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浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题(1班使用)
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2025高一下·北仑期中）直线与圆相交于M、N两点，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由的圆心为，半径为2，
直线的一般式为，
圆心到的距离为，
则.
故答案为：D.
【分析】易知圆心和半经，化直线方程为一般式，求圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线与圆的相交弦长即可.
2．（2025高一下·北仑期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：空间向量，，
则向量在向量上的投影向量为：
故答案为：D.
【分析】直接根据空间投影向量的定义求解即可.
3．（2025高一下·北仑期中）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：不妨设直线分别交、轴于点、，如图所示：
易知，，直线的截距式方程为，
因为点在直线上，所以，
，解得，则，
当且仅当时，即当时等号成立，
故的面积的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意作出图形，易知，，设直线的截距式方程为，再由点P在直线上得到，利用基本不等式求得，代入求面积的最小值即可.
4．（2025高一下·北仑期中）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即.
故答案为：C.
【分析】易知直线过定点，两点之间的距离最大，利用几何法求出最值即可.
5．（2025高一下·北仑期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可得：质点移动次可能的结果有种，
质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次；
向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；
向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左；
所以质点位于原点左侧共5种移动情况，由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为，
故答案为：A.
【分析】确定质点每次移动的可能性，算出移动次所有可能的结果总数.分析质点位于原点左侧的情况（即向左移动次数多于向右移动次数），分别计算不同向左、向右移动次数对应的情况数，最后依据古典概型概率公式（概率 = 符合条件的情况数÷总情况数 ）求出概率.
6．（2025高一下·北仑期中）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(　　)
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：易知直线， 且直线过定点，
直线化为，
令，解得，即，
由题意可得：，，，
则的面积为，
当且仅当时等号成立，
故面积的最大值为5.
故答案为：C.
【分析】易知两直线垂直，求直线恒过定点A，B，根据垂直关系求得，再利用基本不等式求最值即可.
7．（2025高一下·北仑期中）已知圆与圆恰有条公切线，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆心，圆的半径为，圆心，圆的半径为，
由题意可得：两圆外切，则，即，
，可得，当且仅当时，
即或时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：A.
【分析】易知两圆的圆心和半径，由题意可得两圆外切，根据圆心距等于半径的和求得，再利用重要不等式求的最大值即可.
8．（2025高一下·北仑期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面内两点间的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：设为圆上任意一点，
，，易知，，，，
表示点到点的距离，
圆的圆心为，半径为，
圆心到点的距离为，
则到点的距离的最大值为，即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】易知圆的圆心和半径，设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算，结合向量模的坐标表示求得，根据的几何意义，结合两点距离公式求的最大值即可.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．（2025高一下·北仑期中）直线的倾斜角可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线的斜截式为，易知直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，则，即或.
故答案为：ABD.
【分析】化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系可得的倾斜角的范围.
10．（2025高一下·北仑期中）已知圆，，则（　　）
A．当时，的面积是
B．实数的取值范围是
C．点在内
D．当的周长最大时，圆心坐标是
【答案】A,B
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程：
选项A：当时，圆的方程为，半径.根据圆的面积公式，可得面积，该选项正确.
选项B：因为圆存在，所以半径的平方.解不等式，移项得，即，解得，该选项正确.
选项C：圆的圆心为，半径.点到圆心的距离.
当时，，，此时点在圆上，并非圆内，该选项错误.
选项D：圆的周长，周长最大时半径最大.由，当时，最大为，此时圆心坐标为，并非，该选项错误.
故答案为：AB.
【分析】本题围绕圆的一般方程，通过将其化为标准方程，结合圆的性质（面积、半径存在条件、点与圆的位置关系、周长与半径的关系），对每个选项进行分析判断.
11．（2025高一下·北仑期中）如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则（　　）
A．直线平面
B．点到平面的距离为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．设，分别在线段和上，且，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，可得，
，，则，
因为平面，所以平面，故A正确；
，点到平面的距离，故B错误；
，，故C正确；
设，，，则，，
即，，
所以，
则，易知当λ=时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断即可.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·北仑期中）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为　 　．
【答案】或
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：当时，直线，直线化为，此时两直线垂直，满足题意；
当时，要使直线与直线互相垂直，则，解得，
综上可得：实数的值为或.
