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2 分式的运算
第五章 分式与分式方程
第 1 课时 分式的乘除
1. 类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则.(难点)
2. 会进行简单分式的乘除运算.(重点)
3. 能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题.
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.
2.上述性质如何用等式表示 ?
(m ≠ 0).
1. 分式的基本性质是什么 ?
探究点1：分式的乘法与除法
变式1：一个水平放置的长方体容器的容积为 V，底面面积为 S，当容器内的水深占容积高的 时，水面的高度为多少?
问题1：一个水平放置的长方体容器的容积为 250，底面面积为 50，当容器内的水深占容积高的 时，水面的高度为多少?
分式的乘法
????????????????????×????????=
?
????????????
?
????????×????????
?
问题2：大拖拉机 3 天耕地 10 hm2，小拖拉机 4 天耕地 9 hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
变式2：大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
分式的除法
探究点1：分式的乘法与除法
【合作探究】观察分数的乘除法则，你能说出分式的乘除法则吗？
????????????????????×????????=
?
????????????
?
????????×????????
?
探究点1：分式的乘法与除法
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　
上述法则用式子表示为：
乘法法则：
除法法则：
探究点1：分式的乘法与除法
例1 计算： ；
解：
计算的结果约分为最简形式
探究点1：分式的乘法与除法
例2 计算：
解：
分子、分母是多项式时，先分解因式
探究点1：分式的乘法与除法
计算分式乘除的一般步骤：
(1) 因式分解：将分式的分子、分母中的多项式因式分解；
(2) 化除为乘：将除法转化为乘法并计算；
(3) 约分：将结果的分子、分母中相同的因式进行约分；
(4) 整理结果：将分式的分子、分母中剩下的因式分别相乘，并整理出最后结果．
注意 若分式的乘除运算中出现了整式，可以把整式看作“分母为1”的式子进行计算．
探究点1：分式的乘法与除法
1.计算：
【练一练】
探究点1：分式的乘法与除法
(1) ；
解：(1)原式
(2)
(2)原式
2.计算：
探究点1：分式的乘法与除法
1.分式的除法运算可以转化为乘法运算；
2.分子或分母是多项式时，可以把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
注意：按照法则进行分式乘除运算，结果一定要化成最简分式.
注意事项：
探究点1：分式的乘法与除法
思考：本题中 x 的取值不能为哪些数？
总结
根据分式乘除法则将式子先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分式有意义！
【练一练】
3. 先化简，再求值
探究点1：分式的乘法与除法
探究点2：分式的乘方
问题1：an 中的 a 可以是数，也可以是整式，那 a 可不可以是一个分式呢?
问题2：
？
？
？
n 个
n 个
n个
与 有什么关系？
这就是说，分式乘方要把分子，分母分别乘方.
【尝试·交流】
探究点2：分式的乘方
例3 计算
解：原式=
1
3
先算乘方
再乘除
结果约分为最简形式
探究点2：分式的乘方
【对应训练】1. 下列计算正确的是( )
C
探究点2：分式的乘方
【尝试·交流】购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好，假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d ，已知球的体积公式为 (其中 R 为球的半径)，那么
(1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
解：(1)西瓜瓤的体积是 ，
整个西瓜的体积是 .
探究点2：分式的乘方
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
当 d＝1 cm，R＝10 cm 时， ；
当 d＝1 cm，R＝15 cm 时， .
所以当皮厚度都是 1 cm时，买大西瓜合算(答案不唯一).
探究点2：分式的乘方
例4 老王家种植两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为 2a 米，宽为 b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
解：设花生的总产量是 1，则
探究点3：分式的乘法与除法的应用
探究点3：分式的乘法与除法的应用
【练一练】 4.一条船往返于水路相距 100 km 的 A，B 两地之间，已知水流的速度是每小时 2 km，船在静水中的速度是每小时 x km (x＞2)，那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
【解析】顺流速度为 (x + 2) km/h，逆流速度为
(x - 2) km/h，由题意得
分式乘除运算
乘除法运算
注意
(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式
除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算
(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行
(3)运用法则时要注意符号的变化
1. 计算a3?(1????)2的结果是(　A　)
?
A. a
B. a5
C. a6
D. a9
2. 化简?????1???? ÷?????1????2 的结果是(　A　)
?
A. m
B. 1????
C. m－1
D. 1?????1
A
A
3. 计算?????????????????? ??????????????????????????? 的结果是(　A　)
?
A. a＋b
B. －a＋b
C. a－b
D. －a－b
A
4. 已知????????????????????????? ÷M＝????????＋???? ，则M＝?　3????????????? 　.
5. 当m＝3，n＝1时，4m2n÷(－2???????? )2?????????3 的值
为 .
?
3????????????? 　
?
3　
6. 计算：
(1)3ab2÷6????2???? ；
解：原式＝????22 .
(2)????????2?1 ?????2＋????????2 ；
解：原式＝1?????1 .
(3)(－???????? )2?(????????2)2÷(－2ab)2.
解：原式＝14????4????2 .
?
解：原式＝????22 .
?
解：原式＝1?????1 .
?
解：原式＝14????4????2 .

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