式和对立事件概率公式求得即可判断A；根据正态分布可知，和关于对称，则即可判断B；根据二项式系数和得到，写出展开式的通项，假设第项系数最大，列不等式组，求解，得系数最大的项为第5项，即可判断C；计算平均数，求出样本点中心，将样本点中心代入回归方程，求得，再计算当时，，最后求残差即可判断D.
11．（2025高二下·温州期中）在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．点到平面的距离为
C．三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为
D．与面交于点则
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：面，则以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
面，，，点为的中点，点为的中点，
则，
由中点坐标公式可得，
A、，，则，
即，故A正确；
B、设平面的法向量为，则，即，
令，可得，又，
所以点到平面的距离为，故B正确；
C、因为面，所以三棱锥的外接球的球心为中点，
又，所以其外接球半径为；
因为，，，
所以，又因为面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，
，所以其外接球半径为，则外接球半径之比为，故C错误；
D、设，，则，，
设平面的法向量为，，
则，即，令，可得，
因为，解得，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，根据向量的数量积，证明即可判断A；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式求解即可判断B；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径，半径作比即可判断C；设，求出平面的法向量，再根据求解即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸对应的横线上.
12．（2025高二下·温州期中）在中，，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，所以，所以，
整理可得，即，
即，则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正弦定理，结合求得，再根据三角形内角和定理以及两角差的正弦公式化简求值即可.
13．（2025高二下·温州期中）某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是　 　.
【答案】
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：易知该班全体学生周末在家学习时长的平均数为，
方差.
故答案为：.
【分析】先计算该班全体学生周末在家学习时长的平均数，再根据分层随机抽样的方差公式计算即可.
14．（2025高二下·温州期中）在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线交线段AB、线段AC分别于点，记的面积为，四边形GDCF的面积为，则的最小值　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：记的面积为，的面积为，
设，
因为是BC的中点，是AD的中点，所以，
则，
因为三点共线，所以，即，
由图知，，，
则，
，
因为，所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
则取得最小值为.
故答案为：.
【分析】记的面积为，的面积为，设，由是BC的中点，是AD的中点，推出，根据三点共线，可得，结合图形，根据三角形面积之间的关系，得出，将条件代入化成，最后利用基本不等式求最小值即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·温州期中）已知函数
（1）求；
（2）求的最小正周期和单调增区间.
【答案】（1）解：函数，
则；
（2）解：
，
则的最小正周期，
令，，解得，
则的单调增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）直接代值，结合特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先利用两角差的正弦公式以及正、余弦二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，借助于正弦函数的图象性质求函数的周期和单调增区间即可.
（1）；
（2）
则的最小正周期，
由，，解得
的单调增区间为.
16．（2025高二下·温州期中）在中，分别是角所对的边，点在边上，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
代入，得，，
因为，所以，则，
又因为，所以，
，
则；
（2）解：在中，，
因为，所以，所以，
由余弦定理，，
则.
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得，将其代入化简求得，进而由求得，再根据三角形内角和定理求得，再求的值即可；
（2）由（1），由条件可得，结合勾股定理得，利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求解即可.
（1）法
代入，得，
，
，故，
，
.
法2.，
由正弦定理得，
代入，得，故，
为直角三角形，则，代入，得，
所以.
（2）法1.中，由正弦定理得，
中，由正弦定理得，
，
，可得，
由（1），，
所以.
法2.Rt中，，
，
，
由余弦定理，，
.
17．（2025高二下·温州期中）如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接BD交CE于点，连接FG，如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：平面平面，平面平面，取中点O，
则平面，所以平面，
因为，所以，，
过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，
因为，所以，所以，
设平面的法向量，则，即，
则平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
则由图可得二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接BD交CE于点，连接FG，根据为AD的中点，结合得出，再利用线面平行判定定理证明即可；
（2）过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面和平面的一个法向量，再根据向量夹角的余弦公式计算求解即可.
