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3 分式方程
第五章 分式与分式方程
第 2 课时 分式方程的解法
1.掌握解分式方程的基本方法和步骤；（重点）
2.了解分式方程增根产生的原因并能解决与增根有关的问题。（难点）
1.还记得什么是方程的解吗？
使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解.
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？
二元一次方程组
转化
一元一次方程
3.二元一次方程组呢？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.
加减消元法、代入消元法
解：去分母得
2×(2＋3x)－6×2＝x＋2
4＋6x－6×2＝x＋2
5x＝10
去括号得
移项合并得
解得
x＝2
思考：你能求出上一节课列出的分式方程
(1) 如何把它转化为熟知的整式方程呢？
“去分母”
的解吗？
探究点：分式方程的解法
3x
解：方程两边同乘 2.8 x，得
检验：将 x = 58 代入原分式方程中，左边 = 右边，
因此 x = 58 是原分式方程的解.
174×3 - 174 = 2×3x
解得 x = 58.
(2) 方程各分母最简公分母是：
x = 58 是原分式方程的解吗？
探究点：分式方程的解法
【归纳总结】
解分式方程的基本思路：
整式方程
去分母
分式方程
(方程两边同乘
最简公分母)
探究点：分式方程的解法
例1 解方程：
解：方程两边都乘最简公分母 x(x - 2)，得
解这个方程，得 x = -3.
检验：把 x = -3 代入原方程的左边和右边，得
所以 x = -3 是原方程的解．
5x = 3(x - 2).
探究点：分式方程的解法
在解方程 时，小亮的解法如下：
方程两边同乘 (x - 2)，得
1 - x = -1 - 2(x - 2)，
解这个方程，得
x = 2.
x = 2 是原分式方程的解吗？
【思考·交流】
探究点：分式方程的解法
检验：
x = 2
代入
分式无意义
x - 2 = 0
2 - x = 0
分母
分式方程无解
x = 2 是整式方程的解
不是分式方程的解
探究点：分式方程的解法
想一想：为什么 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？
x = 2 使得原分式方程的分母为 0 .
使得原分式方程的分母为 0 的根，我们称为原方程的增根.
探究点：分式方程的解法
用图框的方式总结为：
当 x = m 时
最简公分母是
否为零
x = m
检验
x = m 是分式
方程的解
否
x = m 不是
分式方程的解
是
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验.
【归纳总结】
探究点：分式方程的解法
1. 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
简记为：“一化二解三检验”.
解分式方程一般需要经过哪几个步骤
4. 写出原方程的根.
3. 检验整式方程的解，判断是否存在增根；
2. 解这个整式方程；
探究点：分式方程的解法
例2 解方程：
解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得
2x = 3x - 9.
解得
x = 9.
检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
①将分式方程转化为整式方程
②求整式方程的解
③把解代入到最简公分母中，看是否为零
探究点：分式方程的解法
例3 解方程：
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
①化整式方程
②求解
③检验
探究点：分式方程的解法
1. 解方程： .
解：方程两边都乘最简公分母 2x，得
解这个一元一次方程，得 x = 4.
经检验：x = 4 是原方程的根.且不存在增根．
【练一练】
探究点：分式方程的解法
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得
4(x + 1) = 2x + 6.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
2. 解方程： .
探究点：分式方程的解法
3. 如果关于 x 的方程 的解是无解，
则 a 的值为_______.
解：将方程两边同乘 (x－2) 得
ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2.
因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2，
所以 a＝1 或 2.
1 或 2
探究点：分式方程的解法
分式
方程的解法
步骤
基本思路
将分式方程化为整式方程 .
具体做法：去分母 (即方程两边同乘最简公分母.)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
1. 解分式方程 ＋ ＝3时，去分母后变形正确
的是(　D　)
A. 2＋(x＋2)＝3(x－1)
B. 2－x＋2＝3(x－1)
C. 2－(x＋2)＝3
D. 2－(x＋2)＝3(x－1)
D
2. 方程 ＝ 的解是(　C　)
A. x＝2 B. x＝5
C. x＝1 D. x＝－2
3. 若分式方程 ＝ 有增根，则增根为(　B　)
A. x＝－1 B. x＝1
C. x＝±1 D. x＝0
C
B
4. (1)当x＝ 时，分式 与 的值相等；
(2)若x＝－3是分式方程 ＝1的解，则a的值
为 .
5. 关于x的方程 ＝2＋ 无解，则m的值
为 .
3　
1　
3　
6. 解方程：
(1) ＝1－ ；
书写通关
解：方程两边同乘 ，得2－x＝x－3＋1，
解得x＝ .
经检验，当x 时， ≠0，
∴原方程的解为 .
易错通关：解分式方程时，容易遗忘“检验增根”
的关键步骤.
x－3　
2　
＝2　
x－3　
x＝2　
(2) ＋1＝ ；
解：解得x＝－ .检验：当x＝－ 时，原分式方程
有意义，所以原方程的解为x＝－ .
(3) － ＝1.
解：解得x＝1.经检验，x＝1是方程的增根，
∴原方程无解.
解：解得x＝－ .检验：当x＝－ 时，原分式方程
有意义，所以原方程的解为x＝－ .
解：解得x＝1.经检验，x＝1是方程的增根，
∴原方程无解.

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