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1.2 平行四边形的判定
第六章 平行四边形
第 2 课时 利用四边形对角线的性质判定
平行四边形
1. 理解由对角线的关系判定平行四边形的过程.
2. 平行四边形判定方法的综合应用. (重点、难点)
判定
定理1
定理2
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
∵ AB = CD，AD = BC，∴ 四边形 ABCD 是
平行四边形
A
B
C
D
∵ AB = CD，AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是
平行四边形
将两根木条 AC,BD 的中点重叠,并用钉子固定,再用一根橡皮筋绕端点 A,B,C,D 围成一个四边形 ABCD.
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
O
想一想:△AOB≌△COD 吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
探究点: 平行四边形的判定定理 3
已知：四边形 ABCD 的两条对角线，AC 与 BD
相交于点 O ，并且 OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
证明：∵ OA = OC，OB = OD ，
∠AOB =∠COD ，
∴△AOD≌△COB.
∴AD = CB，∠ADO =∠CBO.
∴ AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
探究点: 平行四边形的判定定理 3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ AO = CO，
BO = DO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
A
B
C
D
O
平行四边形判定定理 3
探究点: 平行四边形的判定定理 3
例1 已知：如图，E，F 是□ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AE = CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
O
B
A
C
E
F
D
证明：如图，连接 BD ，交 AC 于点 O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD
(平行四边形对角线互相平分).
∴ OA - AE = OC - CF，即 OE = OF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∵ AE = CF，
探究点: 平行四边形的判定定理 3
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　）
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
【练一练】
探究点: 平行四边形的判定定理 3
2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．
求证： 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明： ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
∴ CO＝DO.
∵ E、F 分别是 OC、OD 的中点，
∴ EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形．
探究点: 平行四边形的判定定理 3
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F．试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论．
解：四边形 ABFC 是平行四边形. 证明如下：
∴△ABE≌△FCE.
∵ AB∥CD，∴∠BAE =∠CFE.
又∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE.
∴ AE = EF. 又∵ BE = CE，
∴ 四边形 ABFC 是平行四边形．
A
B
C
D
F
E
探究点: 平行四边形的判定定理 3
4. 昨天小明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片，只剩下如图所示部分，他想买一块玻璃赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢( A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D )？
A
B
C
探究点: 平行四边形的判定定理 3
D
A
B
C
方法一依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
D
A
B
C
方法二依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
探究点: 平行四边形的判定定理 3
D
O
A
B
C
方法三依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
探究点: 平行四边形的判定定理 3
平行四边形的判定
边
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
1. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的
是(　A　)
A. 对角线互相平分
B. 一组对角相等
C. 一组对边相等
D. 对角线互相垂直
A
2. 四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件
不能判断四边形ABCD是平行四边形(　D　)
A. OA＝OC，OB＝OD
B. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
C. AD∥BC，AD＝BC
D. AB＝CD，AO＝CO
D
3. 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，
且OB＝OD，AC＝14 cm，则当OA＝ cm
时，四边形ABCD是平行四边形.
4. 如图，在直角坐标系中，有点A(－2，0)，
B(2，0)，C(0，1)，另在x轴下方有一点D与点
A，B，C构成平行四边形的顶点，
则点D的坐标是 .
7　
(0，－1)　
5. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
书写通关
证明：∵AB∥CD，∴ ＝∠CDO.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO( ).
∴ .
∠ABO　
AAS
OB＝OD　
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
6. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且O为
AC的中点，AE＝CF，DF∥BE. 求证：四边形
ABCD是平行四边形.
证明：∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠E＝∠F.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA).
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴△BOE≌△DOF(ASA).
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.

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