故答案为：或.
【分析】当时，直线，直线化为，满足两直线垂直，当时，根据直线垂直的判定列式求解a的值即可.
13．（2025高一下·北仑期中）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为　 　．
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由该射手得分为，知射击甲靶命中且乙靶命中一次，或者甲靶没有命中且乙靶命中两次，则所求概率为.
故答案为：.
【分析】由题意分射击甲靶命中且乙靶命中一次，或者甲靶没有命中且乙靶命中两次，根据独立事件概率的乘法公式求解即可.
14．（2025高一下·北仑期中）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点　 　
【答案】和
【知识点】用斜率判定两直线垂直；两条直线的交点坐标；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：过点作垂直于直线，垂足为，如图所示：
则以为直径的圆过定点和，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
联立，解得，即.
则以为直径的圆经过定点和.
故答案为：和.
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，易知以为直径的圆过定点和，根据直线的垂直关系求得直线的方程，联立，求交点坐标，即可求得 以为直径的圆经过定点 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（2025高一下·北仑期中）黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本数据的第59百分位数；
（3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.
【答案】（1）解：由题意，解得；
（2）解：由直方图知，前3组数的频率为，
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；
（3）解：样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列方程求参数即可；
（2）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图求第59百分位数即可；
（3）根据频率分布直方图先确定区间、上的样本个数，再利用分层抽样中样本与总体的平均数和方差关系求总平均数和总方差.
（1）由题意，解得；
（2）由直方图知，前3组数的频率为
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；
（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为.
16．（2025高一下·北仑期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点；
（1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
（2）若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
【答案】（1）解：因为，且，所以，
则直线的方程为，即；
（2）解：设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，解得，即，
设点关于直线对称得点，
则，得，即，
因为三点共线，所以，
则直线所在的直线方程为，即.
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系求得直线的斜率，再利用点斜式求边所在的直线方程即可；
（2）设点坐标，利用中点坐标公式求得线段的中点坐标，将其代入直线，求得，再将点代入所在的直线方程，求得点坐标，再求点关于直线的对称点，根据三点公式以及斜率公式、点斜式求直线方程即可.
（1）因，且，则，
因，
则直线的方程为，即.
（2）设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，
解得，即，
设点关于直线对称得点，
则，得，即，
因三点共线，则，
直线所在的直线方程为，即.
17．（2025高一下·北仑期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】解：（1）联立，解得圆心，则圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，
则，整理可得，解得或，
故圆的切线方程为或；
（2）因为圆的圆心在直线：上，所以设圆心为，
则圆的方程为，
设为，由，可得则，整理得，设为圆，
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，则，
由，得，由，解得，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】（1）由题意，联立两直线方程求得圆心坐标，根据圆的半径为，可得圆的方程，设所求圆的切线方程为，再根据直线与圆相切，利用点到直线距离公式，列方程求直线斜率，即可得切线方程；
（2）由圆的圆心在直线：上，设圆心为，写出圆的标准方程，设为，再由，利用两点间距离公式求得的轨迹方程为，推出两圆有公共点，根据圆心距和半径的关系列式求解即可.
18．（2025高一下·北仑期中）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点．
（1）证明：；
（2）当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小；
（3）若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值．
【答案】（1）证明： 取中点为，连接，因为，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以；
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
所以两两互相垂直，
以为原点， 以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
，
设直线PB与平面所成角为，则，
又因为，所以，
则直线PB与平面所成角为；
（3）解：由（2）的空间直角坐标系，
因为为等腰三角形，，所以，
则，
设，则，，
，
所以或（舍去），所以两两互相垂直，
由（2）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，取，得，
故.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点为，连接，由题意，根据线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）由题意，推出两两互相垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）由（2）的空间直角坐标系，设，求点坐标，利用直线PC与AB所成角的余弦值向量求法得，再利用空间向量法求线面夹角即可.