（1）证明：连接BD交CE于点，连接FG，
因为，所以，
平面，平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面，取中点O，
则平面，所以平面，
因为，所以，，
过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系如图所示
则，，
，，所以，
设平面的法向量，
则，则
平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
则由图可得二面角的余弦值为.
18．（2025高二下·温州期中）已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）已知有四个零点，且，求；
（3）当时，求的最大值，最小值.
【答案】（1）解：当时，，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上可得，不等式的解集为；
（2）解：由题可得，即有4个根，
即方程或，
由对称性得，
则；
（3）解：，
当时，，故，
同理，当时，，
（i），
（ii），
当时，，
（i），
（ii），
综上所述：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入可得，再分和讨论求解即可；
（2）由题意可得有4个根，即方程或有4个根，根据对称性得，化简可得即可求解；
（3）由题意，分，和讨论，求最大值和最小值即可.
（1）当时，，
当时，，
，
当时，，
综上可得，不等式的解集为.
（2）由题可得，即有4个根，
即方程或，
由对称性得，
.
（3），
当时，，
故，
同理，当时，，
（i），
（ii），
当时，，
（i），
（ii），
综上所述：
（1）当时，，
（2）当时，，
（3）当时，，
（4）当时，，
（5）当时，.
19．（2025高二下·温州期中）《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：
（1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；
（2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率；
（3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式.
【答案】（1）解：当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，
设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，故救援人数的期望值；
（2）解：当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救，，
则，
故
（*）
，
故；
（3）解：村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救，
故正常情况下，村民前往营救的概率为，
当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为，
记事件为第n次村民前往营救白跑，
则，
故牧童第次呼救，有，即，
整理可得，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
故.其中，
故，
经检验也符合，故.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；二项分布；组合数公式
【解析】【分析】（1）设愿意营救的村民人数为，由题意可得满足二项分布，即，利用二项分布的数学期望公式计算即可；
（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救，，由题意，可知即为求，先求得，再由，利用组合数的性质与运算公式求解即可；
（3）由题意化简得，推出数列是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式求的解析式即可.
（1）当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，
设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，
所以救援人数的期望值.
（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救.
所以本题即求.而，
则.
故
（*）
故.
附注：（*）式的证明如下：
因，
则，
即，
故.
（3）村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救.
故正常情况下，村民前往营救的概率为，
当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为.
记事件为第n次村民前往营救白跑，
则，
故牧童第次呼救，有，
即，
整理可得，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
故.其中，
故
经检验也符合，故
1 / 1浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·温州期中）复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·温州期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高二下·温州期中）已知非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二下·温州期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（　　）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
5．（2025高二下·温州期中）在的展开式中项的系数为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（2025高二下·温州期中）已知，则的最小值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
7．（2025高二下·温州期中）某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（　　）
A．560种 B．616种 C．672种 D．728种
8．（2025高二下·温州期中）已知满足，且当时， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·温州期中）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为
B．若，则
C．，则
D．若，则的最大值为2
10．（2025高二下·温州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量满足：，则相互独立
B．已知随机变量，若，则.
C．若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项
D．一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为1
11．（2025高二下·温州期中）在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．点到平面的距离为
C．三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为
D．与面交于点则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸对应的横线上.
12．（2025高二下·温州期中）在中，，则的值是　 　.
13．（2025高二下·温州期中）某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是　 　.
14．（2025高二下·温州期中）在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线交线段AB、线段AC分别于点，记的面积为，四边形GDCF的面积为，则的最小值　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·温州期中）已知函数
（1）求；
（2）求的最小正周期和单调增区间.
16．（2025高二下·温州期中）在中，分别是角所对的边，点在边上，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求.
17．（2025高二下·温州期中）如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
18．（2025高二下·温州期中）已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）已知有四个零点，且，求；
（3）当时，求的最大值，最小值.