（1）取中点为，连接，因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
则，，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
（3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为为等腰三角形，，所以，
则，
设，则，
则，
故，
所以或（舍去），
所以两两互相垂直，
由（2）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，取，得，
所以.
19．（2025高一下·北仑期中） 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)
（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
（3）已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围.
【答案】（1）解：矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，则，
对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点，
对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，
因此是关联点；
（2）解：由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，，
直线与正方形的对角线平行，由已知，，，
设，当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，
因此有，即在圆的一段弧上（），
同理点还在下列三段圆弧上：，，，
直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去），
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，
所以的取值范围是；
（3）解：由题线段所在直线方程为即，圆半径为1，因此，
点到圆上点的距离的最小值为2，则，
当时，令点T到线段所在直线距离为，
令；
当时， 令，令，
如图：
结合图形，的取值范围是.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）先计算矩形的对角线长，根据d的定义和图形的特征确定d值；再依次求解点，，，和图形的最近距离，根据关联点定义判断即可；
（2）易知正方形的边长，以及对角线长，根据d的定义和图形的特征求出d，再根据题意、直线和图形两者结构和位置特征结合关联点定义分析求解即可；
（3）先根据关联点定义求出d，接着根据线段MN和圆T两者结构和位置特征结合点到直线距离分时和时两种情况数形结合并结合d求出两极限的t值即可得解.
（1）矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以，
对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点，
对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，
因此是关联点；
（2）由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，，
直线与正方形的对角线平行，由已知，，，
设，当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，
因此有，即在圆的一段弧上（），
同理点还在下列三段圆弧上：，，，
直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去），
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，
所以的取值范围是；
（3）由题线段所在直线方程为即，圆半径为1，因此，
点到圆上点的距离的最小值为2，则，
当时，令点T到线段所在直线距离为，
令；
当时， 令，令，
如图：
结合图形，的取值范围是.
1 / 1浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题(1班使用)
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2025高一下·北仑期中）直线与圆相交于M、N两点，则（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2025高一下·北仑期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高一下·北仑期中）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·北仑期中）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（2025高一下·北仑期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·北仑期中）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(　　)
A． B． C．5 D．10
7．（2025高一下·北仑期中）已知圆与圆恰有条公切线，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·北仑期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．（2025高一下·北仑期中）直线的倾斜角可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高一下·北仑期中）已知圆，，则（　　）
A．当时，的面积是
B．实数的取值范围是
C．点在内
D．当的周长最大时，圆心坐标是
11．（2025高一下·北仑期中）如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则（　　）
A．直线平面
B．点到平面的距离为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．设，分别在线段和上，且，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·北仑期中）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为　 　．
13．（2025高一下·北仑期中）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为　 　．
14．（2025高一下·北仑期中）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点　 　
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（2025高一下·北仑期中）黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本数据的第59百分位数；
（3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.
16．（2025高一下·北仑期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点；
（1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
（2）若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
17．（2025高一下·北仑期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
18．（2025高一下·北仑期中）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点．
（1）证明：；
（2）当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小；
（3）若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值．
19．（2025高一下·北仑期中） 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)
（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
（3）已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由的圆心为，半径为2，
直线的一般式为，
圆心到的距离为，
则.
故答案为：D.
【分析】易知圆心和半经，化直线方程为一般式，求圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线与圆的相交弦长即可.
2．【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：空间向量，，
则向量在向量上的投影向量为：
故答案为：D.
【分析】直接根据空间投影向量的定义求解即可.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：不妨设直线分别交、轴于点、，如图所示：
易知，，直线的截距式方程为，
因为点在直线上，所以，
，解得，则，
当且仅当时，即当时等号成立，
故的面积的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意作出图形，易知，，设直线的截距式方程为，再由点P在直线上得到，利用基本不等式求得，代入求面积的最小值即可.
4．【答案】C
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即.
故答案为：C.