19．（2025高二下·温州期中）《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：
（1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；
（2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率；
（3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：易知复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】直接复数的概念判断即可.
2．【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集，并集和补集运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为为非零向量，所以.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积的运算结合充分条件，必要条件的定义，可得答案。
4．【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题，是无理数，但是有理数，则命题是假命题，是真命题；
命题由，因为和是两个连续的整数，所以必是偶数，则命题是假命题，为真命题.
故答案为：D.
【分析】举特例即可判断命题正误；分解因式，推理判断命题的正误，结合原命题和命题否定真假关系判断即可.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：易知展开式的通项为，
则的展开式中的系数是.
故答案为：B.
【分析】易知展开式的通项为，根据通项分别求每部分含的系数，再利用组合数求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
，
令，可得 ，易知对称轴为，则当时，取到最小值0，
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式化简函数，令，利用换元法，原式转化为，根据二次函数的性质求解即可.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：”“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，
选2名经理和4名员工，选法有：种；
选3名经理和3名员工，选法有：种；
选4名经理和2名员工，选法有：种；
则不同的选择方案共有：.
故答案为：C.
【分析】分有2名经理，有3名经理，有4名经理，根据分类加法，分步乘法原理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由，可得函数图象关于对称，
因为，由累加法可得：，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由可得函数的对称轴，再根据，利用累加法求函数值即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，
则，
当且仅当时取等号，故A正确；
B、，则，
当且仅当时取等号，故B正确；
C、由，可得当时，显然；
当时，，
因为，所以，，所以，即，故C正确；
D、由题意可得，则，
当时，，不符合题意取不到最大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】两次利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式结合对数的运算性质求解即可判断B；由题意，分和两种情况讨论，当时，作差求解即可判断C；双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】回归分析；相互独立事件；正态密度曲线的特点；二项式系数
【解析】【解答】解：A、，，则，即，
则相互独立，故A正确；
B、随机变量，若，则和关于对称，
且，故B正确；
C、由题意得，解得，
展开式的通项公式为，，，
令，解得，
因为，所以，则系数最大的项为第5项，故C错误；
D、易知，，
数据的样本中心点为，
将代入中，得，解得，
则经验回归方程为，当时，，残差为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据条件概率公式和对立事件概率公式求得即可判断A；根据正态分布可知，和关于对称，则即可判断B；根据二项式系数和得到，写出展开式的通项，假设第项系数最大，列不等式组，求解，得系数最大的项为第5项，即可判断C；计算平均数，求出样本点中心，将样本点中心代入回归方程，求得，再计算当时，，最后求残差即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：面，则以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
面，，，点为的中点，点为的中点，
则，
由中点坐标公式可得，
A、，，则，
即，故A正确；
B、设平面的法向量为，则，即，
令，可得，又，
所以点到平面的距离为，故B正确；
C、因为面，所以三棱锥的外接球的球心为中点，
又，所以其外接球半径为；
因为，，，
所以，又因为面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，
，所以其外接球半径为，则外接球半径之比为，故C错误；
D、设，，则，，
设平面的法向量为，，
则，即，令，可得，
因为，解得，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，根据向量的数量积，证明即可判断A；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式求解即可判断B；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径，半径作比即可判断C；设，求出平面的法向量，再根据求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，所以，所以，
整理可得，即，
即，则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正弦定理，结合求得，再根据三角形内角和定理以及两角差的正弦公式化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：易知该班全体学生周末在家学习时长的平均数为，
方差.
故答案为：.
【分析】先计算该班全体学生周末在家学习时长的平均数，再根据分层随机抽样的方差公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：记的面积为，的面积为，
设，
因为是BC的中点，是AD的中点，所以，
则，
因为三点共线，所以，即，
由图知，，，
则，
，
因为，所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
则取得最小值为.
故答案为：.