【分析】易知直线过定点，两点之间的距离最大，利用几何法求出最值即可.
5．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可得：质点移动次可能的结果有种，
质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次；
向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；
向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左；
所以质点位于原点左侧共5种移动情况，由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为，
故答案为：A.
【分析】确定质点每次移动的可能性，算出移动次所有可能的结果总数.分析质点位于原点左侧的情况（即向左移动次数多于向右移动次数），分别计算不同向左、向右移动次数对应的情况数，最后依据古典概型概率公式（概率 = 符合条件的情况数÷总情况数 ）求出概率.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：易知直线， 且直线过定点，
直线化为，
令，解得，即，
由题意可得：，，，
则的面积为，
当且仅当时等号成立，
故面积的最大值为5.
故答案为：C.
【分析】易知两直线垂直，求直线恒过定点A，B，根据垂直关系求得，再利用基本不等式求最值即可.
7．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆心，圆的半径为，圆心，圆的半径为，
由题意可得：两圆外切，则，即，
，可得，当且仅当时，
即或时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：A.
【分析】易知两圆的圆心和半径，由题意可得两圆外切，根据圆心距等于半径的和求得，再利用重要不等式求的最大值即可.
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面内两点间的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：设为圆上任意一点，
，，易知，，，，
表示点到点的距离，
圆的圆心为，半径为，
圆心到点的距离为，
则到点的距离的最大值为，即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】易知圆的圆心和半径，设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算，结合向量模的坐标表示求得，根据的几何意义，结合两点距离公式求的最大值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线的斜截式为，易知直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，则，即或.
故答案为：ABD.
【分析】化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系可得的倾斜角的范围.
10．【答案】A,B
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程：
选项A：当时，圆的方程为，半径.根据圆的面积公式，可得面积，该选项正确.
选项B：因为圆存在，所以半径的平方.解不等式，移项得，即，解得，该选项正确.
选项C：圆的圆心为，半径.点到圆心的距离.
当时，，，此时点在圆上，并非圆内，该选项错误.
选项D：圆的周长，周长最大时半径最大.由，当时，最大为，此时圆心坐标为，并非，该选项错误.
故答案为：AB.
【分析】本题围绕圆的一般方程，通过将其化为标准方程，结合圆的性质（面积、半径存在条件、点与圆的位置关系、周长与半径的关系），对每个选项进行分析判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，可得，
，，则，
因为平面，所以平面，故A正确；
，点到平面的距离，故B错误；
，，故C正确；
设，，，则，，
即，，
所以，
则，易知当λ=时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断即可.
12．【答案】或
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：当时，直线，直线化为，此时两直线垂直，满足题意；
当时，要使直线与直线互相垂直，则，解得，
综上可得：实数的值为或.
故答案为：或.
【分析】当时，直线，直线化为，满足两直线垂直，当时，根据直线垂直的判定列式求解a的值即可.
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由该射手得分为，知射击甲靶命中且乙靶命中一次，或者甲靶没有命中且乙靶命中两次，则所求概率为.
故答案为：.
【分析】由题意分射击甲靶命中且乙靶命中一次，或者甲靶没有命中且乙靶命中两次，根据独立事件概率的乘法公式求解即可.
14．【答案】和
【知识点】用斜率判定两直线垂直；两条直线的交点坐标；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：过点作垂直于直线，垂足为，如图所示：
则以为直径的圆过定点和，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
联立，解得，即.
则以为直径的圆经过定点和.
故答案为：和.
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，易知以为直径的圆过定点和，根据直线的垂直关系求得直线的方程，联立，求交点坐标，即可求得 以为直径的圆经过定点 .
15．【答案】（1）解：由题意，解得；
（2）解：由直方图知，前3组数的频率为，
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；
（3）解：样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列方程求参数即可；
（2）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图求第59百分位数即可；
（3）根据频率分布直方图先确定区间、上的样本个数，再利用分层抽样中样本与总体的平均数和方差关系求总平均数和总方差.
（1）由题意，解得；
（2）由直方图知，前3组数的频率为
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；
（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为.
16．【答案】（1）解：因为，且，所以，
则直线的方程为，即；
（2）解：设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，解得，即，
设点关于直线对称得点，
则，得，即，
因为三点共线，所以，
则直线所在的直线方程为，即.
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系求得直线的斜率，再利用点斜式求边所在的直线方程即可；
（2）设点坐标，利用中点坐标公式求得线段的中点坐标，将其代入直线，求得，再将点代入所在的直线方程，求得点坐标，再求点关于直线的对称点，根据三点公式以及斜率公式、点斜式求直线方程即可.
（1）因，且，则，
因，
则直线的方程为，即.
（2）设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，
解得，即，
设点关于直线对称得点，
则，得，即，
因三点共线，则，
直线所在的直线方程为，即.
17．【答案】解：（1）联立，解得圆心，则圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，
则，整理可得，解得或，
故圆的切线方程为或；
（2）因为圆的圆心在直线：上，所以设圆心为，
则圆的方程为，
设为，由，可得则，整理得，设为圆，
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，则，
由，得，由，解得，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】（1）由题意，联立两直线方程求得圆心坐标，根据圆的半径为，可得圆的方程，设所求圆的切线方程为，再根据直线与圆相切，利用点到直线距离公式，列方程求直线斜率，即可得切线方程；
（2）由圆的圆心在直线：上，设圆心为，写出圆的标准方程，设为，再由，利用两点间距离公式求得的轨迹方程为，推出两圆有公共点，根据圆心距和半径的关系列式求解即可.
18．【答案】（1）证明： 取中点为，连接，因为，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以；
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
所以两两互相垂直，
以为原点， 以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
，
设直线PB与平面所成角为，则，
又因为，所以，
则直线PB与平面所成角为；
（3）解：由（2）的空间直角坐标系，
因为为等腰三角形，，所以，
则，
设，则，，
，
所以或（舍去），所以两两互相垂直，
由（2）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，取，得，
故.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点为，连接，由题意，根据线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）由题意，推出两两互相垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）由（2）的空间直角坐标系，设，求点坐标，利用直线PC与AB所成角的余弦值向量求法得，再利用空间向量法求线面夹角即可.
（1）取中点为，连接，因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
则，，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
（3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为为等腰三角形，，所以，
则，
设，则，
则，
故，
所以或（舍去），
所以两两互相垂直，
由（2）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，取，得，
所以.
19．【答案】（1）解：矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，则，
对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点，
对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，
因此是关联点；
（2）解：由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，，
直线与正方形的对角线平行，由已知，，，
设，当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，
因此有，即在圆的一段弧上（），
同理点还在下列三段圆弧上：，，，
直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去），
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，
所以的取值范围是；
（3）解：由题线段所在直线方程为即，圆半径为1，因此，
点到圆上点的距离的最小值为2，则，
当时，令点T到线段所在直线距离为，
令；
当时， 令，令，
如图：
结合图形，的取值范围是.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）先计算矩形的对角线长，根据d的定义和图形的特征确定d值；再依次求解点，，，和图形的最近距离，根据关联点定义判断即可；
（2）易知正方形的边长，以及对角线长，根据d的定义和图形的特征求出d，再根据题意、直线和图形两者结构和位置特征结合关联点定义分析求解即可；
（3）先根据关联点定义求出d，接着根据线段MN和圆T两者结构和位置特征结合点到直线距离分时和时两种情况数形结合并结合d求出两极限的t值即可得解.
（1）矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以，
对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点，
对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，
因此是关联点；
（2）由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，，
直线与正方形的对角线平行，由已知，，，
设，当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，
因此有，即在圆的一段弧上（），
同理点还在下列三段圆弧上：，，，
直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去），
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，
所以的取值范围是；
（3）由题线段所在直线方程为即，圆半径为1，因此，
点到圆上点的距离的最小值为2，则，
当时，令点T到线段所在直线距离为，
令；
当时， 令，令，
如图：
结合图形，的取值范围是.
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