【分析】记的面积为，的面积为，设，由是BC的中点，是AD的中点，推出，根据三点共线，可得，结合图形，根据三角形面积之间的关系，得出，将条件代入化成，最后利用基本不等式求最小值即可.
15．【答案】（1）解：函数，
则；
（2）解：
，
则的最小正周期，
令，，解得，
则的单调增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）直接代值，结合特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先利用两角差的正弦公式以及正、余弦二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，借助于正弦函数的图象性质求函数的周期和单调增区间即可.
（1）；
（2）
则的最小正周期，
由，，解得
的单调增区间为.
16．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
代入，得，，
因为，所以，则，
又因为，所以，
，
则；
（2）解：在中，，
因为，所以，所以，
由余弦定理，，
则.
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得，将其代入化简求得，进而由求得，再根据三角形内角和定理求得，再求的值即可；
（2）由（1），由条件可得，结合勾股定理得，利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求解即可.
（1）法
代入，得，
，
，故，
，
.
法2.，
由正弦定理得，
代入，得，故，
为直角三角形，则，代入，得，
所以.
（2）法1.中，由正弦定理得，
中，由正弦定理得，
，
，可得，
由（1），，
所以.
法2.Rt中，，
，
，
由余弦定理，，
.
17．【答案】（1）证明：连接BD交CE于点，连接FG，如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：平面平面，平面平面，取中点O，
则平面，所以平面，
因为，所以，，
过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，
因为，所以，所以，
设平面的法向量，则，即，
则平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
则由图可得二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接BD交CE于点，连接FG，根据为AD的中点，结合得出，再利用线面平行判定定理证明即可；
（2）过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面和平面的一个法向量，再根据向量夹角的余弦公式计算求解即可.
（1）证明：连接BD交CE于点，连接FG，
因为，所以，
平面，平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面，取中点O，
则平面，所以平面，
因为，所以，，
过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系如图所示
则，，
，，所以，
设平面的法向量，
则，则
平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
则由图可得二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：当时，，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上可得，不等式的解集为；
（2）解：由题可得，即有4个根，
即方程或，
由对称性得，
则；
（3）解：，
当时，，故，
同理，当时，，
（i），
（ii），
当时，，
（i），
（ii），
综上所述：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入可得，再分和讨论求解即可；
（2）由题意可得有4个根，即方程或有4个根，根据对称性得，化简可得即可求解；
（3）由题意，分，和讨论，求最大值和最小值即可.
（1）当时，，
当时，，
，
当时，，
综上可得，不等式的解集为.
（2）由题可得，即有4个根，
即方程或，
由对称性得，
.
（3），
当时，，
故，
同理，当时，，
（i），
（ii），
当时，，
（i），
（ii），
综上所述：
（1）当时，，
（2）当时，，
（3）当时，，
（4）当时，，
（5）当时，.
19．【答案】（1）解：当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，
设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，故救援人数的期望值；
（2）解：当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救，，
则，
故
（*）
，
故；
（3）解：村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救，
故正常情况下，村民前往营救的概率为，
当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为，
记事件为第n次村民前往营救白跑，
则，
故牧童第次呼救，有，即，
整理可得，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
故.其中，
故，
经检验也符合，故.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；二项分布；组合数公式
【解析】【分析】（1）设愿意营救的村民人数为，由题意可得满足二项分布，即，利用二项分布的数学期望公式计算即可；
（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救，，由题意，可知即为求，先求得，再由，利用组合数的性质与运算公式求解即可；
（3）由题意化简得，推出数列是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式求的解析式即可.
（1）当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，
设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，
所以救援人数的期望值.
（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救.
所以本题即求.而，
则.
故
（*）
故.
附注：（*）式的证明如下：
因，
则，
即，
故.
（3）村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救.
故正常情况下，村民前往营救的概率为，
当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为.
记事件为第n次村民前往营救白跑，
则，
故牧童第次呼救，有，
即，
整理可得，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
故.其中，
故
经检验也符合，故
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